第10讲 3.1 轴向拉伸和压缩时的内力
轴向拉伸与压缩时的内力2-1
五、画轴力图的简便方法
（水平杆） 水平杆）
1、画一条平行杆轴线的直线----------称为基线 画一条平行杆轴线的直线----------称为基线 ----------称为 2、从左往右画（基线的左端点开始，右端点结束）：遇 从左往右画（基线的左端点开始， 端点结束） 左端点开始 集中荷载画竖线（规定方向：左上右下； 荷载画竖线 集中荷载画竖线（规定方向：左上右下；长度等于荷载 大小—标明数值）；无荷载杆段画水平线 ）；无荷载杆段画水平线。 大小—标明数值）；无荷载杆段画水平线。若从右往左 规定方向：左下右上） 画（规定方向：左下右上） 3、基线上方的图加上正号；下方的图加上负号。 基线上方的图加上正号；下方的图加上负号。 4、标出图名及单位 、
N1 = F =10kN 1
N1 N2 F2 N3 F4
25
10
(+)
(−)
∑X =0
BC段 BC段
∑X =0
N2 + F2 = F 1
N2 = F − F2 = 1
N(kN)
(+)
CD段 CD段
10 − 20 = −10kN ∑X =0
N3 = F4 = 25kN
10
x
2、绘制轴力图。 绘制轴力图。
注：竖杆---旋转成水平杆 竖杆---旋转成水平杆 ---
9KN
1 F A 1 B 2 C 3F 2 2F
3KN 5KN
N图
N图
F F F
压缩
F
拉杆
压杆
三、轴向拉压杆横截面上的内力 轴向拉压杆横截面上的内力
拉压杆的内力-轴力 轴力： 5、注：未知轴力设为拉力； 1、拉压杆的内力 轴力： 未知轴力设为拉力； 内力正负号有二层意思。 内力正负号有二层意思。 由于外力的作用线与杆件的轴线 其中一层表示二种不同变 重合，内力的作用线也与杆件的 重合， 形形式。 形形式。 m 轴线重合。所以称为轴力。 轴线重合。所以称为轴力。
轴向拉伸和压缩
六、强度计算
1.极限应力和许用应力
工作应力 FN
A
极限应力
塑性材料
u
（S
）
p 0.2
脆性材料
u
（ bt
）
bc
u n —安全因数 — 许用应力
n
塑性材料的许用应力 脆性材料的许用应力
s
ns
bt
nb
p0.2
ns
bc
nb
轴向拉伸和压缩
2.强度计算
max
FN A
轴向拉伸和压缩
二、杆的内力计算
1.内力的概念
构件所承受的载荷及约束反力统称为外力。构件在外力作用下发生变形，产生构
件内部各部分之间的相互作用力，这种作用力称为内力。
2.截面法
（1）截开 （2）代替 （3）平衡
F5
F1
F2
F5
F1
F2
m F4
m
F3
F4
F3
轴向拉伸和压缩
3.轴力
轴向拉伸或压缩时杆横截面上 F
的内力与杆轴线重合，因此 称为轴力，
F
m F
m
FN
FN
F
Fx 0
FN F 0 FN F
轴向拉伸和压缩
4.轴力图
A
为了表明横截面上的轴力
沿轴线变化的情况，可 F1
按选定的比例尺，以与
杆件轴线平行的坐标轴 表示各横截面的位置，
F1
以垂直于该坐标轴的方 向表示相应的内力值，
F1
这样做出的图形称为轴
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核： 2、设计截面： 3、确定许可载荷：
max
FN A
轴向拉伸和压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
从平面假设可以判断：
（1）所有纵向纤维伸长相等
（2）因材料均匀，故各纤维受力相等
（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量
ac
F
a
c
b
d
F FN dA
bd
A
dA A
A
FN
A
16
目录
§8.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计
19
目录
§8.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A
FN1 28.3kN FN 2 20kN
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
FN1
F
y
FN 2 45° B x
F
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
90106 Pa 90MPa
2
FN 2 A2
10
F4 解：1、计算各段的轴力。
AB段 Fx 0
FN1 F1 10kN
BC段
Fx 0 FN 2 F2 F1
FN 2 F1 F2
F4
10 20 10kN
25 CD段 Fx 0
FN 3 F4 25kN
x
2、绘制轴力图。
受到拉力最大，设其值为Fmax。
讨论横梁平衡 Mc 0
FRCx C FRCy
W
Fmax sin AC W AC 0
Fmax
FmaxA
Fmax
W
sin
轴向拉伸与压缩1(内力与应力)
在轴向压缩过程中，内力是抵抗压 缩变形的主要力量，应力则表示单 位面积上的内力，是衡量物体抵抗 变形能力的物理量。
内力与应力的定义
内力定义
内力是指物体受到外力作用时，物体 内部各部分之间产生的相互作用力。 在轴向拉伸与压缩过程中，内力主要 用于抵抗外力引起的变形。
应力定义
应力是指单位面积上的内力，用于描 述物体抵抗变形的能力。在轴向拉伸 与压缩过程中，应力的大小决定了物 体变形的程度。
轴向拉伸与压缩1(内力与 应力)
• 引言 • 轴向拉伸与压缩的概念 • 内力的计算 • 应力的计算 • 轴向拉伸与压缩的应力分析 • 轴向拉伸与压缩的实验研究 • 总结与展望
01
引言
主题简介
01
轴向拉伸与压缩是材料力学中的 基本概念，主要研究物体在轴向 拉力和压力作用下的变形和应力 分布。
02
03
内力的计算
内力计算公式
截面法
通过选取一个或多个横截面，将杆件分为两部分，然后根据力的平衡原理计算 横截面上的内力。
截面法公式
$F = frac{F_{1} - F_{2}}{L}$，其中 $F$ 是内力，$F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是作用在 杆件上的外力，$L$ 是杆件的长度。
内力计算实例
结论
总结实验结果，得出材料在轴向拉伸与压缩过程中的内力、 应力变化规律以及材料的弹性模量，为工程应用提供参考依 据。
07
总结与展望
本章内容总结
01
02
03Βιβλιοθήκη 04轴向拉伸与压缩的概念 和定义
内力的计算方法和公式
应力分布和应力的计算
轴向拉伸与压缩的实验 方法和应用
下一步学习计划
轴向拉伸与压缩
第五章 轴向拉伸与压缩一、轴向拉伸与压缩承受拉伸或压缩杆件的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。
这种杆件称为拉压杆。
二、轴力及轴力图杆件在外力作用下将发生变形，同时杆件内部各部分之间产生相互作用力，此相互作用力称为内力。
对于轴向拉压杆，其内力作用线与轴线重合，此内力称为轴力。
轴力拉为正，压为负。
为了表现轴向拉压杆各横截面上轴力的变化情况，工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。
三、横截面上的应力根据圣文南原理，在离杆端一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也应是均匀的，并垂直于横截面，此即为正应力。
设杆的横截面面积为Ａ，则有AF N =σ 工程计算中设定拉应力为正，压应力为负。
四、强度条件工程中为各种材料规定了设计构件时工作应力的最高限度，称为许用应力，用［σ］表示。
轴向拉伸（压缩）强度条件为[]σσ≤=AF N用强度条件可解决工程中三个方面的强度计算问题，即：（1）强度校核；（2）设计截面；（3）确定许可载荷。
五、斜截面上的应力与横截面成θ角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力σ的关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θστθσσθθ2sin 2)2cos 1(2 由上式可知，当θ＝０°时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。
当θ＝±４５°时，切应力达到极值。
六、拉压变形与胡克定律等值杆受轴向拉力Ｆ作用，杆的原长为l ，横截面积为Ａ，变形后杆长由l 变为l ＋△l ，则杆的轴向伸长为EAFl l =∆ 用内力表示为EAl F l N =∆ 上式为杆件拉伸（压缩）时的胡克定律。
式中的Ｅ称为材料的拉伸（压缩）弹性摸量，ＥＡ称为抗拉（压）刚度。
用应力与应变表示的胡克定律为σ＝Ｅε在弹性范围内，杆件的横向应变ε‘和轴向应变ε有如下的关系：μεε-='式中的μ称为泊松比。
3.1轴向拉伸和压缩时的内力.
§3—1 轴向拉伸和压缩时的内力一、 轴向拉伸和压缩的概念 沿杆件轴线作用一对大小相等、方向相反的外力，杆件将发生轴向伸长（或缩短）变形，这种变形称为轴向拉伸（或压缩）。
（图3-1a 、b ）。
产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。
图3－1a图3－1b二、 用截面法计算轴向拉（压）杆的内力内力指杆件本身一部分与另一部分之间的相互作用力。
要确定杆件某一截面中的内力，可以假想地将杆件沿需求内力的截面截开，将杆分为两部分，并取其中一部分作为研究对象。
此时，截面上的内力被显示了出来，并成为研究对象上的外力。
再由静力平衡条件求出此内力。
这种求内力的方法，称为截面法。
现以图3-2a 所示拉杆为例确定杆件任一横截面mm 上的内力。
运用截面法，将杆沿截面mm 截开，取左段为研究对象（图3-2b ）。
考虑左段的平衡，可知截面mm 上的内力必是与杆轴相重合的一个力N，且由平衡条件∑=0X 可知P N =，其指向背离截面。
若取右段为研究对象，如图3-2c 所示，同样可得出相同的结果。
图3－2a图3－2b由此可知，轴向拉压杆件的内力是与轴线重合的力，故称它为轴力，用N 表示。
当杆件受拉时，轴力为拉力，其方向背离截面；当杆件受压时，轴力为压力，其方向指向截面。
规定：拉力用正号表示，压力用负号表示。
轴力的单位为N 或KN 。
例3-1杆件受力如图3-3a 所示，在力321P P P 、、作用下处于平衡状态。
已知KN P 81=，KN P KN P 21032==，，求杆件AB 和BC 段的轴力。
图3－3a图3－3b图3－3c图3－3d解 （1） 求AB 段的轴力用11-截面在AB 段内将杆截开，取左段为研究对象（图3-3b ），以1N 表示截面轴力，并假定为拉力，写出平衡方程∑=0X ， 011=-P N所以 KN P N 811==得正号，说明假定方向与实际方向相同，AB 段的轴力为拉力。
（2） 求BC 段的轴力用2-2截面在BC 段内将杆截开，取左段为研究对象（图3-3c ），以2N 表示截面轴力，写出平衡方程∑=0X ， 0212=+-P P N得 KN P P N 2108212-=-=-= 负号说明假设方向与实际方向相反，BC 段轴力实际为压力。
轴向拉、压杆的内力及应力计算
AB段：用1-1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象，以N1表示截面上的轴力，并假设为拉力。写出平
衡方程： ∑X=0，N1+P1=0
得 N1=-P1=-20KN 负号表示AB段轴力N1实际为压力。
BC段：同理写出平衡方程： ∑X=0，N2+P1-P2=0
得 N2=-P1+P2=-20+30=10KN 正号表示BC段轴力N2实际为拉力。
面垂直的应力为正应力，与截面相切的应力为剪应力。轴向拉伸、压缩时，杆件
截面上各点处产生正应力，且大小相等。若应力用σ表示，横截面积为A，轴力
为N，则
N
A
正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
例：如图7-2a悬臂梁，已知P1=20KN，P2=30KN，P3=10KN，试画出杆的轴力图。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
三、轴力图
表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。用平行于杆轴线的坐 标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比 例尺把正轴力画在轴的上方，负轴力画在轴的下方，并连成直线，就得到轴力 图。
四、轴向拉、压杆横截面上的应力
单位面积课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
一、轴向拉伸和压缩
受力特点：直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反的力。 变形特点：在外力作用下产生轴线方向的伸长或缩短。 当作用力背离杆端时，作用力是拉力，杆件产生伸长变形，叫做轴向拉伸。 见图7-1a 当作用力指向杆端时，作用力是压力，杆件产生压缩变形，叫做轴向压缩。 见图7-1b
图 7-1
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
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6kN +
4kN
2.应取受力较为简单的部分作为研究对象
绘制图示阶梯形杆件的轴力图。 1 2kN 2 5kN 解: ⑴求支座反力
A
1 1
B
C
FN1
2 D 2 5kN
2 2kN
5kN
x
FN2 FN
1
3kN 5kN
ΣFx=0 FA +2－5=0 FA=3kN(→) ⑵计算杆件各段轴力 ABC段： FN1 = -3kN(压) CD段： FN2 = -5kN(压) ⑶绘制轴力图
m
∑ Fx = 0 FN +F =0 FN = －F
例
⑴求 AB段的轴力 ∑ Fx = 0 FN1 – 6kN =0 （拉力） FN1 =6kN Fp1 ⑵求BC段的轴力 ∑ Fx = 0 －FN2 －4kN=0 （压力） Fp1 FN2 = －4kN
解:
A Fp2=10kN Fp1=6kN Fp =4kN Fp 1 3
1 Fp2B 1 1
2
C
Fp3
2
FN1
1 FN 2 Fp2
2
2 2 2 FN2
Fp3
注意：1.AB段伸长，BC段缩短 2.应取受力较为简单的部分 作为研究对象
三、轴力图
当杆件不仅在两端受力，而且在中部也受力时， 杆件不同区段的轴力一般是不相同的。为了直观地表 达轴力沿杆长度的变化规律，用图线表示轴力与横截 面位置的关系。这样的图线称为轴力图。 轴力图作法： 1.建立坐标系（横坐标x与杆的轴线平行,表示横 截面的位置；纵坐标FN表示轴力） 2.求控制截面的内力值 3.作图线：将轴力值按一定比例绘制在横截面 对应位置。 4.标注：控制值、正负号、竖标线
F
F
F
σ
求图示各杆横截面上的正应力，杆AB为圆截面钢杆，直径为 16mm，杆BC为正方形截面木杆，边长为100mm，力F=30kN 。
解 1.用截面法计算 y 16 A 各杆件的轴力 FNBA X ΣFy=0 1 60 B B FNAB*sin60 -F*sin 60 =0 60 FNBA =F=30kN 60 F FNBC F ΣFX=0 FNBC= -30kN -FNAB-FNABcos60 -Fcos 60=0 C 2.计算各杆的正应力 3 AB杆 FAB 4*30*10 N σ = AAB = 3.14*16*16 mm 2=149.21MPa 3 FBC -30*10 N BC杆 σ = = 2=-3MPa ABC 100*100mm
3.2 轴向拉伸、压缩杆件的变形
一、应力的概念 1.应力的概念：单位面积上的力的集度。 2.平面假设：变形前为平面的两个截面， 变形后仍为平面（仍与杆轴线垂直），这个 假设称为平面假设。
F
F
二、横截面上的正应力公式
分布内力的集度 当dA趋向于0时，σ代表一点处法向分 布内力的集度，称为正应力
第10讲
授课日期 班 级
章节及 课 题 复习旧课 要 点 本讲教学 目的与要求
第三章轴向拉伸和压缩
3.1 轴向拉伸和压缩时的内力 3.2 轴向拉（压）杆横截面上的应力 杆件的基本变形
理解内力和应力的概念并掌握其计算
运用多媒体讲授。 教学设计 （方法、 教具、 手段、 内容）
教学重点 和 难 点 课外作业 课后记录 控制截面的选取与求解画内力图 轴向拉压杆件横截面上应力的计算 习题3.1 3.2
正应力计算公式
dFN σ = dA FN：横截面上的轴力 A： 杆件横截面的面积
用 N , mm MPa 单位制
FN σ= A 注意单位
应力分布图
表示杆件横截面上应力分布规律的图形，称为应 力分布图，它反应截面上各点应力的大小和方向。 与轴力一样，正应力矢量σ的方向沿截面的法 线的方向：背离截面的正应力称为拉应力，规定为 正；指向截面的正应力称为压应力，规定为负，当 只强调正应力的指向和大小时，正应力可以用代数 量表示。
第三章 轴向拉伸与压缩
3.1 轴向拉伸和压缩时的内力
一、轴向拉伸与压缩的概念
轴向拉压变形 当作用于杆件上的 外力或其合 力的作用线与杆件的轴线重合时，杆件的变形，后者称为轴向压缩变形，简称拉伸或压 缩。发生轴向拉伸或压缩变形的杆件称为拉杆或压 杆。 轴向拉伸或压缩变形时的内力称为轴力。用N表示。
m F m F m FN m F
x
画轴力图
F FN F x
m
FN
m
∑ Fx = 0 FN +F =0 FN = －F
例 解 ⑴求 AB段的轴力 ∑Fx = 0 FN1 – 6kN =0
6kN A 6kN 1 1
110kN 2 4kN 1 B 2C FN1 FN2 2 2 x 4kN x
FN1 =6kN（拉力） ⑵求BC段的轴力 FN ∑ Fx = 0 －FN2 －4kN =0 FN2 = －4kN（压力） 注意： 1.AB段伸长，BC段缩短
二、用截面法计算轴向拉压杆的内力
正负号规定：对应于伸长 变形的轴力为正，即轴 力背离横截面时为正， 这样的轴力称为拉力； 反之，与缩短变形对应 的轴力为负，此时的轴 力称为压力。 m F m F m FN m F
x
求解轴力
F
m
FN
注意：1.受力图上轴力只 能以正方向画出。2.不 论取哪一段作为研究对 象，所求得的同一截面 上的轴力大小相等、正 负号相同。