第1章集合与常用逻辑用语1.1第1课时集合的含义
合作 探究 释疑 难
集合的基本概念
【例 1】 (教材 P5 练习 T1 改编)考察下列每组对象，能构成集合 的是________．
①与定点 A，B 等距离的点； ②高中学生中的游泳能手； ③中国各地最美的乡村； ④直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ⑤不小于 3 的自然数．
Thank you for watching !
∈ ∉ [由题意可设 x＝3k＋2，k∈Z， 令 3k＋2＝17 得，k＝5∈Z. 所以 17∈A.令 3k＋2＝－5 得， k＝－73∉Z.所以－5∉A.]
4．若以方程 x2－5x＋6＝0 和 x2－x－2＝0 的解为元素组成集合 M，则 M 中元素的个数为________．
3 [方程 x2－5x＋6＝0 的解为 x＝2 或 x＝3，x2－x－2＝0 的解 为 x＝2 或 x＝－1，所以集合 M 中含有 3 个元素．]
(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合． (3)不正确，方程的解只有 1 和－2，集合中有 2 个元素．
元素与集合的关系
【例 2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)满足“a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N”，有且只有 2 个
C [A 项，不超过 20 的非负实数，元素具有确定性、互异性、 无序性，能构成一个集合．B 项，方程 x2－9＝0 在实数范围内的解， 元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C 项， 3的 近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D 项，某校 身高超过 170 厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性， 能构成一个集合．故选 C.]
Z
_Q__ R
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的正三角形组成一个集合．
()
(2)高中《数学必修第一册》课本上的所有难题组成一个集合．
() (3)由 1,2,3 构成的集合与由 3,2,1 构成的集合是同一个集合．
()
(4)一个集合中可以找到两个相同的元素． (5)集合N中的最小元素为0. (6)若a∈Q，则一定有a∈R.
5．已知集合 A 含有两个元素 a－3 和 2a－1，若－3∈A，试求实 数 a 的值．
[解] ∵－3∈A，∴－3＝a－3 或－3＝2a－1， 若－3＝a－3， 则 a＝0， 此时集合 A 中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则 a＝－1， 此时集合 A 中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，a＝0 或 a＝－1.
(2)某班身高高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因为标准确 定．
2．元素与集合的关系
关系
概念
记法
如果 a是集合A的元素 属于
， _a_∈__A_
就说 a 属于 A
不属 如果 a不是集合A中的元素 ， _a_∉_A__
于 就说 a 不属于 A
读法 “a 属于 A” “a 不属于 A”
思考 2：设集合 A 表示“1～10 以内的所有素数”，3,4 这 两个元素与集合 A 有什么关系？如何用数学语言表示？
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√
() () ()
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有 “b”“o”“k”三个元素．]
3．用“∈”或“∉”填空：
(1)
1 2
________N；－3________Z；
【例3】 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的 值．
[思路点拨] A中含有元素：1和a2 ―a∈―→A a＝1或a2＝a ―求―a的―值→ 检验集合中元素的互异性
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a， (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1. (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1 和0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0.
[跟进训练] 1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)大于 3 小于 5 的所有自然数构成一个集合； (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0 所有解组成的集合有 3 个元素．
[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集 合．
2 ________Q；
0________N*； 5________R.
(2)若A是不等式4x－5＜3的解集，则1________A,2______A．(用
∈或∉填空)
[答案] (1)∉ ∈ ∉ ∉ ∈ (2)∈ ∉
4．已知集合 M 有两个元素 3 和 a＋1，且 4∈M，则实数 a＝ ________.
0,1,2 [∵3－6 x∈N， ∴3－x＝1 或 2 或 3 或 6， 即 x＝2 或 1 或 0 或－3. 又 x∈N，故 x＝0 或 1 或 2. 即集合 A 中的元素为 0,1,2.]
3．已知集合 A 中元素满足 2x＋a＞0，a∈R.若 1∉A,2∈A，则实 数 a 的取值范围为________．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念 第1课时 集合的含义
学习目标
核心素养
1.通过实例了解集合的含义．(难点) 1.通过集合概念的学习，
2．掌握集合中元素的三个特性．(重 逐步形成数学抽象素养．
点) 2．借助集合中元素的互
3．体会元素与集合的“属于”关系， 异性的应用，培养逻辑推
记住常用数集的表示符号并会应 理素养.
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类 讨论时，务必明确分类标准．
2．本题在解方程求得 a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互 异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
课堂 小结 提素 养
1．记牢 3 个知识点 (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系． (2)常用数集的表示． (3)集合中元素的特性及应用． 2．掌握 2 种方法 (1)元素与集合关系的判定方法． (2)解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨 论的意识．
－4＜a≤－2 [因为 1∉A,2∈A，所以22× ×12＋ ＋aa≤ ＞00， ， 即－4＜a≤ －2.]
集合中元素的特性及应用
[探究问题] 已知集合 A 中含有两个元素 a，b. (1)a，b 满足什么关系？ 提示：a≠b. (2)若 1∈A，则元素 1 与集合 A 中的元素 a，b 存在怎样的关系？ 提示：a＝1 或 b＝1.
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是 一样的，就称这两个 集合是相等的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性 和无序性．
思考 1：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没 有明确的标准．
①④⑤ [②中“能手”和③中“最美”标准不明确，不符合确 定性，①④⑤中的元素标准明确，均可构成集合．]
判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性， 如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合. 同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
用．(重点、易混点)
情景 导学 探新 知
中国共产党第十九届中央委员会第四次全体会议，于2019年10 月28日至31日在北京举行．
问题：中国共产党第十九届中央委员会第四次全体会议的所有 参会人员能否构成一个集合？
提示：中国共产党第十九届中央委员会第四次全体会议的所有参 会人员能构成一个集合．
1．元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把 研究对象 统称为元素，常用小写的拉丁字 母 a，b，c，… 表示． (2)集合：一些 元素 组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写 拉丁字母 A，B，C，…表示．
元素的集合 A 的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(1)B (2)C [(1)①π 是实数，所以 π∈R 正确； ② 2是无理数，所以 2∉Q 正确；③0 不是正整数，所以 0∈N* 错误；④|－5|＝5 为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选 B.
(2)因为 a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N， 若 a＝0，则 4－a＝4， 此时 A 满足要求； 若 a＝1，则 4－a＝3， 此时 A 满足要求； 若 a＝2，则 4－a＝2， 此时 A 含 1 个元素不满足要求． 故有且只有 2 个元素的集合 A 有 2 个，故选 C.]
提示：3 是集合 A 中的元素，即 3 属于集合 A，记作 3∈A； 4 不是集合 A 中的元素，即 4 不属于集合 A，记作 4∉A.
3．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自 正整数集 __整__数__集___ 有理 _实__数__集___
然数集)
数集
符号
_N__
__N_*_或__N_＋__
1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数 a的取值范围．
[解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.
2．(变条件)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，求实数 a 的值．
[解] 若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1，即 a＝±1. 当 a＝1 时，集合 A 有重复元素， 所以 a≠1； 当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合集合中元素的 互异性，所以 a＝－1.
2．下列结论中，不正确的是( ) A．若 a∈N，则1a∉N B．若 a∈Z，则 a2∈Z C．若 a∈Q，则|a|∈Q D．若 a∈R，则3 a∈R
【九章方略】集合与常用逻辑用语含答案解析
第一章集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念及运算已知数集A＝{0，1，x＋2}，那么x的取值集合为() A．{x⎪⎪⎪x≠－2} B．{x⎪⎪⎪x≠－1}C．{x⎪⎪⎪x≠－2且x≠－1} D．x∈R下列判断正确的命题个数为()①a∈{a}; ②{a}∈{a，b}；③{a，b}⊆{b，a}; ④∅⊆{0}；A．1个B．2个C．3个D．4个集合A＝{1，2，3}的非空真子集的个数为()A．3个B．6个C．7个D．8个设全集U＝R，A＝{x⎪⎪x<1}，B＝{x⎪⎪x>m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围为()A．m<1 B．m≤1 C．m>1 D．m≥1已知{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，则集合A的个数为____________ .设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝____________；A∪B＝____________；A∪∁U B＝____________．【知识导图】【知识梳理】集合与元素(1)集合中元素的三个特征：______、______、______．(2)元素与集合的关系是____或______两种，用符号__或____表示． (3)集合的表示法：______、______、______． (4)常见数集的记法集合间的基本关系集合的基本运算知识点一 集合的含义与表示已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为____________．【跟踪反馈】(2020·江苏模拟)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a2019＋b2019＝____________.若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.92 B.98C．0D．0或98知识点二集合的基本关系(2019·安徽三模)已知集合A＝{x|x(x－2)<0}, B＝{x⎪⎪ln x>0}，则A∩B是( )A．{x|1<x<2} B．{x|0<x<2}C．{x⎪⎪x>0} D．{x⎪⎪x>2}【跟踪反馈】(2019·广东三模)已知集合A＝{x|x2＋x－2<0}，集合B＝{x|x>0}，则集合A∪B＝( )A．{x|x<1} B．{x|x>－2}C．{x|0<x<1} D．{x|－2<x<1}已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为____________．知识点三集合中的新定义问题(1)(2020·武汉模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝() A．{0，1} B．{1，2}C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}(2)若对任意的x∈A，有1x∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为____________．【跟踪反馈】设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝____________.若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6＜0}，B ＝{x |2x ＜1}，则如图1-1-1所示阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |－1＜x ≤0}C ．{x |0≤x ＜6}D ．{x |x ＜－1}图1-1-1一、选择题已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( ) A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B(2019·石嘴山三模)已知集合P＝{－1，1}，集合Q＝{x∈N|x<3}，则P∪Q ＝( )A．{－1，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}(2019·海南三模)设集合A＝{a，a＋1}，B＝{1，2，3}，若A∪B的元素个数为4，则a的取值集合为( )A．{0} B．{0，3}C．{0，1，3} D．{1，2，3}已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0＋∞)(2020·沈阳模拟)已知全集U ＝{1，3，5，7}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则如图1-1-2所示阴影区域表示的集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3，7}D ．{1，3，5}图1-1-2(多选)设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x |1x ＜2，则下列结论中正确的是()A ．NM B ．M NC ．M ∩N ＝M D. M ∩N ＝N二、填空题(2020·江苏模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝____________.(2019·江苏卷)集合{－1，0，1}共有____________个子集．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则实数m的值为____________．(2019·江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B ＝____________，A∩B的子集个数为____________．三、解答题(2020·江苏模拟)已知全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，∁U A ＝{5}，求实数a的值．(2020·江苏模拟)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．【B 组】 提升篇一、选择题(2019·安徽三模)设集合A ＝{x ∈N |x 2－4x －5<0}，集合B ＝{y |y ＝4－x ，x∈[2，4]}，则A ∩B 等于( )A ．{1，2}B ．{3，4}C ．∅D ．{0，1，2}(2020·湖南模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝( )A ．[－3，1)B ．(－∞，－3]∪(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)(多选)已知集合P ＝{2，3，4，5，6}，Q ＝{3，5，7}．若M ＝P ∩Q ，则下列结论正确的有( )A ．集合M 中有2个元素B ．集合M 的真子集个数为3C ．集合M 的子集个数为3D ．集合M 的子集个数为4二、填空题若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，集合B ＝{x |5－m ＜x ＜2m －1}，若全集U＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，则实数m 的取值范围是____________．若＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a ＝____________，a2020＋b2020的值为____________．三、解答题若集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0，x∈R}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0，0≤x≤2}，当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．C因为集合的元素满足互异性，所以x＋2≠0且x＋2≠1，得x≠－2且x≠－1，故选C.C①集合的表示方法，正确；②两个集合之间的关系，不正确；③正确；④∅是任何集合的子集，正确，故选C.B若一个集合的元素个数为n，则其子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空子集的个数为2n－1，则非空真子集的个数为2n－2，故选B.A因为集合A＝{x⎪⎪x<1}，所以集合∁U A＝{x⎪⎪⎪x≥1}，又∁U A⊆B，所以m<1，故选A.，全集与补集的性质．8问题可转化为求集合{3，4，5}的子集个数，即集合A的个数为8.{x|2＜x≤3}；{x|1≤x＜4}；{x|x≤3或x≥4}在数轴上分别表示出集合A，B，∁U B，即得∁U B＝{x≤2或x≥4}．交集与并集的概念；②交集与并集的运算和性质．集合与元素确定性、互异性、无序性．属于或不属于∈或∈/列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合间的基本关系A B(或B A)集合的基本运算知识点一 集合的含义与表示－32因为3∈A ，所以m ＋2＝3或者2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3时，m ＝1，此时m ＋2＝2m 2＋m ，不成立，舍去．当2m 2＋m ＝3时，m ＝1(舍去)或者m ＝－32 ，此时集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3.综上所述，满足条件的实数m ＝－32.确定元素与集合之间的关系，注意检验集合是否满足元素的互异性． 【跟踪反馈】－1由条件得ba ＝0，所以b ＝0.因此{a ，0，1}＝{a 2，a ，0}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠1，所以a ＝－1.所以a2019＋b2019＝－1.D知识点二 集合的基本关系A因为集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x ⎪⎪x >1}，所以A ∩B ＝{x ⎪⎪1<x <2}，故答案选A.判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【跟踪反馈】B因为集合A ＝{x |－2<x <1}，所以A ∪B ＝{x ⎪⎪⎪x >－2}，故选B.m ≤1当m ≤0时，B ＝∅；当m ＞0时， ⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，－m ≥－1，得0＜m ≤1.所以m ≤1.知识点三 集合中的新定义问题(1)D ；(2)7(1)A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |2<x <5}，所以A －B ＝{0，1，2，5}． (2)具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，{－1，1}，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，12，2，共7个．(1)紧扣“新”定义，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚．(2)把握“新”性质，要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．(3)遵守“新”法则，准确把握新定义的运算法则【跟踪反馈】{0}∪[2，＋∞)A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}，则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞).CA＝{x|－1＜x＜6}，B＝{x|x＜0}，阴影表示数字集合A∩(∁U B)，而∁U B＝{x|x≥0}，所以A∩(∁U B)＝{x|0≤x＜6}．故选C.C因为集合A＝{y|y≥－1}，所以A∩B＝{x|x≥2}＝B，A∪B＝{x|x≥－1}＝A，故选C.B因为集合Q＝{0，1，2}，所以P∪Q＝{－1，0，1，2}，故选B.B若a＝0，则A∪B＝{0，1，2，3}共4个元素；若a＝1，则A∪B＝{1，2，3}共3个元素；若a ＝2，则A ∪B ＝{1，2，3}共3个元素；若a ＝3，则A ∪B ＝{1，2，3，4}共4个元素．所以a ＝0或a ＝3，故选B.D因为A ⊆B ，则a >0，故选D.B将元素按要求填入相应区域可得阴影区域表示的集合为{7}．故选B.BC因为集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12或x ≤0，所以M N ，故选B ，C二、填空题0或98因为集合A 只有一个元素，所以a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，（－3）2－8a ＝0，得a ＝0或a＝98.8元素个数为n的集合的子集个数为2n.－32∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3；当m＋2＝3时，m＝1，2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性，m＝1不合题意(舍去)；当2m2＋m＝3时，m＝1(舍去)或m＝－32，m＝－32时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3，符合题意，综上m＝－3 2.{1，6}；4因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，故A∩B＝{1，6}．三、解答题2因为∁U A ＝{5}，∴5∈U ， ∴a 2＋2a －3＝5，a 2＋2a －8＝0，∴a ＝2或a ＝－4.a ＝2时，|2a －1|＝3满足题设；a ＝－4时，|2a －1|＝9∈/ U ，舍去．所以a 的值为2.(1){x |－2<x <3}；(2)(－∞，－2]；(3)[0，＋∞)(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B知⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，由A ∩B ＝∅得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．【B 组】 提升篇一、选择题D因为集合A ＝{0，1，2，3，4}，集合B ＝{x ⎪⎪⎪0≤x ≤2}，则A ∩B ＝{0，1，2}，故选D.D由x ＋31－x≥0，得(x ＋3)(x －1)≤0且x ≠1，∴A ＝{x |－3≤x ＜1}，∴∁R A ＝(－∞，－3)∪[1，＋∞)．故选D.ABD因为P ∩Q ＝{3，5}，所以集合M 的子集个数为4，真子集个数为3.故选A ，B ，D .二、填空题(－∞，3]∵集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |5－m ＜x ＜2m －1}，全集U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ≤5－m 或x ≥2m －1}，∵A ∩(∁U B )＝A ，∴A ⊆∁U B ，∴当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜2m －1，5－m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜2m －1，2m －1≤－4，解得2＜m ≤3；当B ＝∅时，5－m ≥2m －1，m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，3]．1；1因为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，故a 2020＋b 2020＝1.三、解答题m ∈(－∞，－1]∵集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0，x ∈R }＝{(x ，y )|y ＝x 2＋mx ＋2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0，0≤x ≤2}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，0≤x ≤2}，∴A ∩B ≠∅等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋mx ＋2，y ＝x ＋1在x ∈[0，2]上有解，即x 2＋mx ＋2＝x ＋1在[0，2]上有解，即x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0，2]上有解，显然，x ＝0不是该方程的解，从而问题等价于－(m －1)＝x ＋1x 在(0，2]上有解．又∵当x ∈(0，2]时，1x ＋x ≥2(当且仅当1x ＝x ，即x ＝1时取“＝”)，∴－(m －1)≥2，∴m ≤－1，即m ∈(－∞，－1]．。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的含义人教A版必修第一册
1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取 值范围．
点、易混点)
自主预习 探新知
1．元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c，… 表示． (2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁 字母 A，B，C，… 表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样 的． (4)集合中元素的特性：确定性 、互异性和无序性 ．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为
() A．2
B．2或4
C．4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确； ② 2是无理数，所以 2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误； ④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B. (2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a ＝4∈A， 所以a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A， 所以a＝4， 综上所述，a＝2或4.故选B.]
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念 第1课时 集合的含义
学习目标
核心素养
1.通过实例了解集合的含义．(难点) 1.通过集合概念的学习，逐步
高中数学一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法集合的含义
第1课时集合的含义考点学习目标核心素养集合的概念了解集合与元素的概念数学抽象理解元素与集合的关系，掌握数学元素与集合的关系数学抽象、逻辑推理中一些常见的集合及其记法理解集合中元素的特征，并能利用数学运算、数学抽象集合中元素的特征及应用它们进行解题问题导学预习教材P3－P5的内容，思考以下问题：1．集合和元素的概念是什么？2．如何用字母表示集合和元素？3．元素和集合之间有哪两种关系？4．常见的数集有哪些？分别用什么符号来表示？5．按元素个数的多少，集合可分为哪几类？1．元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示．(3)元素的特性①确定性：集合的元素必须是确定的；②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．③无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关.■名师点拨(1)在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．(2)集合中的元素与顺序无关，只要两个集合中的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合．2．元素与集合的关系关系 语言描述 记法 读法属于a 是集合A 中的元素 a ∈Aa 属于A不属于a 不是集合A 中的元素a ∉Aa 不属于A■名师点拨对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如“R ∈0”是错误的． 3．空集(1)定义：不含任何元素的集合． (2)符号：∅．4．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 记法 NN *或N ＋ZQR5.集合的分类(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合(2)空集是有限集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．( )(2)高一四班的全体同学组成一个集合．( )(3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (5)集合N 中的最小元素为0.( ) (6)若a ∈Q ，则一定有a ∈R .( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ 由“title ”中的字母构成的集合中元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ，i ，l ，e ，共4个． 下列关系中：①0.21∈Q ；②105∉N *；③－4∈N *；④4∈N ；⑤0∈∅.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①是正确的；②中105＝2∈N *，故②错误；③中－4＝－2∉N *，故③错误；④4＝2∈N 是正确的，⑤0∉∅，故⑤错误．故①④正确．已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________． 解析：由题意知a ＋1＝4，即a ＝3. 答案：3 集合的概念2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中全体同学； (2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178 cm 的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg 的同学； (6)学习成绩比较好的同学．【解】 (1)班级中全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm ”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)因为“体重超过75 kg ”是确定的，可以构成一个集合．(6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．判断一组对象能否构成集合的方法一般地，确认一组对象a 1，a 2，a 3，…，a n (a 1，a 2，…，a n 均不相同)能否构成集合的过程为1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准是确定的，因而能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准是确定的，因而能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，所以不能构成集合．2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍；(2)CBA中比较著名的队员；(3)CBA中得分前五位的球员；(4)CBA中比较高的球员．解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)“得分前五位”是确定的，可以构成一个集合．(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4， 此时A 满足要求； 若a ＝1，则4－a ＝3， 此时A 满足要求； 若a ＝2，则4－a ＝2， 此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．1．用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有： 17________A ；－5________A . 解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ， 令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：∈ ∉2．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R .若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________． 解析：因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2. 答案：－4<a ≤－2 集合中元素的特征及应用已知集合A 中含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． 【解析】 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 中有重复元素， 所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】 －11．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？ 解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2， 所以a ≠a 2， 即a ≠0且a ≠1.2．(变条件)若将本例中的“1∈A ”改为“2∈A ”，则a 为何值？ 解：因为2∈A ， 所以a ＝2或a 2＝2， 即a ＝2或a ＝± 2.3．(变条件)若由a 和a 2构成的集合只有一个元素，则a 为何值？解：因为由a 和a 2构成的集合只有一个元素，所以a ＝a 2，即a ＝0或a ＝1.由集合中元素的特征求解字母取值(范围)的步骤1．若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D. 2．若集合A 中的三个元素x ，x ＋1，1与集合B 中的三个元素x ，x ＋x 2，x 2相同，求实数x 的值．解：因为集合A 与B 的元素相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不符合集合中元素的互异性，而x ＝－1符合， 所以x ＝－1.1．下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有质数C ．直角坐标平面内第一象限的一些点D ．所有小的正数解析：选B.A 中“难题”的标准不确定，因而不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D 中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．2．下列结论中，不正确的是( ) A ．若a ∈N ，则1a∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈Z C ．若a ∈Q ，则|a |∈Q D ．若a ∈R ，则3a ∈R解析：选A.A 不正确．反例：a ＝1∈N ，1a＝1∈N .3．若以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－x －2＝0的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．4．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号)． (1)由小于8的正奇数组成的集合； (2)大于5小于20的实数组成的集合．解析：(1)因为小于8的正奇数有1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集． (2)因为大于5小于20的实数包括整数、小数等，有无数个，所以其组成的集合是无限集．答案：(1) (2)5．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________． 解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时，满足题意， 故m ＝3. 答案：3[A 基础达标]1．现有以下说法，其中正确的是( ) ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系：①13∈R ；②5∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.3．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－5 B ．－4 C ．4D ．5解析：选A.因为2∈A ， 所以2×22＋2a ＋2＝0， 解得a ＝－5.4．设集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，则下列关系中正确的是( ) A ．a ∈M B ．a ∉M C ．a ＝MD ．a ≠M解析：选B.因为集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，所以a 不是集合M 中的元素，故a ∉M .5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有 ( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A.x 2＝|x |，－3x 3＝－x . 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x .通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个． 6．下列说法：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素；⑤方程x 2＋2x ＋3＝0的解集是∅.其中正确的有________(填序号)．解析：集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为方程x 2＋2x ＋3＝0无解，所以它的解集为∅.所以①③的说法不正确，②④⑤的说法正确． 答案：②④⑤7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填“∈”或“∉”)解析：因为a 是偶数，b 是奇数，所以a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时， |a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2. 即元素的个数为3. 答案：39．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值．解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1. 当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a ＝1. 10．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试分别判断a ＝－3，b ＝13－3，c ＝(1－23)2与集合A 的关系．解：因为a ＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z ，所以a ∈A ； 因为b ＝13－3＝3＋3（3－3）（3＋3）＝12＋36，而12，16∉Z ，所以b ∉A ；因为c ＝(1－23)2＝13＋(－4)×3，而13，－4∈Z ，所以c ∈A .[B 能力提升]11．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．小于或等于1解析：选C.由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，所以y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0，1}．又因为t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1，故选C.12．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.13．(2019·信阳检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：因为集合P 中恰有三个不同元素，且元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，则满足条件的x 的值为3，4，5，所以a 的值是6.答案：614．设集合A 中的元素是实数，且满足1∉A ，且若a ∈A ，则11－a∈A .若2∈A ，写出集合A 中的元素．解：因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A ， 所以11－（－1）＝12∈A ， 所以11－12＝2， 再求下去仍然只得到2，－1，12这三个数， 所以集合A 中的元素只有三个－1，12，2. [C 拓展探究]15．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．解：(1)数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集． (2)数集Q ，R 是“闭集”．由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，即a ±b ，ab ，a b (b ≠0)仍是有理数，所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．。
集合的概念
集合A
集合中的元素有什么特征?
问题1：我班所有的“帅哥”能否构成一个集合?由此说明什么?
集合中元素必须是确定的(即确定性),也就是说,给定
一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
问题2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？
集合中的元素是互不相同的(即互异性)，也就是说，
集合中的元素是不重复出现的.
2.初中的集合实例
数集：①自然数的集合;
②方程x2+5x＋6=0的实数根集合;
③不等式x-7<3的解的集合.
点集：①平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆).
②到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合(即这条
线段的垂直平分线).
那么，在高中阶段我们又是怎样定义“集合”的呢？
一、探究新知
看下面的例子：
问题3：我班所有同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有
变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的(即无序性)，也就是说，
集合中的任何两个元素都可以交换位置.
二、集合的有关概念
知识点二
集合的特性
2.集合中元素的特性： 确定性、互异性、无序性.
如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两
个集合是相等的.
{ 1 ，2 ，3 }
先用花括号
(表示整体）
用“，”隔开
①要把集合中的元素都列举出来，写在{ }内
注意
②元素之间用，隔开
③元素不重复且无顺序
例1 用列举法表示下列集合
（1）小于10的所有自然数的集合；
（2）方程x 2 = x的所有实数根组成的集合.
那同学们思考一下x-7＜3的解集还能用列举法表示吗？
高三数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念与运算精品课件
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度 不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统 计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是 考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不 同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集 合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有 实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1， 也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量 词、 基本 逻辑 联结 词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号 结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案含解析第一册
1．1 集合1．1。
1集合及其表示方法内容标准学科素养1。
通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。
授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。
2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。
3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。
第1章+集合与简单逻辑知识点汇总
《人教A版必修一知识点汇总》第1章《集合与常用逻辑用语》知识点汇总1.1 《集合的概念》1.集合的概念一般地，由某些确定的对象组成的整体就称为集合，简称为集.组成这个集合的对象称为这个集合的元素。
注:集合通常用大写字母表示，如A,B,C…元素通常用小写字母表示，如a,b,c…2.集合与元素之间的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A,读作“a属于A”;（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A,读作“a不属于A”;3.集合中元素的三种特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了（即x∈A与x∉A必居其一.）（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同.（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置.4.集合的分类根据集合所含有元素的个数，将集合分为：（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；（3）空集：特别的，把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅.5.常用的数集例如1∈N，−5∈Z,π∉ Q6. 用列举法表示集合当集合中元素的个数为有限个（或无限个但呈现出某种规律）时，可以把集合中所有的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用大括号“｛｝”把它们括起来，这种表示集合的方法就称为列举法。
例1小于6的所有正整数组成的集合A用列举法可以表示为A=｛1,2,3,4,5｝.7.用描述法表示集合当集合的元素是无穷多个时，我们可以利用元素的特征性质来表示集合，这种表示集合的方法就叫做描述法.注：用描述法表示集合时，在大括号｛｝中画一条竖线（分隔符），竖线的左侧表示的是组成集合的元素，竖线的右侧是元素所具有的特征性质（或元素满足的条件）.解：小于1的所有整数组成的集合A用描述法表示为A=｛x ∣ x＜1,且 x∈Z ｝1.2集合间的基本关系1.子集与包含关系（1）定义像上面这样，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合A为B的子集．记作：A⊆B(或者B⊇A)，读作：A包含于B（或B包含A）.规定：空集是任何集合的子集，即 ∅⊆A.（2）用Venn图表示集合与集合之间的关系例如集合A=｛1,2,3｝与B=｛1,2,3,4,5｝的关系为A⊆B，用Venn图表示为（3）非子集与不包含关系如果集合A不是集合B的子集，记作A⊈B或B⊉A,读作“A不包含于B“（或B不包含A）.例如：集合C=｛2,3｝，集合D=｛2,4,5｝，则集合C不是集合D的子集，即C⊈D.2.集合与集合相等若集合A和集合B的元素完全相同：即A的每个元素都是B的元素，而B的每个元素也都是A的元素，那么就说A和B相等，记作“A=B”例如A={1，2，3} 与B={3 , 1 , 2}，则A=B.3.真子集与真包含于一般的，若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则A叫做B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作A真包含于B（或B真包含A）注：空集是任何非空集合的真子集例如A={1，3}与B={1, 3，5}，则A⫋B（即A是B的真子集）.1.3《集合的基本运算》1.交集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B”.即 A∩B={ x | x∈A 且 x∈B }.（2）实例运用例1设集合A={2,4,6}, 集合B={0,1,2},则A∩B={2}．例2 设集合A={x | −2<x≤1}，集合B ={x|−1≤x < 3}，则Ａ∩B={x |−1≤x ≤1}．2.并集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B.读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A或x∈B}.（2）实例运用例1 设集合A={1,3,5,7}, 集合B={0,2,3,4,6},则A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7}．例2 设集合A={x |−1<x≤2}, 集合B={x |0<x≤3}，则 A∪B={x |−1<x≤3}.3.补集的概念及其运算（1）定义一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作C U A，即C U A={ x | x∈U且x∉A }（2）实例运用例1设全集U={x∈N|x＜7}，集合A={1,2,4,6},则C U A={0,3,5}．例2设全集U= R，集合A={x|−2≤x＜1}，则CA={ x | x＜−2或 x≥1 }．U1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件（1）定义一般地，“若p, 则q”为真命题，即由“条件p 可以推出条件 q ”，记作：p⇒ q那么就称：“p 是 q 的充分条件， q 是p的必要条件”注：如果“若p, 则 q ”为假命题，即由“条件p不能推出条件 q ”，记作： p⇏ q那么就称：“p不是 q 的充分条件， q 不是p的必要条件”（2）实例运用例1若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；解析：设题设“四边形的两组对角分别相等”为p，结论“这个四边形是平行四边形”为 q∵ p ⇒ q∴p是 q的充分条件, q是p的必要条件例2若x2=1，则x = 1；解：设题设“x2=1”为 p ，结论“x = 1”为 q∵由x2=1可得x=1或x=−1∴p ⇏ q故p不是q的充分条件,q不是p的必要条件2.充要条件（1）定义一般地，如果 p ⇔ q （即情况1：原真逆真）我们就称 p 是 q 的充分必要条件，简称为“ 充要条件”.注1（情况2：原真逆假）如果 p ⇒ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的充分而不必要条件；注2（情况3：原假逆真）如果 p ⇏ q ，且 q ⇒p , 我们就称 p是 q 的必要而不充分条件；注3（情况4：原假逆假）如果 p ⇏ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的既不充分也不必要条件；（2）实例运用例1 p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；解：①原命题：“若p，则q”∵ 已知两个三角形相似∴ 两个三角形三边成比例即 p ⇒ q （相似三角形的性质）∴ p是q的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知两个三角形三边成比例∴ 两个三角形相似即 q ⇒ p （三边定理）∴ p 是 q 的必要条件.综上所述，∵ p ⇔ q，即原真逆真，∴ p 是 q 的充要条件例2 p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；解：①原命题：“若 p ，则 q ”∵ 已知四边形是正方形∴ 四边形的对角线互相垂直且平分即 p ⇒ q∴ p 是 q 的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知四边形的对角线互相垂直且平分∴ 四边形是菱形,即 q ⇏ p∴ p 不是 q 的必要条件综上所述，∵ 原真逆假，∴ p 是 q 的充分而不必要条件1.5 全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题一变：∀ （任意）变 ∃（存在） 二变：结论 p(x) 变 它的反面 ¬p(x) 像上面这样，短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示；含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.例如，命题“对任意的n ∈Z,2n +1 是奇数”；“所有的正方形都是矩形” 等都是全称量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，全称量词命题“对 M 中任意一个 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∀x ∈M ,p(x)2.存在量词与存在量词命题像上面这样，短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.例如，命题“有的平行四边形是菱形”；“有一个素数不是奇数” 等都是存在量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，存在量词命题“存在M 中的元素 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∃ x ∈M ,p(x)3. 全称量词的否定（1）概念一般地，对于全称量词命题：∀x ∈M , p(x)它的否定为：∃x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ”注2：全称量词命题的否定是存在量词命题（2）实例运用例1所有能被3整除的整数都是奇数；解：原全称量词命题的否定为：“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”一变：∃ （存在）变 ∀（任意） 例2对 ∀ x ∈R , x 2≥0 ;解：原全称量词命题的否定为:“ ∃ x ∈R ,x 2<0 ”4.存在量词命题的否定（1）概念一般地，对于存在量词命题：∃ x ∈M , p(x)它的否定为：∀x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ” 注2：存在量词命题的否定是全称量词命题（2）实例运用例1 ∃x ∈R,x +2 ≤ 0 ;解：原存在量词命题的否定为“ ∀x ∈R,x +2 > 0” 例2 有的三角形是等边三角形；解：原存在量词命题的否定为“ 所有的三角形都不是等边三角形 ”二变：结论 p(x) 变它的反面 ¬p(x)。
高中数学必修第一册第1章 集合与常用逻辑用语
6 集合的3种表示方法之描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x
所组成的集合表示为｛ x ∈A|P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法。
例如，我们可以把奇数集表示为｛ x ∈Z| x =2k + 1(k∈Z)｝，
偶数集表示为｛ x ∈Z| x =2k(k∈Z)｝；
如{x|x < −1或x > 2}
6 课堂练习
请用描述法表示下列集合：
（1）方程x 2 − 4 = 0的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B.
解：（1）A={| x 2 − 4 = 0}
（2）B={∈Z|10 < < 20}
7 表示集合的三种方法各有什么特点？
同，那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是
同样的集合
3 集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？
一般来说：用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
用小写拉丁字母, , …等表示元素
元素与集合的关系：
如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A；
如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作∉A；
比如，3∈自然数集；4∉奇数集
4 常用的数集比如自然数集怎么表示？
注意写法
【自然数集】全体自然数组成的集合，0，1，2…，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】全体正整数组成的集合，记作N*或N+；
【整数集】 全体整数组成的集合，记作Z；
【有理数集】全体有理数组成的集合，记作Q；
【实数集】 全体实数组成的集合，记作R；
确定性
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，对于
高考数学《1.1集合与常用逻辑用语》
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第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-13-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
5.(教材例题改编P8例5)设集合A={x|(x+1)·(x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则A∩B=( )
A.(-1,3) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)
A.{1,2,3} B.{1,2,4}
C.{1,3,4} D.{2,3,4}
解析 ∵A={1,4},B={2,4}, ∴A∩B={4}. 又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4}, A∴∁U(A∩B)={1,2,3}
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1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
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12345
2.集合间的基本关系
关系 自然语言
符号语言
集合 A 中所有元素都在 子集 集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A)
∈B)
真子 集
相等
集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至少有一个 元素不在集合 A 中
集合 A,B 中元素相同或 集合 A,B 互为子集
A⫋B(或B⫌A) A=B
-5-
Venn 图 或
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-6-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B
={x|x∈A或x∈B}
《集合与常用逻辑用语——集合及其表示方法》数学教学PPT课件(4篇)
一一列举
{x|p(x)}
(a，b]
[a，b]
(a，b)
[a，b)
[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)
正无穷大
负无穷大
(－∞，＋∞)
用列举法表示集合
用描述法表示集合
集合的表示法的应用
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1.1 集 合1.1.1 集合及其表示方法第1课时 集合的含义
第一章 集合与常用Байду номын сангаас辑用语
确定的
不同的
每个对象
确定的
不同的
不含任何元素
有限
无限
有限
本部分内容讲解结束
1.1 集 合1.1.1 集合及其表示方法第2课时 集合的表示
互异性
无序性
∅
a属于A
a∈A
a不属于A
a∉A
Q
整数集
实数集
N
N*或N＋
集合的基本概念
元素与集合的关系
集合中元素的特性及应用
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合1.1.1 集合及其表示方法第2课时 集合的表示方法
第一章 集合与常用逻辑用语
一一列举
逗号
大括号
特征性质描述法
本部分内容讲解结束
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合1.1.1 集合及其表示方法第1课时 集合的含义
对象
A，B，C，…
对象
a，b，c，…
相同
确定性