二阶行列式
行列式的计算1(二阶行列式)
(4)
表达式 a11a22 − a12a21称为数表（ ）所确定的二阶 称为数表（ 4 (5)
二阶行列式的计算
主对角线
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12a21.
副对角线
a11x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21x1 + a22 x2 = b2 .
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
12 − 2 3 12 = −21, D1 = = 14, D2 = 1 1 2 1
D1 14 D2 − 21 ∴ x1 = = = 2, x 2 = = = − 3. D 7 D 7
D ≠ 0方程组有唯一解
D = 0时, (a1b2 − a2b1 = 0) 时
2.当Dx = Dy = 0,
a1 b1 = a2 b2
1.当Dx , Dy至少有一个不为零方程组无解 , .
a1 b1 c1 = = Dx = c1b2 − c2b1 = Dy = a1c2 − a2c1 = 0 a2 b2 c2
. 方程组有无穷多解
用消元法解二元线性方程组
a11x1 + a12 x2 = b1 , (1) a21x1 + a22 x2 = b2 . (2)
(1) × a22 : a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22, (2) × a12 : a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12,
a1 b1 D= , a2 b2
D = a1b2 −a2b1
Dx c1b2 − c2b1 x= ，x = ， D a1b2 − a2b1
二阶行列式
a2 a3
a15
a16
18
2.解不等式
x
0
x 0, 1
x2 3.求函数的最值 y 2
x 1
y min 1,无最大值
探索研究：
一、1)计算行列式 9 的值； 2）你能否从1）中的结果得出一个一般的结论？ 并证明你的结论。
3
5 11 12 ， 10 22
4
7 28 ， 2 8
基本步骤：
1）把方程变为标准形式，即
a1x b1y c1 , a2x b2y c2 .
形式；
2）正确写出行列式
Dx x D 3）当 D 0 时，写出二元一次方程组的解为 y D y D
D、D x、D y ；
巩固练习：
1.展开并化简下列行列式：
D
Dx
5 11 4 15
8
5 15 4 11 31 0,
11
6 15
186 ,
Dy
5
8
4 6
62,
Dx 186 x 6, D 31
Dy y D
62 2. 31
所以，原方程组的解为
x 6 y 2
行列式应用于解二元一次方程组
德国数学家莱布尼兹是与牛顿齐 名的微积分的创始人，同时他又是 数学史上最伟大的符号学者之一， 堪称符号大师，他曾说：“要发明， 就要挑选恰当的符号，要做到这一 点，就要用含义简明的少量符号来 表达和比较忠实地描绘事物内在本 质，从而最大限度地减少人的思维 劳动”．他创造的数学符号有商 “ a”、比“a:b”、相似“∽”、 b ”、交“ ” 全等“≌”、并“ 等，最有名的 要算积分和微分符号了．
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。
本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。
计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。
计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。
3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。
它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。
具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。
二阶行列式
二阶行列式什么是行列式？在线性代数中，行列式是一个数字，它和一个给定的方阵相关联。
行列式可以用于解决许多线性代数的问题，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆等。
二阶行列式的定义对于一个2x2的矩阵A = A，其行列式记为|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = Determinant即A的左上元素乘以右下元素减去右上元素乘以左下元素。
二阶行列式的示例现在我们来求解一个具体的二阶行列式。
对于矩阵A = MatrixA，其行列式为：|A| = 2 * 5 - 3 * 4 = 10 - 12 = -2所以矩阵A的行列式为-2。
二阶行列式的性质1.行列式的值与矩阵的转置无关，即|A| = |A^T|。
2.当矩阵A中某两行或某两列互换位置时，行列式的值取相反数，即如果矩阵A的第i行与第j行互换位置得到矩阵B，则有|B| = -|A|。
3.行列式的值与矩阵的每一行（或每一列）成比例，即如果矩阵A的第i行（或第j列）的所有元素都乘以一个常数k，得到矩阵B，则有|B| = k * |A|。
二阶行列式的应用二阶行列式在线性代数中有许多重要的应用，以下列举几个常见的应用：1.解线性方程组：对于一个由两个线性方程组成的方程组，可以使用二阶行列式来判断方程组是否有解，以及求解方程组的解。
2.计算矩阵的逆：对于一个可逆的2x2矩阵A，可以使用二阶行列式计算其逆矩阵A^-1。
3.计算平面向量的面积：对于一个由两个非零向量构成的平面上的三角形，可以使用二阶行列式计算该三角形的面积。
总结二阶行列式是线性代数中的一个重要概念，用于解决许多与矩阵相关的问题。
我们可以通过简单的公式来计算二阶行列式，同时也可以利用行列式的性质进行计算和求解。
二阶行列式在解线性方程组、计算矩阵逆、计算平面向量面积等方面有着广泛的应用。
掌握二阶行列式的概念和计算方法对于理解线性代数和解决相关问题非常重要。
二、三阶行列式
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
例
解线性方程组 x1 − 2 x2 + x3 = −2, 2 x1 + x2 + −3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
由于方程组的系数行列式 1 −2 1 D= 2 1 − 3 = 1 × 1 × ( − 1) + ( − 2 ) × ( − 3 ) × ( − 1) −1 1 −1
f (1) = 0, f (2 ) = 3, f (− 3 ) = 28.
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
1
2 3
D= 4 0 5 −1 0 6
= 1× 0 × 6 − 2× 4× 6
+ 2 × 5 × ( − 1)
+ 3 × 4 × 0 − 3 × 0 × ( −1) = −58
− 1× 5 × 0
例4
实数 a , b 满足什么条件时有
a
b 0
D= −b a 0 =0 1 0 1
a 1
b 0 0 1
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
三阶行列式的计算
a13 a23 .列标 a33 行标
对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a31
a22 a32
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
常见行列式
常见行列式常见行列式是指在线性代数中常出现的一些具有特定形式的行列式。
行列式是一个矩阵的一个重要性质，它代表了该矩阵的某些特征。
接下来我将介绍一些常见的行列式，并解释它们的特点和应用。
首先，最常见的行列式就是二阶和三阶行列式。
二阶行列式是一个2×2的矩阵，记作|A|=ad-bc。
其中，a、b、c和d为矩阵A的元素。
二阶行列式的求解方法是将对角线上的乘积相加，并减去非对角线上的乘积。
二阶行列式常用于计算平面上两个向量的行列式，从而判断它们的线性相关性。
三阶行列式是一个3×3的矩阵，记作|A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)。
三阶行列式的求解方法是将每个元素与与其对应的代数余子式相乘，然后按正负号相加。
三阶行列式广泛应用于三维几何体的体积计算和解线性方程组等问题。
其次，特殊的行列式包括单位矩阵和零矩阵的行列式。
单位矩阵是一个n×n的矩阵，主对角线上的元素均为1，其他元素均为0。
单位矩阵的行列式为1，它表示了一个矩阵在相似变换下的不变性。
零矩阵是一个所有元素都为0的矩阵，它的行列式为0。
此外，对角矩阵和上三角矩阵的行列式也具有一定的特殊性质。
对角矩阵是一个所有非对角元素都为0的矩阵，对角元素可以相同也可以不同。
对角矩阵的行列式等于对角元素的乘积。
上三角矩阵是一个除了主对角线以下的元素都为0的矩阵，它的行列式等于主对角线上的元素的乘积。
对角矩阵和上三角矩阵的行列式的计算相对简单，这使得它们在实际问题中的应用更加方便。
另外，行列式的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是一个矩阵的一个标量，特征向量是对应于特征值的一个向量。
行列式的特征值和特征向量有着丰富的几何意义和应用。
特征值和特征向量可以用于求解线性方程组、矩阵的对角化和求取矩阵的幂等等问题。
最后，通过行列式的定义和性质，我们可以推导出一些行列式的重要公式，如拉普拉斯展开公式和克拉默法则等。
二阶三阶行列式 -回复
二阶三阶行列式-回复什么是二阶三阶行列式？在线性代数中，行列式是一种非常重要的运算工具，用于计算矩阵的性质和方程组的解等问题。
行列式常见的有一阶、二阶和三阶行列式等等。
在本文中，我们将重点讨论二阶和三阶行列式。
二阶行列式：二阶行列式是由2×2矩阵中的四个数值按特定的排列顺序相乘后相减而得到的一个数字。
设A是一个二阶矩阵，其行列式表示为det(A)，则有如下公式：det(A) = a*d - b*c其中，a、b、c和d分别表示二阶矩阵A的元素值。
在这个公式中，a 和d是主对角线上的元素，而b和c是次对角线上的元素。
三阶行列式：与二阶行列式类似，三阶行列式是由3×3矩阵中的元素按特定排列相乘后相加或相减而得到的一个数字。
设A是一个三阶矩阵，其行列式表示为det(A)，则有如下公式：det(A) = a*(e*i - f*h) - b*(d*i - f*g) + c*(d*h - e*g)在这个公式中，a、b、c、d、e、f、g、h和i分别表示三阶矩阵A的元素值。
其中，元素a用于计算第一行的元素和第一列的元素所组成的2×2矩阵的行列式值，元素b用于计算第一行元素和第二列元素所组成的2×2矩阵的行列式值，以此类推。
行列式的几何意义：行列式具有很重要的几何意义。
在二阶行列式中，行向量和列向量所构成的平行四边形的面积正好等于二阶行列式的值的绝对值。
对于三阶行列式，行向量和列向量所构成的平行六面体的有向体积正好等于三阶行列式的值。
行列式的性质：行列式具有一些重要的性质，包括：1. 行列式交换性：行列式的值不受元素交换所改变，即det(A) =det(B)，其中A和B是由互换两行（或两列）位置得到的矩阵。
2. 行列式相反性：行列式的值与其行（或列）成比例，符号相反，即对于矩阵A，有det(A) = -det(A')，其中A'是将A的两行（或两列）互换位置后得到的矩阵。
二阶、三阶行列式
1 − 2 =
例5用三阶行列式解线性方程组ቐ2 − 3 = 的值。
1 + 3 =
解
由于
1
= 0
1
−1 0
1 −1 =1+1=2≠ 0
0
1
1
2 = 0
1
0
−1 =b−a+c
1
1 =
−1
1
0
1 −1
3 = 0 1
1 0
0
−1 =a+b+c
1
=c−b−a
定行列式等于零。
线 性 代 数
31 32 33
−1322131 −122133 −112332
11 12 13
= 21 22 23 称为三阶行列式，它由三行、三列共9个元素组成，
31 32 33
是6项的代数和，每一项都是三个元素的乘积并适当附上正号或负号，而且
这三个元素必须来自不同的行和不同的列。如图1-2所示，可用对角线法则
2
(1)当λ 为何值时，D=0;
解
λ
1
，问：
(2)当λ 为何值时，D≠0。
λ2 λ
因为 =
= λ2 − λ = λ(λ − 2)，所以
2 1
(1)当λ=0或λ=2时，D=0；
(2)当λ≠0且λ≠2时，D≠0。
3 − 42 = 2
例3用二阶行列式解线性方程组ቊ 1
1 + 22 = 4
解
=
表示a11a22-a12a21，称为
21 22
二阶行列式，即
a11
a12
D
a11a22 - a12 a21
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写出所有的三阶排列.
例3.2
写出所有的四阶排列.
定义3.2
在一个n阶排列中，如果一个大数排列在一个 小数之前，就称这两个数组成一个逆序. 一个n阶排列中逆序的总数称为这个排列的逆 序数.
小数排在大数之前，就称这两个数组成一个 顺序.
例3.7
求4阶排列2413的逆序数.
例3.8
求 (n n 1 2 1)
a1 0 0 0 a2 0 0 0 an a1a2 an
下三角行列式
a11 a21 an1
0 a21 an 2
0 0 ann a11a22 ann
例
3.13 计算行列式
0 0 0 an
a1 0 0 0
0 a2 a3 0 0
0
0 .
an 1 0 0
一般的不同行不同列的 n 个元素的乘积
b1a22 b2 a12 x1 a11 a22 a12 a21
a11b2 a21b1 x2 a11 a22 a12 a21
D
a11 a 21
a12 a 22
a11 a 22 a12 a 21
D1
b1 b2
a12 a 22
b1 a22 b2 a12
D2
当 j1 j2 jn 是奇排列时，带负号.
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
( j1 j2
(1)
jn )
( j1 j2
jn )
a1 j1 a2 j2
anjn
式(3.11)称为 n
(3.11) 阶行列式的展开式.
3.10
写出4阶行列式
a11 a21 a31 a41
a11
a12
a1n ap2 aqn ann
a11 aq1
a12 aq 2
a1n aq 2 a pn ann
a p1 a p 2 aq1 an1 aq 2 an 2
a p1 a p 2 an1 an 2
推论3.2
如果行列式有两行相同，则此行列式等于零.
第三章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入的， 但在线性代数和其它数学领域以及工程 技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其 计算方法。
3.1 二阶行列式
由两个方程构成的二元线性方程组的一般形 式为： a11 x1 a12 x 2 b1 a 21 x1 a 22 x 2 b2
a11
b1
a21 b2
a11b2 a 21b1
D1 D2 x1 , x2 D D
例3.1
解线性方程组
3 x1 4 x 2 1 2 x1 5 x 2 4
3.2 n阶排列
定义
3.1
由 1,2,, n 组成的一个有序数组称为一个n阶 排列.
例3.1
a11 D
T
a21 a22 a2 n
an1 an 2 ann
a12 a1n
基本性质
行列互换，行列式的值不变，即：
D D
T
D 称为 D 的转置行列式.
T
3.4 行列式的性质与计算
性质3.1
互换行列式中两行的位置，行列式反号.
行列式的初等变换：
(1) 互换行列式两行的位置; (2) 用一个非零常数乘以行列式的某一行; (3) 行列式中某一行加上另一行的k倍.
定理3.1
对换改变排列的奇偶性.
定理3.2
在全部 n! 个 n 阶排列中，奇、偶排列的个数 相等，各有个 n! / 2 .
定理3.3
任意一个 n 阶排列都可以经过一些对换变成 自然排列，并且所做对换的个数与这个排列 有相同的奇偶性.
推论3.1
任意两个 n 阶排列都可以经过一些对换互变。 (1)如果这两个排列奇偶性相同，则所作的对 换次数是偶数; (2)如果这两个排列奇偶性相反，则所作的对 换次数是奇数.
3.3 n阶行列式的定义
a11 a2 n an1 a12 a2 n an 2 a1n a2 n ann
定义3.4
n 阶行列式
a11 a21 an1 a12 a21 an 2 a1n a2 n ann
等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘 积的代数和.
a1 j1 a2 j2 anjn
j1 j2 jn 是一个n 阶排列. 当 j1 j2 jn 是偶排列时，带正号;
的展开式
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
例3.11
计算行列式
0 0 0 d
0 0 c 0
0 b 0 0
a 0 0 0
例3.12
计算行列式
a11 0 0
a12 a22 0
a1n a2 n ann
上三角形行列式 上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积. 对角行列式
所以ai1 j1 ai2 j2 ain jn所带的符号为：
(1)
(i1i2 in ) ( j1 j2 jn )
(1)
( k1k2 kn )
例3.14
决定5阶行列式中项
a23 a35 a51a14 a42
所带的正负号.
如果 n 阶行列式的某一项按列的自然顺序将 元素顺次排列：
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
按行标的自然顺序写出：
ai1 j1 ai2 j2 ain jn a1k1 a2k2 ankn
这一项前面的符号：
(1)
( k1k2 kn )
因此有：
(1) (i1i2in ) ( j1 j2 jn ) (1) (12n) ( k1k2kn ) (1) ( k1k2kn )
ai11ai2 2 ainn
这项前面的符号是：
(1)
(i1i2 in )
行列式的定义又可以写成：
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
( j1 j2
(1)
jn )
( i1i2 in )
ai11ai2 2
ain n
以上结论说明行列式中行、列地位对称.
定义3.3
设 a1a2 an 是一个 n 阶排列. 如果 (a1a2 an ) 是一个偶数，则称 a1a2 an 是一个偶排列；
如果 (a1a2 an ) 是一个奇数，则称 a1a2 an 是一个奇排列.
对换:
把一个排列中的某两个数互换位置，而其它 的数保持不动，就得到另一个排列，这样的 一种变换称为一个对换.