中考数学二轮复习解答重难点题型突破题型六二次函数与几何图形综合题课件
BE 解析式
y＝－3x＋12 x＝4 x＝5 为 y＝－3x＋12，联立直线 BE 和抛物线解析式可得 ， 解得 或 ，∴ 1 2 3 y＝0 y＝－3 y ＝－ x ＋ x ＋ 2 2 2
作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
(3)连接OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．
1 ． 解： (1) 将点 B ， 点 C 的坐标分别代入 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ 4 可得
a＝－1 4a－2b＋4＝0 4 1 3 ，解得 ，∴二次函数的表达式为 y＝－4x2＋2x＋4； 3 64a＋8b＋4＝0 b＝2
△ABD
？若存在请直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由； (3)将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45° ，与抛物线交于另一点 E，
求 BE 的长．
解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx＋2 经过点 A(－1，0)，B(4，0)，
a＝－1 a－b＋2＝0 2 ∴ 解得 ， 3 16 a ＋ 4 b ＋ 2 ＝ 0 ， b＝2
类型二 二次函数与图形面积(2012.23(2)) 【例 3】 (2017· 深圳)如图， 抛物线 y＝ax2＋bx＋2 经过点 A(－1， 0)，B(4，0)，交 y 轴于点 C； (1)求抛物线的解析式(用一般式表示)； 2 (2)点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 S△ABC＝3S
③以 BD 为边，如解图③，过 M 作 MH⊥x 轴于 H， ∴MH2＋BH2＝BM2，
1 即( n－2)2＋(n－4)2＝12， 2 2 5 2 5 2 5 5 ∴n1＝4＋ ，n2＝4－ (不合题意，舍去)，∴N(5＋ ， )， 5 4 5 5 9 1 23 4 2 5 5 2 5 5 综上所述，当 N( ，－ )或( ， )或(5－ ，－ )或(5＋ ， )时，以点 B，D，M， 2 4 5 5 5 5 5 5 N 为顶点的四边形是菱形.
而 PN＝2FN，∴FN＝CF＝
5 m，PN＝2FN＝ 5m， 2
5 在 Rt△PFN 中，由勾股定理得：PF＝ FN2＋PN2＝ m. 2 7 1 5 ∵PF＝yP－yF＝(－m2＋ m＋2)－( m＋2)＝－m2＋3m，∴－m2＋3m＝ m， 2 2 2 1 1 1 7 整理得：m2－ m＝0，解得 m＝0(舍去)或 m＝ ，∴P( ， )； 2 2 2 2 23 13 同理求得，另一点为 P( ， )． 6 18 1 7 23 13 ∴符合条件的点 P 的坐标为( ， )或( ， )． 2 2 6 18
【对应训练】
1．(2017·新乡模拟)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为 Q(2，－1)，且与y轴交于点 C(0，3)，与x轴交于 A，B两点(点A 在点B的右 侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重 合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D. (1)求该抛物线的解析式； (2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、 P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明 1．解：(1)∵抛物线的顶点为Q(2，－1)，∴设抛物线的解析式为 理由． y＝a(x－2)2－1， 将C(0，3)代入上式，得：3＝a(0－2)2－1，a＝1；
3k＋b＝0 k＝－1 将 A(3，0)，C(0，3)代入上式得： ，解得 ；∴y＝－x＋3； b ＝ 3 b ＝ 3
设D2(x，－x＋3)，P2(x，x2－4x＋3)，则有：(－x＋3)＋(x2－4x＋3)＝0， 即x2－5x＋6＝0； 解得x1＝2，x2＝3(舍去)；
∴当x＝2时，y＝x2－4x＋3＝22－4×2＋3＝－1；
1 1 (2)令 y＝ x2－ x－2＝0，解得：x1＝－2，x2＝4，当 x＝0 时，y＝－2，∴B(4，0)，C(0， 4 2
k＝2 4k＋c＝0 －2)，设 BC 的解析式为 y＝kx＋c，则 ，解得： c ＝－ 2
1
，∴直线 BC 的解析式为 y c＝－2
1 1 1 1 ＝ x－2，设 D(m，0)，∵DP∥y 轴，∴E(m， m－2)，P(m， m2－ m－2)， 2 2 4 2 1 1 1 ∵OD＝4PE，∴m＝4( m2－ m－2－ m＋2)， 4 2 2 7 1 ∴m＝5 或 m＝0(舍去)，∴D(5，0)，P(5， )，E(5， )， 4 2 1 7 1 1 33 ∴S 四边形 POBE＝S△OPD－S△EBD＝ ×5× － ×1× ＝ ； 2 4 2 2 8
(2)设点 N 的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，∵B(－2，0)， C(8，0)，则 BN＝n＋2，CN＝8－n. 1 3 ∴BC＝10，在 y＝－ x2＋ x＋4 中令 x＝0，可解得 y＝4， 4 2 1 1 ∴点 A(0，4)，OA＝4，∴S△ABN＝ BN· OA＝ (n＋2)×4＝2(n＋2)， 2 2 S△AMN AM 8－n AM NC 8－n ∵MN∥AC，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ， AB BC 10 10 S△ABN AB ∴S△AMN＝ 8－n 1 1 S△ABN＝ (8－n)(n＋2)＝－ (n－3)2＋5， 10 5 5
1 3 ∴抛物线解析式为 y＝－2x2＋2x＋2；
(2)由题意可知 C(0，2)，A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，OC＝2， 1 1 2 3 15 ∴S△ABC＝ AB· OC＝ ×5×2＝5，∵S△ABC＝ S△ABD，∴S△ABD＝ ×5＝ ， 2 2 3 2 2 1 1 15 1 3 设 D(x，y)，∴ AB· |y|＝ ×5|y|＝ ，解得|y|＝3，当 y＝3 时，由－ x2＋ x＋2＝3，解得 2 2 2 2 2 x＝1 或 x＝2，此时 D 点坐标为(1，3)或(2，3)； 1 3 当 y＝－3 时，由－ x2＋ x＋2＝－3，解得 x＝－2(舍去)或 x＝5，此时 D 点坐标为(5， 2 2 －3)；综上可知存在满足条件的点 D，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)；
c＝2 7 ∴ 7，解得 b＝2，c＝2， － 9 ＋ 3 b ＋ c ＝ 2
7 ∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋2；
7 1 (2)设 P 点坐标为(m，－m2＋2m＋2)，F(m，2m＋2) ∵PF∥CO，四边形为平行四边形，∴PF＝CO， ∴yP－yF＝± (yc－yo)， ∴－m2＋3m＝2 或－2， 3＋ 17 3－ 17 ∴m＝1 或 2 或 2 或 2 (舍)， 3＋ 17 ∴当 m＝1 或 2 或 2 时，以 O、C、P、F 为顶点的四边形是平 行四边形．
(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一 点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是 菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx－2 的对称轴是直线 x＝1，A(－2，0)在抛物 线上， 1 b a ＝ 4 －2a＝1 ∴ ，解得： ， 1 2 b＝－2 （－2） a－2b－2＝0 1 1 抛物线的解析式为 y＝4x2－2x－2；
(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形
是平行四边形？请说明理由．
(3)若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．
1 解：(1)在直线解析式 y＝2x＋2 中，令 x＝0，得 y＝2，∴C(0，2)． 7 ∵点 C(0，2)、D(3，2)在抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上，
E(5，－3)，∴BE＝ （5－4）2＋（－3）2＝ 10.
【对应训练】 1．(2017· 甘肃)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于 点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；
(2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N
1 【例 2】 (2013· 河南)如图， 抛物线 y＝－x ＋bx＋c 与直线 y＝2x＋2 交于 C、
2
7 D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为(3，2)．点 P 是 y 轴右侧的抛物线 上一动点，.
(1)求抛物线的解析式；
∴P2的坐标为P2(2，－1)(即为抛物线顶点)．
∴P点坐标为P1(1，0)，P2(2，－1)；
(3)由(2)知，当 P 点的坐标为 P1(1，0)时，不能构成平行四边形； 当点 P 的坐标为 P2(2，－1)(即顶点 Q)时， 平移直线 AP 交 x 轴于点 E，交抛物线于 F； ∵P(2，－1)，∴可设 F(x，1)；∴x2－4x＋3＝1， 解得 x1＝2－ 2，x2＝2＋ 2； ∴符合条件的 F 点有两个，即 F1(2－ 2，1)，F2(2＋ 2，1).
专题二 解答重难点题型突破
题型六 二次函数与几何图形综合题
类型一 二次函数与图形判定【例1】(2017·营口)如图，抛物线y＝ax2＋
bx－2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的 坐标为(－2，0)，点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交 直线BC于点E. (1)求抛物线解析式； (2)若点P在第一象限内，当OD＝4PE时，求四边形POBE的面积；
(3) 存在． 7 理由：设点 P 的横坐标为 m，则 P(m，－m2＋2m＋2)， 1 F(m，2m＋2)．
如解图，过点 C 作 CM⊥PE 于点 M，则 CM＝m，EM＝2， 1 ∴FM＝yF－yM＝2m， ∴tan∠CFM＝2. 5 在 Rt△CFM 中，由勾股定理得：CF＝ 2 m. 过点 P 作 PN⊥CD 于点 N， 则 PN＝FN· tan∠PFN＝FN· tan∠CFM＝2FN. ∵∠PCF＝45° ，∴PN＝CN，
毕节专版中考数学复习专题8二次函数与几何图形的综合精讲课件
毕节中考备考I夂略命题规律二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现, 具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点，同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.解题策略1.二次函数与线段的长（1）一般设抛物线上点的横坐标为乂，纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为乂, 纵坐标为直线解析式，两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；（2）建立关于线段长的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长的最值；（3）线段长之和最小的问题，转化为对称点后用两点之间线段最短解决.(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长，利用割补方法求图形3.二次函数与特殊三角形(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论；(2)判断直角三角形，可以对直角顶点进行分类讨论.4.二次函数与特殊四边形此类题型结合特殊四边形的判定方法，对对应边进行分类讨论，求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.5.二次函数与相似三角形结合相似三角形判定方法，如果一个角为直角, 只需两直角边之比分别相等，此时要对对应边分类讨论.类型I 二次函数与线段的长与夕轴交于C点【解析】（1）由抛物线的对称轴力=3,利用二次函数的性质即可得到Q的值，进而可得出抛物线的解析式2再利用抛物线与乞轴交点的纵坐标为0可求出点的坐标；【答案】解：(1)I 抛物线夕+ ；工+4的对称轴3是直线乂=3, £ = 3,解得＜2=—£ | 二抛物线的解析式为y= —■ 土+号工+4.当M3iAO B兀(2)当x=0时，;y=—""" z+4 = 4,・••点C的坐标为(0,4).设直线BC的解析式为y=kx+b(k^0).将B(8 ?0) ?C(0,4)代入y=kx+b,得以+ b=0,5=4，•:直线BC的解析式为夕=*乂+4.亠——MB兀设点M的坐标为frn,——m2+号加4，则点N的_、]坐标为（加，—~m.\MN = —*加+4—+加2+2肌.—加2 +2加3.4M3i B x针对训练11.(2018・安顺中考改编)如图，已知抛物线夕=处2 +处+c(a^0)的对称轴为直线工=一1,且抛物线与久轴交于两点，与歹轴交于点C,其中(1) 若直线y = 两点，求直线占C 和抛物线的 解析式；(2) 在抛物线的对称轴-1 上找一点使点M 到点A的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的77经过B,CABAX坐标.解:（1）依题意，得解悬b= —2yc=3，・°・抛物线的解析式为y=—x2—2x+3.令夕=0,则一JC Z—2久+3 = 0，解得乂 1 =1口2 = —3,把3( —3,0) ,C(0,3)代入得3 m T刃=0 9zz = 3,777= 1 ^3,解得丿I 7?・••直线EC的解析式为A x B_liI(2)设直线BC与工=—1的交点为M,连接AM. •・•点A, E关于抛物线的对称轴对称，・・・MA=MB,:.MA+MC=MB+MC= BC,・・・当点M为直线EC与x = -l的交点时,MA+MC的值最/」\・把力=一1代入y=jc+3,得y=2.M( —1,2).| y B类型2 二次函数与图形的面积例2 (2018・达州中考改编)如图，抛物线经过原7点0(0,0) ,A( 1,1),JB(㊁(1)求抛物线的解析式；(2)连接OA,过点A作AC丄QA交抛物线于点C,连接OC,求ZWOC的面积.标代入求出a ,即可得到抛物线的解析式;【解析】⑴设交点式歹 9然后把A 点坐(2)延长CA交j；轴于点D,易得OA=^2,ZDOA= 45°,则可判断ZUOD为等腰直角三角形，由此可求出D点坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，再结合抛物线的解析式可得关于JC的一元二次方程，解方程可得点C的坐标，利用三角形面积公式及S&ioc — S z\cr)n —S^AOD进行计算9进而得出△AOC的面积.【答案】解:⑴设抛物线的解析式为y=ajc(x—^-7把A(1,1)代入夕=<2&(乂2 )，可得Q ・•・抛物线的解析式ID yc(2)延长CA交夕轴于点D. VA(1,1),ZOAC=90°, ・・・OA=©,ZIX)A=45°,AAOD为等腰直角三角形, /. OD=/2OA = 2,・；D(0,2).由点A(l,l),D(0,2),得直线AD的解析式为夕=攵+2,解得心=1,孔=5・当x—5 时^y=—元+2 = — 39(：(59 —3) 9••S/JC =S^a)r)—S△戌)° =》X 2 X 5 X 2 X1=4.针对训练22.(2018・眉山中考孜编)如图，已知抛物线J/二ax2 +fcr+c经过点A (0,3) ,B(1,0)，其对称轴为直线4工二2,过点A作AC//JC轴交抛物线于点C,ZAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛(1)求抛物线的解析式;(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接P&PO,当772为何值时，四边形AOPE的面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得D(3,0),设抛物线的解析式为1)(工一3).把A(0,3)代入y—a{jL—1) (x—3)，得3=3a, 解得a(2)由题思知P(m,m2—4m+3). ・.・ OE 平分Z AOB, ZAOB=90°, A ZAOE= 45°,・・・AAOE是等腰直角三角形, /.AE=OA=3, 易得OE的解析式为歹=工过点P 作PG//y 轴，交OE 于点G,则G(m ，沁, /. PG=m — ( TYV —4/71+3) = —nr +5z?? — 3.• • S 四边形= S^AOE + S M )E AO= *X3X3 + + _PG • AE Q 1=X( —+ 5/7?—3) X3 3 275 y-3少丄15一~ nr 十—mr 2 )D x1 E C・••当加=号时,四边形AOPE的面积最大，最大值是1 EAO D x【答案】解:⑴丁二次函数y^ajc 2+号乂十c 的图象 与歹轴交于点A(0,4)，与x 轴交于点C(8,0),( 1 Q=—牙c=4,1 2丄3丄/y=~-^x 十刁久十4；• ■丿•:二次函数的表达式为64Q +12+C =0,解得' XB f 0 CX(2)・.・A(0,4),C(8,0), ・・・AC=A/42 +&=4怎（1）解:将A（— 3，0），B（5，— 4）代入y = ax' ~\ b 乂一4,得常O解得1 6，_卫地遡线的表达式为1 2 5 』y=~x —~x—4；CK~~7B(2)证明：•.•AO=3,OC=4,.•.AC=5.取13(2 ? 0)，则AD—AC— 5. 由两点间的距离公式可知BD /(5 —2严+ (—4—07 = 5.VC(0,—4)，J B(5,—4), ABC=5. :.AD=AC=BD=BQ・・・四边形ACBD是菱形，:.ZCAB=ZBAD, :.AB平分ZCAO；。
中考数学总复习专题二次函数与几何图形综合题课件
题型一 最值(或取值范围 )问题
(2)①设直线PQ的表达式为y=kx+1.b把 P
-1,7
24
,Q
7,-9
24
两点的坐标代入,得
7 = -1 ??+
42
-9 = 7 ??+
42
?1?,解得 ?1?.
??= ?1? =
-1,
5 4
.
∴直线PQ的表达式为y=-x+5.过点D 作DF⊥x 轴于E,交PQ于 F.
题型一 最值(或取值范围 )问题
例 1 [201·盐8 城] 如图 Z8-1①,在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A(-1,0),B(3,0)两点,
且与 y 轴交于点 C.
(2)如图②,用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x 轴,
并沿 x 轴左右平移 ,直尺的左右两边所在的直线与抛
y=x2-2x+1.
4
(2)当 b=2 时,y=x2+2x+c,对称轴为直线 x=-22=-1,
如图,在抛物线上取与 N 关于对称轴 x=-1 对称的点 Q,
由 N(2,y2),得 Q(-4,y2).
又∵M(m,y1)是抛物线上的点 ,且 y1>y2,由函数增减性 ,得 m<-4 或 m>2.
S△BCP=12PQ·(3-x)+12PQ·
x-3
2
=1PQ·(3-x+x-3)=3PQ=- 3x2+9 3x-9 3.
2
24
2
44
∴当
x=9(满足3
4
2
<94<3)时,S△BCP
有最大值,则四边形
二次函数中考知识点及典型例题讲解 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
A．①②③ B．②④ C．①② D．②③⑤
典型例题1
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②该抛物 线的对称轴是直线x=1；③当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c；④a-b+c＞0；
⑤b2﹣4ac＞0 其中正确的有（ D ）
4、二次函数图象的特征与a、b、c的关系
2014年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷 利用一次函数函数图象判断k、b的取值范围
6．如图，直线 l 经过第二、三、四象限，l 的解析式是 y=（m﹣2）x+n，则 m 的取值范围在
数轴上表示为（ C ）
A．
B．
C．
D．
2016年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷 根据k、b的取值范围判断一次函数函数图象所处的象限
图象的特征
开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧 经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一交点（顶点） 与 x 轴有两个交点 与 x 轴没有交点
典型例题1
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：① abc＞0；②该抛物线的对称轴是直线x=1； ③当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c；④a-b+c＞0；
5.若 k≠0，b<0，则 y=kx+b 的图象可能是（ B ）
根据河北中考题目的特征：继承和创 新，2018年有可能出现二次函数图象 与系数a、b、c的关系的题目，下面 我们来看有关这方面问题的探讨。
4、二次函数图象的特征与a、b、c的关系
中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型六二次函数与几何图形综合题课件
1 (3)存在，设 M(n，2n－2)，①以 BD 为对角线，如解图①， 4＋5 9 1 ∵四边形 BNDM 是菱形，∴MN 垂直平分 BD，∴n＝ 2 ，∴M(2，4)， 9 1 ∵M，N 关于 x 轴对称，∴N(2，－4)；
②以 BD 为边，如解图②， ∵四边形 BNMD 是菱形，∴MN∥BD，MN＝BD＝MD＝1， 过 M 作 MH⊥x 轴于 H，∴MH2＋DH2＝DM2， 1 28 23 4 即(2n－2)2＋(n－5)2＝12，∴n1＝4(不合题意)，n2＝ 5 ，∴N( 5 ，5)， 1 2 5 2 5 同理(2n－2)2＋(4－n)2＝1，∴n1＝4＋ 5 (不合题意，舍去)，n2＝4－ 5 ， 2 5 5 ∴N(5－ 5 ，－ 5 )，
【对应训练】
1．(2017·新乡模拟)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为 Q(2，－1)，且与y轴交于点 C(0，3)，与x轴交于 A，B两点(点A 在点B的右 侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重 合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D. (1)求该抛物线的解析式； (2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
∴y＝(x－2)2－1，即y＝x2－4x＋3；
(2)分两种情况： ①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合； 令y＝0，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3； ∵点A在点B的右边，∴B(1，0)，A(3，0)；∴P1(1，0)；
②当点 A 为△AP2D2 的直角顶点时； ∵OA＝OC，∠AOC＝90° ，∴∠OAD2＝45° ； 当∠D2AP2＝90° 时，∠OAP2＝45° ，∴AO 平分∠D2AP2； 又∵P2D2∥y 轴，∴P2D2⊥AO，∴P2、D2 关于 x 轴对称； 设直线 AC 的函数关系式为 y＝kx＋b(k≠0)．
中考复习专题：二次函数与几何的综合题PPT课件
10
即y=∴∴13x–二23–次=a函83(0x数+–13的)．(0解–析9)，式解为4分得y=a=13(x3+1，)(x–9)，
（2０11资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c(a<0)过原点，与x 轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点．
(1) 如图14-1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；(3分)
2008年资阳24．（本小题满分12分）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），
点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、 BC，过A、B、C三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式；
解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
3.联立函数表达式.
互转化的基础是：点坐标与线段长。 一般解题思路是：
解析式方程组的解是图像交点坐标
（1）已知点坐标 线段长，线段长 点
坐标；
（2）用待定系数法求函数解析式；
（3）解析式 点坐标 线段长 面积
及其它。
（压轴题07） 点P为抛物线 y x2 2mx m2 (m为常数， )上任m一点0，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90度后得到的 新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q 为点P旋转后的对应点.
(2) (3分) 求点D的坐标；
三垂直：横平竖直
F
O'D=O'A=2,DC=AC=4 ∆DO'F∽∆CDM,类似比1：2 设O'F=a，DF=b。 则DM=2a，CM=2b。 所以，2a+b=4.且2+a=2b。
DN=DF-FN=3/5
N
中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题试题-人教版初中九年级
题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1．(2017·某某)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·某某模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2016·某某)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.类型二 二次函数与图形面积1．(2017·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·某某)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．类型三二次函数与线段问题1．(2017·某某)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1AM ＋1AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·某某模拟)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.3．(2017·某某)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.类型四二次函数与三角形相似1．(2016·某某)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，233)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△Q与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a ＋4)2＋2(a ＋4)－3， 解得a ＝－2，∴b ＝a 2－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a －4)2＋2(a －4)－3， 解得a ＝2.∴b ＝4－4－3＝－3， ∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3). 2．解：(1)∵抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋233，联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－233x ＋233y ＝－233x 2－433x ＋23，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴A(－2，23)，B(1，0)；(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形， 如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y ＝－233x 2－433x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2＋（23）2＝13， 由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MDAD ＝3，∴∠DAM ＝60°，∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°， 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，∴此时N 点坐标为(32，332)；综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，332)；(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ， 在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF，∴△ACK ≌△EFH(AAS )， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，233)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－433，∴E(－1，－433)； 当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴线段AC 的中点坐标为(－52，3)，设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－52)，y ＋t ＝23，∴x ＝－4，y ＝23－t ，代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－433，∴E(－1，－433)，F(－4，1033)；综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－433)、F(－4，1033).3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m－1)2＋3，又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；图①图②(3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2， 又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)， 由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)， 由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3). 4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n ＝4，∴y ＝－43x ＋4，令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，解得b ＝－43，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－43m －2)，∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－43m －2＋2|，当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∴m 2＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12；(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5， ∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35，①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－43m ，在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝35，∴ND ′＝35(23m 2－43m)，在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝45，∴D ′M ＝－45m ，∴ND ′－MD′＝2，∴35(23m 2－43m)－(－45m)＝2， 解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②， 同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝45m ，ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋45m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)，②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝35m ，∵P ′N ＝BM ，∴45(23m 2－43m)＝35m ， 解得m ＝258或m ＝0(舍去)，∴P(258，1132)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，1132).类型二 二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN ，设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，12a ＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DMBN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝43，如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ，∴－12a 2－32a －a ＝12，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝43，设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2911， ∴点D 的横坐标为－2或－2911.2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32)；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E(x ，x 2－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ，∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2＋3x)＝－32(x －32)2＋278，∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－34)，即当E 点坐标为(32，－34)时，△CBE 的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q. ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3， 解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．如解图②，连接AC ，PC.可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S四边形PBAC＝S △BPM ＋S四边形PMOC＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝12(x＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋32，将y ＝x 2＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.∵－32＜0，－3＜x ＜0，∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2＋2x －3＝－154.∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为758.4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)． ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)． 将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3； (2)如解图①，连接OP.将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1. 由题意可知P(t ，t 2－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，配方得：S ＝－32(t －32)2＋758，∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为758；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－172，∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－172)，∴OO ′＝2＋342或OO′＝34－22， ∴△DOB 平移的距离为2＋342或34－22， 当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－132.∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－132)．∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋262.∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋262.综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋262单位长度，或沿AD 方向平移34－22或－2＋262个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三 二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－13.令y ＝0，得ax 2－23ax －9a ＝0，∵a ≠0，∴x 2－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝33AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)， 设点P 的坐标为(3，a)．∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4. ∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2k －3，∴点M 的横坐标为2k －3.如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋ 3.∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1，∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y ＝34×4－1＝2，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝43，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝145DE ，∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l ＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1， 解得m ＝712，如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ， 将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2my 2＝2m 2－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2－m)． ∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝12x(x －1)，∴点E 的坐标为(1，0)．设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝1k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12b 1＝12，∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋12.设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－12b 2＝m， ∴直线FH 的解析式为y ＝－12x ＋m.∴FH ∥AE ；(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM ＝2PM ， ∴QM′QP′＝MM′PP′＝23，∴QM ′＝43，MM ′＝23t ，∴点M 的坐标为(t －43，23t)，又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴23t ＝12(t －43)2－12(t －43)， 解得t ＝15±1136，当点M 在线段QP 的延长线上时， 同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴2t ＝12×(t －4)2－12(t －4)，解得t ＝13±892.综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋892秒时，QM ＝2PM.类型四 二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点， 则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， ∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|，由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N ∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB，①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)，②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1， 此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13c ＝1， ∴直线的表达式为y ＝13x ＋1，把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋1；(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，13t ＋1)，∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，54)；(3)设P(m ，－13m 2－23m ＋1)，如解图，∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－23m ＋1＜0，∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋23m －1，∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝313m 2＋23m －1，解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3m ＋3，解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－53)；综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝23，∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋23x ＋33； (2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点， 当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)， 直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，设M(n ，－3n 2＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)， ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2＋33n ， S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是2738；(3)存在；理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733，当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝73，将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，233－1)，如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ， 则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CEEQ ＝3，可得Q 的坐标为(－23，－33)；根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，533)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △P ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940；②存在．∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°， ∴当△Q 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3，当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527).。
初三二次函数ppt课件ppt课件
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
中考二次函数复习课件【优质PPT】
x=2，y最大值=3
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(-1，3)， (1，3) ， (2，6) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
顶点(6，3）
解法一设解析式为y=a(x-0)(x-12)
令y=1.4,则-0.2x2+3.2=1.4
B x解得x=-3或x=3 ∴M(-3,1.4),N(3,1.4) ∴MN=6 20 答：横向活动范围是6米。
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标y ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
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14
5一.待般定式系数y法=a求x解2+b析x式+c (a≠0) 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
6–
3–
-2 -1
12
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
二次函数的图象是一条 对称轴平行于 y 轴．
抛物线
，它是 轴
对称图形，其
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2
y 3.二次函数的图象及性质y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
二次函数与几何图形综合题(共67张PPT)
∴y＝－3x＋3，
∴当△ACG是一个以AG为底边的等腰三角形时，CG的解析式为y＝－3x＋3；
③以CG为底边，则AC＝AG，
∴10＝(1＋g)2，
解得x1＝－1＋ 10，x2＝－1－ 10， ∴点G的坐标为(－1＋ 10 ，0)或(－1－ 10 ，0)，
将G(－1＋ 10 ，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，可得y＝－
3.
∴∠C′BH＝60°. 由翻折得∠DBH＝ 1 ∠C′BH＝30°，
2
∵在Rt△BHD中，DH＝BH· tan∠DBH＝2tan30°＝2 3 ，
3 ∴点D的坐标为(1， )；(7分)
(3)如解图①，取(2)中的点C′，D，连接CC′， ∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°， ∴△C′CB为等边三角形． 分类讨论如下：
(2)∵A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)， ∴AA′＝AB＝4， 由平移的性质可知C′(4，5)． 四边形AA′C′C是平行四边形． 理由如下： ∵AA′＝CC′＝4，AA′∥CC′， ∴四边形AA′C′C是平行四边形；
(3)点G是坐标平面内一点，当四边形ACGM是平行四边形时，求GE的长；
第1题解图①
①当点P在x轴上方时，点Q在x轴上方， 连接BQ，C′P， ∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°. ∴∠BCQ＝∠C′CP. ∴△BCQ ≌ △C′CP. ∴BQ＝C′P. ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴BQ＝CQ. ∴C′P＝CQ＝CP.
第1题解图①
又∵BC′＝BC，
∴BP垂直平分CC′.
由翻折可知BD垂直平分CC′，
∴点D在直线BP上．
设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。