高二数学：《直线的倾斜角与斜率》导学案
3.1.1《直线的倾斜角与斜率》导学案
反思：直线倾斜角的范围？鱼知水恩，乃幸福之源也。
鱼离不开水，人离不开亲人和朋友，当你处于逆境和灾难时，帮助你一臂之力，渡过难关的人，都是你的亲人和朋友。
吃水不忘挖井人，度过苦难，不能忘记援助过你的人。
知恩图报，善莫大焉。
一个人要想获得幸福，必须懂得感恩。
生活需要一颗感恩的心来创造，一颗感恩的心需要生活来滋养。
一饭之恩，当永世不忘。
顺境里给你帮助的人，不能全部称作朋友，但是能够在你逆境时依然愿意援助你，走出困境的人，一定是你要用一生去感谢和珍惜的人。
唐代李商隐的《晚晴》里有这样一句诗：天意怜幽草，人间重晚晴。
久遭雨潦之苦的幽草，忽遇晚晴，得以沾沐余辉而平添生意。
当一个人闯过难关的时候，一定要记住那些支撑你，陪你一起走过厄运的朋友和亲人，这个世界谁也不亏欠谁，帮你是情分，不帮你是本分。
如古人所说：淡看世事去如烟，铭记恩情存如血。
学会感恩父母养育之恩，学会感恩朋友的帮助之情，生活里做一个有情有义的人。
你要知道，父母，永远是你最亲近的人，是最爱你的人，不管他们的方法怎么错误？可是爱你的心，都是一样的。
千万不要因为自己一时的私心，而忘记感恩。
我们常常希望别人都对自己有情有义，可是想得到别人你真情，首先你必须先付出真情。
你帮助别人，不要记在心里，别人帮助你，你要懂得感恩和感动，而不是当做理所当然。
你要知道别人帮你是情分，不帮你是本分。
侍父母，要孝顺，对朋友，要真诚。
不管你生活的精彩或者混沌，孝顺父母，颐养天年。
一父养十子，十子养一父。
在这个美好的时代，中华很多的美德都在逐渐消失，做子孝为天，但是总有一些人，自己活在天堂，硬生生的把父母扔进地狱。
鱼知水恩，乃幸福之源也。
鱼离不开水，人离不开亲人和朋友，当你处于逆境和灾难时，帮助你一臂之力，渡过难关的人，都是你的亲人和朋友。
吃水不忘挖井人，度过苦难，不能忘记援助过你的人。
知恩图报，善莫大焉。
一个人要想获得幸福，必须懂得感恩。
生活需要一颗感恩的心来创造，一颗感恩的心需要生活来滋养。
直线的倾斜角与斜率 学案 导学案 课件
倾斜角与斜率第1课时【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材,用红色笔对重点内容进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。
2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC 层可以不做。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.2.理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．3.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．【学习重点】直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.【学习难点】直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.【知识链接】1：一次函数的图象的形状是---（一条直线）2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点）3：锐角正切函数的定义--- （对边比邻边）【预习案】大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木，会出现什么现象？（倾斜）本节课我们就重点研究有关直线的倾斜问题.问题1、对平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由那些条件确定？（两点）问题2、一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？（观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜）直线在倾斜时与那个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？问题3、什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟，记牢倾斜角及范围！α当直线L与x轴垂直时, =问题4、除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？问题5、直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式）【温馨提示】（1）平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有，倾斜角为90°的直线没有斜率，在使用斜率来研究直线时，经常要对直线是否有斜率分情形讨论. （2）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值，在以后的学习中将体会到，研究直线时，使用斜率常常比使用倾斜角更方便.问题6、阅读教材83---84页探究如何由直线上的两点求直线的斜率呢？计算公式如何？（牢记公式）【探究案】探究1：例1：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB、BC、CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.探究2：例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1、 -1、2及-3的直线L1、L2、L3、L4【课堂小结】我的疑问：（至少提出一个有价值的问题）今天我学会了什么？。
《直线的倾斜角与斜率》课件与导学案
D
)
新知探究
思考 直线的方向向量与斜率之间有什么关系？
如果直线l过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),(x1≠x2) ,直线l的斜率为k，则
直线的方向向量
P1P2 ( x2 x1 , y2 y1 )
y
1
1
P1P2
( x2 x1 , y2 y1 ) 0
x2 x1
点拨 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜
率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解；若含有参数，常常需要进行分类讨论.
跟踪训练
已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
-1-1
x2 x1
l
. P (x ,y )
2
. P (x ,y ) x
1
1
结论1 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x,y)则 k=
y2 y1
(1,
)
x2 x1
2
=（1, k）
结论2 若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量的坐标为(1,k).
1
2
典例解析
例1 如图，已知A(3,2),B(-4,1),C(0，-1)，求直线AB,BC,CA的斜率，
不成立，当直线的倾斜角 = 900时，式子没有意义
y
. P (x ,y .)Pl (x ,y )
1 1 1 2 2 2
x
0
y
l
. P (x ,y )
1
0
1
1
. P (x ,yx)
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。
3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。
5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。
3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。
6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。
说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。
2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。
3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。
七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。
2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。
直线的倾斜角与斜率导学案
【思考6】(1)倾斜角是 的直线有斜率吗？
(2)直线的倾斜角与斜率有怎样的对应关系？
(3)能否用斜率表示直线的倾斜程度呢？
●探究任务2～直线倾斜角的计算
【探究】由于两点可以确定一条直线，这时直线的倾斜角与斜率都是确定的，那么，如何由直线上的两点坐标计算直线的斜率呢？
【思考7】(1)当直线 与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？
(3)根据倾斜角的定义，你能说出倾斜角的取值范围吗？
【思考4】(1)任何一条直线都有倾斜角吗？
(2)倾斜程度不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
(3)倾斜程度相同的直线的倾斜角有什么关系？
(4)在直角坐标系中，由一点和倾斜角能否确定一条直线的位置呢？
【思考5】在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？
固原五中高一年级数学导学案
班级____________ 小组______________ 姓名___________ 学号____________
课题
直线的倾斜角与斜率（一）倾斜角与斜率
学习目标
正确理解直线倾斜角和斜率概念；掌握直线的倾斜角和斜率的关系及取值范围；会求直线的倾斜角和斜率；提高同学们的观察、探索能力；进一步体会数形结合思想.
A. B.
C. D.
4.经过两点 的直线 的倾斜角等于 ，则 _______.
合作探究，归纳展示
一、学始于疑
初中我们已经知道，一次函数 的图象是直线，其中系数 具有怎样的几何意义？它是怎样衡量直线在平面直角坐标系中的位置呢？
二、质疑探究
●探究任务1～直线的倾斜角与斜率的概念
【思考1】对于平面直角坐标系中的一条直线 ，它的
2.在直角坐标系中，任何一条直线与 轴都有一个相对倾斜度，可以有一个什么几何量来反映一条直线与 轴的相对倾斜程度呢？
直线的倾斜角和斜率的导学案
2、 斜率： （1） 定义： （2） 理解：
引导学生利用数 形结合思想来描 述直线的倾斜 度。
探索描述直 线的倾斜程 度的代数表 示， 由此引出 斜率概念。 培养学生文 字语言和数 学语言的相 互转化。
① 口答下列直线的斜率
a 30 , k a 45 , k a 60 , k a 120 , k a 150 , k
《直线的倾斜角和斜率》教学方案
教师姓名 课题 课型 直线的倾斜角和斜率 直线的倾斜角与斜率，是解析几何的重要概念之一。直线的斜率是后继内 教材解析 容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及 讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确 理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。初步渗透解析几何的 基本思想和基本研究方法。 1.知识与技能： 理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线的斜率公式。 教学目标 2.过程与方法：培养学生的数形结合思想 3.情感和目标：通过创设问题情景和多媒体教学，让学生在参与中感受和体验数 学美，激发学生的学习兴趣和求知欲。 教学重点 教学难点 教学资源 教学方法 直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。 倾斜角概念形成，斜率概念的理解。 多媒体教学。 问题驱动法。 教学内容与步骤 师生活动 简单介绍解析几何 的来源于背景 设计意图 激发学生兴 趣，激发学生 的求知欲 新授课 课时数 1（40 分钟）
（2） 范围：
利用课件演示倾 斜角的范围，体 倾斜角的意义 ：体现了直线对 x 轴正方向的 现直线与角度的 一一对应。 倾斜程度。
在日常生活中， 同学们有没有遇到过具有倾斜程 度的模型？（——滑梯，山坡，楼梯。 ）还有没 引导学生在生活 中举例，如：冲 有表示倾斜程度的量？ 浪、上楼梯等，
《直线的倾斜角与斜率》专题练习
《直线的倾斜角与斜率》导学案一、知识梳理知识点一：直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义①当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；当直线l 与x 轴垂直时，规定它的倾斜角为90°；(2)直线的倾斜角α的取值范围为)180,0[(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 知识点二：直线的斜率(1)斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即αtan =k )90(≠a .知识点三：直线的倾斜角与斜率的对应关系直线过两点),(111y x P ,),(222y x P ，则其斜率k ＝1212x x y y --)(21x x ≠二、题型讲解类型一：直线的倾斜角1、下列图中α能表示直线l 的倾斜角的是 ①2、已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为60°或120°3、给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴； ④所有的直线都有斜率； ⑤若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)； ⑥若α是直线l 的倾斜角，且sin α＝22，则α＝45°. 其中正确的命题是 ① 4、有下列命题：①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； ②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； ③坐标平面上所有的直线都有倾斜角； ④坐标平面上所有的直线都有斜率.其中错误的是②④5、已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为150° 类型二：直线的斜率（含两点确定的斜率公式） 1、没有斜率的直线一定是 ( B )A.过原点的直线B.垂直于x 轴的直线C.垂直于y 轴的直线D.垂直于坐标轴的直线 2、已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=－54，则直线l 的斜率为43- 3、直线x =的倾斜角33为 904、过原点且斜率为33的直线l 绕原点逆时针方向旋转30°到达l ′位置，则直线l ′5、若直线经过点(1,2)、(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是30°6、若直线的倾斜角为60°7、若过两点A (4，y )、B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于－18、经过点P (2，m )和Q (2m,5)的直线的斜率等于12，则m 的值是39、直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 10、若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于211、已知点A (a,2)，B (3，b ＋1)，且直线AB 的倾斜角为90°，则a ，b 的值为( D ) A ．a ＝3，b ＝1 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝3 D ．a ＝3，b ∈R 且b ≠1 12、已知点A 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为__(1,0)或(0，－2)_13、设P 为x 轴上的一点，A (－3,8)、B (2,14)，若P A 的斜率是PB 的斜率的两倍，则点P的坐标为__(－5,0)__14、(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m,6)、B (1,3m )的直线的斜率为12 ？(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A (m,2)、B (－m,2m －1)的直线的倾斜角是45° ？ 答案： (1) m ＝－2. （2）m ＝34.类型三：直线的倾斜角与斜率的范围关系问题1、如下图，已知直线l 1、l2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 22、如图所示，直线l 1、l 2、l3、l 4的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，从小到大的关系是k 1<k 3<k 4<k 23、根据以下斜率范围求倾斜角范围（1）1≥k 答案：)2,4[ππ； （2）3-≤k 答案：]32,2ππ（ （3）1-≥k 答案：）2,0[),43[πππ⋃ ； （4）3<k 答案：）（3,0[),2πππ⋃ （5）13<≤-k 答案：）4,0[),32[πππ⋃ （6）1≥k 或3-≤k 答案： ]32,2)2,4[ππππ（⋃4、根据以下倾斜角范围求斜率范围 （1）30<θ 答案：)33,0[ ； （2） 135>θ 答案：)0,1(- （3） 60>θ 答案： ),3()0,(+∞⋃-∞； （4） 120<θ 答案： ),0[)3,(+∞⋃--∞（5）12045≤≤θ 答案： ),1[]3,(+∞⋃--∞5、经过两点A (2,1)、B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是－1＜m ＜16、若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__(－2,1)__. 类型四：三点共线1、 若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为 292、如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，则m 的值为－63、若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为124、三点(2，－3)、(4,3)及(5，k2)在同一条直线上，则k 的值等于__12__5、斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a ＋b 等于1 类型五：数形结合求倾斜角或斜率取值范围1、已知点A (1,3)、B (－2，－1)．若过点P (2,1)的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是－2≤k ≤122、已知点A (2，－3)、B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[34，＋∞)3、已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为[3，3] 4、直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．答案： k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)；45°≤α≤120°.5、已知点A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．答案：直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.升级训练1、设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为 ( D )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°2、已知直线l 的倾斜角为α，并且0°≤α≤120°，直线l 的斜率k 的取值范围是3、已知直线的倾斜角α满足παπ433<≤，则直线的斜率k 的取值范围是 4、当直线的倾斜角α满足1200<≤α，且90≠α时，它的斜率k 满足 5、直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是],43[]4,0[πππ⋃ 6、下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( C ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12) B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5) C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)7、已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．答案： (1) k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1；(2)α的取值范围是45°≤α≤135°. 8、已知实数x 、y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx的最大值和最小值.答案：所求的y x 的最大值为2，最小值为23.9（难）．已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是[－2，12]。
直线的倾斜角与斜率 学案 导学案 课件
直线的倾斜角与斜率一、教学目标：1、理解直线倾斜角的定义、范围和斜率；2、掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、能用公式和概念解决问题。
二、教学重、难点：重点：直线的倾斜角和斜率难点：直线的斜率公式及应用三、使用说明及学法指导:指导学生预习教材，找出疑惑之处，并用笔画出来。
四、知识链接:在初中我们已经学习过一次函数及图象，知道一次函数b kx y +=的图象是一条直线，它是以满足b kx y +=的每一对y x ,的值为坐标的点构成的，由于函数式b kx y +=可看作二元一次方程，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系。
五、教学过程:阅读课本第82页第1段，尝试判断下列问题的真假：知识点一 直线的方程与方程的直线1、任意一条直线一定是某个一次函数的图象。
2、函数()0≥+=x b kx y 的图象是一条直线。
3、以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫这条直线的方程。
4、若一条直线上的所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫这个方程的直线。
阅读课本第82～83页的倒数第3段，尝试回答下列问题：知识点二 直线的倾斜角与斜率1、请描出下列各直线的倾斜角，并说明直线的倾斜角的范围是什么？2、怎么样用倾斜角表示斜率？3、任何一条直线都有倾斜角和斜率吗？说明理由。
4、直线倾斜角越大，它的斜率越大吗？它们之间的关系是怎样的？5、两条直线的倾斜角相等，斜率相等吗？6、你能根据正切函数图象，写出直线的倾斜角在︒︒<<900α和︒︒<<18090α两个范围内，斜率是怎么变化的吗？阅读课本，尝试回答下列问题：知识点三 斜率公式1、斜率公式与两点的顺序有关吗？如何理解21x x ≠？2、你能根据斜率公式求倾斜角吗？阅读课本的例1、例2，尝试完成以下几题：知识点四 典型例题A1、已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角。
B2、求经过A （10，8），B （4，-4）的直线的斜率和倾斜角？C3、如果A （5，1），B （a ，3），C （-4，2），在同一条直线上，求a 。
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新修订高中阶段原创精品配套教材《直线的倾斜角与斜率》导学案教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改Tutorial Case of "Slope Angle and Slope of Straight Line"教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育《直线的倾斜角与斜率》导学案一、教学内容分析“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。
本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。
二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。
倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。
而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。
因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。
据此确定本课时的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。
理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。
二、教学目标分析1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。
2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。
3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。
三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。
事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。
在教学中应注意引导学生认识到这种联系。
函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。
它们都体现了数形结合思想，但角度不同。
学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。
因此在教学时要注意澄清二者的不同。
基于上述分析，确定本课时的教学难点为：直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。
四、教学过程设计（一）引言在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。
现在我们采用另一种研究方法——坐标法来研究几何问题。
坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法，这门科学称为解析几何。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。
解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。
解析几何由此成为近代数学的基础之一。
本章我们研究的是直线与方程,这是我们在初中就熟悉的知识，当时是在函数的观点下进行，是借助于“形”研究“数”的问题，从今天开始要转化一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是用“坐标法”进行研究。
本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。
[设计意图]：使学生了解新内容特点和研究方法，发挥先行组织者的作用，揭示本课时的研究方法。
（二）形成倾斜角的定义问题１：请你在平面直角坐标系中画出两条直线，说出他们的不同之处。
（1）（2）预设的答案:图(1)中的两条直线都经过点p , 但“倾斜程度”不同。
图(2)中的两条直线“倾斜程度”相同，但没有公共点。
辅助问题1：直线的倾斜程度是以什么为参照的？教师引导形成统一的认识:以x轴或y轴为基准都可以，习惯上以x轴为基准。
辅助问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？预设的答案:（1）两点确定一条直线；（2）一点及直线相对于x轴的“倾斜程度”。
辅助问题3：两直线相交可以形成4个角，你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢？教师引导形成统一的认识:用图中的∠1。
这个角就叫做直线的倾斜角。
[设计意图]：从学生的已有知识经验出发，引导学生逐步接受新的研究方法。
问题２：在平面直角坐标系中，过一点的任意直线相对x轴的位置有哪些情形？请画出这些直线的倾斜角，并用你自己的语言说说倾斜角的三要素。
(１) (2) (3) (4)[设计意图]：在学生直观感受的基础上形成倾斜角的定义。
通过给各种类型的直线标注倾斜角，使学生形成对倾斜角全面的认识，在此基础上认识到分类定义的必要性和规定的合理性。
学生活动：标出各条直线的倾斜角，并用自己的语言描述倾斜角的特征。
预设的结果：（1）标出各条直线的倾斜角（略）；（2）形成倾斜角的定义：倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。
规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。
问题3：根据定义，倾斜角α的取值范围是什么呢?答案：0180。
（三）形成斜率的定义问题4：生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，你还知道表示倾斜程度的量吗？请举例。
[设计意图]：利用学生的已有知识经验将几何问题代数化。
预设的回答：可以用坡角与坡度来表示。
坡度的定义是：教师引导：我们也可以用直线的倾斜角的正切来表示直线的倾斜程度即直线的斜率。
斜率的定义：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。
即。
问题5：（1）完成下面的表格1，并分析直线的倾斜角不同时，直线的斜率取值是否也不同，在此基础上总结斜率的意义。
表130o45o60o120o135o150ok=tan（2）根据三角函数的相关知识，思考当倾斜角在[0，180）内变化时，斜率k如何变化？并填写表2。
表2的取值范围0o<<90o=90o90o<<180ok的取值范围k关于的单调性[设计意图]：初步体验斜率与倾斜程度的关系，并用函数的观点分析倾斜角与斜率的变化关系。
活动方式：学生独立完成，并交流认识斜率的意义，及倾斜角与斜率的关系。
预设的结论：倾斜角α是90 o的直线没有斜率；倾斜角α不是90 o的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。
斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。
因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。
（四）探究斜率公式，初步体会坐标法问题6：已知直线将过两点p1（x1，y1），p2（x2，y2），试用点p1 、p2的坐标表示直线的斜率k？[设计意图]：将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法思想。
学生活动：学生在刚才所画的直线上标记上述条件，由于不同学生的标记方法不同，将他们标记的情况收集整理，得到所有的情况之后再分类讨论，分组合作，分别求解。
通过这样的活动使得学生对要解决的问题有一个全面的认识，同时认识到分类讨论和合作学习的必要性。
思路分析：根据斜率的定义解决问题，因此首先要构造直角三角形。
解决过程：（略）。
交流完善：辅助问题：1.各种一般情形得出的结论一致吗？与p1、p2这两点坐标顺序有关系吗？为什么？2.当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论还适用吗？形成结论：斜率公式：经过两点p1（x1，y1），p2（x2，y2）（x1 x2）的直线的斜率公式是：。
（五）初步应用，巩固双基例1.如图，已知a(3，2),b(-4，1),c（0，-1）,求直线ab，bc，ca的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
[设计意图]：巩固本课时所学的基本知识。
解：（略）。
例2.在平面直角坐标系中，画出经过点（-1，2）且斜率分别为1，-1，和2的直线。
[设计意图]：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。
（六）反思小结，提高认识问题7.请同学们谈谈你在这节课中学到哪些知识、思想方法和解决问题的经验？预设的回答：1．明确了确定直线位置的几何要素。
（两种）2．理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）。
3．经历了用代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与全面认识基础之上的分类讨论的数学思想。
七、目标检测设计1．p86练习设计意图：巩固本课时的基本知识。
2．p89习题3.1a组3，4，5设计意图：培养学生运用所学知识解决问题的能力。
结束语：本节课是解析几何的第一课，“坐标法”是本课内容蕴含的核心思想方法，也是解析几何研究问题的核心思想方法，通过本节课的研究可见，直角坐标系使几何研究又一次腾飞，几何从此跨入了一个新的时代，让我们给直线插上方程的”翅膀”吧！FoonShion教育研究中心编制Prepared by foonshion Education Research Center。