6 矢量多边形的相关算法
矢量的运算法则和公式
矢量的运算法则和公式在我们的物理世界中，矢量可是个相当重要的角色！就像我们在生活中要遵循各种规则一样，矢量也有它自己的运算法则和公式。
先来说说矢量的加法。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米。
那你最终的位置怎么算呢？这时候就用到矢量加法啦！把这两个位移矢量首尾相连，从起点到终点的矢量就是合矢量。
这就好比你从家出发，先去超市买了零食，又去书店买了书，最后你走的总路程可不是简单地把距离相加，而是要考虑方向的。
再说说矢量的减法。
比如说，有一个力矢量 F1 作用在物体上，然后又有一个力矢量 F2 作用在同一物体上，要想知道 F1 减去 F2 的结果，其实就是 F1 加上（-F2）。
这就像你原本有 10 块钱零花钱，花了 5 块，其实就相当于你的钱数加上了 -5 块。
说到矢量的乘法，就不得不提到点乘和叉乘。
点乘的结果是一个标量，比如一个力矢量 F 和一个位移矢量 s 的点乘，就等于力在位移方向上做的功。
就像你推一个箱子，用的力和箱子移动的距离相乘，就能知道你做了多少功。
叉乘的结果可是个矢量哦！比如磁场中的洛伦兹力 F = qv×B，这个叉乘就决定了力的方向。
记得有一次我在实验室里观察带电粒子在磁场中的运动，那轨迹真是神奇极了！正是因为矢量的叉乘法则，我们才能准确地预测粒子的运动方向。
还有矢量的数乘，这个比较简单，就是给矢量乘以一个常数，矢量的方向不变，大小改变。
就好像你跑步的速度乘以时间，就能得到你跑的路程。
在解决实际问题的时候，这些矢量的运算法则和公式可太有用啦！有一次学校组织户外探险，我们要通过地图和指南针找到目的地。
地图上给出的方向和距离就是矢量，运用矢量的加法，我们就能准确算出从当前位置到目的地的路线。
总之，矢量的运算法则和公式就像是我们探索物理世界的秘密武器，让我们能够更清晰地理解和描述各种物理现象。
不管是小小的位移，还是强大的力场，都能在矢量的世界里被准确地计算和表达。
矢量运算公式范文
矢量运算公式范文矢量运算是对矢量进行运算的数学方法，包括矢量的加法、减法、数与矢量的乘法（数量积）、矢量与矢量的乘法（矢量积）等。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，矢量运算被广泛应用。
下面将介绍一些常见的矢量运算公式：一、矢量的加法和减法：矢量的加法：对于两个矢量A和B，它们的加法可以表示为：C=A+B加法满足交换律：A+B=B+A加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)矢量的减法：对于两个矢量A和B，它们的减法可以表示为：C=A-B减法可以看作加法的反向操作：A-B=A+(-B)其中，-B表示B的反向矢量，即将B的大小保持不变，方向取反。
二、数与矢量的乘法（数量积）：数与矢量的乘法是将一个数与一个矢量各分量相乘。
假设有一个矢量A和一个数k，则数与矢量的乘法可以表示为：B=kA乘法满足交换律：kA=Ak乘法满足结合律：(kl)A = k(lA)三、矢量与矢量的乘法（矢量积）：矢量与矢量的乘法有两种形式，一种是叉乘（也称为矢量积或外积），另一种是点乘（也称为数量积或内积）。
1.叉乘：对于两个矢量A和B，它们的叉乘可以表示为：C=A×B矢量的叉乘满足右手法则：-若A和B的夹角θ小于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由A转向B；-若A和B的夹角θ大于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由B转向A；-若A和B的夹角θ等于180度，则C等于0。
2.点乘：对于两个矢量A和B，它们的点乘可以表示为：C=A•B点乘的结果是一个标量。
点乘的计算方法有两种：-一种是将两个矢量的各分量分别相乘，然后相加：C=A₁*B₁+A₂*B₂+...+An*Bn- 另一种是使用矢量的模和夹角公式：C = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，表示矢量A的模，B，表示矢量B的模，θ表示A和B的夹角。
以上是矢量运算的一些基本公式，它们在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用。
矢量的运算法则范文
矢量的运算法则范文矢量是一种具有大小和方向的物理量。
矢量可以表示为有序的数对或者有序的数组，其中包含了各个方向上的分量。
矢量的运算法则指的是矢量在进行加法、减法、数量乘法和点乘等运算时需要遵循的规定和方法。
下面将详细介绍几种常见的矢量运算法则。
1.矢量的加法法则：矢量的加法是指将两个矢量相加，得到一个新的矢量。
矢量的加法具有交换律和结合律。
设有两个矢量A和B，它们的和为C，可以表示为A+B=C。
其中，C的大小等于A和B大小之和，方向等于从A指向B的连线的方向。
2.矢量的减法法则：矢量的减法是指将一个矢量从另一个矢量中减去，得到一个新的矢量。
设有两个矢量A和B，它们的差为C，可以表示为A-B=C。
其中，C的大小等于A和B大小之差，方向等于从A指向B的连线的反方向。
3.矢量的数量乘法法则：矢量的数量乘法是指将一个矢量乘以一个实数，得到一个新的矢量。
设有一个矢量A和一个实数k，它们的数量乘积为B，可以表示为k*A=B。
其中，B的大小等于A的大小与k的乘积，方向与A的方向相同（当k>0）或者相反（当k<0）。
4.矢量的点乘法则：矢量的点乘是指将两个矢量的对应分量相乘，并将结果相加。
设有两个矢量A和B，它们的点乘为C，可以表示为A·B=C。
其中，C等于A和B的对应分量乘积之和。
5.矢量的叉乘法则：矢量的叉乘是指将两个矢量的对应分量按照特定规则相乘，并得到一个新的矢量。
设有两个矢量A和B，它们的叉乘为C，可以表示为A×B=C。
其中，C的大小等于A和B大小之积乘以它们之间的夹角的正弦值，方向与A和B所在的平面垂直，并遵循右手法则。
除了上述基本的矢量运算法则，还有一些其他的衍生法则，如矢量的分解、矢量的投影等。
矢量的分解是指将一个矢量分解成两个或多个部分，使它们的合成等于原矢量。
矢量的投影是指将一个矢量投影到另一个矢量上，得到一个新的矢量。
这些法则都是矢量运算的重要基础，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
矢量运算基础
dt
矢量运算基础
（8）矢量的积分
第一种情况： dB 若A和B都在同一平面直角坐标系内，且 A, dt 则有 dB Adt ( Ax i Ay j )dt
矢量对标量积分，各分量各自积分：
B Adt ( Ax dt )i ( Ay dt ) j Bx i By j
3、矢量相等：
大小相同，方向相同。
标量不能与矢量相等，即：
A A
矢量运算基础
4、矢量的运算法则： (1) 加减法 含平行四边形法则和三角形法则
B
C
C
B
C A B
A
CA B
A
矢量运算基础
(2) 数乘
大小 A C 方向 C A 0 0 C平行于 A C平行于 A
A B AB cos ( 为A与B的夹角) 若B为单位矢量， A B为A在B方向的投影。 B 0 90 , A B 0 0 90 , A B 0 A 0 B cos 90 , A B 0
特别注意： 若
一个矢量也可写成 : 它的大小乘上它的单位矢量，
如： A Ar 0
A A
A r0 A
矢量运算基础
(3)矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 则平面内的任一矢量可以分解为： A 常用 e e 称为正交分解 1 2
e1和e2 A1e1 A2e2
分别是A与X , Y , Z 三个坐标轴的夹角
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
矢量的运算法则
矢量的运算法则矢量是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
矢量的运算法则是研究矢量之间的运算规律的一种数学方法，它包括矢量的加法、减法、数量积和向量积等运算。
首先，我们来看一下矢量的加法。
矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = C，其中C是A和B的和矢量。
在几何上，矢量的加法可以用平行四边形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从起点到终点的线段就是它们的和矢量。
接下来是矢量的减法。
矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的减法运算可以表示为A B = D，其中D是A减去B得到的差矢量。
在几何上，矢量的减法可以用三角形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从第二个矢量的终点到第一个矢量的终点的线段就是它们的差矢量。
除了加法和减法，矢量还有数量积和向量积两种运算。
数量积又称点积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值得到一个标量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的数量积可以表示为A·B= |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角。
数量积的几何意义是A在B方向上的投影乘以B的模长。
最后是向量积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的正弦值得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的向量积可以表示为A×B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角，n是一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。
向量积的几何意义是A和B所在平面上的一个新的垂直矢量。
矢量的运算法则在物理学和工程学中有着广泛的应用。
比如在力学中，矢量的加法和减法可以用来求解物体的位移和速度；在电磁学中，矢量的数量积和向量积可以用来求解电场和磁场的分布。
矢量运算法则(详解)
7
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k0方向不变，大小为|k|倍
kAk|A|aˆ k0
k0方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
AB|A||B|cos
B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
其结果是一标量。
矢量运算法则(详解)
两矢量的叉积又可表示为：
aˆ x aˆ y aˆ z A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则(详解)
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（3）三重积： 三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C 矢量，标量与矢量相乘。
A(BC) 标量，标量三重积。 A(BC) 矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
b.满足结合律： ( A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D )
矢量运算法则(详解)
4
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆ x , aˆ y , aˆ z 表示。
z
Az
A
根据矢量加法运算： o
AAx Ay Az
Ax
x
其中：
A x A x a ˆx,A y A y a ˆy, A z A za ˆz
求： r4ar1br2cr3中的标量 a、b、c。
解： 3 a ˆx2 a ˆy5 a ˆz a (2 a ˆxa ˆya ˆz)b (a ˆx3 a ˆy2 a ˆz)c( 2 a ˆxa ˆy 3 a ˆz) ( 2 a b 2 c ) a ˆ x ( a 3 b c ) a ˆ y ( a 2 b 3 c ) a ˆ z
多边形配准算法
多边形配准算法是指通过一定的算法和技巧，将两个或多边形进行对齐和匹配的过程。
在计算机视觉和图形处理领域，多边形配准是一项非常重要的技术，广泛应用于图像处理、计算机图形学、地理信息系统等领域。
多边形配准算法的目标是将两个多边形的顶点进行对应，使得它们的形状和位置尽可能相似或完全一致。
具体来说，多边形配准算法通常包括以下几个步骤：
1. 多边形表示：首先需要将多边形表示为数学模型，常用的表示方法有平面几何表示法和参数化表示法等。
2. 特征提取：提取多边形的特征点、线、面等几何特征，以便进行匹配。
常用的特征提取方法有SIFT、SURF、ORB等。
3. 特征匹配：根据提取出的特征点，进行特征匹配，找出两个多边形之间的对应关系。
常用的特征匹配方法有暴力匹配、RANSAC、最小二乘法等。
4. 变换模型估计：根据匹配的特征点，估计多边形的变换模型，包括平移、旋转、缩放等。
常用的变换模型估计方法有奇异值分解（SVD）、广义最小二乘法等。
5. 多边形配准：根据估计出的变换模型，对原始多边形进行变换，使其与目标多边形对齐和匹配。
常用的变换方法有仿射变换、透视变换等。
多边形配准算法的精度和稳定性对于实际应用非常重要。
为了提高精度和稳定性，可以采用更精确的特征提取和匹配方法、改进变
换模型的估计方法等技术手段。
同时，也需要针对具体的应用场景和需求，设计合适的算法和参数，以满足实际需求。
矢量算法
计算几何常用算法(一共23个)1. 矢量减法设二维矢量P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )显然有性质P - Q = - ( Q - P )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，两点的减法就是矢量相减；2.矢量叉积设矢量P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量叉积定义为：P ×Q = x1*y2 - x2*y1 得到的是一个标量显然有性质P ×Q = - ( Q ×P ) P ×( - Q ) = - ( P ×Q )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，点的乘法看作矢量叉积；叉乘的重要性质：> 若P ×Q > 0 , 则P 在Q的顺时针方向> 若P ×Q < 0 , 则P 在Q的逆时针方向> 若P ×Q = 0 , 则P 与Q共线，但可能同向也可能反向3.判断点在线段上设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：( Q - P1 ) ×( P2 - P1 ) = 0 且Q 在以P1，P2为对角顶点的矩形内4.判断两线段是否相交我们分两步确定两条线段是否相交：(1)．快速排斥试验设以线段P1P2 为对角线的矩形为R，设以线段Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交；(2)．跨立试验如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方，如图1所示。
在图1中，P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) < 0上式可改写成( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) > 0当( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明( P1 - Q1 ) 和( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以P1 一定在线段Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) = 0 说明P2 一定在线段Q1Q2上。
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标，才有可能与射线相交；
另一方面，如果两个端点的纵坐标都大于目标点的纵坐标则一定相交； 剩余的直线段由于交点的横坐标已经给定为目标点的横坐标，因此只需利
用直线段的方程计算交点纵坐标并判断相交性即可。
完备性？
从目标点引出一条无限伸展的垂直射线，如果点在多边
形内部，射线与边界交点个数为奇数，如果在多边形外 部，则交点个数为偶数？
点与多边形关系的判断
判断点是否在多边形边界折线上； 否则，从目标点开始引出一条垂直射线判断射线与多边 形边界的交点
如果射线与边界折线的某一个直线段重合，该直线段和与之相 连的另两条直线段不参与判断；
在边界折线的直线段内部的交点记为1个；
如果交点与某个节点重合，则当该节点连接的两个折线段分列 射线的两侧时，交点记为1个；当两个折线段在射线同一侧 时，交点记为2个。
5
i 1
xi )( yi 1 yi ) 2
x6 x1 , y6 y1
如果多边形边界按逆时针顺序存储 节点，面积如何计算？
计算规律及完备性？
2 1
4
5
3
多边形面积的通用公式
如果多边形的边界按照右手规则存储，假设其边界折点
的坐标按顺序依次为(x1,y2)~(xk,yk)：
多边形面积的计算
( x4 x5 )( y4 y5 ) ( x5 x1 )( y5 y1 ) SB 2 ( x5 x4 )( y5 y4 ) ( x1 x5 )( y1 y5 ) SB 2
多边形面积的计算
SC S A S B
(x
i 1
B
C
D
前述规律的完备性？
从目标点引出一条无限伸展的射线，如果点在多边形 内部，射线与边界交点个数为奇数，如果在多边形外
部，则交点个数为偶数。
如何简化运算？
利用垂直射线进行交点的快速判断； 对于边界折线上的每一个直线段来说，只有当直线段的两个端点横坐标分 列目标点横坐标的两侧，且至少有一个端点的纵坐标大于目标点的纵坐
矢量多边形的相关算法
武汉理工大学 资源与环境工程学院 张晓盼 zxp.whut@
主要内容
多边形面积的计算
判断点与多边形的关系
多边形面积的计算
在（2D）平面直角坐标系下，如果知道多边形边界的
所有节点坐标，如何计算该多边形的面积？
多边形面积的计算
基本思路：
多边形面积的计算
( x2 x1 )( y2 y1 ) ( x3 x2 )( y3 y2 ) ( x4 x3 )( y4 y3 ) SA 2
S
(x
i 1
k
i 1
xi )( yi 1 yi ) 2
xk 1 x1 , yk 1 y1
判断点与多边形的关系
点在多边形内部
点在多边形边界上
点在多边形外部
(1,2) (4,5) (6,1) (3,3)
(1,2) (4,5) (6,1) (5,3)
(1,2) (4,5) (6,1) (2,4)
点与多边形关系判断的基本思路
判断点是否在多边形边界上实际上是判断点是否在多边形边界折
线上；
如果点不在多边形边界上，那么判断是否在多边形内部的基本思 路如下图所示： 从目标点引出一条无限伸 展的射线，如果点在多边 形内部，射线与边界只有 一个交点，如果在多边形 外部，没有交点或者有两 个交点。
A