福建省2019年“大梦杯”初中数学竞赛试题含参考答案
(完整版)2019年初中七年级数学竞赛试题及答案,推荐文档
对于任意一条直线 l ,在直线 l 从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线 l 分割后，设直线 l 两侧图形的面积分别为 S1，S2.两侧图形的面积由 S1<S2（或 S1>S2）的情形， 逐渐变为 S1>S2（或 S1<S2）的情形，在这个平移过程中，一定会存在 S1=S2 的时刻.因此，一定 存在一条直线，将一个任意平面图形分割成面积相等的两部分.---- ----15 分
--------------------15 分
18．（15 分）（1）在图中每画出一条给 0.5 分
-----------------2 分
（2）① -----------------------5 分
②
S1<S2 S1=S2 S1>S2
（3）存在.
S1<S2 S1=S2 S1>S2
-------------11 分 ---------------13 分
请你在图18中相应图形下方的横线上分别填写s1s2的数量关系式用182请你在图18中分别画出反映s1s2三种大小关系的直的横线上分别填写s1s2的数量关系式用3是否存在一条直线将一个任意的平面图形如图请简略说出理由184分割成面积相等的两部分19
2019 年初中七年级数学竞赛试题及答案
一、选择题(每小题 6 分，共 48 分；以下每题的 4 个结论中，仅有一个是正确的，请 将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．)
17．（15 分）设第一代表团有 a 人，第二代表团有 b 人，由题意得：
a 35m 15 ， b 35n 20 ，其中 m、n 是自然数--------------------3 分
两个代表团共拍了 a×b 张照片，
全国初中数学竞赛试题(福建)及参考答案
全国初中数学竞赛试题（福建）及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数x ，y 满足42423x x -=，423y y +=，则444y x+的值为（ ）。
A 、7B 、12 C 、72 D 、5 ［答］A解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得21x ==，2y ==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x++-=-+= 2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。
A 、512 B 、49 C 、1736D 、12 ［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736p =3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。
A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。
4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。
2019-2020年初中数学竞赛试题及答案
2019-2020年初中数学竞赛试题及答案一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。
历届“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题及答案
由条件易得 △ACE ∽△BAE ，
（第 9 题）
∴ CE AE ， AE2 CE EB ，即 AE2 mEB 。 AE BE
结合 AB2 AE2 EB2 ，得 (2 5m)2 mEB EB2 。 （或由射影定理得 BA2 BE BC ，即 (2 5m)2 BE (BE m) ） ∴ EB2 mEB 20m2 0 ，解得 EB 4m 或 EB 5m（舍去）。
将 t 4 代入方程①，解得 x2 8 ，x 2 6 ；t 4 代入方程①，解得 x2 8 ，x 2 10 。
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∴ xy 的最大值为 4 ，最小值为 4 。
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因此， M 8 4 20 ， m 8 4 12 ， M m 20 12 136 。
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y 10 ，或 x 2 10 ， y 10 时等号成立。
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∴ xy 的最小值为 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 的最小值为 12 ，即 m 12 。
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∵ 3xy 4xy (x2 4 y2 4) 4 (x 2y)2 4，当且仅当 x 2y ，即 x 2 6 ，y 6 或
不填、多填或错填都得 0 分）
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B(0，2) ，点 A 在 x 轴正半轴上且 BAO 30 。将
△OAB 沿直线 AB 折叠得 △CAB ，则点 C 的坐标为（ ）
A． (1， 3)
B． ( 3 ，3)
C． (3， 3) D． ( 3 ，1)
2．若实数 a ， b 满足 a2 3a 2 ， b2 3b 2 ，且 a b ，则 (1 a2 )(1 b2 ) （ ）
初中数学竞赛题(有答案)
初中数学竞赛专项训练1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被〔 〕整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc ，那么abcabc ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102〔103＋1〕＋b ×10〔103＋1〕＋c 〔103＋1〕＝〔a ×103＋b ×10＋c 〕〔103＋1〕＝1001〔a ×103＋b ×10＋c 〕，而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。
应选C方法二：代入法2、假设2001119811198011⋯⋯++=S ，那么S 的整数局部是____________________解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022198019801221==⨯>S ，又1980、1981……2000均小于2001，所以22219022*********221==⨯<S ，从而知S 的整数局部为90。
3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个〔n ≤100〕学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。
2019年全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若20 10a b b c ==，，则a b b c++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）． （A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++= 的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23BC =422-CD ＝2AD 边的长为（ ）．（A ）26 （B ）64（C ）64+ （D ）622+解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE 6，CF ＝2DF ＝6，于是 EF ＝46．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得 AD 222(46)(6)(224)=++=+226+4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ （第3题）（第3题）（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-）（C ）（2012，2-） （D ）（0，2）解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）．二、填空题6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．解：0由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿（第5题）车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，， （千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ①()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=（分）． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．解：11133y x =-+ 如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，， 解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AE AD= ． （第8题） （第8题解： 215- 见题图，设,FC m AF n ==． 因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n m m+-=， 解得51n m -=，或51n m --=（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====51-， 即AE AD=51-． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k +=，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： ．tan EF PAD BC ∠=（第9题） （第11题）证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分）连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得 EF AH BC AP=， 从而 EF PD BC AP=， 所以 tan PD EF PAD AP BC∠==. …………（20分） 12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝21（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． 因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上， 所以 4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩， …（10分） （第11题）（第12题）（2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以2=BO CO . 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ，则点D 的坐标为（3-，0）.因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-1A 的坐标为（4，1-）.延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>， 2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件.（5分）另一方面，设12n a a a <<<是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， 所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）133n n a a d -=≤2010116133-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61. 综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）。
2019年全国初中数学联赛试题及详解
2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或 110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b =，9||6a b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.解：由已知，6492(23)15121512c a b a b b b ==-=-≤，∴2c ≤.3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 解：当a b =时，可计算得23a b ==，从而43a b +=。
观察4个选项，只能选C. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.解：由已知：42x ax bx c +++一定能被231x x --整除。
∵4222(31)(310)[(333)(10)]x ax bx c x x x x a a b x a c +++=--+++++++++∴(333)(10)0a b x a c +++++=，故3330213100a b a b c a c ++=⎧⇒+-=-⎨++=⎩5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.解：如图，由已知，ADE 是正三角形。
福建省初中数学竞赛试卷
福建省初中数学竞赛试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √2D. √12. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 13. 下列等式中，正确的是（）A. a² + b² = (a + b)²B. (a + b)² = a² + 2ab + b²C. (a b)² = a² 2ab + b²D. a² b² = (a + b)(a b)4. 一个等差数列的前三项分别是1、3、5，那么第10项是（）A. 19B. 21C. 23D. 255. 下列图形中，面积和周长都不变的是（）A. 正方形B. 长方形C. 圆D. 三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘，结果是正数。
（）2. 平行线的性质是同位角相等。
（）3. 任何两个奇数相加都是偶数。
（）4. 一次函数的图像是一条直线。
（）5. 相似三角形的面积比等于边长比的平方。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a：b=3：4，则（a+b）：b=______。
2. 已知x² + x = 12，则x² + 2x + 1 = ______。
3. 一次函数y = 2x + 3的图像与y轴的交点坐标是______。
4. 若等腰三角形的底边长为10，腰长为8，则其面积为______。
5. 一个正方体的体积是64立方厘米，则其表面积是______平方厘米。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请解释有理数的概念。
2. 简述平行线的性质。
3. 什么是二次方程？请举例说明。
4. 如何求解一元一次不等式？5. 简述三角形相似的判定条件。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明有3个苹果，小红的苹果数量是小明的2倍，他们一共有多少个苹果？2. 一辆汽车行驶100千米，速度为60千米/小时，求汽车行驶这段路程所需的时间。
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2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2019年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=︒。
将OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）A ．(13)，B ．(33)，C ．(33)，D ．(31)， 【答案】 B【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。
依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=︒。
所以，3CD =，3AD =，3OD =。
因此，点C 的坐标为(33)，。
2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。
因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。
[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。
或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。
3．若关于x 的方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）A ．6-B ．30-C ．32-D ．38- 【答案】 D 【解答】方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。
6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。
若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。
若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。
所以，符合条件的a 有6-，24-，8-，其总和为38-。
4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。
记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则mn=（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74【答案】 C 【解答】依题意，m ICn ID=。
由I 为ABC △的内心知，IC AC BCID AD BD==。
所以，由等比定理知，73563m IC AC BC AC BC n ID AD BD AD DB ++======+。
5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A ．403 B ．6415C ．13615D ．315 【答案】 C【解答】由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。
∵ 22254(44)(2)44xy xy x y x y =++-=+-≥-，当且仅当2x y =-，即x =，y =x =，y =时等号成立。
∴ xy 的最小值为45-，22424u x xy y xy =++=+的最小值为125，即125m =。
∵ 22234(44)4(2)4xy xy x y x y =-+-=--≤，当且仅当2x y =，即x =y =x =y =时等号成立。
∴ xy 的最大值为43，22424u x xy y xy =++=+的最大值为203，即203M =。
∴ 20121363515M m +=+=。
或解：由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。
（第4题）ABC DI设xy t =，若0x =，则4μ=；0x ≠时，y x t =，将ty x=代入2244x xy y -+=， 得22244t x t x-+=，即422(4)40x t x t -++=， ……………… ①由22(4)160t t =+-≥△，解得4453t -≤≤。
将43t =代入方程①，解得283x =，3x =±；45t =-代入方程①，解得285x =，5x =±。
∴ xy 的最大值为43，最小值为45-。
因此，820433M =+=，812455m =-+=，20121363515M m +=+=。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。
【答案】 112k -≤≤【解答】易得直线AB 对应的一次函数的解析式为21y x =-。
由212y x y kx =-⎧⎨=+⎩，得(2)3k x -=- ……………… ①依题意，方程①有12x ≤≤的解。
∴ 20k -<，且3122k -≤≤-，解得112k -≤≤。
故k 的取值范围为112k -≤≤。
或通过作图求解。
7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。
若25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。
【答案】 27【解答】如图，过点C 作CG BF ∥交AD 的延长线于点G ，则AF AEAC AG=。
又由CG BE ∥，知DGC DEB △∽△。
F BCAD E（第7题）∴ 32DG DC DE DB ==。
∴ 37222AG AD DG DE DE DE =+=+=。
∴27AF AE DE AC AG AG ===。
8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=，则n的最大值是 。
【答案】 63【解答】依题意，11x ≥，22x ≥，33x ≥，…，n x n ≥。
∴ 123(1)20171232n n n x x x x n +=++++≥++++=。
于是，(1)20172n n +≥，63n ≤。
又当11x =，22x =，33x =，…，6262x =，6364x =时，123626363641236264120172x x x x x ⨯+++++=+++++=+=。
∴所求n 的最大值为63。
9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O⊙于E 点，若OACE=，则AEAB= 。
【答案】5【解答】由AB 为O ⊙的直径知，AE BC ⊥。
设CE m =，则OA =，AB =。
由条件易得ACE BAE △∽△， ∴CE AEAEBE=，2AE CE EB =⋅，即2AE mEB =。
结合222AB AE EB =+，得22)mEB EB =+。
（或由射影定理得2BA BE BC =⋅，即2)()BE BE m =⋅+） ∴ 22200EB mEB m+-=，解得4EB m =或5EB m =-（舍去）。
∴ 2AE m =，5AE AB ==。
EOA BCGF BCADE （第9题）10．若正整数x ，y ，z 满足方程组333237()x y z xyzx y z ⎧--=⎪⎨=+⎪⎩，则xyz 的最大值为 。
【答案】 84【解答】由3333x y z xyz --=，得33322213()()()()02x y z xyz x y z x y x z z y ⎡⎤---=--++++-=⎣⎦。
结合x ，y ，z 为正整数得，222()()()0x y x z z y ++++->，于是0x y z --=。
∴ 27x x =，7x =，7y z +=。
∴ 当7x =，3y =，4z =或7x =，4y =，3z =时，xyz 有最大值84。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根，求a 的值。
【解答】设1x ，2x 是方程两个不相等的整数根，则123x x a +=-，122x x a =-。
∴ 3a -，2a -均为整数。
因此，a 为整数。
…………………… 5分 ∴ 222(3)4(2)1017(5)8a a a a a =---=-+=--△为完全平方数。
设22(5)8a t --=（t 为整数，且0t ≥）。
则22(5)8a t --=。
于是，(5)(5)8a t a t ---+=。
…………………… 10分 由于5a t --，5a t -+奇偶性相同，且55a t a t --≤-+。
∴ 5452a t a t --=-⎧⎨-+=-⎩或5254a t a t --=⎧⎨-+=⎩。
解得21a t =⎧⎨=⎩或81a t =⎧⎨=⎩。
…………………………… 15分经检验2a =，8a =符合要求。
∴ 2a =或8a =。
………………………… 20分 另解：设m ，n （m n <）是方程两个不相等的整数根。
则22(3)20(3)20m a m a n a n a ⎧--+-=⎪⎨--+-=⎪⎩①②。
两式相减，得()()(3)()0m n m n a m n -+---=。
由m n <，得3m n a +=-，3a m n =++。
…………………… 5分 将3a m n =++代入①，得10mn m n ---=。
∴ (1)(1)2m n --=。
…………………… 10分由于m ，n 为整数，且m n <，因此，1211m n -=-⎧⎨-=-⎩或1112m n -=⎧⎨-=⎩。
∴ 10m n =-⎧⎨=⎩或23m n =⎧⎨=⎩。
…………………………… 15分当10m n =-⎧⎨=⎩时，32a m n =++=；23m n =⎧⎨=⎩时，38a m n =++=。
∴ 2a =或8a =。
………………………… 20分12．如图，H 为ABC △的垂心，圆O 为ABC △的外接圆。
点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点，D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。
求证：（1）AC 垂直平分线段HE ；（2）DE AB =。