《平面向量的数量积》
原创1：5.3 平面向量的数量积
A．|a|＝ a·a
B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b
D．|a·b|≤|a|·|b|
解析：|a·b|＝|a||b||cos θ|，只有 a 与 b 共线时，才有|a·b|
＝|a||b|，可知选项 B 是错误的．
4．(2015·湖北武汉调研)已知向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝2 3，
平面向量的夹角与模(高频考点) 向量数量积的综合应用
考点一 平面向量数量积的运算
(1)(2015·沧州模拟)已知平面向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则xx12＋ ＋yy12的值为( B )
2 A.3
B．－23
C.56
D．－56
(2)(2014·高考江苏卷) 如图，在平行四边形 ABCD 中，已
[解] (1)由|a|2＝( 3sin x)2＋sin2x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得 4sin2x＝1. 又 x∈[0，π2 ]，从而 sin x＝12，所以 x＝π6 .
(2)f(x)＝a·b＝ 3sin x·cos x＋sin2x
＝ 23sin 2x－12cos 2x＋12＝sin(2x－π6 )＋12，
故|A→B＋A→G＋A→C|的最小值为83.
[规律方法] 1.利用数量积求解长度的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2； (3)若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2. 2．求两个非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于 0 说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数 量积等于 0 说明两个向量的夹角为直角；数量积小于 0 且 两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积
平面向量的数量积
什么是平面向量的数量积？
平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是指两个向量之间
的运算结果。
它通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得
到一个标量值。
数量积的计算公式
假设有两个平面向量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的数量积被定义为以下公式：
A ·
B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
数量积的性质
交换律
两个向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
分配律
数量积满足分配律，即对于向量A和向量B，以及标量k，有
以下等式成立：
k(A · B) = k(Ax * Bx) + k(Ay * By)
数量积的意义
计算角度
通过数量积的计算公式，我们可以得到两个向量之间的夹角的
余弦值。
具体地，设向量A和向量B之间的夹角为θ，则有以下等
式成立：
cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)
其中，|A| 和 |B| 分别表示向量A和向量B的长度。
因此，通过计算数量积，我们可以得到向量之间的夹角。
判断垂直与平行关系
若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量的数量积
不为0且它们的长度相等，则它们平行。
该文档介绍了平面向量的数量积的定义、计算公式以及性质。
同时，说明了数量积在计算角度和判断垂直与平行关系方面的意义。
平面向量的数量积
∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴|a+b| =2|b|
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂 直，求a与b的夹角。 cosθ=
|
• • 特别地：a · a=| a |
2
或 |a|=
• （4）cosθ=
（5）| a· b|≤|a||b
|
3、平面向量的数量积满足的运算率 （1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
（3）（分配律）（a + b ）· c =a· c+b· c
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的夹角 3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
A
B C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹 角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求 证： ab + b（ |= 23 |b b | 解：∵ （| a– ）⊥ a+ ）
四、巩固练习
1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a· b<0, a· b=0时， △ABC各是什么样的图形？ 2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b， ( a + b )2，| a + b | 3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a · b=a· c的充要 条件是a⊥（b - c） 4、若b =（1，1）且a · b =0，（a – b）2=3，求向量a的模 5、证明： （λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标：1.了解向量的数量积的抽象根源。
2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。
首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ⋅F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个=scos⋅向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。
这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。
2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。
平面向量的数量积和向量积
平面向量的数量积和向量积在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。
平面向量是指在平面内表示的向量。
平面向量具有一些重要的运算，其中包括数量积和向量积。
一、数量积数量积又称为点积或内积，表示为A·B，其中A和B为平面向量。
数量积的定义如下：A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。
数量积的性质如下：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中k为常数4. 垂直性质：向量A和向量B垂直，当且仅当A·B = 05. 平行性质：向量A和向量B平行，当且仅当A·B = |A||B|数量积的计算方法：设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则A·B = Ax·Bx + Ay·By。
二、向量积向量积又称为外积或叉积，表示为A×B，其中A和B为平面向量。
向量积的定义如下：A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于平面的单位向量。
向量积的性质如下：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B+C) = A×B + A×C3. 结合律：k(A×B) = (kA)×B = A×(kB)，其中k为常数4. 零向量性质：向量A和向量B平行，当且仅当A×B = 05. 平面性质：向量A和向量B所确定的平面与向量A×B垂直向量积的计算方法：设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则A×B = (0, 0, Ax·By - Ay·Bx)。
平面向量的数量积教案
2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）2017级应用数学专业康萍一．教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版）§2。
4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程。
二．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断。
三．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导,采用探究式教学,以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究,在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四．教学目标知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。
过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。
情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。
五．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用.六．教学过程设计活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答:向量的加法、减法及数乘运算。
这些运算的结果是向量.很好,那既然两个向量可以进行加法、减法运算。
我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗?【设计意图】1。
让学生明白新旧知识的联系性。
《平面向量的数量积》说课稿
《平面向量的数量积》说课稿《平面向量的数量积》说课稿《平面向量的数量积》说课稿济南世纪英华实验学校—周鹏尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《平面向量的数量积》。
下面我将从四个方面阐述我对本节课的分析和设计。
第一部分：教学内容分析：1、教材的地位及作用：将平面向量引入高中课程,是现行数学教材的重要特色之一。
由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。
而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。
《平面向量的数量积》是高一数学下册第五章第六节的内容。
平面向量数量积是中学数学的一个重要概念。
它的性质很多，应用很广，是后面学习的重要基础。
本课是第一课时，学生对概念的理解尤为重要。
2、教学目标的设定：（1）知识目标：平面向量数量积的定义及初步运用。
（2）能力目标：通过对平面向量数量积定义的剖析，培养学生分析问题发现问题能力，使学生的思维能力得到训练。
（3）情感目标：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的'快乐。
3、教学重点：平面向量的数量积定义。
4、教学难点：平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用。
第二部分：教法分析：采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。
第三部分：教学程序设计：完整版高一数学下册《平面向量的数量积》说课稿.doc。
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A、锐角 B、直角 C、钝角 D、等腰直角
r r rr
rr
2、已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角是60o，则|a+b|=（ ）.
A、37B、13C、37D、13
r r rr
rr
3、设 | a | 3,| b | 5,| a b | 7, 求a与b的夹角.
平面向量的数量积
问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么 ？
向量的加法、减法及数乘运算
问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
物理模型----概念---性质---应用
本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算： 平面向量的数量积运算
则a,
b 中至少有一个为
0
rr ①记法“ agb ”中间的“ · ”可不可以省略？能不能用×代替？
②向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？
的范围 rr a gb 的符号
0°≤ <90°
+
=90°
0
90°< ≤180°
-
你得到了什么结论呢？
探究二：研究数量积的几何意义
1、向量投影的概念：
探究一：数量积的概念
如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s， 那么力F所做的功：
F
W= _|_F__|_|_s__|__c_o__s__α
F（力）是__向__量，
α
S
s（位移）是_向___量， α是_F_与__s__的__夹__角
你能用文字语言表述 “功的计算公式”吗?
W（功）是__数__量，
数量积的定义：
①其中一个向量是零向量数量积是多少？ ②数量积是数量还是向量？ ③数量积的符号和大小受哪些因素的影响？
判断下列结论是否正确：
(1若 ) a
0,
则对任意向量
b有a
b
0
(2若 ) a
0, 则对任一个非零向量
b，有a
b
0
(3若 ) ar
r 0,
ar
r br 0, 则b源自r 0(4若 ) a
b
0,
数量积的几何意义是什么？
探究三：探究数量积的运算性质
数量积r的性r质 性质：若 a 和 b 均为非零向量
r r rr
(1) a b __a_g_b___0__（垂直）
rr
rr r r r r
(2)ａ与ｂ同向时，ａｂ ·
rr
rr
a_g_rb__r_|_a_|_g|_b_r_| ___r，
特别地ａ：与ａrａｂ·r反= _向r__ar时 _r2__，ａ__ｂ ·_= _|_ar_a___g|__b2_________（|_a长__|g度_| _b）_|
r
rr
如图，我们把_____|_b_|_c_o__s______ 叫做向量b 在 a
方向上的投影。
|
r b
|
cos
rr argb
|a|
投影是一个__数__量__，不是__向__量__；当 为锐角时投影为_正__值___；
当 为钝角时r 投影为__负_值___；当 为直角时r 投影为_0_____；当 = 0o 时投影为__|_b__| _；当 = 180o时投影为___|_b_|_。
ab (3)cosθ= ____ar__ _br__（夹角）
rr r r (4) ︱ａｂ·︱___︱ａ︱︱gｂ︱
探究题组二
知识：
（1）平面向量的数量积； （2）平面向量的数量积的几何意义； （3）平面向量数量积的重要性质
思想方法：
（1）转化、数形结合、分类讨论等思想 （2）公式或定义法
uuur r uuur r r r 1、在ABC中，BA a, BC b,且agb 0,则ABC是（ ）三角形.