分析力学综合习题08讲
力学练习题平抛运动与斜抛运动的分析
力学练习题平抛运动与斜抛运动的分析力学练习题：平抛运动与斜抛运动的分析引言：在力学学科中，平抛运动和斜抛运动是两个重要的概念。
本文将对这两种运动进行详细的分析和比较。
平抛运动是指在一个水平面上投掷物体，物体仅受到重力作用的运动；斜抛运动是指物体在水平面上具有初速度和竖直初速度的运动。
一、平抛运动的分析1. 物体在平抛运动中的运动轨迹是一个抛物线，撇点位于物体抛出的位置，对称轴垂直于水平面。
2. 物体的水平速度在整个运动过程中保持不变。
3. 物体的竖直速度随时间增加而减小，直到达到最大值。
二、斜抛运动的分析1. 物体在斜抛运动中的运动轨迹同样是一个抛物线，撇点位于物体抛出的位置。
2. 物体的水平速度在整个运动过程中保持不变。
3. 物体的竖直速度随时间变化，在竖直方向上受到重力作用的影响。
三、平抛运动和斜抛运动的比较1. 运动轨迹：平抛运动和斜抛运动的运动轨迹都是抛物线，撇点位于物体抛出的位置。
2. 初始速度：平抛运动的初始速度只有水平分量，而斜抛运动的初始速度有水平分量和竖直分量。
3. 最大高度：斜抛运动达到的最大高度要高于平抛运动，这是因为斜抛运动具有竖直分量的初速度。
4. 飞行时间：斜抛运动的飞行时间比平抛运动的飞行时间长，这是因为斜抛运动具有竖直分量的初速度。
5. 落地速度：平抛运动和斜抛运动在落地时的速度相同，都只有水平分量。
6. 最大水平距离：斜抛运动的最大水平距离比平抛运动的最大水平距离要远，这是因为斜抛运动具有水平分量的初速度。
结论：平抛运动和斜抛运动是力学学科中的两个重要概念，它们在运动轨迹、初始速度、最大高度、飞行时间、落地速度和最大水平距离等方面存在一些差异。
对于理解和分析抛体运动，了解这些差异是很重要的。
附录：力学练习题1. 一个物体以30m/s的速度和30°的角度进行斜抛运动，请计算该物体的最大高度和飞行时间。
2. 以同样的初速度20m/s进行平抛运动和斜抛运动，比较两种运动的最大水平距离。
力学练习题弹簧势能和谐振子的运动分析
力学练习题弹簧势能和谐振子的运动分析力学练习题：弹簧势能和谐振子的运动分析弹簧振子是力学中的一个重要概念，在物理学和工程学中有着广泛的应用。
它可以用来描述弹簧的弹性变形和振荡运动。
本文将重点讨论弹簧振子的势能和谐振子的运动分析。
一、弹簧势能弹簧的势能是指由于弹性势能导致的能量储存。
当弹簧被拉伸或压缩时，其形变会导致储存的势能增加。
根据胡克定律，弹簧的弹性势能与其形变呈线性关系。
胡克定律可以用以下公式表示：F = -kx其中，F是弹簧受到的恢复力，k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变。
根据弹簧的势能公式：E = 1/2kx²可以看出，弹簧的势能与形变的平方成正比。
二、谐振子的运动分析谐振子是指满足谐振条件的振子系统。
在弹簧振子中，谐振条件是指当外力作用于振子时，振子的周期是恒定的，并且与振幅无关。
根据谐振的特性，弹簧振子的运动可以通过以下公式来描述：x(t) = A*cos(ωt + φ)其中，x(t)表示振子的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相。
角频率可以用以下公式表示：ω = √(k/m)其中，k是弹簧的劲度系数，m是振子的质量。
根据以上公式，我们可以得出弹簧振子的运动规律：1. 振子的振幅决定了位移的幅值，振幅越大，位移的幅值越大。
2. 振子的周期是恒定的，由角频率决定，与振幅无关。
3. 振子的位移随时间的变化是以正弦函数的形式进行周期性振动。
三、练习题分析为了进一步理解弹簧振子的运动规律，我们来看一个练习题：练习题：一个弹簧振子的劲度系数为100 N/m，质量为0.5 kg。
当振子的振幅为2 cm时，求振子的位移函数和周期。
解答：根据谐振子的运动公式，我们可以计算出角频率：ω = √(k/m) = √(100 N/m / 0.5 kg) = 20 rad/s振子的位移函数为：x(t) = A*cos(ωt + φ)由于振幅为2 cm，即A = 0.02 m，我们可以将其代入位移函数中：x(t) = 0.02*cos(20t + φ)接下来，我们需要求解振子的周期。
第五章分析力学
12.哈密顿正则方程的泊松括号形式为：
。
α = [p α , H ] α = [q α , H ] ； p 12. q
13. [J y , J z ] = 。
5
13. J x 14.雅可比恒等式为： 14. [f , [g, h ]] + [g, [h , f ]] + [h , [f , g ]] = 0 15.已知行星的质量为 m；太阳的质量为 M ；高斯常数为 k 2 = GM ，则行星运动的拉格朗日函 数为 。 。
K 1 1 K mv 2 + qϕ ； B. H = (p − qA) 2 + qϕ ； 2 2m K 1 1 C. H = (p − qA) 2 + qϕ ； D. H = (p − qA) 2 + qϕ 。 2m 2m
13.B
K K K K 14.如果 ϕ 坐标和动量的任意标量函数， 即 ϕ = a r 2 + b r ⋅ p + cp 2 ， 其中 a , b, c 为常数， 则： [
1 2 + v 2 ) − V(r ) ，其中 r ， θ 为广义坐标； v 为体 2 + rθ m( r 0 0 2
系质心初始运动时的速度大小（为非零常数） ； V(r ) 为体系的势能，则力学体系的雅可比积 分是什么？ 2.答：由 L =
于是利用约束条件即理想约束11此即为所求力学体系的虚功原理即一个受完整的理想的稳定的约束的力学体系处于平衡状态的充要条件是作用在该力系上的诸主动力在任意虚位移中所作的元虚功之和等于零由伯努力于1717年首先发现距今已近三个世纪
第五章 分析力学
自学辅导习题（2012 年使用）
一、选择题.
K K 1.关于质点实位移 d r 和虚位移 δ r ，下列说法正确的是：[ ] K K K A. δ r 有许多个， d r 一定是许多 δ r 中的一个； K K B. d r 是真实发生的位移，而 δ r 是设想的可能发生的无限小位移； K K C. d r 是真实发生的位移，而 δ r 是想象发生的无限小位移； K K D. d r 是真实发生的位移，而 δ r 是设想的经历了 dt 时间而发生的位移。
高中物理力学分析及经典题目
力学知识回顾以及易错点分析：一：竖直上抛运动的对称性如图1－2－2，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则：(1)时间对称性物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA.(2)速度对称性物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等．[关键一点]在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解．易错现象1、忽略自由落体运动必须同时具备仅受重力和初速度为零2、忽略竖直上抛运动中的多解3、小球或杆过某一位置或圆筒的问题二、运动的图象运动的相遇和追及问题1、图象：图像在中学物理中占有举足轻重的地位，其优点是可以形象直观地反映物理量间的函数关系。
位移和速度都是时间的函数，在描述运动规律时，常用x—t图象和v—t图象.(1) x—t图象①物理意义：反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律。
②表示物体处于静止状态②图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率的大小表示物体速度的大小．②图线上某点切线的斜率的正负表示物体方向．③两种特殊的x－t图象(1)匀速直线运动的x－t图象是一条过原点的直线．(2)若x－t图象是一条平行于时间轴的直线，则表示物体处于静止状态（2）v—t图象①物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．②图线斜率的意义a图线上某点切线的斜率的大小表示物体运动的加速度的大小.b图线上某点切线的斜率的正负表示加速度的方向．③图象与坐标轴围成的“面积”的意义a图象与坐标轴围成的面积的数值表示相应时间内的位移的大小。
b若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向．③常见的两种图象形式(1)匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线．(2)匀变速直线运动的v －t 图象是一条倾斜的直线．2、相遇和追及问题：这类问题的关键是两物体在运动过程中，速度关系和位移关系，要注意寻找问题中隐含的临界条件，通常有两种情况：（1）物体A 追上物体B ：开始时，两个物体相距x 0，则A 追上B 时必有A B 0x x x -=，且A B V V ≥（2）物体A 追赶物体B ：开始时，两个物体相距x 0，要使A 与B 不相撞，则有A B 0A B x V V x x -=≤,且易错现象：1、混淆x —t 图象和v-t 图象，不能区分它们的物理意义2、不能正确计算图线的斜率、面积3、在处理汽车刹车、飞机降落等实际问题时注意，汽车、飞机停止后不会后退3、弹力：（1）内容：发生形变的物体，由于要恢复原状，会对跟它接触的且使其发生形变的物体产生力的作用，这种力叫弹力。
分析力学课件、答案 作业
(b)设 x(t1 ) a, x(t2 ) b，求 S0 ；并任意假定一种非真 实的运动方式，计算相应的作用量S1 ，验证 S1 S0 。 解：按真实情况运动时，自由质点作匀速直线运 动，速度为常数 。
S0 L( x, x, t )dt m 2 /2dt m 2 (t2 t1 ) / 2
那么
d L' L f q, t q q q dt
d d d L' L f q, t dt q dt q dt q
d 2 L f q, t q f q, t dt q tq q q
1 EM M ( X V ) 2 2
斜面的能量
1 2 EM MX 2
系统的总能量
E
1 m( X x cos ) 2 2 1 2 MX 2 mgx sin
E
1 m( X +x cos V ) 2 2 1 M ( X V )2 2 mgx sin
t1 t1 t2 t2
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
（b）假设自由质点不做匀速直线运动，则速 度为时间的函数 (t ) ，且满足：
a FT 0 sin 2l
3
杠对B的作用力向外 杠对B的作用力向内 杠对B无作用力
a FT 0 sin 2l
3
a FT 0 sin 2l
理论力学8章分析解析
2018/10/20
理论力学第8章
22
补充例题。圆轮纯滚动的运动特点。 1. 圆轮在水平面上作纯滚动。轮心A作水平直 线运动。 无滑动条件：轮心A的 水平位移OC等于轮缘 滚动过的弧长，即 OC=MC。设OC长度为x， MC的圆心角为φ，则
x r
2018/10/20 理论力学第8章 23
OA sin AB sin r sin sin l
2018/10/20 理论力学第8章 13
2018/10/20
理论力学第8章
14
用基点法建立A和B的 速度关系。
v B v A v BA vB v A sin vBA sin 0 v A cos vBA cos r cos vBA AB l cos cos sin( ) vB r sin r sin r cos cos cos r , cos
2018/10/20
理论力学第8章
34
轮A的速度和加速度分析：
vA v A r A， A 10rad / s R vC 2 R A 4m / s aA aA r A ， A 10rad / s 2 R t n aC a A aCA aCA
v B v A v BA vB cos30 v A cos30 vB sin 30 v A sin 30 vBA v B v A r vBA 0,
2018/10/20
BA 0
理论力学第8章
19
对于轮B： C为瞬心。
vC v B vCB 0 vB vCB vCB vB r vCB B r
【工程力学 课后习题及答案全解】第8章弹性杆件横截面上的正应力分析习题解
习题 8-9 图
8－10 图示直角三角形截面中，A、B 分别为斜边和直角边中点，y1z1、y2 z2 为两对互 相平行的直角坐标轴。试判断下列结论中，哪一个是正确的。
— 39 —
σa
=
−175Ea Es
= −175 70 200
= −61.25 MPa（压）
8－14 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下 h 与 b 的比值：
（1）横截面上的最大正应力尽可能小； （2）曲率半径尽可能大。 解：（1） σ = M z = M z = 6M z
正确答案是 A 。 解：若用右手系，y 轴坐标朝上为正，则由 h1 = b1 得
Sz
(I)
=
3 2
b1h12
>
0
，
Sz
(II)
=
−2b1h12
<
0
若考虑正负号，则应选 A；若考虑静矩的绝对值，则应选 B。
8－7 图示矩形中 y1、z1 与 y2、z2 为两对互相平行的坐标轴。试判断下列关系式中， 哪一个是正确的。
解：变形谐调：
FNs = FNa Es As Ea Aa FNs + FNa = FP
（1） （2）
⎧ ⎪⎪FNs ⎨ ⎪⎪⎩FNa
= =
Es As Es As + Ea Aa
Ea Aa Es As + Ea Aa
FP FP
（压）
（1）
σs
=
FNs As
材料力学08应力状态分析_2图解法
x
2
y
2
2 xy
OC
1
一、应力圆的画法
1. 在 - 坐标系中确定两点： D (x , xy )、D′(y , yx )
2. 连接 D、D′，交 轴于
C点 3. 以 C 点为圆心、CD 为半
径作圆即得
2
二、由图解法（应力圆）确定斜截面上的应力
将 CD 沿同样的转向旋转 2 至 CE ，则 E 点的横坐标、纵坐标即 为 斜截面上的正应力、切应力，即有
在主平面。
11
[例3] 在过 A 点的两个截面上的应力如图所示，试用图解法确定其 主应力以及主平面位置。
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
D
20 20
A1
60
解： 1）画应力圆
按选定比例尺，由 y = 20 MPa、yx = -60 MPa 确定 D′点，由 = -20 MPa、 = 0 确定 B1 点。由于B1、 D′均在应力圆的圆周上，故 作 B1D′的垂直平分线，交 轴于点 C ；以点 C 为圆心、CD′为半径
故在单元体上，从 x 轴以顺时针转向量取 0 = 33.5°，即得 1
所在主平面。
主应力单元体如图所示
14
作出应力圆。
12
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60
A1
20 MPa
1 OA1 110 MPa 2 0 3 OB1 20 MPa
工程力学教程篇(第二版)习题第8章答案
第8章 点的合成运动习题8-1 三角形块沿水平方向运动，杆AB 的A 端靠在斜面上，另一端的活塞B 在缸内铅垂滑动，若三角形块以速度0υ向右运动。
求活塞B 的速度。
题8-1图解：1.运动分析：点A 为动点，三角块为动系，绝对运动为铅垂方向直线运动，，相对运动为沿三角块斜面的直线运动，牵连运动为随三角块沿水平面平动。
2.速度分析：r e a υυυ+=，作速度合成矢量图，几何法求解。
αυαυυt a n t a n e a 0=⨯=8-2 已知曲柄OA 的角速度为ω，转向为顺时针，试求当 30=ϕ时，杆BC 的速度。
题8-2图解：1.运动分析：点E 为动点，动系与杆OA 固连。
绝对运动为水平直线运动，相对运动为沿杆OA 的直线运动，牵连运动为随杆OA 的定轴运动。
2.速度分析：r e a υυυ+=，作速度合成矢量图，几何法求解。
ωωυa OE e 2=⨯= BC e a a sin υωυυ===4308-3 图示机构，设杆AB 以匀速υ向上运动，点O 到AB 的距离为l ，求当4πϕ=，摇杆OC 的角速度。
题8-3图解：1.运动分析：点A 为动点，杆OC 为动系，绝对运动为随杆AB 铅垂直线运动，相对运动沿OC 杆的直线运动，牵连运动绕O 定轴转动。
2.速度分析：r e a υυυ+=，作速度合成矢量图，几何法求解。
υπυϕυυ224===c o s c o s a e摇杆OC 的角速度为：ll cosl cos OA e e OC2422υπυϕυυω==== 8-4图示机构，曲柄OAB 绕轴O 转动，并带动导杆CD 在滑槽中滑动，s /raad .51=ω，mm OA 3100=，在 30=ϕ瞬时，试求导杆CD 的速度，并求导杆上点C 相对曲柄的速度。
题8-4图解：1.运动分析：点C 为动点，杆OAB 为动系，绝对运动为随杆CD 铅垂直线运动，相对运动沿OAB 杆的直线运动，牵连运动绕O 定轴转动。
高一物理力学分析习题及答案
图2-1-7图2-3-13高一物理力学受力分析1如图2-1-7所示，甲、乙球通过弹簧连接后用绳悬挂于天花板，丙、丁球通过细绳连接后也用绳悬挂天花板．若都在A 处剪断细绳，在剪 断瞬间，关于球的受力情况，下 面说法中正确的是（） A ．甲球只受重力作用 B ．乙球只受重力作用C ．丙球受重力和绳的拉力作用D ．丁球只受重力作用2．如图2-2-8所示，物体a 、b 和c 叠放在水平桌面上，水平力F b =5N 、F c =10N 分别作用于物体b 、c 上，a 、b 和c 仍保持静止．以F 1、F 2、F 3分别表示a 与b 、b 与c 、c 与桌面间的静摩擦力的大小，则（ ）A ．F 1=5N ，F 2=0，F 3=5NB ．F 1=5N ，F 2=5N ，F 3=0C ．F 1=0，F 2=5N ，F 3=5ND ．F 1=0，F 2=10N ，F 3=5N 3如图2-2-1所示，A 、B 两物体叠放在水平面上，水平力F 作用在A 上，使两者一起向右作匀速直线运动，下列判断正确的是（ ） A ．A 、B 间无摩擦力 B ．A 对B 的静摩擦力大小为F ，方向向右C ．B 对地面的动摩擦力的大小为F ，方向向右D ．B 受到了向右的静摩擦力和向左的滑动摩擦力5如图2-2-3所示，物体A 、B 的质量m A =m B =6kg ，A 和B 、B 和水平面间的动摩擦因数都等于0.3，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，水平力F =30N ．那么，B 对A 的摩擦力和水平桌面对B 的摩擦力各为多大?6．如图2-2-16所示，重物A 质量为m A =5kg ，重物B 质量为m B =2kg ，A 与桌面间的最大静摩擦力为F m =10N ．为使系统处于静止状态，试求拉力F 大小范围．（g 取10m/s 2）力的分解与合成（一般采用正交分解、或力的合成）1在同一平面内共点的四个力F 1、F 2、F 3、F 4的大小依次为19N 、40N 、30N 和15N ，方向如图2-3-13所示，求它们的合力．图2-2-8图2-2-1图2-2-3图2-2-16图2-4-52如图2-3-16所示，质量为m 的物体用细绳OC 悬挂在支架上的O 点，轻杆OB 可绕B 点转动，当物体静止时细绳OA 与轻杆OB 间的夹角为θ．求此时细绳OA 中张力F 1的大小和轻杆OB 受力F 2的大小．(3)如图2-3-17所示，水平横梁一端A 插在墙壁内，另一端装有小的轻质滑轮B ，一轻绳一端C 固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m =10kg 的重物，∠CBA =30°，则滑轮受到绳子作用力为（ ） A ．50N B ．503NC ．100ND ．1003N4如图2-3-19所示，物体静止于光滑水平面上，力F 作用于物体O 点，现要使物体沿着OO '方向做加速运动（F 和OO '都在水平面内）．那么，必须同时再加一个力F '，这个力的最小值是（ ） A ．F cos θ B ．F sin θ C ．F tan θ D ．F cot θ5．用两根绳子吊起一重物，使重物保持静止，逐渐增大两绳之间的夹角，则两绳对重物的拉力的合力变化情况是（ ）A ．保持不变B ．逐渐增大C ．逐渐减小D ．以上说法都有可能6．如图2-3-21所示，两个完全相同的小球在挡板作用下静止在倾角为θ的光滑斜面上，求（a ）、（b ）两种情况下小球对斜面的压力之比．7．如图2-3-24所示，用跟水平方向成α角的推力F 推重量为G 的木块沿天花板向右运动，木块和天花板间的动摩擦因数为μ，求木块所受的摩擦力大小． 8如图2-4-5所示，重力为 G 的物体在水平向右和跟竖直方 向成θ角的斜向上绳子的拉力作用下，保持静止状态，试求两绳的拉力9如图2-4-19所示，用绳AC 和BC 吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，AC 绳能承受的最大拉力为150N ，而而BC 绳能承受的最大的拉力为100N ，求物体最大重力 10．如图2-4-27所示，小球质量为m ，置于质量为M 的倾角为θ的光滑斜面上，悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于静止状态．求O C mA B 图2-3-16 AC B m图2-3-17 图2-3-19 （a ） （b ）图2-3-21（1）斜面对小球的支持力和悬线对小球的拉力大小． （2）地面对斜面体的水平和竖直方向的作用力大小 练习题1、用轻绳AC 和BC 悬挂一重物，绳AC 和BC 与水平天花板的夹角分别为600和300，如图所示，已知悬挂重物的重力150牛顿，求AC 绳和BC 绳上承受的拉力大小？2、物体A 在水平力F 作用下，沿着倾角为 370的斜面匀速上滑，物体A 所受到的重力为G=300N ，它与斜面之间的动摩擦因数u=0.5，求： （1）物体A 所受到的支持力。
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分析力学习题
例1半径为R 、质量为m 的圆环挂在一半径为r 的 固定圆柱上。
设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对 滑动，试写出圆环系统的哈密顿正则方程和运动微分方 程，并求微幅摆动的周期。
解：圆环具有一个自由度，是完整系统。
取 为广义
坐标，圆环的动能为 其中V o (R r) O ，瞬心为A ,
T -m(R r)2 2
2
主动力有势，系统的势能为 V = — mg (R — r) cos
T 2 d T
2
—2m(R r)2 --------------- 2m(R r)2
dt
T V —0 ——mg(R r)si n
代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程: 即 考虑到微幅，有 周期为
由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数： 同样可以得到系统的动力学方程。
2.已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；写出系统的哈密顿正则方程, 求此摆的运动微分方程。
解 这是单自由度保守系统，选 为广义坐标，选 能位置，贝J
将T 、V 代入保守系统的拉格朗日方程 或将拉格朗日函数L = T V 代入如下形式的拉格朗日 方程 皆可得运动微分方程
例3三角楔块A 可沿水平光滑面作直线运动，楔 块A 的质量为mi ,其上受有简谐力 F = Hsin t 的作用(H 和 均为常量)。
楔块斜
彳「
“1 一^
2
1 1^
2 (R r) 2/0 \2 2
—mR
----- -- m(R r)
于是
2(R r) g sin 0
=0为系统的零势 =*=
D
^77777^7777777777777 “
* A
边BD 上有一质量为m 2、半径为r 的圆柱体，沿BD 滚动而不滑动，二弹 簧的刚体系数分别为k i 和k 2。
试建立系统的运动微分方程。
解：系统具有二个自由度。
取三角楔块的位移 x 和圆柱体相对于楔块
的位移 为广义坐标，二者均以其静平衡位置为原点。
楔块A 作平动，V A x ，圆柱体作平面运动，质心速度 V c 为 角速度为 系统的动能T 为 系统的势能V 为 在平衡位置有关系式 于是势能V 为 非有势力F 相应的广义力分别为 又， 代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程：
例4图示系统中，半径为r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。
已知 圆盘质量为m ，槽的半径为R 。
试用哈密顿原理建立系统的运动方程。
解： 若选择为广义坐标，则系统微幅 振动时的能量为
(a)
mr 2
/2是圆盘对质心的转动惯量。
圆盘作不
由此，得到
(c)
将式(c)代入式(a),得到 3
2 —mr
4
而系统的位能
T 2m[(R r) ]2
2
2'A
其中，为圆盘的角速度, 滑动的滚动时，存在有
(R r) (b)
(d)
Z7
图圆盘微幅振动
3 2
-m(R r) mg(R r)
式(g)就是系统微幅振动时的运动方程。
例1设均质圆环A 的质量为m A ,半径为R , 一均质圆盘B ,质量为m B ，半径为r ，试用拉格朗日方程的初积分求其沿 圆环内壁由静止开始自 30位置纯滚动至最低位置时的角速度。
设R=3r ,
m A =m B 。
解:此系统为三自由度。
设Oxy 为固定坐标系，Axy 为平动坐标系，A Y B 轴固结于圆环A 。
以A 点的水平方向坐标X , Ay B 轴于Ay 轴的夹角，及直 线AB 与Ax 轴的夹角 为三个广义坐标(见图a)。
不难看出(见图b ),圆环角速度A ，其中心A 的速度V A X 。
圆盘 角速度B 及其中心B 的速度V B 必须利用运动学关系确定。
将直线 AB 看作 刚杆，取A 为基点，有
V
B V A V
BA
因为V BA (R r) 2r ，故根据余弦定理导出
mg(R r)(1
cos ) -mg(R r) 2
2
(e)
将T 与 中，得到
代入变分式
t 2
S
t l
3mr 2 4
1mg(R r) 2
dt
t
2
t i
3
mr 2
2
mg(R r) S dt
由于，t t i
f m(R
r)2
t 2 t 2
t
2
t i
t i
討(R
r)2 S
dt
mg(R r) S dt
t i
(f)
t 2时，哈密顿原理要求
=0,所以, 式(f)满足时，必有
置于光滑的水平面上。
(g)
圆盘沿圆环内壁作纯滚动，圆盘上的 C 点和圆环上的C 点具有相同的
速度。
以圆盘为对象，取 C 为基点，有
V
B
V
C
V
BC
（2）
以圆环为对象，取A 为基点，有
V
C V A V CA
（3）
将式（1）、（3）代入（2），导出 上式中三个矢量的方向始终相同。
由
V cA R 、V BC r B 可得
2r R
B
（7），解得 代入式（4）,求出 例2半径为R 的均质空心圆柱内壁足够粗糙，可绕中
可写出系统的动能为 以过A 点的水平面为零势能面, 系
统的拉格朗日函数L T
L/ x
系统的势能为 V 中不显含x 和
2m （x r sin ） L / 27mz 2 I2 3mr 2
又L 中不显含时间t ,且T T 2，存在能量积分
C
3
,存在两个循环积分：
（5
C i
C 2
C
3
系统初始状态为
30 , x
（7）
mgr 。
将题目要求讨论的
9 /2，
，代入以上二式，
90位置代入式（5）、（ 6）,得到
r 9r I2
代入式 将和
心水平轴Oz 作定轴转动，绕Oz 的转 动惯量为J O 。
半 径为r 、质量为m 的 均质圆球O 沿其内壁作纯滚动。
试写
出系统的运动微分方程。
□
解：此系统为二自由度。
以圆柱的转角 、圆球中心O 与圆柱
中心O 的连线与铅垂线的夹角
为广义坐标，则圆柱的角速度为
,
O 点的速度
V 。
(R r)。
设P 点为圆球与圆柱的接触点，圆球上 的P 点与圆
柱上的P 点应有相同速度。
以 P 为基点，计算O 点的 速度： 上式中 求得圆球O 的角速度
取。
点处水平面为零势能面，贝y 系统得动能和势能分别为 拉格朗日函数为
代入拉格朗日方程，导出运动微分方程：
半径为R 的均质空心圆柱内壁足够粗糙， 可绕中心水平轴
Oz 作定轴转动，绕Oz 的转动惯量为J o 。
半径为r 、质量为m 的均
解：上例中给出系统的拉格朗日函数: 因为L 中不显含，故存在循环积分:
(2),解得OO 到达铅垂位置时空心圆柱的角速度
V op r , V p
R 。
沿V o 方向投影，得
为
质圆球O 沿其内壁作纯滚动。
若开始时 OO '在水平位置而系统处 于静止，试用拉格朗日方程的初积分求当 OO '到达铅垂位置时， 空心圆柱的角速度，设 J O =mR 2。
(同例
2)
L / (J O |mR 2
)
5
|m(R r)R C 1 (1)
又L 中不显含时间t ，且T T 2 ,
存在能量积分:
将式代入，得 如。
l
mR 2) 2
2(
i
m)(R r)2 2
2
-m(R r) R mg(R r)cos C 2 (2)
5
系统初始状态为
90 ,
0，代入式(1)、( 2)得到
C
1 C
2
0。
将题目要求讨论的
0位置与J O mR 2
代入式(1)、。