中考数学图形翻折
初三数学提优专题( 图形翻折)
第十二节图形翻折讲方法一、图形翻折的特点1.对应边相等,对应角相等2.对称点连线被折痕垂直平分3.计算时多用勾股定理或相似比例式二、什么样的条件是翻折问题的特征1.折叠问题2.等腰三角形三线合3.角平分线4.线段和或差求最值问题5.垂线6.特殊角学思路铺垫如图,把正方形沿着EF折叠使点B落在AD上,B/C/交CD于点N,已知正方形的边长为1,求△DB/N的周长.①正方形四边都相等,四个角都为直角②折叠前后对应边相等,对应角相等③求周长,需要转化三边压轴题在正方形ABCD中,(1)如图1,若点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,且∠AOF=900.求证:AE=BF(2)如图2,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.若DC=5,CM=2,求EF的长.提能力1.在平面直角坐标系中,一张矩形纸片OBCD 按图3放置,已知OB=10,BC=6,将这张纸片折叠,使点O 落在边CD 上,记作点A,折痕与边OD(含端点)交于点E,与边OB(含端点)或其延长线交于点F.请回答⑴若点E 的坐标为(0,4),求点A 的坐标⑵将矩形沿直线y=-21x+n 折叠,求点A 的坐标; ⑶将矩形沿直线y=kx+n 折叠,点F 在边OB 上(含端点),直接写出k 的取值范围2. (山西中考)综合与实践背景阅读早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”它被记载于我国古代著名数学著作《周牌算经》中,为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形,例如:三边长分别为9,12,15或32,42,52的三角形就是(3,4,5)型三角形,用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形实践操作如图3,在矩形纸片ABCD 中,AD=8cm,AB=12cm.第一步:如图4,将图3-2-5中的矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠,使点D 落在AB 上的点E 处,折痕为AF,再沿EF 折叠,然后把纸片展平第二步:如图5,将图3-2-6中的矩形纸片再次折叠,使点D 与点F 重合,折痕为GH, 然后展平,隐去AF.第三步:如图6,将图3-2-7中的矩形纸片沿AH 折叠,得到△AD /H,再沿AD /折叠, 折痕为AM,AM 与折痕EF 交于点N,然后展平.【问题解决】(1)请在图4中,证明:四边形AEFD 是正方形;(2)请在图6中,判断NF 与ND /的数量关系,并加以证明;(3)请在图6中, 证明:ΔAEN 是(3,4,5)型三角形;【探索发现】(4)在不添加字母的情况下,图6中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.3. 如图7是一张矩形纸片ABCD,AB=5,BC=1,在边AB 上取一点M ，在边CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K,得到ΔMNK, 如图8.(1) 若∠1=700，求∠MKN 的度数;(2)△MNK 的面积能否小于21?若能，求出此时∠1的度数;若不能,请说明理由; (3)如何折叠能够使△MNK 的面积最大?请你画图探究可能出现的情况,求出最大值.4.如图,将一个正方形纸片AOCD,放置在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点O(0,0),点D 在第一象限.点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A 、点D 重合),将正方形纸片折叠,使点O 落在点P 处,点C 落在点G 处,PG 交DC 于点H,折痕为EF,连接OP ，OH.设P 点的横坐标为m.(1)若∠APO=60°,求∠OPG 的大小;(2)当点P 在边AD 上移动时,△PDH 的周长l 是否发生变化?若变化,用含m 的式子表示l;若不变化,求出周长l;(3)设四边形EFGP 的面积为S,当S 取得最小值时,求点P 的坐标(直接写出结果即可)5.（浙江金华中考)如图9,将△ABC纸片沿中位线EH折叠,使点A的对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙,无重叠的矩形,这样的矩形称为叠台矩形.(1)将纸片按图10的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG:S□ABCD=________;(2)□ABCD纸片还可以按图11的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的长；(3)如图12,四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=10,小明把该纸片折叠,得到叠合正方形,请你帮助画出叠合正方形的示意图,并求出AD、BC的长.。
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
中考数学专题复习翻转折叠问题
翻转折叠问题【专题点拨】图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。
【解题策略】有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算.【典例解析】类型一：三角形折叠问题例题1：（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B． C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴=，∴CD=，BD=BC﹣CD=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B．变式训练1：（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）．类型二：平行四边形折叠问题例题2：（2016·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．【考点】平行四边形的性质【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．变式训练2：(2016河北3分）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）第13题图A．66°B．104°C．114°D．124°类型三：矩形折叠问题例题3：（2016贵州毕节3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选（B）变式训练3：（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°类型四：菱形折叠问题例题4：（2016·四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中OGD正确的结论个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】四边形综合题．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF=1，∴OG2=1，解得OG=，∴BE=2OG=2，GF===2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2+2，∴S正方形ABCD=AB2=（2+2）2=12+8，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选B．【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．变式训练4：（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为﹣1 ．类型五：圆的折叠问题例题5：（2015•聊城）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的（）A. 12B.13C.23D.352. 解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，∵OD=AO，∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOC=×⊙O面积．故选：B．变式训练5：（2016·山东省德州市·4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是．【能力检测】1.（2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．2.（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．3.（2016·浙江省绍兴市·5分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为．4.（2016·重庆市A卷·4分）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是多少？5.（2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；若不能，请说明理由．【参考答案】变式训练1：（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a （用含a的式子表示）．【解析】翻折变换（折叠问题）．由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长．【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，∴BF=2a，∵∠B=30°，∴DF=BF=a，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a．变式训练2：(2016河北3分）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）第13题图A．66°B．104°C．114°D．124°【解析】平行线的性质，折叠关系。
初中几何翻折问题总结
初中几何翻折问题总结几何翻折问题是初中数学中较为有趣且富有挑战性的部分。
通过对几何图形的翻折，我们可以培养空间想象能力和逻辑思维能力。
本文将对初中阶段的几何翻折问题进行总结，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、翻折问题基本概念1.翻折：将一个几何图形沿着某条线（折痕）翻转到另一个位置，使得翻折前后的图形完全重合。
2.折痕：翻折过程中，图形沿着某条线折叠，这条线称为折痕。
3.对称轴：翻折过程中，图形两侧关于折痕对称的直线称为对称轴。
二、翻折问题类型及解题方法1.点的翻折（1）问题：已知点A关于直线l翻折得到点A"，求点A"的坐标。
（2）解题方法：利用对称性，找到点A关于直线l的对称点A"，根据对称点的性质求解。
2.线段的翻折（1）问题：已知线段AB关于直线l翻折得到线段A"B"，求线段A"B"的长度及位置关系。
（2）解题方法：利用对称性，找到线段AB关于直线l的对称线段A"B"，根据对称线段的性质求解。
3.角的翻折（1）问题：已知角∠ABC关于直线l翻折得到角∠A"B"C"，求角∠A"B"C"的大小及位置关系。
（2）解题方法：利用对称性，找到角∠ABC关于直线l的对称角∠A"B"C"，根据对称角的性质求解。
4.几何图形的翻折（1）问题：已知几何图形ABC关于直线l翻折得到几何图形A"B"C"，求几何图形A"B"C"的面积、周长等。
（2）解题方法：利用对称性，找到几何图形ABC关于直线l的对称图形A"B"C"，根据对称图形的性质求解。
三、翻折问题注意事项1.注意翻折过程中图形的形状、大小、位置关系的变化。
2.熟练掌握对称点的性质，如：对称点关于对称轴的距离相等、对称点连线的延长线交于对称轴等。
中考数学中的折叠问题精选全文
精选全中考数学中的折叠问题文完整版（可编辑修改）近年来，在各地中考数学命题时，十分重视对图形语言、文字语音、符号语言的理解运用及相互之间的关系，相互之间的转化能力以及动手操作能力的考查。
这样，图形的折叠问题就成为一个亮点，有关翻折的考题日趋增加。
翻折问题的解决方法，抓住翻折后与翻折的图形是以折痕为轴的轴对称图形这一关键，并运用代数方程，一般均可求得。
下面我们以中考题为例，谈谈翻折问题的几例类型及解法，供大家参考。
一、以矩形为母体的翻折这种类型最多，以折痕的不同位置又可分下面几种：1、沿对角线翻折例1、(2000年山西省)已知：如图1，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C 落在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积。
分析：因为BD是对称轴，∴∠CBD=∠C’BD，又AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，得：∠C’BD=∠ADB，∴ED=EB设ED=x，∴AD=8-x在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即42+(8-x)2=x2，∴x=5，∴ED=EB=5又BD=∴S△BED==10方法2：过E作EF⊥BD，垂足F，在得到BE=5，BD=4后，在Rt△BEF中，EF=，得S△BED=BD×EF=×4×=10方法3：∵Rt△BEF∽Rt△BDC’，∴EF：DC’=BF：BC’，得EF==(以下略)2、沿一直线翻折，使一顶点落在对边上例2、(2000年山东省)已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4：5，E是AB 上一点，沿CE将△EBC向上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，如图2，则tg∠DCF=______。
A、B、C、D、分析：因为CF=CB，∴CF：CD=5：4，得CD：DF=4：3，∴tg∠DCF==，应选(A)。
例3、(1998年台州市)如图3，矩形ABCD的长、宽分别为5和3，将顶点C 折过来，使它落在AB上的C’点(DE为折痕)，那么阴影部分的面积是______。
中考数学试卷翻折题及答案
已知直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6。
将直角三角形ABC沿斜边AB翻折，使点C落在斜边AB上，设C'为C在AB上的投影，连接CC'，求证：∠AC'C=90°。
二、解题过程：证明：1. 由于直角三角形ABC沿斜边AB翻折，点C落在斜边AB上，设C'为C在AB上的投影。
2. 根据翻折的性质，得到CC'垂直于AB，即∠C'AB=90°。
3. 因为∠C=90°，所以∠AC'B=90°。
4. 在直角三角形AC'B中，根据勾股定理，得到AC'B=√(AC^2+BC^2)=√(8^2+6^2)=10。
5. 由于AC=AB，所以∠AC'B=∠AC'B'。
6. 根据等腰三角形的性质，得到∠C'AB=∠C'BA。
7. 由于∠C'AB=90°，所以∠C'BA=90°。
8. 因此，∠AC'C=∠C'BA=90°。
综上所述，得证∠AC'C=90°。
三、答案：证明过程如下：1. 根据翻折的性质，得到CC'垂直于AB，即∠C'AB=90°。
2. 因为∠C=90°，所以∠AC'B=90°。
3. 在直角三角形AC'B中，根据勾股定理，得到AC'B=√(AC^2+BC^2)=√(8^2+6^2)=10。
4. 由于AC=AB，所以∠AC'B=∠AC'B'。
5. 根据等腰三角形的性质，得到∠C'AB=∠C'BA。
6. 由于∠C'AB=90°，所以∠C'BA=90°。
7. 因此，∠AC'C=∠C'BA=90°。
中考数学复习专题23—图形的翻折问题
B'A'E DABC OCDBACDBA中考数学专题复习23——图形的折叠问题一、翻折与基本几何图形：翻折遇平行→等腰三角形，翻折遇垂直→K字型，翻折遇十字架结构等1.（淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB=6，BC=8，E是CD上一点，将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN= 。
2.（山西）如图，将正方形ABCD沿MN折叠，使点D落在AB边上，对应点为D’，点C落在点C’处，若AB=6，AD’=2，则折痕MN的长为。
二、翻折与隐圆：3.（淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在AC边上，且CF=2，E为BC边上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到AB边距离的最小值为。
4.如图，在□ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=33，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是。
三、巩固练习：1.如图，在矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A’恰好落在边OC上，则OE的长为。
2.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D’。
（1）求点D’刚好落在对角线AC上时，D’C的长；（2）求点D’刚好落在此矩形的对称轴上时，线段DE的长。
第1题第2题第3题第4题第1题第2题D'E C B D NM C B DA AM 3.如图1，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，M 是边CD 上一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM 。
（1）当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；（2）连接BN ，当DM=1时，求△ABN 的面积；（3）如图2，若E 为AD 的中点，将△DEM 沿直线ME 对折，得到△D ’EM ，连接BD ’，求BD ’的最小值。
中考数学专题训练：图形的折叠问题(附参考答案)
中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。
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第18题――图形翻折
图形翻折
1、如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是 ．
2、如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=50°，则∠BDF 的度数是 ．
3、如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32=AB ，则AE 的长为
4、如图，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ．
5、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠， 使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕 EF 的长为 ．
6、如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A'落在ºBC
若BC=6，则折痕在△ABC 内的部分DE 的长为__________
7、已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，点D 是边上一点，连BD ，若沿直线BD 翻折，点A 恰好落在边BC 则AD ：DC= ．
8、正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点， 折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN 设梯形ADMN 的面积为1S ，梯形BCMN 的面积为2S ，那么1S ∶2S 的值是
N
A
C
B E
B E
C A
B ′ G D
F
9、如图2,把腰长为4的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是
.
10、如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ︒
∠=将
梯形沿直线EF
翻折，使B 点落在线段AD 上，记作'
B 点，连 结'B
B 、交EF
于点O ，若'90B FC
︒
∠=
，则:EO FO = .
11、等边△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，折叠三角形
使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则
∠CMN =
度． 12、有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9,AD=6,将纸片折叠，使得AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与
BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为 ．
A B A D B D B
D C
E C E C 13、如图，有一矩形纸片ABCD ，AB =10，AD =6， 将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再 将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于
F ， 那么△CEF 的面积是 。
14、如图1，在等腰直角△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上，
060=∠ADB ，将△ADC 沿AD 翻折后点C 落在点C /，则AB 与
BC /的比值为________.
15、△ABC 中，BC=2，∠ABC=30°，AD 是△ABC 的中线，把△ABD 沿AD 翻折到同一平面，点B 落在B′的位置，若AB′⊥BC ，则B′C=__________．
图2
'第12题图
16、在△ABC 的纸片中，∠B =20°，∠C =40°，AC =2，将△ABC 沿边BC 上的高所在直线折叠后B 、C 两点之间的距离为 ．
17、如图5，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD ，则AF 等于 ．
18、在Rt △ABC 中，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A
落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 （度）．（）
19、在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3 ．折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图二），折痕DE 的长为 ．
20、在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AB ′E ，那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 ．
（
图二）
A
B
C D E
Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ
Ｄ Ａ 图5。