高中数学 3.2二倍角的三角函数课件 苏教版必修4

这些都可以应用二倍角公式．
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α αα α α α 例如：sin 2 ＝2sin 4 cos 4 ，cos 3 ＝cos2 6 －sin2 6 等．
接
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知识点2 二倍角公式的逆用、变形应用
1．特别是对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证
明中有广泛的应用．
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2．注意右边化为左边的应用，如 sin
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sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×－35＝－2245，
接
cos 2α＝1－2sin2α＝－275，
tan 2α＝csions 22αα＝274.
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例 2 已知 sin θ＋cos θ＝ 22，0<θ<34π，求 sin 2θ，cos 2θ的
值．
分析：要解决 sin 2θ，cos 2θ的值，利用同角三角函数的关
解析： 1＋sin 10°＋ 1－sin 10°
＝ cos25°＋2sin 5°cos 5°＋sin25°＋
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cos25°－2sin 5°cos 5°＋sin25°
接
＝(cos 5°＋sin 5°)＋(cos 5°－sin 5°)＝2cos 5°.
答案：2cos 5°
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第3章 三角恒等变换
3．2 二倍角的三角函数
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1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用
条件．
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2．熟练运用倍角公式进行化简，求值和证明．
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接
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α＝β α＝β α＝β
2cos2α－1 1－2sin2α
2sinαcosα
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题型1 求值
例 1已知 sin α＝45，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
分析：由 sin α＝45，而α所在象限没有给出，因此要分类讨论．
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解析：∵sin α＝45，∴α为第一或第二象限角．
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接
(1)当α为第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α＝35，tan α＝43，
解析：tan
A＋ta1n
A＝scions
AA＋csoisn
A A
sin2A＋cos2A 2
2
＝ sin Acos A ＝sin 2A＝m，∴sin 2A＝m.
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接
答案：m2 11．y＝cos x－sin2x－cos 2x＋74的最大值为____2____．
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12．化简 1＋sin 10°＋ 1－sin 10°＝________.
3αcos
3α＝12sin
6α，
目 链 接
4sin
α 4 cos
α 4 ＝2sin
α 2tan 40° 2 ，1－tan240°＝tan
80°，cos22α－sin22
α＝cos 4α等．
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3．把 cos2α＝1＋co2s
2α，sin2α＝1－co2s
2α 称为降幂公式，
把 1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos 2α＝2cos2α称为升幂公式，这几
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知识点1 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．公式 S2α，C2α中的角α没有限制．但公式 T2α需在α≠12kπ＋
π4 和α≠kπ＋π2 (k∈Z)时才成立．
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当α＝kπ＋π2 ，k∈Z 时，虽然 tan α不存在，但 tan 2α是存
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在的，故可改用诱导公式．
例如：当α＝kπ＋π2 ，k∈Z 时，tan 2α＝tan 2·kπ＋π2 ＝ tan(2kπ＋π)＝tan π＝0.
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7．函数 y＝sin 2xcos 2x 的最小正周期是( )
π
π
A．π B．2π
C. 2
D. 4
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答案：C
目
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8．若 cosπ2 ＋α＝45，则 cos 2α＝__－_2_75____. 接
9．sin2π8 －cos2π8 的值是__－_2_2____．
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10．tan A＋tan1 A＝m，则 sin 2A＝________.
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Hale Waihona Puke 112．一般情况下：sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2
α≠2tan α.
若 sin 2α＝2sin α，则 2sin αcos α＝2sin α，即 sin α
＝0 或 cos α＝1，此时α＝kπ(k∈Z)．
若 cos 2α＝2cos α，则 2cos2α－2cos α－1＝0，即 cos α 栏
个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成角的形
式的转化．这些公式是解决三角问题的重要技巧和方法之一，在学习 栏
目
过程中，要注意应用．
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4．在理解倍角公式的同时，结合前面学过的内容，从中体会到
三角函数公式中充满了辩证法．非同角公式中“和与差”“倍与半”
“弦与切”“升与降”既是相对的概念，又可以求同存异、相辅相成．
系式，通过缩小角的范围就可以解决．
解析：∵0<sin θ＋cos θ＝ 22<1，且 0<θ<34π，
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∴π2 <θ<34π，2θ∈π，32π，
接
将 sin θ＋cos θ＝ 22，两边平方得 sin 2θ＝－12，
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
cos2α－sin2α
栏
2tan α
目
1－tan2α
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接
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5. 2－sin22＋cos 4的值是( )
A．sin 2
B．－cos 2
C. 3cos 2
D．－ 3cos 2
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答案：D
目
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6．设 f(tan x)＝tan 2x，则 f(2)＝( )
接
A．－43
B.45
C．－23
D．4
答案：A
sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2245，
cos 2α＝1－2sin2α＝－275，
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tan 2α＝12－tatnanα2α＝12－×4332＝－274或 tan 2α＝scions 22αα＝－22575
＝－274.
(2)当α为第二象限角时，cos α＝－ 1－sin2α＝－35，
目
＝1－2 3cos α＝1＋2 3舍去.
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2tan α 若 tan 2α＝2tan α，则1－tan2α＝2tan α，
∴tan α＝0，即α＝kπ(k∈Z)．
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3．二倍角公式不仅限于 2α是α的二倍的形式，其他如 4α是 2
α的二倍，α2 是α4 的二倍，3α是3α2 的二倍，α3 是α6 的二倍等，所有