第八章 立体几何初步 章末知识梳理与能力提升
第8章+立体几何初步知识点汇总
《人教A版必修二知识点汇总》第8章《立体几何初步》知识点汇总8.1 基本立体图形1.空间几何体、多面体、旋转体的定义（1）空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.（2）多面体的概念像纸箱、金字塔这样，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.①面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.如图，有面ABE, 面BCE，面ABF等.②棱：两个面的公共边叫做多面体的棱；如图，有棱BE，棱CE，棱DE等.③顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.如图，有顶点A,顶点B,顶点C等.（3）旋转体的概念像奶粉罐、篮球和足球这样，一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴 .如图：圆柱体就是由矩形OAA1O1绕轴OO1旋转而成.（4）小结2.特殊的多面体（1）棱柱①棱柱的概念与结构特征如图，一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.Ⅰ.底面(底)：两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形.Ⅱ.侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形.Ⅲ.侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，它们都是相互平行且相等的线段.Ⅳ.顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.温馨提示A.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图（a）所示;B.过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图(b)所示;C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图(c)所示.②棱柱的表示与分类棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……例如，右图中的棱柱分别表示为三棱柱ABC−A1B1C1,四棱柱ABCD−A1B1C1D1,五棱柱ABCDE−A1B1C1D1E1.③几种特殊的棱柱Ⅰ.直棱柱：一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.如右图中直四棱柱ABCD−A1B1C1D1.Ⅱ.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.如右图中斜三棱柱ABC−A1B1C1.Ⅲ.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.如右图中五棱柱ABCDE−A1B1C1D1E1.Ⅳ.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.如右图中平行六面体ABCD−A1B1C1D1.（2）棱锥①棱锥的概念与结构特征有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.Ⅰ.底面：这个多边形面叫做棱锥的底面；Ⅱ.侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；Ⅲ.侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；Ⅳ.顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.温馨提示：对于棱锥要注意，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图所示，必须强调其余各面是具有公共顶点的三角形.②棱锥的表示与分类棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……注：其中三棱锥又叫四面体.例如，右图中的棱锥分别表示为三棱锥(四面体)O−ABC,四棱锥O−ABCD,五棱锥O−ABCDE.③特殊的棱锥——正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.（3）棱台①棱台的概念与结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台.Ⅰ.上（下）底面：在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，且上下底面是相似图形.Ⅱ.侧面：其余各个梯形面叫做棱台的侧面；Ⅲ.侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；Ⅳ.顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.温馨提示：棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.②棱台的表示与分类棱台用表示底面各顶点的字母来表示，由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……例如，右图中的棱台分别表示为三棱台ABC−A1B1C1,四棱台ABCD−A1B1C1D1,五棱锥ABCDE−A1B1C1D1E1.3.特殊的旋转体（1）圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.①轴：旋转轴叫做圆柱的轴；②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；③侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；④母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的母线.注：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O1O.（2）圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.①轴：旋转轴叫做圆锥的轴；②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；③侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；④母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线.注：圆锥用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO.（3）圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.①轴：旋转轴叫做圆台的轴；②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；③侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面；④母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线.注：圆台用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O1O.（4）球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 .①球心：半圆的圆心叫做球的球心；②半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；③直径：连接球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径；注：球常用表示球心的字母表示，如图中的球记作球O.4.简单组合体（1）定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.（2）构成形式①一种是由简单几何体拼接而成的，如图1；②另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的，如图2.8.2 立体图形的直观图二.知识清单（导学、自学）1.直观图的概念像上面这样，把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使其既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.2.用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图（1）建系在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点 O′ ，且使∠x′O′ y′=45°或135°，它们确定的平面表示水平面.（2）划线（平行不变）已知图形中平行于 x 轴和 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴与y′轴的线段.3.取长度(与 x 轴平行长度不变，与y轴平行长度取半)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.温馨提示画平面图形的直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.2.用斜二测画法画空间几何体的直观图（1）探究用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，2 cm，2 cm的长方体ABCD－A′ B′ C′ D′的直观图.解画法步骤如下①画轴：如图（1）画 x 轴，y 轴， z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.②画底面:如图（2），在 x 轴正半轴上取线段AB，使AB=4cm；在y 轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm；过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则平行四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.③画侧棱:在z轴正半轴上取线段AA′，使AA=2cm，过B，C，D各点分别作的z轴的平行线，在这些平行线上分别截取2 cm长的线段 BB′，CC′，DD′.④连线成图：顺次连接A′ ，B′ ，C′ ，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①画轴：画 x 轴，y 轴， z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°或135°，∠xOz＝90°.②画底面：按照平面图形的画法，，在平面xOy画底面的直观图.③画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.④连线成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.温馨提示画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感.4.用斜二测画法画圆锥、球的直观图（1）圆锥体的直观图对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线，如图所示.（2）球的直观图画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性，如图所示.8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.复习导入——正方体、长方体的体积公式及其表面积公式（1）正方体体积公式及其表面积公式设正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a(a>0),那么S正方体=6×一个面的面积=6a2.V正方体=底面积×高=棱长×棱长×棱长=a3.（2）长方体体积公式及其表面积公式设长方体ABCD－A′B′C′D′的长、宽、高分别为 a,b ,c(a,b,c>0),那么S长方体=(S底+S正+S右)×2=2(ab+ac+bc).V长方体=底面积×高=长×宽×高=abc.2.多面体的表面积由刷漆原理可知：(1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.3.棱柱、棱锥、棱台的体积（1）棱柱的体积由堆积原理可知：一般地，如果棱柱的底面积是S，高是ℎ，那么这个棱柱的体积为V棱柱=底面积×高=Sh简述为：“棱柱的体积等于它底面积与高的乘积 . ”注：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.（2）棱锥的体积由灌注原理可知：一般地，如果棱锥的底面积是S，高是ℎ，那么这个棱锥的体积为V棱锥=13V棱柱=13Sh简述为：“棱锥的体积等于与它等底等高棱柱体积的13”注：棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. （4）棱台的体积由截去原理可知：一般地，棱台的体积公式为V棱台=13h(S+√SS′+S′)其中S′与S分别为棱台的棱台的上、下底面面积，ℎ为棱台的高.简述为：“棱台的体积等于上下底面的面积与它们的几何平均数之和，再乘以棱台高的乘积的13.”注：棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.（4）棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系①当S′=S时，棱台变为棱柱，棱台的体积公式也就是棱柱的体积公式;②当 S′=0时，棱台变为棱锥，棱台的体积公式也就是棱锥的体积公式.4.实例运用例1 如图，四面体P－ABC的各棱长均为a，求它的表面积．解：由题意可知四面体P－ABC是由4个边长为a的正三角形面围成∵S正三角形PBC =12a2sin60°=12×√32∙a2=√34∙a2∴S四面体P－ABC =4S正三角形PBC=4×√34∙a2=√3a2答：四面体P－ABC的表面积为√3a2.例2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m)解：由题意可得V长方体ABCD－A′B′C′D′=Sℎ=12×0.5=0.5(m3)V棱锥P−ABCD =13Sℎ=13×12×0.5=16(m3)∴V漏斗=V长方体ABCD－A′B′C′D′+ V棱锥P−ABCD=0.5+ 16=23≈0.67(m3)答：这个漏斗的容积约是0.67m3.8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的体积1.圆柱、圆锥、圆台的体积（互学）（1）圆柱的体积由堆积原理可知：一般地，如果圆柱的底面圆半径是r，高是ℎ，那么这个圆柱的体积为V圆柱=底面圆面积×高= Sh =π r2∙h.简述为：“圆柱的体积等于它底面圆面积与高的乘积”例如已知一圆柱的底面圆半径为2cm，高为3cm，则这个圆柱的体积为V圆柱=π r2∙ℎ=π× 22×3=12π(cm3)（2）圆锥的体积由灌注原理可知：一般地，如果圆锥的底面圆半径是r，高是ℎ，那么这个圆锥的体积为V圆锥=13V圆柱=13Sh=13π r2∙h简述为：“圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的13”(3)例如已知一圆锥的底面圆半径为2m，高为3m，则这个圆柱的体积为V圆锥=13Sℎ=13π r2∙ℎ=13π×22×3=4π(m3)3.圆台的体积由截去原理可知：一般地，圆台的体积公式为V圆台=13h(S＇+√S＇S+S)=13h(πr＇2+√πr＇2πr2+πr2)=13πh(r＇2+r＇r+r2) .其中S′与S分别为圆台的上、下底面圆面积，ℎ为圆台的高，r′与r分别为上、下底面圆半径.简述为：“圆台的体积等于上下底面圆的面积与它们的几何平均数之和，再乘以圆台高的乘积的13”(3)例如已知一圆台的上下底面圆半径分别为1dm、2dm, 高为3dm，则这个圆台的体积为V圆台=13πℎ(r＇2+r＇r+r2)=13π×3×(12+1×2+22)=7πdm3.（4）圆柱、圆锥、圆台的体积之间的关系①当 r′=r时，圆台变为圆柱，圆台的体积公式也就是圆柱的体积公式;②当 r′=0 时，圆台变为圆锥，圆台的体积公式也就是圆锥的体积公式.2.实例运用例1 已知某圆柱高为10，底面周长为8π，求圆柱的体积.解：设圆柱的底面圆半径为 r (r>0)∵已知C底=8π∴满足2πr=8π ,解得r=4又∵已知 ℎ=10∴V圆柱=π r2∙ℎ=π× 42×10=160π答：这个圆柱的体积为160π例2 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16√2π，求圆锥的体积.解：作圆锥的轴截面，如图所示∵已知轴截面是等腰直角三角形∴在∆SAB中，∠ASB=90°, 且SA=SB设圆锥的底面圆半径是r，高是 ℎ则 ℎ=r, SB=√2r又∵已知S侧=16√2π∴12×2πr∙SB=16√2π , 即πr×√2r=16√2π解得r=4，∴ℎ=r=4∴V圆锥=13Sℎ=13π r2∙ℎ=13π×42×4=64π3例3已知圆台的上、下底面半径分别为2和 3 ，它的高为 6 ，求圆台的体积. 解：设圆台的高为ℎ，上、下底面圆半径分别为r′与r，则V圆台=13ℎ(S＇+√S＇S+S)=13πℎ(r＇2+r＇r+r2)=13π×6×(22+2×3+32)=38π答：这个圆台的体积为38π8.4.1 平面1.平面的概念、画法及表示（1）面的概念几何里所说的“平面”，就是从生活中的平静的湖面、课桌面、美丽的草原抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的，没有厚薄、没有大小、没有形状.（2）平面的画法与表示①画法在立体几何中，平面通常画成一个含45°角的平行四边形.Ⅰ.当平面水平放置时，通常把平行四边形一组对边画成横向，如图（1）；Ⅱ.当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成竖向，如图Ⅲ.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.②表示Ⅰ.我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内;Ⅱ.也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图（1）中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面 AC 或者平面 BD.2.点、线、面之间的关系及符号表示∵直线上有无数个点，平面内有无数个点，∴直线、平面都可以看作以点为元素组成的集合，于是可将点、线、面之间的关系用符号表示如下所示：位置关系符号表示位置关系符号表示点P在直线l上P∈l点Q在直线l外Q∉l点P在平面α内P∈α点H在平面α外H∉α直线l在平面α内l⊂α直线m在平面α外m⊄α3.平面的基本事实及其推论（1）基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.简述为：“不共线的三点确定一个平面.”基本事实1用数学符号语言表示为：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使 A，B，C∈α（2）基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.注1(作用)：利用基本事实2，可以判断直线是否在平面内.基本事实2用数学符号语言表示为：A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α ⇒l⊂α（3）基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.注：如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.基本事实3用数学符号语言表示为：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l （4）平面基本事实的三个推论利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论:推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.平面基本事实的三个推论用数学符号语言表示为：推论1：点 A∉l⇒l与A共面于平面α，且平面唯一；推论2：a∩b＝P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一；推论3：直线a∥b⇒直线a，b共面于平面α，且平面唯一.3.实例运用例1下列命题正确的是( )A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面C. 圆心和圆上两点可确定一个平面D. 梯形可确定一个平面解：对于A，空间不共线的三点可以确定一个平面，∴A错;对于B，在空间中，如果这个点在直线上，就不能确定一个平面，∴B错；对于C，圆心和圆上的两点如果在一条直线上，就不能确定一个平面，∴C错;对于D，梯形只有一组对边平行，所以梯形可以确定一个平面，∴D正确.故选D.例2用符号表示下列语句，并画出相应的图形；(1)点A在平面α内，点B在平面α外；(2)直线a既在平面α内，又在平面β内．解：（1）“点A在平面α内，点B在平面α外”表示为：A∈α，B∉α，如图（1）所示.例4解（2）“直线a既在平面α内，又在平面β内”表示为：a⊂α，a⊂β,且 α⋂β=a，如图（2）所示.8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中两条直线的位置关系由图可知，（1）平行直线：直线AB与DC在同一个平面ABCD内，它们没有公共点，它们是平行直线;（2）相交直线：直线AB与BC在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线;（3）异面直线①定义：如图（1），像直线AB与CC′这样，空间中不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.②画法：如图（2），如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.③判定方法：由异面直线的定义及画法可得如下异面直线的判定方法Ⅰ.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线；Ⅱ.反证法：既不平行，也不相交的两条直线是异面直线；Ⅲ.定理法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.(如右图一)定理法数学语言表示为：“AB∩α=B,A∉α,a⊂α,B∉a⇒直线AB与a是异面直线”（4）实例运用例1选择题(1)如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b( )A.共面B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线(2)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b( )A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线解：（1）选D（2）选D例2 如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，判定直线AB与AC，直线AC与A′C′，直线A′B与AC，直线A′B与C′D的位置关系．解:如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中直线AB与AC为相交直线，直线AC与A′C′为平行直线，直线A′B与AC为异面直线，直线A′B与C′D为异面直线2.空间中直线与平面的位置关系由探究可知，直线与平面的位置关系有且只有如下三种：（1）关系1：直线a在平面α内——有无数个公共点，记作 a⊂α.（2）关系2：直线a与平面α相交——只有1个公共点，记作 a∩α=A.（3）关系3：直线a与平面α平行——没有公共点，记作 a∥α.温馨提示：直线a在平面α外包括两种情形——a∥α与a∩α＝A.3.空间中平面与平面的位置关系（1）空间中平面与平面的位置关系由探究可知，平面与平面的位置关系有且只有如下两种：①关系1：平面a与平面β平行——没有公共点，记作α∥β.②关系2：平面a与平面β相交——有一条公共直线，记作 α∩β=l.温馨提示：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.（2）实例运用例3如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．解：在图（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在图（2）中，α∩β=l,a⊂α, b⊂β a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P.8.5.1 直线与直线平行1.基本事实4（平行线的传递性）（1）基本事实4（平行线的传递性）空间中平行于同一条直线的两条直线平行.基本事实4用数学符号表示为： a∥b,b∥c⇒a∥c温馨提示:基本事实4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.（2）实例运用例1如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：如图，连接BD,∵已知E,H分别是边AB，DA的中点∴EH为∆ABD的中位线∴ EH∥BD,且EH=12BD同理可得FG∥BD,且FG=12BD∴EH ∥= FG∴四边形EFGH是平行四边形．2.等角互补定理（互学）（1）等角互补定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.等角互补定理用数学符号表示为：已知空间中两个角∠BAC与∠B′A′C′,且AB∥A′B′ ,AC∥A′C′⇒∠BAC=∠B′A′C′,或∠BAC+∠B′A′C′=180°（2）实例运用例2如图，在四面体A−BCD中，E,F,G分别为AB,AC,AD上的点，若EF∥BC,FG∥CD，则∆EFG和∆BCD有什么关系？为什么？解:∵EF∥BC，∴AEAB =AFAC=EFBC又∵FG∥CD，∴AFAC =AGAD=FGCD，∴AEAB =AGAD,∴EG∥BD∴由等角定理可知∠EFG=∠BCD，∠FGE=∠CDB,∠GEF=∠DBC∴△EFG∽△BCD(三角定理)8.5.2 直线与平面平行1.直线与平面平行的判定定理（1）直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.直线与平面平行的判定定理用数学符号表示为：a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α温馨提示:(1)定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可;(2)判定定理实质是——“ 线线平行⇒线面平行”.（2）实例运用例1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.（四）成果展示1(迁移变通、检测实践)例1 解：第1步：作图第2步：数学语言翻译已知：如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点.求证：EF∥平面BCD.第3步：证明证明：如图，连接BD,∵已知E,F分别是AB,AD的中点∴EF为∆ABD的中位线∴EF∥BD又∵ EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD故原命题成立2.直线与平面平行的性质定理（1）直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.直线与平面平行的性质定理用数学符号表示为：a∥α,a⊂β,且α⋂β=b⇒a∥b温馨提示(1)定理中的三个条件“a∥α,a⊂β,且α⋂β=b”缺一不可.(2)性质定理实质是——“线面平行⇒线线平行”.（2）实例运用例2 已知α⋂β=a,b⊂α,c⊂β,b∥c求证：a∥b∥c解：∵已知 b∥c，b⊄α,且c⊂β∴ b∥β又∵已知 b⊂α，α⋂β=a,∴ b∥a∴a∥b∥c8.5.3平面与平面平行1.平面与平面平行的定义如图，空间中没有公共点的两个平面叫做平行平面.记作：α∥β .温馨提示:两个平面平行的充要条件为（1）如果两个平面平行，那么这个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.（2）如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.平面与平面平行的判定定理（1）平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.平面与平面平行的判定定理用数学符号表示为：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α温馨提示:(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的条件.(2)平面与平面判定定理实质是——“线面平行⇒面面平行”.（2）实例运用例1 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1,求证平面AB1D1∥平面BC1D.证明：∵已知ABCD−A1B1C1D1为正方体∴D1C1∥=A1B1, AB∥=A1B1∴D1C1∥= AB∴四边形D1C1BA为平行四边形∴D1A∥C1B又∵D1A⊄平面BC1D,C1B⊂平面B C1D,∴D1A∥平面B C1D, 同理可得D1B1∥平面B C1D又∵D1A⋂D1B1=D1且D1A，D1B1⊂平面AB1D1∴平面AB1D1∥平面BC1D.3.直线与平面平行的性质定理（1）平面与平面平行的性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.平面与平面平行的性质定理用数学符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b温馨提示(1)定理中的三个条件“ α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b”缺一不可.(2)性质定理实质是——“面面平行⇒线线平行”.（2）实例运用例2求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.第一步：作图；第二步：数学语言翻译；如图，已知α∥β，AB∥CD,且A∈α,C∈α,B∈β,C∈β求证：AB=CD.第三步：证明；证明：如图，过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别交于AC和BD∵已知 α∥β,α∩γ＝AC，β∩γ＝BD∴AC∥BD又∵已知AB∥CD∴四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD8.6.1 直线与直线垂直1.异面直线所成的角（1）平面内相交直线所成的角规定：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.特别地，当两条相交直线a与b所成角为90°时，就称这两条相交直线互相垂直, 记作a⊥b .提示：类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.。
知识讲解 立体几何初步全章复习与巩固 提高
《立体几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图。
3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
5.理解平面的基本性质及确定平面的条件。
6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
【知识络】【要点梳理】要点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．要点二：平面基本性质刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．要点三：空间的平行与垂直关系理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理：(1)空间中的平行关系如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．(2)空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD 平面PEG【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等．（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果．【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：PEFGHABCDEFGH VVV??????2cm221406040203200032000640003????????（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO?平面EFGH , POHF??又EGHF?HF??平面PEG又BDHF P BD??平面PEG；【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．举一反三：【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.【答案】38【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为2(344131)211238????????????【总结升华】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积.例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。
知识讲解_《立体几何初步》全章复习与巩固-提高
《立体几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图。
3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
5.理解平面的基本性质及确定平面的条件。
6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
【知识络】【要点梳理】要点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．要点二：平面基本性质刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．要点三：空间的平行与垂直关系理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理：(1)空间中的平行关系如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．(2)空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD 平面PEG【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH ，下半部分是长方体ABCD-EFGH ，故其正视图与侧视图全等．（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm 的正方形，长方体的高为20cm ，棱锥高为60cm ，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果． 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --=+ 221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+= ()2cm （３）如图,连结EG ,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH , PO HF ∴⊥ 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG又BD HF P BD ∴⊥平面PEG ；【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 举一反三：【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.【答案】38【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为2(344131)211238ππ⨯+⨯+⨯+⨯⨯-=【总结升华】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积.例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。
2023新教材高中数学第8章立体几何初步章末综合提升课件新人教A版必修第二册
(2)(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制 作模型，如图，该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1 挖去四棱锥 O-EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所 在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3 ． 不 考 虑 打 印 损 耗 ， 制 作 该 模 型 所 需 原 料 的 质 量 为 ________g．
类型 2 与球有关的切、接问题 1．本考点中的题目多为基础题，一般出现在选择题的后面位置 或填空题中，分值为 5 分．主要考查空间几何体的结构，外接球和内 切球问题，几何体表面积、体积公式的应用，球的表面积和体积计 算．考查数形结合思想，空间想象能力，运算求解能力，意在让多数 学生得分．
2．与球相关问题的解题策略 (1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有 利于解题． (2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间的 相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相关的 元素放到这些关系中来解决．
连接 OO1，则 OO1⊥平面 ABC，OO1＝
1－A2B2＝
1－
22
2
＝
22，所以三棱锥
O-ABC
的体积
V＝13S△ABC×OO1＝13×12×1×1×
2 2
＝ 122．
(2)(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均 为 2，∠BAD＝60°，以 D1 为球心， 5为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为________．
【例 2】 (1)(2021·全国甲卷)已知 A，B，C 是半径为 1 的球 O
高中数学第八章立体几何初步 立体图形的直观图课后提能训练新人教A版必修第二册
第八章 8.2A级——基础过关练1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90°D．45°或135°,90°【答案】D【解析】根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2.(2021年绵阳模拟)(多选)如图,已知等腰三角形ABC,则如下所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是( )A B C D【答案】CD【解析】等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．3．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示),其中B′O′＝C′O′＝1,A′O′＝32,那么△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形【答案】A【解析】根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形,如图所示,由图易得AB＝BC＝AC＝2,故△ABC为等边三角形,故选A.4．(2021年南宁模拟)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋ 2【答案】A【解析】画出其相应平面图易求S ＝12(1＋1＋2)×2＝2＋2,故选A.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】C【解析】将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形．故选C. 6．有一个长为4 cm,宽为3 cm 的矩形,则其直观图的面积为________cm 2. 【答案】3 2【解析】该矩形的面积为S ＝4×3＝12(cm 2),由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得直观图的面积为S ′＝24S ＝32(cm 2)． 7．如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．【答案】36 2【解析】在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.8．在直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2.【答案】矩形8【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA＝2 cm,OC＝4 cm,所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．9．画出一个上、下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图．解：(1)画轴．如图,画x轴、y轴、z轴相交于点O,使∠xOy＝45°,∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为线段中点,在x轴上取线段AB,使AB＝2,在y轴上取线段OC,使OC＝32.连接BC,CA,则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．(3)画上底面．在z轴上取OO′,使OO′＝2,过点O′作O′x′∥Ox,O′y′∥Oy,建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.(4)连线成图．连接AA′,BB′,CC′,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．10．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形OABC的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y 轴上取OB ＝2O ′B ′＝2 2 cm ； 在过点B 的x 轴的平行线上取BC ＝B ′C ′＝1 cm.连接O ,A ,B ,C 各点,即得到了原图形．由作法可知OABC 为平行四边形,OC ＝OB 2＋BC 2＝8＋1＝3(cm),∴平行四边形OABC 的周长为(3＋1)×2＝8(cm),面积为S ＝1×22＝22(cm 2)．B 级——能力提升练11．下列选项中的△ABC 均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是( )A BC D【答案】C【解析】C 中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边AB 不变,高变为原来的12,后者在斜二测画法下所得的直观图中,高OC 不变,底边AB 变为原来的12,故C 中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等．12．水平放置的△ABC 的直观图如图所示,已知B ′C ′＝4,A ′C ′＝3,B ′C ′∥y ′轴,则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A ．732B ．73C ．5D ．52【答案】A【解析】由斜二测画法规则知AC ⊥BC ,即△ABC 为直角三角形,其中AC ＝3,BC ＝8,所以AB ＝73,AB 边上的中线长度为732.故选A. 13．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm【答案】D【解析】由题意可知其直观图如图,由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.14．(2021年河南模拟)已知用斜二测画法,画得的正方形的直观图面积为182,则原正方形的面积为______．【答案】72【解析】如图,作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′,作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′, 又在Rt △O ′D ′C ′中,O ′C ′＝2C ′D ′, 即C ′D ′＝22O ′C ′,结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′,OC ＝2O ′C ′, 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAOA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2.又S 直观图＝182,所以S 正方形＝22×182＝72.15．如图所示,△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图,点B ′在x ′轴上,A ′O ′与x ′轴垂直,且A ′O ′＝2,则△AOB 的边OB 上的高为________．【答案】4 2【解析】设△AOB 的边OB 上的高为h ,由直观图中边O ′B ′与原图形中边OB 的长度相等,及S原图＝22S直观图,得12OB ×h ＝22×12×A ′O ′×O ′B ′,则h ＝4 2.故△AOB 的边OB 上的高为4 2.16．如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′,已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的原图形并求出其面积．解：四边形ABCD 的真实图形如图所示,因为A ′C ′在水平位置,四边形A ′B ′C ′D ′为正方形,所以∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′＝45°,所以在原四边形ABCD 中,AD ⊥AC ,AC ⊥BC .因为AD ＝2D ′A ′＝2,AC ＝A ′C ′＝2, 所以S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.C 级——探索创新练17．如图所示的是水平放置的正方形ABCO ,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为(4,4),则由斜二测画法画出该正方形的直观图中,顶点B ′到x ′轴的距离为________．【答案】 2【解析】水平放置的正方形ABCO ,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为(4,4),由斜二测画法画出的该正方形的直观图如下：由斜二测画法的规则,得O ′A ′＝12OA ＝2,O ′C ′＝OC ＝4,∠A ′O ′C ′＝45°,四边形A ′B ′C ′O ′是平行四边形,∴顶点B ′到x ′轴的距离与A ′到x 轴的距离相等．∴顶点B ′到x ′轴的距离d ＝|O ′A ′|sin 45°＝2×22＝ 2.18．一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为____________________．【答案】4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm【解析】由20 m ＝2 000 cm,2 000500＝4 cm,同理可得宽、高分别为1 cm 、2 cm,四棱锥的高为1.6 cm.在直观图中,宽变为一半,长、高不变．。
部编版高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理
(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理单选题1、如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，棱与直线BC1异面有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C分析：根据异面直线的定义即可判断.在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有A1B1,AC,AA1，共3条.故选: C.2、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线A1D与直线B1M所成角大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A分析：如图，连接B1C，MC，MB，利用余弦定理可求∠CB1M的值，从而可得直线A1D与直线B1M所成角大小. 设正方体的棱长为2a，连接B1C，MC，MB，因为B1C//A1D，故∠CB1M或其补角为直线A1D与直线B1M所成角.而B1C=2√2a，MC=√2a，B1M=√B1B2+BM2=√4a2+2a2=√6a，故B1C2=B1M2+CM2，所以MB1⊥CM，所以cos∠CB1M=√6a2√2a =√32，因为∠CB1M为锐角，故∠CB1M=30°，故选：A.3、直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AA 1=1，AC =2，E 是棱A 1C 1上的中点，则点A 到平面BCE 的距离是（ ）A ．1B ．√23C ．√63D ．√33答案：C分析：作出草图，根据题意易证A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，可得A 1C 1⊥BA 1，再根据勾股定理分别求出A 1B ，BE ，CE ，BC 的值，再根据V A−BCE =V E−ABC ，即可求出点A 到平面BCE 的距离.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，连接BA 1,CE,AE,BE ，由题知，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，AA 1⊥A 1C 1,AA 1⊥A 1B 1，又∠CAB =∠C 1A 1B 1=90°，∴B 1A 1⊥A 1C 1又AA 1∩B 1A 1=A 1，所以A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，所以A1C1⊥BA1，由于AB=AA1=CC1=1,A1C1=AC=2，E点是棱AC上的中点，根据勾股定理，A1B=√AB2+AA12=√12+12=√2，BE=√A1B2+A1E2=√(√2)2+12=√3 CE=√(C1C)2+(C1E)2=√12+12=√2，BC=√AB2+AC2=√12+22=√5，所以BE2+CE2=BC2，即BE⊥CE.设E到平面ABC的距离为d，则d=1，设点A到平面BCE的距离为ℎ，在四面体A−BCE中，V A−BCE=V E−ABC，V E−ABC=13×S△ABC×d=13×(12×1×2)×1=13V A−BCE=13×S△BCE×ℎ=13×(12×√3×√2)×ℎ=√66ℎ则√66ℎ=13，解得ℎ=√63.故选：C.4、如图，在一个正方体中，E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点.平面EFG截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据条件可得平面EFG经过点B′，然后可得答案.连接EB′，GB′因为E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点所以EB′//FG，所以平面EFG经过点B′所以多面体A′D′DA−EFGC′B′的正视图为故选：D5、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A．8(6+6√2+√3)B．6(8+8√2+√3)C．8(6+6√3+√2)D．6(8+8√3+√2)答案：A解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2√2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为√2，则该几何体的表面积为S=6×[(2+2√2)2−4×12×√2×√2]+8×12×2×√3=8(6+6√2+√3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.6、小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1，斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2，则（）.A．V1S1>V2S2B．V1S1<V2S2C．V1S1=V2S2D．V1S1与V2S2的大小关系无法确定答案：A分析：根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出V1S1和V2S2，分析即可得答案.设底面面积为S，底面周长为C，则V1=S⋅AA1，S1=C⋅AA1，所以V1S1=SC，设斜棱柱的高为ℎ，则V2=S⋅ℎ，S2=AB×ℎAB+BC×ℎBC+CD×ℎCD+DE×ℎDE+EF×ℎEF+FA×ℎFA >(AB+BC+CD+DE+EF+FA)×ℎ=Cℎ,所以V2S2<SℎCℎ=SC=V1S1.故选：A7、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3答案：C分析：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，∴V=13ℎ(S+S′+√SS′)=13×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．故选：C．8、若直线a //平面α，A ∉α，且直线a 与点A 位于α的两侧，B ，C ∈a ，AB ，AC 分别交平面α于点E ，F ，若BC =4，CF =5，AF =3，则EF 的长为（ ）A ．3B ．32C ．34D ．23 答案：B分析：根据线面平行可得线线平行，从而可求EF =32. ∵BC //α，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩α=EF ，∴EF //BC ，∴AF AC =EF BC ，即35+3=EF 4，∴EF =32. 故选：B.多选题9、如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF =12，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF//平面ABCDC ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D．三棱锥E−ABF的体积为定值答案：ABD分析：A选项中，证明线面垂直，可得线线垂直；B选项中，由直线与平面平行的判定定理即可证明；C选项中，由点A和点B到EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等；D选项中，连接BD，交AC 于O，则AO为三棱锥A−BEF的高，利用等体积法可证明三棱锥E−ABF的体积为定值.对于A，由正方体的结构特征可知，DD1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，则D1D⊥AC，连接BD，又ABCD 为正方形，∴AC⊥BD，∵D1D∩BD=D，且D1D、BD⊂平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B，∵BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，故A正确；对于B，∵B1D1//BD，BD⊂平面ABCD，B1D1⊄平面ABCD，∴B1D1//平面ABCD，而EF在B1D1上，∴EF//平面ABCD，故B正确；对于C，点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故C错误；对于D，如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥A−BEF的高，S△BEF=12⋅EF⋅BB1=12×12×1=14，V A−BEF=13S△BEF⋅AO=13×14×√22=√224，则V E−ABF=V A−BEF=√224为定值，故D正确．故选:ABD．10、如图一张矩形白纸ABCD，AB=10，AD=10√2，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF 沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE的同侧，下列命题正确的是（）A．当平面ABE//平面CDF时，AE//CDB．当平面ABE//平面CDF时，AC//平面BFDEC．当A，C重合于点P时，PG⊥PDD．当A，C重合于点P时，三棱锥P−DEF外接球的表面积为150π.答案：BD分析：由题意分两类画出图形，利用线面平行的判定和性质判断A；利用反证法判断B；求出线段长度，根据不满足勾股定理判断C；求出三棱锥中的直角三角形，利用补形法求得外接球的表面积判断D.A：当平面ABD//平面CDF，如图1所示，假设AE//CD，则四边形AEDC为平面图形，由GH//AC，得GH//ED，所以四边形GHDE为平行四边形，所以GH=ED，这与GH≠ED矛盾，所以假设不成立，故A不正确；B：在矩形ABCD中，AB=10，AD=√2，E、F分别为AD、BC的中点，则AC⊥BE，AC⊥DF，，所以BE⊥平面AGH，DF⊥平面CHG.且AG=GH=CH=10√33由BE//DF，可得平面AGH与平面CHG重合，即四边形AGHC为平面四边形，又平面ABE//平面CDF，所以AG//CH，又AG=CH，故四边形AGHC为平行四边形，所以AC//GH，所以AC//平面BFDE，故B正确；，PD=GD=10，C：当A、C重合于点P时，如图2所示，PG=10√33不满足PG2+PD2=GD2，所以PG与PD不垂直，故C错误；D：在三棱锥P−DEF中，PE=PF=5√2，EF=10，所以△EPF为直角三角形，PE=ED=5√2，PD=10，所以△PED为直角三角形，又△FPD为直角三角形，由补形法可知，三棱锥P−DEF外接球的直径为√PF2+PE2+ED2=√150，)2=150π，故D正确.则三棱锥P−DEF外接球的表面积为4π×(√1502故选：BD11、(多选题)下列说法中，正确的结论有（）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行答案：BD分析：由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；对于选项B：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B，C1D1⊥C1B，但是∠A1D1C1=π2，∠A1BC1=π3，二者不相等也不互补.故选项C错误；对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.故选：BD.填空题12、如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，若PA//平面EBF，则PFFC=_______答案：12##0.5分析：连接AC交BE于点M，连接FM，由线面平行的性质得线线平行，由平行线性得结论．连接AC交BE于点M，连接FM，∵PA//平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF=EM，∴PA//EM，又AE//BC，∴PFFC =AMMC=AEBC=12.所以答案是：12．。
高中数学人教A版第八章立体几何初步知识梳理
第八章立体几何初步一、凸多面体的概念1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．1）分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；2）常见几何体平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；长方体：底面是矩形的直平行六面体；2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．2）常见几何体正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．二、简单旋转体概念（圆柱、圆锥、圆台、球）1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．三、常见几何体的表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体2直棱柱底=+S ch S2(斜棱柱底''=+S c l S c为直截面周长)2222()圆锥=+=+S r rl r r lπππ一、知识点明晰体积公式四、空间几何体的直观图1、斜二测画法（主要步骤如下）1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． 2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于'y轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x轴、'y轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．2、常用结论：1）直观图和平面图形的面积比为S=原直。
高中数学第八章立体几何初步 直线与直线平行 直线与平面平行课后提能训练新人教A版必修第二册
第八章 8.5 8.5.1 8.5.2A级——基础过关练1．若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( ) A．全等B．不可能全等C．仅有一个角相等D．全等或相似【答案】D【解析】由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等．2．(多选)下列命题中,错误的有( )A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行【答案】AC【解析】这两个角相等或互补,选项A错误；由等角定理知选项B正确；在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误；由基本事实4知选项D正确．3．如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则( )A．GH∥SA B．GH∥SDC．GH∥SC D．以上均有可能【答案】B【解析】因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD＝SD,所以GH∥SD,显然GH与SA,SC均不平行．故选B.4．直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有( )A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条【答案】C【解析】过直线a与n条直线的交点作平面β,设平面β与α交于直线b,则a∥b.若所给n条直线中有1条是与b重合的,则此直线与直线a平行,若没有与b重合的,则与直线a 平行的直线有0条．5．梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α的位置关系是________．【答案】平行【解析】因为AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,由线面平行的判定定理可得CD∥α.6．给出下列四个命题,其中正确命题的序号是________．①在空间,若两条直线不相交,则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交,那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.【答案】②④【解析】①错,可以异面；②正确,基本事实4；③错误,和另一条可以异面；④正确,由平行直线的传递性可知．7．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1【解析】(1)因为B1D1∥BD,B1C1∥BC且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．8．如图,已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图,连接AC.因为在△ACD中,M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线．所以MN ∥AC ,MN ＝12AC .由正方体的性质得AC ∥A 1C 1,AC ＝A 1C 1.所以MN ∥A 1C 1,且MN ＝12A 1C 1,即MN ≠A 1C 1.所以四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又因为ND ∥A 1D 1,所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角, 所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.9．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱BC ,C 1D 1的中点,求证：EF ∥平面BDD 1B 1.证明：如图,取D 1B 1的中点O ,连接OF ,OB .因为OF 綉12B 1C 1,BE 綉12B 1C 1,所以OF 綉BE .所以四边形OFEB 是平行四边形． 所以EF ∥BO .因为EF ⊄平面BDD 1B 1,BO ⊂平面BDD 1B 1,所以EF ∥平面BDD 1B 1.B 级——能力提升练10．如图所示,在空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 上的点,EH ∥FG ,则EH 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定【答案】A【解析】因为EH ∥FG ,FG ⊂平面BCD ,EH ⊄平面BCD ,所以EH ∥平面BCD .因为EH ⊂平面ABD ,平面ABD ∩平面BCD ＝BD ,所以EH ∥BD .11．(2021年武汉模拟)对于直线m ,n 和平面α,下面命题中的真命题是( ) A ．如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,那么n ∥α B ．如果m ⊂α,n 与α相交,那么m ,n 是异面直线 C ．如果m ⊂α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n D ．如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n 【答案】C【解析】对于A,如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,则n ∥α或n 与α相交,故A 错误；对于B,如果m ⊂α,n 与α相交,则m ,n 相交或是异面直线,故B 错误；对于C,如果m ⊂α,n ∥α,m ,n 共面,由线面平行的性质定理,可得m ∥n ,故C 正确；对于D,如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,则m ∥n 或m ,n 相交,故D 错误．12.如图,四棱锥S －ABCD 的所有的棱长都等于2,E 是SA 的中点,过C ,D ,E 三点的平面与SB 交于点F ,则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 3C ．3＋2 3D ．2＋2 3【答案】C【解析】由AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2,得AB ∥CD ,即AB ∥平面DCFE ,∵平面SAB ∩平面DCFE ＝EF ,∴AB ∥EF .∵E 是SA 的中点,∴EF ＝1,DE ＝CF ＝ 3.∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.13．(多选)如图所示,在四面体ABCD 中,M ,N ,P ,Q ,E 分别是AB ,BC ,CD ,AD ,AC 的中点,则下列说法正确的是( )A ．M ,N ,P ,Q 四点共面B ．∠QME ＝∠CBDC ．△BCD ∽△MEQ D ．四边形MNPQ 为矩形【答案】ABC【解析】由条件易得MQ ∥BD ,ME ∥BC ,QE ∥CD ,NP ∥BD ,所以MQ ∥NP .对于A,由MQ ∥NP ,得M ,N ,P ,Q 四点共面,故A 正确；对于B,根据等角定理,得∠QME ＝∠DBC ,故B 正确；对于C,由等角定理知∠QME ＝∠DBC ,∠MEQ ＝∠BCD ,则△BCD ∽△MEQ ,故C 正确；对于D,没有充分理由推证四边形MNPQ 为矩形,故D 不正确．14.(2021年安庆期末)如图,P 为□ABCD 所在平面外一点,E 为AD 的中点,F 为PC 上一点,当PA ∥平面EBF 时,PFFC＝________．【答案】12【解析】连接AC 交BE 于G ,连接FG ,因为PA ∥平面EBF ,PA ⊂平面PAC ,平面PAC ∩平面BEF ＝FG ,所以PA ∥FG ,所以PF FC ＝AG GC .又因为AD ∥BC ,E 为AD 的中点,所以AG GC ＝AE BC ＝12,所以PFFC＝12.15.(2021年哈尔滨月考)如图所示,ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M ,N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP ＝a3,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q在CD 上,则PQ ＝________．【答案】223a【解析】∵MN ∥平面AC ,平面PMN ∩平面AC ＝PQ ,∴MN ∥PQ .∵MN ∥A 1C 1∥AC ,∴PQ ∥AC .∵AP ＝a 3,∴DP ＝DQ ＝2a 3.∴PQ ＝2×2a 3＝223a .16．在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ACB ＝90°,EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,AB ＝2EF ,M 是线段AD 的中点,求证：GM ∥平面ABFE .证明：因为EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,∠ACB ＝90°, 所以△ABC ∽△EFG ,∠EGF ＝90°. 由于AB ＝2EF ,因此BC ＝2FG .如图,连接AF .由于FG ∥BC ,FG ＝12BC ,在□ABCD 中,M 是线段AD 的中点,则AM ∥BC ,且AM ＝12BC .因此FG ∥AM 且FG ＝AM .所以四边形AFGM 为平行四边形． 因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ,GM ⊄平面ABFE , 所以GM ∥平面ABFE .C 级——探索创新练17．如图,在四面体PABC 中,PC ⊥AB ,PA ⊥BC ,点D ,E ,F ,G 分别是棱AP ,AC ,BC ,PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ,到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． (1)证明：∵D ,E 分别为AP ,AC 的中点,∴DE ∥PC . ∵DE ⊄平面BCP ,PC ⊂平面BCP , ∴DE ∥平面BCP .(2)解：∵D ,E ,F ,G 分别为AP ,AC ,BC ,PB 的中点, ∴DE ∥PC ∥FG ,DG ∥AB ∥EF . ∴四边形DEFG 为平行四边形．∵PC ⊥AB ,∴DE ⊥DG ,∴四边形DEFG 为矩形．(3)解：存在点Q 满足条件,理由如下：连接DF ,EG ,设Q 为EG 的中点,由(2)知DF ∩EG ＝Q ,且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ,AB 的中点M ,N ,连接ME ,EN ,NG ,MG ,MN ,与(2)同理,可证四边形MENG 为矩形,其对角线交点为EG 的中点Q ,且QM ＝QN ＝12EG ,∴Q 为满足条件的点．。
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二、空间几何体的直观图 1．斜二测画法中“斜”和“二测” “斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x 轴垂直的线段，在直 观图中均与 x′轴成 45°或 135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于 x′轴或 z′ 轴的线段长度不变；平行于 y′轴的线段长度变为原来的一半． 2．斜二测画法中的建系原则 在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都 行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直 线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互 相垂直的直线为坐标轴等．
四、空间点、线、面之间的位置关系 1．平面的基本性质 四个基本事实及其作用 基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个 平面． 作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面． 基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那 么这条直线在此平面内．
作用：可用来证明点、直线在平面内． 基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多 点共线；③判断或证明多线共点． 基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行． 作用：判断空间两条直线平行的依据．
六、直线、平面垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平 面 α 互相垂直． (2)异面直线所成的角： 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)． (3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直． (4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
章末知识梳理与能力提升
[本章知识结构——建体系]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[核心知识点拨——握重难]
一、空间几何体的结构特征 1．多面体及其结构特征 (1)棱柱：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平 行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行． (2)棱锥：①有一个面(底面)是多边形； ②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台：①上、下底面互相平行，且是相似图形；②各侧 棱延长线相交于一点．
首先，在占有材料相同的情况下，圆形具有最大的面积. 几 何学告诉我们，这时圆的面积比其他任何形状的面积都来得 大，如果有相同数量的材料希望做成容积最大的东西，当然圆 形是最合适的了. 自来水管、煤气管等，就是对这一自然现象 的仿造．
其次，圆柱形具有最大的支撑力. 根据物理原理，当压力 一定时，受力面积越大，压强越小. 因为圆的面积最大，因此 它具有最大支撑力. 因此柱子、房梁一般都是圆柱形的．
2．空间中两直线的位置关系 空间中两直线的位置关系
共面直线平 相行 交 异面直线：不同在任何一个平面内 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
五、直线、平面平行的判定与性质 1．直线与平面平行 (1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)． (2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线 线平行”)． 2．平面与平面平行 (1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)． (2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行．
再者能防止外来的伤害. 我们知道，如果植物的茎是方形、 扁形或有其他棱角的，更容易受到外界的冲击伤害. 圆形的就 不同了，狂风吹打时，不论风卷着尘沙杂物从哪个方向来，都 容易沿着圆面的切线方向掠过，受影响的只是极少部分. 因此， 茎的形状，也是植物对自然环境适应的结果．
举个例子，树木，从几何的角度去理解，周长相同时，圆的 面积比其他任何形状都要大. 因此圆形树干、树枝中导管和筛管的 分布数量要比其他形状的多得多，这样，圆形树干输送水分和养 料的能力就要大，更有利树木的生长. 另外圆柱形的体积也比其他 柱形的体积大，它具有很大的支撑力，当树枝上挂满果实时，它 能强有力地支撑着树冠，使树干不至于弯曲．
2．旋转体及其结构特征 (1)圆柱：①圆柱的轴垂直于底面；②圆柱的轴截面是矩形； ③圆柱的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；④ 圆柱的母线垂直于底面． (2)圆锥：①圆锥的轴垂直于底面；②圆锥的轴截面为等腰 三角形；③圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的 母线，圆锥的母线有无数条；④圆锥的底面是一个圆面． (3)圆台：①圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；② 圆台两底面圆所在平面互相平行且和轴垂直；③圆台有无数条 母线；④圆台的母线延长线交于一点．
2．平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义： 两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面 垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面 互相垂直． (3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线垂直于另一个平面．
[探究与发现]
——圆在生活中的应用
三、空间几何体的表面积和体积 1．多面体的表面积 各个面的面积之和，也就是展开图的面积． 2．旋转体的表面积 圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)． 圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． 圆台：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)． 球：S＝4πR2.
3．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)柱体的体积公式： V 柱体＝Sh(S 底面面积，h 为高)． (2)锥体的体积公式 V 锥体＝13Sh(S 底面面积，h 为高)． (3)台体的体积公式 V 台体＝13(S＋ SS′＋S′)h(S′，S 分别为上、下底面面积，h 为高)． (4)球的体积公式 V＝43πR3.