新北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形专题训练《菱形练习题》
新北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形专题训练
菱形练习题
1.如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD= 4
3AB 2其中正确的结论有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（ ）A ．75° B ．65° C ．55° D ．50°
3．（2012?山西）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．35 cm B ．52 cm C ．548 cm D ．5
24 cm 4.已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A ．12cm 2
B ．24cm 2
C ．48cm 2
D ．96cm 2
5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点C 的坐标是（3，4），则顶点A 、B 的坐标分别是（ ）
A ．（4，0）（7，4）
B ．（4，0）（8，4）
C ．（5，0）（7，4）
D ．（5，0）（8，4）
6. 如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．32 cm B ．33 cm C ．34 cm D ．3cm
7.如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AE/AD=4/5，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD=15cm 2
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
8.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，点E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 为（ ） A ．80° B ．70° C ．65° D ．60°
9.如图，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）A ．12m B ．20m C ．22m D ．24m
10.如图，把菱形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到菱形A ′B ′C ′D ′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD 面积的1/2 ，若AC=2 ，则菱形移动的距离AA ′是（ ）
A ．1
B ．12
C ． 22
D 2
1 11.若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为
12.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．
13.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是cm．
14.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P
是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），
且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是
15．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是
16.菱形两对角线长分别为24cm和10cm，则菱形的高为cm．
17.如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件时，四边形EFGH是菱形．
18.如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：AD ⊥EF．
19.如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，求证：OE⊥DC．
20.如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG．（1）证明：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积；
21.．（2012?重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．
22．（2011?河南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 3，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
23.．（2009?贵阳）如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E 连接BE ．
（1）证明：∠APD=∠CBE ；（2）若∠DAB=60°，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的4
1，为什么？ 24. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD ．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转．
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；
（3）在上述情况中，△AEC 的面积是否会等于32？如果能，求BE 的长；如果不能，请说明理由．
25.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AD 是角平分线，CH 是高，交AD 于F ，DE ⊥AB 于E ，试证明四边形CDEF 是菱形．
26．如图，D 是菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别是OA 、OC 的中点．下列结论：①S △ADE =S △EOD ；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积为EF×BD ；④∠ADE=∠EDO ；⑤△DEF 是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
27.下列命题中，真命题是（ ）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B ．有一条对角线平分对角的四边形是菱形 C ．菱形是对角线互相垂直平分的四边形 D ．菱形的对角线相等
特殊的平行四边形专题(题型详细分类)精编版
特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC
九年级数学特殊的平行四边形单元测试(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：我们学习了四边形和一些特殊的四边形，如图表示了在某种条件下它们之间的联系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你写出其它6个数字序号相对应的条件． ①两组对边分别平行； ②有且只有一组对边平行； ③______________________________； ④______________________________； ⑤______________________________； ⑥______________________________； ⑦______________________________； ⑧______________________________． 特殊的平行四边形单元测试 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列说法中，正确的个数是( ) ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形； ③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④两条对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤两条对角线相等的菱形是正方形； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的判定 2.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，BC于M，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形． 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF 是菱形． 根据两人的作法可判断( ) A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 答案：C 解题思路：
初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案模板
初中数学特殊平行四边形的证明 一．解答题（共30小题） 1．（2015?泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论． 2．（2015?福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． 求证：四边形BCFE是菱形． 3．（2015?深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD 交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由． 4．（2015?济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC． 5．（2015?临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？ 6．（2015春?宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE． 7．（2014?雅安）如图：在?ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC 的延长线交于E． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形． 8．（2014?贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC． （1）求证：四边形ADCF是菱形；
山东省诸城市桃林镇中考数学压轴题专项汇编 专题24 特殊平行四边形的存在性
专题24 特殊平行四边形的存在性 破解策略 在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形 因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解 例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2 －2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．经过点A 的直线l ：y ＝ax ＋a 与抛物线的另一交点为C ，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，那么以点A ，C ，P ，Q 为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由． 解：以点A ，C ，P ，Q 为都顶点的四边形能成为矩形． 令ax 2 －2a －3a ＝ax ＋a ．解得x 1＝－1，x 2＝4， 所以点A 的坐标为（－1，0），C 的坐标为（4，5a ）． 因为y ＝ax 2 －2ax －3a ，所以抛物线的对称轴为x ＝1．则x P ＝1． ①若AC 是矩形的一条边，如图， 则x A ＋x P ＝x C ＋x Q ，可得x Q ＝－4，从而点Q 坐标为（－4，21a ）． 同样y A ＋y P ＝y C ＋y Q ，可得y P ＝26a ，从而点P 坐标为（1，26a ）． 因为AC ＝PQ ，所以有22＋（26a ）2＝82＋（16a ）2 ， 解得)(77,7721舍去=- =a a ，此时点P 的坐标为（1，7 726-）
②若AC 是矩形的一条对角线，如图． 则x A ＋x C ＝x P ＋x Q ，可得x Q ＝2，从而点Q 坐标为（2，－3a ）． 同样y A ＋y C ＝y P ＋y Q ，可得y P ＝8a ，从而点P 坐标为（1，8a ）． 因为AC ＝PQ ，所以有52＋（5a ）2＝12＋（11a ）2 ， 算得)(2 1 ,2143舍=- =a a ，所以此时点P 的坐标为（1，－4） 综上可得，以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，7 7 26- ）或（1，－4）． 例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒． （1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____; （2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值． 解：（1）5，24，4．8．
第一章 特殊平行四边形单元测试及答案
第一章特殊平行四边形单元测试 一、选择题 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( ) A．20° B．40° C．80° D．100° 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( ) A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 5．如果要证明 ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( ) A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分 6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( ) A．10 B．8 C．6 D．5 7．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( ) A．12＋12 2 B．2＋6 2 C．12＋ 2 D．24＋6 2 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( ) A．16a B．12a C．8a D．4a 9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( ) A．8 B．4 2 C．8 2 D．16 10．下列命题中，错误的是( ) A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．矩形的对角线相等且互相垂直平分 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( ) A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60° 12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( ) A．40° B．35° C．20° D．15° 13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( ) A．75° B．60° C．55° D．45° 14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( ) A. 2 B ．2 C. 6 D．2 2 15．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件， 不能使四边形DBCE成为矩形的是( ) A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 二、填空题 16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．第1题图 第2题图第3题图 第4题图第7题图 第8题图 第11题图第12题图第13题图 第14题图 第15题图 第16题图第17题图
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答 案 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一、解答题 1、（1）如图①，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF 过点O，分别交AD，BC于点E，F、求证：AE=CF、（2）如图②，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I、求证：EI=FG、考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）、分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF、（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得 A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得 △A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG、解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF， ∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，， ∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG、点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用、 2、在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F、若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论： PD+PE+PF=A B、请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC 内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明、考点：平行四边形的性质、专题：探究型、分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以 FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证， FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=A B、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=A B、证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点， ∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF， ∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，
新北师大版八年级数学平行四边形测试题
第六章 平行四边形检测题 （本试卷满分：100分，时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，在□中， ， ， 的垂直平分线交于点，则△的周长是（ ） A.6 B.8 C.9 D.10 2.如图，□的周长是，△ABC 的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 3.正八边形的每个内角为（ ） A.120° B.135° C.140° D.144° 4.在□ABCD 中，下列结论一定正确的是（ ） A.AC ⊥BD B.∠A +∠B =180° C.AB =AD D.∠A ≠∠C 5.多边形的内角中，锐角的个数最多为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.（2013?四川泸州中考）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A.AB ∥DC ，AD ∥BC B.AB=DC ，AD=BC C.AO=CO ，BO=DO D.AB ∥DC ，AD=BC 7.（2013?海南中考）如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，则下列结论不一定成立的是（ ） A.BO=DO B.CD=AB C.∠BAD=∠BCD D.AC=BD 8.（2012?四川巴中中考）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A.两组对边分别平行 B.一组对边平行另一组对边相等 C.一组对边平行且相等 D.两组对边分别相等 9.（2013?广东湛江中考）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ） A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 10.如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点H ，则AH HC 的值为（ ） A.1 B.12 C.13 D.1 4 二、填空题（每小题3分，共24分） 第2题图 第1题图
九年级上册：第1章 特殊平行四边形单元测试(详细解析版)
第一章特殊平行四边形单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（2020春?北碚区校级期中）下列说法正确的是（） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等，对角线互相垂直的四边形是菱形 C．矩形对角线相等且平分一组对角 D．正方形面积等于对角线乘积的一半 2．（2020春?江岸区校级期中）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（） A．8 B．6 C．5 D．4 3．（2020春?南岸区校级期中）菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（） A．60 cm2B．120cm2C．130cm2D．240 cm2 4．（2020春?博白县期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（） A．对角相等B．对角线互相平分 C．对角线相等D．四条边都相等 5．（2020春?思明区校级期中）能判定一个平行四边形是矩形的条件是（） A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等 C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直 6．（2020春?个旧市校级期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝2，∠ACB＝30°，则矩形的面积为（） A．4B．2 C．4 D．2 7．（2020春?乐陵市期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，那么∠BED为（）
A．60°B．45°C．30°D．15° 8．（2020春?金坛区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AE⊥BD于F，则线段AF的长是（） A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 9．（2020春?莱芜期中）如图，延长正方形ABCD的AB边至点E，使BE＝AC，则∠BED＝（）度． A．20°B．30°C．22.5°D．32.5° 10．（2020春?芜湖期中）如图，在矩形ABCD中，AB与BC的长度比为3：4，若该矩形的周长为28，则BD的长为（） A．5 B．6 C．8 D．10 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人得分
第一章特殊平行四边形单元测试
E D C B A 第一章 特殊平行四边形检测题 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每题4分，共32分） 1.下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 2．如图，在矩形 中， 分别为边 的中点.若正方形ABCD 的面积为8，则图中阴影部分的面积为（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 3.如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ）； A. AO = BO = CO = DO ，AC ⊥BD B. AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC = BD C. AD ∥BC ，AB ∥CD, AC ⊥BD D. AO = CO ，BO = CO ，AB = BC 4．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 5．菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ） A ．8cm 和3．4cm 和3cm C ．8cm 和3 D ．4cm 和36．若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为（ ） A ．3 2 B ．32 C ．3cm 2 D ．8cm 2 7．依次连接菱形各边的中点为顶点，可以组成一个( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 8．如图，已知矩形ABCD 中，BD 是对角线，∠ABD=30°，将ΔABD 沿BD 折叠，使点A 落在 E 处，则∠CDE=( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 第8题 第2题 第3题 A B C D O
特殊的平行四边形动点专题
1.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；： (2)①当t为______s时，四边形ACFE是菱形； ②当t为______s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形． 2.在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明． 3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB 边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形． （第4题） 4.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．
6.如图，已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD 上的一个动点P （不与 B 、D 重合）分别向直线AB 、AD 作垂线，垂足分别为E 、F ． （1）BD 的长是______； （2）连接PC ，当PE+PF+PC 取得最小值时，此时PB 的长是______． 8.如图，已知矩形ABCD ，AD=4，CD=10，P 是AB 上一动点，M 、N 、E 分别是PD 、 PC 、CD 的中点． （1）求证：四边形PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当AP 为何值时，四边形PMEN 是菱形； （3）四边形PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说 明理由． 5.如图所示，在?ABCD 中，AC ⊥BC ，AC=BC=2，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 移动，过点P 分别作PM ∥AB ，PN ∥AD ，连结AM ，设AP=x ，△AMP 的面积为y ． （1）四边形PMCN 是不是菱形，请说明理由． （2）写出y 与x 之间的函数关系式． 7.如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q 。 （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）。设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形。 （第7题） （第8题）
特殊的平行四边形的证明
特殊的平行四边形的证明 --矩形(复习课)教学设计 知识清单 一．矩形的性质： 四个角相等（都是90。） 对角线相等 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二．矩形的判定： 1、“平行四边形”+“一个角为直角”=“矩形” 2、“平行四边形” +“对角线相等”=“矩形” 3、“四边形”+“三个角是直角”=“矩形” 练习题： 1、下列性质中，矩形具备而一般平行四边形不具备的是( ) A.内角和为360° B.对边平行且相等 C.对角线相等 D.对角相等 2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是( ) A.2 B.4 C.2 D.4 3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长． 4、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落 在AD边的F点上，求DF和AE的值。
5、在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD 6、（变式一）在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠BAD，求证：DF=BC 7、（变式二）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． (1)求证：OE =OF； (2)若CE =12，CF =5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 8、如图所示，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．当t= 时，四边形APQD也为矩形.
北师大版八下数学平行四边形练习题
第六章平行四边形练习题 一、选择题 1.已知?ABCD 中，∠A+∠C=200°，则∠B 的度数是（ ） A ．100° B ．160° C ．80° D ．60° 2. ?ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，下列结论正确的是（ ） A ．S ?ABCD =4S △AO B B ．AC=BD C ．AC ⊥B D D ．?ABCD 是轴对称图形 3.如图，?ABCD 中，AB ：BC=3：2，∠DAB=60°， E 在AB 上，且AE ：EB=1：2， F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ：DQ 等于（ ） A ．3：4 B ．52:13 C ． 62:13 D 13:32 4.已知点A （0，0），B （0，4），C （3，t+4），D （3，t ）．记N （t ）为?ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N （t ）所有可能的值为（ ） A ．6、7 B ．7、8 C ．6、7、8 D ．6、8、9 5．如图，在?ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，则AE 的边长为（ ） A ．32 B ．34 C ．4 D ．8 6．如图，在?ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，则下列结论不 一定成立的是（ ） A ．BO=DO B ．CD=AB C ．∠BAD=∠BC D D ．AC=BD
7．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（） A 11+ 23 11 B. 11- 23 11 C. 11+ 23 11 或11- 23 11 D. 11+ 23 11 或1+ 2 3 8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对 角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（） A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm 9.如图，过?ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边 形两边的平行线EF与GH，那么图中的?AEMG的面积S1 与?HCFM的面积S2的大小关系是（） A．S1＞S B．S1＜S2 C．S1=S2D．2S1=S2 10. 如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题 1．已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是 一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值 为． 2．如图，△ACE是以?ABCD的对角线AC为边的等边三 角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7， -33），则D点的坐标是 3．如图，?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为
平行四边形分类证明
四边形判定定理以及性质定理 一、平行四边形： 判定：（1）两组对边分别平行的四边形（2）两组对边分别相等的四边形（3）一组对边平行且相等的四边形（4）对角线互相平分的四边形（5）两组对角分别相等的四边形 性质：两组对边分别平行对边相等对角相等两条对角线互相平分是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点 二、矩形： 判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形（2）有三个内角是直角的四边形（3）对角线相等的平行四边形 性质：四个角都是直角两条对角线相等 三、菱形： 判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形（2）四条边都相等的四边形（3）对角线互相垂直的平行四边形 性质：四条边都相等对角线互相垂直每一条对角线平分一组对角 四、正方形： 判定：（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形（2）有一组邻边相等的矩形（3）有一个内角是直角的菱形 性质：四个角都是直角四条边都相等两条对角线相等，并且互相垂直每条对角线平分一组对角 五、其他定理 中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 六、平行四边形证明题 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。（1）求证：BE=DF （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，判断四边形MENF的形状 2、如图，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE、CF交于点B、D。求证：四边形ABCD是平行四边形 3、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。（1）求证：△ABE≌△CDF （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO 4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD。求证：EF=AD
特殊的平行四边形单元精编讲义
第十八章 四边形 第一节 平行四边形 一 、课标导航 二 ．核心纲要 1． 平行四边形的定义 两组对边分别平行四边形叫做平行四边形．平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”． 2．平行四边形的性质 (1)边：对边平行且相等． (2)角：对角相等，邻角互补． (3)对角线：对角线互相平分． (4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点． (5)面积＝底×高． 3．平行四边形的判定 (1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等四边形是平行四边形； ③一组对边平行四边形且相等的四边形是平行四边形； (2)角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．三角形的中位线 (1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； (2)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． A B C D
5．平行四边形中的面积关系 (1) 1 2ABC ABD DBC ADC ABCD S S S S S ????====? ； (2) 12341 2 ABCD S S S S S ====? ； (3) 1231 2ABCD S S S S =+=? ； (4) 13241 2 ABCD S S S S S +=+=? ； (5)14 23 S S S S =或S 1S 3 ＝ S 2S 4． 6．已知三点确定平行四边形的方法 已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，那么，以A 、B 、C 为顶点，可在平面上画出平行四边形的个数是3个，其作法分别为过三角形ABC 的三个顶点作对边的平行线，交点即为平行四边形的第四个顶点，如图所示． 本节重点讲解：一个图形，四个性质，五个判定，五个面积关系． 三、全能突破 A B C D E S S S 4 321S A B C D P S 13S 2 4 S S A B C D A B C D E F
完整版九年级上册-特殊的平行四边形知识点
九年级上册-特殊的平行四边形知识点总结 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、表示：字母按顺序书写。 3、性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等；③对角线：互相平分 4、判定：①以定义证明：两组对边平行的四边形是平行四边形； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 二、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形。 2、性质：①边：对边平行且相等（具有平行四边形的一切性质）； ②角：四个角相等，都是直角； ③对角线：相等，互相平分。 3、判定：①以定义证明：有一个角是直角的平行四边形； ②有三个角是90°的四边形； ③对角线相等的平行四边形； ④对角线互相平分且相等的四边形。 三、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、性质：①边：四条边相等； ②角：对角相等（具有平行四边形的一切性质）； ③对角线：互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 ④菱形的面积等于对角线乘积的一半。 3、判定：①以定义证明：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； ②四条边都相等的平行四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四，正方形的性质-具有矩形的性质，也具有菱形的性质。 1，定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2，性质：①边：对边平行，四边相等； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 3，判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形． ④对角线垂直的矩形是正方形； 五，直角三角形斜边中线的性质与直角三角形的判定 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ②判定：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
北师大版八年级平行四边形性质讲义
西安龙文教育一对一授课案 教师：学生：日期：星期：时段： 一、本章知识要点梳理： （1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是： （2）平行四边形的性质： 知识回顾： ①___________________________________________叫平行四边形 ②平行四边形性质有__________________________________ __________________________________ __________________________________ ③平行四边形对称性
二、典型例题讲解 例1．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积． 例2：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF． 例3已知：如图（a），ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F． 求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． 【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．
三、练习巩固 1.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（） A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1 2.如图4.4-11，EF过□ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长是( ) A.16 B.14 C.12 D.10 3.如图所示，在Y ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线BF交AD于点E，? 交CD的延长线于点F，则DF=________cm． 4．已知平行四边形的周长为28cm，相邻两边的差为4cm，求两边的长． 5.在□ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为30cm，△OCD的周长为20cm，求AB
平行四边形及特殊平行四边形知识点总结
平行四边形及特殊平行四边形知识点总结 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形矩形菱形正方形图形 性质1．对边 且； 2．对角； 邻角； 3．对角线 ； 1．对边 且； 2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 ； 1．对边且四条 边都； 2．对角； 3．对角线 且每 条对角线 ； 1．对边且四条 边都； 2．对角且四个角 都是； 3．对角线 且每条对角 线； 面积 2. 判定方法小结： (1) 判定平行四边形的方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (2) 判定矩形的方法： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 (3) 判定菱形的方法： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边都相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 (4) 判定正方形的方法： ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
③有一组邻边相等的矩形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 请按照下图中的序号回答每一种判定需要满足的条件： 3.基础达标训练： （1）两条对角线的四边形是平行四边形； （2）两条对角线的四边形是矩形； （3）两条对角线的四边形是菱形； （4）两条对角线的四边形是正方形； （5）两条对角线的平行四边形是矩形； （6）两条对角线的平行四边形是菱形； （7）两条对角线的平行四边形是正方形； （8）两条对角线的矩形是正方形； （9）两条对角线的菱形是正方形。 一、选择题（每题3分，共30分） 1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（） A．4个B．3个C．2个D．1个2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是（） A．5cm和7cm B．18cm和28cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
平行四边形及特殊的平行四边形证明习题
平行四边形及特殊的平行四边形 1．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ； （2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长． 2. 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接 AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ， 请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？ 3．（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上 任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ； ⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； B A C D F M 第1题图 E 第2题图 A D F C E G B A D
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长. 4. 如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合）， 连结 AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ． （1）求证：BF FD =； （2）A ∠在什么围变化时，四边形 ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么围变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件1 4 DG DA =，并说明 理由 5. 如图15，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB = ，BC =对角线AC BD ，相 交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． A B C D F E M