大学物理学-习题解答-习题10

第十章10-1 无限长直线电流的磁感应强度公式为B ＝μ0I2πa，当场点无限接近于导线时(即a →0)，磁感应强度B →∞，这个结论正确吗？如何解释？答：结论不正确。

公式a IB πμ20=只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a →0，导线的尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。

10-2 如图所示，过一个圆形电流I 附近的P 点，作一个同心共面圆形环路L ，由于电流分布的轴对称，L 上各点的B 大小相等，应用安培环路定理，可得∮L B ·d l ＝0，是否可由此得出结论，L 上各点的B 均为零？为什么？ 答：L 上各点的B 不为零. 由安培环路定理∑⎰=⋅ii I l d B 0μρρ得 0=⋅⎰l d B ρρ，说明圆形环路L 内的电流代数和为零，并不是说圆形环路L 上B 一定为零。

10-3 设题10-3图中两导线中的电流均为8A ，对图示的三条闭合曲线a ,b ,c ，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B ϖ的大小是否相等? (2)在闭合曲线c 上各点的B ϖ是否为零?为什么? 解： ⎰μ=⋅al B 08d ϖϖ⎰μ=⋅bal B 08d ϖϖ⎰=⋅cl B 0d ϖϖ(1)在各条闭合曲线上，各点B ϖ的大小不相等．(2)在闭合曲线C 上各点B ϖ不为零．只是B ϖ的环路积分为零而非每点0=B ϖ．习题10-2图题10-3图10-4 图示为相互垂直的两个电流元，它们之间的相互作用力是否等值、反向？由此可得出什么结论？答：两个垂直的电流元之间相互作用力不是等值、反向的。

B l Id F d ρρρ⨯= 20ˆ4r r l Id B d ⨯=ϖϖπμ2212122110221212201112)ˆ(4ˆ4r rl d I l d I r r l d I l d I F d ⨯⨯=⨯⨯=ϖρϖρρπμπμ 2121211220212121102212)ˆ(4ˆ4r rl d I l d I r r l d I l d I F d ⨯⨯=⨯⨯=ϖρϖρρπμπμ ))ˆ()ˆ((4212121221************r r l d l d r r l d l d I I F d F d ⨯⨯+⨯⨯-=+ϖρϖρρρπμ 2122112210212112221212102112)(ˆ4))ˆ()ˆ((4r l d l d r I I r l d r l d l d r l d I I F d F d ϖρϖρϖρρρ⨯⨯=⋅-⋅=+πμπμ 一般情况下 02112≠+F d F d ρρ由此可得出两电流元（运动电荷）之间相互作用力一般不满足牛顿第三定律。

10-5 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？答：弹簧会作机械振动。

当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行的，而同向平行电流会互相吸引，因此弹簧被压缩，下端会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动。

10-6 如图所示为两根垂直于xy 平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I 但方向相反的电流.求：(1)x 轴上任意一点的磁感应强度；(2)x 为何值时，B 值最大，并给出最大值B max .习题10-4图 r 12 r 21 习题10-5图y解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P 点产生的磁感强度的大小为：rI B π=201μ2/1220)(12x d I +⋅π=μ 2导线在P 点产生的磁感强度的大小为：rI B π=202μ2/1220)(12x d I +⋅π=μ 1B ϖ、2B ϖ的方向如图所示．P 点总场θθcos cos 2121B B B B B x x x +=+= 021=+=y y y B B B )()(220x d Idx B +π=μ，i x d Idx B ϖϖ)()(220+π=μ(2) 当 0d )(d =xx B ，0d )(d 22=<x x B 时，B (x )最大． 由此可得：x = 0处，B 有最大值．10-7 如图所示被折成钝角的长直载流导线中，通有电流I ＝20 A ，θ＝120°，a ＝2.0 mm ，求A 点的磁感应强度. 解：载流直导线的磁场)sin (sin 4120ββπμ-=dIBA 点的磁感应强度)))90sin(90(sin sin 40000θθπμ--+=a IB)5.01(2/3100.2201037+⨯⨯⨯=--B =1.7310-3T 方向垂直纸面向外。

10-8 一根无限长直导线弯成如图所示形状，通以电流I ，求O 点的磁感应强度. 解：图所示形状，为圆弧电流和两半无限长直载流导线的磁场叠加。

圆电流的中心的 πϕμ220R I B =半无限长直载流导线的磁场 aIB πμ40=8320R I B μ=+R I πμ20＝)38(160ππμ+=R I B方向垂直纸面向外。

10-9 如图所示，宽度为a 的薄长金属板中通有电流I ，电流沿薄板宽度方向均匀分布.求在薄板所在平面内距板的边缘为x 的P 点处的磁感应强度.习题10-7图d习题10-8图 Pr B 1B 2y1 2 oxd dθ θ解：取离P 点为y 宽度为d y 的无限长载流细条y aI i d d = 长载流细条在P 点产生的磁感应强度y i B π=2d d 0μyyI πα=2d 0μ所有载流长条在P 点产生的磁感强度的方向都相同，方向垂直纸面向外. 所以==⎰B B d y dy Ixa x⎰+πα20μxxa a I +π=ln20μ 方向垂直纸面向外.10-10 如图所示，半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷，面密度为＋σ，当这圆盘以角速度ω绕中心垂轴旋转时，求轴线上距圆盘中心O 为x 处的P 点的磁感应强度.解：在圆盘上取一半径为r ，宽度为d r 的环带，此环带所带电荷r r q d 2d π⋅=σ． 此环带转动相当于一圆电流，其电流大小为 π=2/d d q I ω 它在x 处产生的磁感强度为2/32220)(2d d x r I r B +=μr x r r d )(22/32230+⋅=σωμ 故P 点处总的磁感强度大小为：⎰+=Rr x r r B 02/32230d )(2σωμ)2)(2(22/122220x x R x R -++=σωμ 方向沿x 轴方向.10-11 半径为R 的均匀带电细圆环，单位长度上所带电量为λ，以每秒n 转绕通过环心，并与环面垂直的转轴匀速转动.求：(1)轴上任一点处的磁感应强度值；(2)圆环的磁矩值.解：(1) n R I λπ2=2/32230)(y R nR B B y +==λπμB ϖ的方向为y 轴正向(2) j R n j I R p m ρρρ3222πλπ==yORω习题10-10图 习题10-9图 y10-12 已知磁感应强度0.2=B Wb ·m -2的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如题10-12图所示．试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量． 解： 如题10-12图所示题10-12图(1)通过abcd 面积1S 的磁通是24.04.03.00.211=⨯⨯=⋅=S B ϖϖΦWb(2)通过befc 面积2S 的磁通量022=⋅=S B ϖϖΦ(3)通过aefd 面积3S 的磁通量24.0545.03.02cos 5.03.0233=⨯⨯⨯=θ⨯⨯⨯=⋅=S B ϖϖΦWb (或曰24.0-Wb )10-13 两平行长直导线，相距0.4 m ，每根导线载有电流I 1＝I 2＝20 A ，如图所示，试计算通过图中斜线部分面积的磁通量. 解：如图取面微元 l d x=0.20dxBldx S d B d m =⋅=Φρρ)(222010x d I x I B -+=πμπμ方向垂直纸面向外.ldx x d I x I d m m ⎰⎰-+=Φ=Φ30.010.02010))(22(πμπμ30.040.010.040.0ln210.030.0ln 22010--+=πμπμl I l I =2.2610-6Wb10-14长直同轴电缆由一根圆柱形导线外套同轴圆筒形导体组成，尺寸如图所示.电缆中的电流从中心导线流出，由外面导体圆筒流回.设电流均匀分布，内圆柱与外圆筒之间可作真空处理，求磁感应强度的分布.习题10-13图xdx d解：⎰∑μ=⋅LI l B 0d ϖϖ(1)a r < 2202RIr r B μπ=202RIrB πμ=(2) b r a << I r B 02μπ=rIB πμ20=(3)c r b << I bc b r I r B 0222202μμπ+---= )(2)(22220b c r r c I B --=πμ (4)c r > 02=r B π0=B题10-14图 习题10-15图10-15 如图所示，一截面为长方形的闭合绕线环，通有电流I ＝1.7 A ，总匝数N ＝1000 匝，外直径与内直径之比为η＝1.6，高h ＝5.0 cm.求：(1)绕线环内的磁感应强度分布；(2)通过截面的磁通量. 解：(1) 环内取一同心积分回路NI rB Bdl l d B 02μπ===⋅⎰⎰ρρrNIB πμ20=方向为右螺旋 (2) 取面微元 h drBhdr S d B d m =⋅=Φρρ通过截面的磁通量. ⎰⎰=⋅=Φ2120R R m hdr rNIS d B πμϖρηπμπμln 2ln 20120NIh R R NIh m ==Φ=8.010-6Wb10-16 一根m ＝1.0 kg 的铜棒静止在两根相距为l ＝1.0 m 的水平导轨上，棒载有电流I ＝50 A ，如图所示.(1)如果导轨光滑，均匀磁场的磁感应强度B 垂直回路平面向上，且B ＝0.5 T ，欲保持其静止，须加怎样的力(大小与方向)？(2)如果导轨与铜棒间静摩擦系数0.6，求能使棒滑动的最小磁感应强度B . 解：(1) 导线ab 中流过电流I ，受安培力IlB F =1方向水平向右,如图所示 欲保持导线静止，则必须加力2F ϖ， 12F F =2F ϖ方向与1F ϖ相反，即水平向左， 5.0102012⨯⨯===IlB F F =25N(2) F 1-mg=m aF 1-mg 0Il mg B μ==0.1508.90.16.0⨯⨯⨯0.12T10-17 如题10-17图所示，在长直导线AB 内通以电流1I =20A ，在矩形线圈CDEF 中通有电流2I =10 A ，AB 与线圈共面，且CD ，EF 都与AB 平行．已知a =9.0cm,b =20.0cm,d =1.0 cm ，求：(1)导线AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力；(2)矩形线圈所受合力和合力矩．解：(1)CD F ϖ方向垂直CD 向左，大小4102100.82-⨯==dI bI F CD πμ N 习题10-16图 a b I lF 2 F 1同理FE F ϖ方向垂直FE 向右，大小5102100.8)(2-⨯=+=a d I bI F FE πμ NCF F ϖ方向垂直CF 向上，大小为⎰+-⨯=+πμ=πμ=ad dCF dad I I r r I I F 5210210102.9ln 2d 2 N ED F ϖ方向垂直ED 向下，大小为5102.9-⨯==CF ED F F N(2)合力ED CF FE CD F F F F F ϖϖϖϖϖ+++=方向向左，大小为4102.7-⨯=F N合力矩B P M m ϖϖϖ⨯=∵ 线圈与导线共面∴ B P m ϖϖ//0=M ϖ．题10-17图题10-18图10-18 边长为l =0.1m 的正三角形线圈放在磁感应强度B =1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题10-18图所示，使线圈通以电流I =10A ，求： (1) 线圈每边所受的安培力；(2) 对O O '轴的磁力矩大小；(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．解： (1) 0=⨯=B l I F bc ϖϖϖB l I F ab ϖϖϖ⨯= 方向⊥纸面向外，大小为866.0120sin ==︒IlB F ab NB l I F ca ϖϖϖ⨯=方向⊥纸面向里，大小866.0120sin ==︒IlB F ca N(2)IS P m =B P M m ϖϖϖ⨯= 沿O O '方向，大小为221033.443-⨯===B l I ISB M m N ⋅(3)磁力功 )(12ΦΦ-=I A∵ 01=Φ B l 2243=Φ ∴ 221033.443-⨯==B l IA J10-19 横截面积S ＝2.0 mm 2的铜线，密度ρ＝8.9×103 kg·m －3，弯成正方形的三边，可以绕水平轴OO ′转动，如图所示.均匀磁场方向向上，当导线中通有电流I ＝10 A ，导线AD 段和BC 段与竖直方向的夹角θ＝15°时处于平衡状态，求磁感应强度B 的量值.解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)． 设正方形的边长为a , 则重力矩θρθρsin sin 2121gSa a a gS a M +⋅=θρsin 22g Sa =磁力矩 θθcos )21sin(222B Ia BIa M =-π=平衡时 21M M =所以 θρsin 22g Sa θcos 2B Ia =习题10-19图31035.9/tg 2-⨯≈=I g S B θρ T10-20 塑料圆环盘，内外半径分别为a 和R ，如图所示.均匀带电＋q ，令此盘以ω绕过环心O 处的垂直轴匀角速转动.求：(1)环心O 处的磁感应强度B ；(2)若施加一均匀外磁场，其磁感应强度B 平行于环盘平面，计算圆环受到的磁力矩. 解：(1) 取一r →r r d +圆环，环上电荷 r r q d 2d π=σ 环电流 r r I d d ωσ=圆环电流的中心的 rdIdB 20μ=dr dB 20σωμ=dr B Ra20σωμ⎰=)()(2220a R a R q --=πωμ)(20a R q +=πωμ(2) 圆环r →r r d +磁矩大小为I r p m d d 2π=r r r d 2σωπ=r B r M R a d 3σωπ=⎰)(22a R B q +41=ω10-21 一电子具有速度 v ＝(2.0×106i ＋3.0×106j ) m·s －1，进入磁场B ＝(0.03i －0.15j ) T 中，求作用在电子上的洛伦兹力.解：)(B q F ρρρ⨯=υ610)15.003.0()0.30.2(⨯-⨯+=j i j i q F ρρρρρN k j k k F ρρρρ-1413106.0810)09.030.0(6.1⨯-=⨯--⨯=-10-22 一质子以v ＝(2.0×105i ＋3.0×105j ) m·s －1的速度射入磁感应强度B ＝0.08i T 的均匀磁场中，求这质子作螺线运动的半径和螺距(质子质量m p ＝1.67×10－27 kg).解：半径:qBm R ⊥=υ 08.0106.1100.31067.119527⨯⨯⨯⨯⨯=--=3.9110-2mqBm v R T ππ22==⊥螺距:qBm v T v h π2////⋅== 08.0106.11067.114.32100.219275⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--=0.164m习题10-20图。