微积分常用公式及运算法则下
dx微积分所有公式,微积分24个基本公式
dx微积分所有公式，微积分24个基本公式dx表示x变化无限小的量，其中d表示“微分”，是“derivative(导数)”的第一个字母。
当一个变量x，越来越趋向于一个数值a时，这个趋向的过程无止境的进行，x与a的差值无限趋向于0，就说a是x的极限。
这个差值，称它为“无穷小”，它是一个越来越小的过程，一个无限趋向于0的过程，它不是一个很小的数，而是一个趋向于0的过程。
扩展资料：注意微分的几何意义：设δx是曲线y = f(x)上的点m的在横坐标上的增量，δy是曲线在点m对应δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点m的切线对应δx在纵坐标上的增量。
f(x0)在表示曲线y=f(x)在切点m(x0,f(x0))处切线的斜率。
(1)微积分的基本公式共有四大公式：1.牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式2.格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式,与旋度有关(2)微积分常用公式：dx sin x=cos xcos x = -sin xtan x = sec2 xcot x = -csc2 xsec x = sec x tan xcsc x = -csc x cot xsin x dx = -cos x + ccos x dx = sin x + ctan x dx = ln |sec x | + ccot x dx = ln |sin x | + csec x dx = ln |sec x + tan x | + c csc x dx = ln |csc x - cot x | + c sin-1(-x) = -sin-1 xcos-1(-x) = - cos-1 xtan-1(-x) = -tan-1 xcot-1(-x) = - cot-1 xsec-1(-x) = - sec-1 xcsc-1(-x) = - csc-1 xdx sin-1 ()=cos-1 ()=tan-1 ()=cot-1 ()=sec-1 ()=csc-1 (x/a)=sin-1 x dx = x sin-1 x++ccos-1 x dx = x cos-1 x-+ctan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+c cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+c sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+c csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+c sinh-1 ()= ln (x+) xrcosh-1 ()=ln (x+) x≥1tanh-1 ()=ln () |x| 1sech-1()=ln(+)0≤x≤1csch-1 ()=ln(+) |x| 0dx sinh x = cosh xcosh x = sinh xtanh x = sech2 xcoth x = -csch2 xsech x = -sech x tanh xcsch x = -csch x coth xsinh x dx = cosh x + ccosh x dx = sinh x + ctanh x dx = ln | cosh x |+ c coth x dx = ln | sinh x | + c sech x dx = -2tan-1 (e-x) + c csch x dx = 2 ln || + cduv = udv + vduduv = uv = udv + vdu→ udv = uv - vducos2θ-sin2θ=cos2θcos2θ+ sin2θ=1cosh2θ-sinh2θ=1cosh2θ+sinh2θ=cosh2θdx sinh-1()=cosh-1()=tanh-1()=coth-1()=sech-1()=csch-1(x/a)=sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ ccosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ ctanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ c coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ c sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + c csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + c sin 3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3θ-3cosθ→sin3θ= (3sinθ-sin3θ)→cos3θ= (3cosθ+cos3θ)sin x = cos x =sinh x = cosh x =正弦定理:= ==2r余弦定理:a2=b2+c2-2bc cosαb2=a2+c2-2ac cosβc2=a2+b2-2ab cosγsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β sin α sin β2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α + sin β = 2 sin (α+β) cos (α-β) sin α - sin β = 2 cos (α+β) sin (α-β) cos α + cos β = 2 cos (α+β) cos (α-β) cos α - cos β = -2 sin (α+β) sin (α-β) tan (α±β)=,cot (α±β)=ex=1+x+++…++ …sin x = x-+-+…++ …cos x = 1-+-+++ln (1+x) = x-+-+++tan-1 x = x-+-+++(1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n= n (n+1)= n (n+1)(2n+1)= [ n (n+1)]2γ(x) = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dtβ(m,n) =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx转换为 f (ω ) = 解f (t ) = ± jω0t f ( t ) e ? jωt dt f ( t ) e ? j(ω ?ω0 ) t dt = f (ω ? ω0 ) 。
常用微积分公式范文
常用微积分公式范文微积分（Calculus）是数学中的一个重要分支，是研究函数的极限、导数、积分与级数的工具与理论体系。
下面是一些常用的微积分公式，以及它们的应用。
一、极限（Limits）1.极限的定义：如果对于任意给定的正实数ε，存在正实数δ，使得当0＜，x-a，＜δ时，有，f(x)-L，＜ε成立，那么就称函数f在点x＝a处的极限值为L。
2.常见极限：(1)基本极限公式：- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→0) (1+1/x)^x = e- lim(x→∞) (1+1/x)^x = e(2)三角函数的极限：- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→0) tan(x)/x = 1- lim(x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2(3)对数与指数函数的极限：- lim(x→0) (1+nx)^(1/x) = e^n- lim(x→0) (1+x/n)^n = e^x- lim(x→∞) (1+1/n)^{nx} = e^x二、导数（Derivatives）1.导数的定义：f(x)在x=a处可导，如果极限lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h存在，则称该极限为f(x)在x=a处的导数，记作f'(a)或df(a)/dx。
2.常见导数公式：(1)基本导数公式：- (x^n)' = nx^(n-1)- (sin(x))' = cos(x)- (cos(x))' = -sin(x)- (tan(x))' = sec^2(x)(2)导数的四则运算：-(k)'=0（常数导数）-(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)（和差法则）-(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（乘积法则）-(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2（商法则）(3)链式法则：-若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))*g'(x)三、积分（Integrals）1.积分的定义：对于函数f(x)在区间[a, b]上的一个划分，以及任意选取的区间上的点ξi，利用和式∑f(ξi)Δx，使得该和在划分的细化下存在唯一极限，即对于任意的选取划分和点的方法，当∥∥P∥∥→0时，和式∑f(ξi)Δx的极限存在，则该极限称为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
微积分下册主要知识点汇总
vduuvudv (3.1)
vdxuuvdxvu (3.2)
(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被
(其中m, n都是正整数).
arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn
:
已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
DCzByAx
(1.3)
. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.
2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲
定积分的概念
定积分的性质
(a) 当ba时, ;0)(b
dxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.
1
)()()]()([b
babadxxgdxxfdxxgxf
2 ,)()(b
badxxfkdxxkf (k为常数).
3 b
cabadxxfdxxfdxxf)()()(.
1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：
1）,)(,)(ba 且bta)(；
2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有
ttfdxxfb
)()]([)(. (4.1)
(4.1)称为定积分的换元公式.
. 但是,在应用定积分的换元公式时应
1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且
),(),(lim00000,
).,(,,
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.调和级数：调和级数为H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为正整数。
它是发散级数，在计算机科学和数学中都有重要应用。
2.多项式级数：多项式级数为f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...。
其中a0、a1、a2是常数系数，x是变量。
多项式级数可以直接求和，也可以使用其他方法进行求和。
3.幂级数：幂级数为f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
其中c0、c1、c2是常数系数，a是常数。
幂级数可以表示为基于常数系数和常数a的级数。
4.泰勒级数：在微积分中，泰勒级数是一种用函数的高阶导数来逼近函数的方法。
泰勒级数可以将函数表示为一个无限级数。
5.泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数的具体表达形式。
泰勒公式可以将函数在其中一点的值表示为该点的函数值和函数的各阶导数值的线性组合。
6.均值定理：均值定理是微积分中的重要定理，它指出在其中一区间上，连续函数的平均变化率等于该区间内其中一点的瞬时变化率。
7.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
8.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
9.极值点：极值点是函数在其中一区间内的最大值点或最小值点。
极值点可以使用导数的符号和戴布尔不等式来判断。
10.弧长：弧长是曲线上的一段长度。
计算曲线的弧长可以使用微积分的方法，如积分的方法。
11.曲率：曲率是表示曲线弯曲程度的一个数值。
曲率可以使用导数和二阶导数计算。
12.方向角：方向角是表示曲线在其中一点的切线方向的角度。
方向角可以使用导数计算。
微积分常用公式及运算法则(下册).
或ϕ([β ,α ]) ⊆ [a,b];
(2)ϕ′ ∈C[α, β ](或ϕ′∈ C[β ,α ])
那么：∫b f (x) d x = ∫ β f [ϕ (t)]ϕ′(t) d t
a
α
1
若f ∈C[−a, a],并且为偶函数，则
∫ a f (x) d x = 2∫ a f (x) d x;
−a
0
若f ∈C[−a, a],并且为奇函数，则
平面的方程
1．点法式方程
过点M 0 (x0 , y0 , z0 )且以n = ( A, B, C)为法向量 的平面Π的方程为 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
2．一般方程
三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0 ( A, B,C不同时为零)的图形是平面,其中 x, y, z的系数A, B,C是平面的法向量的坐标, 即n = ( A, B,C)是平面的法向量. 特殊的平面： A = 0,平行于x轴的平面； B = 0,平行于y轴的平面； C = 0,平行于z轴的平面； D = 0,过原点的平面； A = B = 0,垂直于z轴的平面； B = C = 0,垂直于x轴的平面； C = A = 0,垂直于y轴的平面.
第五章 向量代数与空间解析几何
向量的运算
1．向量的加法
a+b = b+a
(a +b)+c = a +(b +c)
2．向量与数的乘法（数乘）
λ(µ a) = (λµ )a (λ + µ)a = λa + µa λ(a + b) = λa + λb
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
导数微积分公式大全
导数微积分公式大全导数是微积分中非常重要的概念，它表示函数在其中一点的变化率。
为了计算导数，我们需要使用一系列的微积分公式。
下面是一份包含最常用的导数公式的清单：1.基本导数公式：-常数函数：如果f(x)=c，则f'(x)=0，其中c是一个常数。
- 幂函数：如果f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n是一个实数。
-指数函数：如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
- 对数函数：如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
- 正弦函数：如果f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数：如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数：如果f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
2.基本运算规则：- 常数乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，且c是常数，则(cf(x))' = c(f'(x))。
-加法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。
-乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
-除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^23.链式法则：-如果h(x)=f(g(x))，其中f和g都是可导函数，则h'(x)=f'(g(x))g'(x)。
4.反函数法则：- 如果y = f(x)是可导函数，且在x处有非零的导数，则它的反函数x = f^(-1)(y)的导数为(dx/dy) = 1/(dy/dx)。
5.高阶导数：-如果f(x)的导数f'(x)存在，则f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记作f''(x)，依此类推。
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是一门研究函数的变化率与积分的数学学科。
在学习微积分时，我们会使用一些重要的公式来计算和推导出函数的性质。
下面是16个常用的微积分公式：1.导数的定义：设函数f(x)在x点有定义，则f(x)在x点可导，当且仅当下式极限存在：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示f(x)的导数。
2.基本导数公式：a.(k)'=0，其中k是常数。
b. (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。
c. (sin x)' = cos x。
d. (cos x)' = -sin x。
e.(e^x)'=e^x。
f. (ln x)' = 1/x。
3.导数的四则运算法则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则有：a.(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。
b.(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
c.(k*f(x))'=k*f'(x)，其中k是常数。
d.(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
e.(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)，其中g(x)≠0。
4.链式法则：如果有复合函数F(g(x))，其中F(u)和g(x)都是可导函数，则有：(F(g(x)))'=F'(g(x))*g'(x)。
5.反函数的导数：如果函数f(x)和g(x)满足f(g(x))=x，并且g(x)在一些点可导且不为0，则有：(f^-1(x))'=1/g'(f^-1(x))。
6.高阶导数：函数f(x)的n阶导数，记作f^(n)(x)，可通过对其一阶导数进行n次求导得到。
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a⋅b = b⋅a
3．不等式
|| a | − | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b |
a ⋅ (b + c) = a ⋅b + a ⋅ c (λa) ⋅ (µb) = λµ(a ⋅b)
4．单位向量
ea = a |a|
空间两点间的距离公式 | P1P2 |= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
( ) 旋转而成的曲面的方程f ± x2 + y2 , z = 0;
若在f ( y, z) = 0中y保持不变而将z改写成
± x2 + z2 , 就得到曲线C绕y轴旋转而成的
( ) 曲面的方程f y, ± x2 + z2 = 0.
二次曲面图形及方程
1．椭球面
4
x2 + y2 + z2 =1 a2 b2 c2
x − x0 = y − y0 = z − z0 .
m
n
p
直线与平面的夹角
直线L与平面Π法线的方向向量分别是
s = (m, n, p), n = ( A, B,C),则夹角公式为:
sinϕ = | n ⋅ s | =
| Am + Bn + Cp |
| n || s | A2 + B2 + C2 m2 + n2 + p2
相互垂直的充要条件是:
s1 = (m1, n1, p1), s2 = (m2 , n2 , p2 ),则夹角公式为:
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 相互平行的充要条件是:
A1 = B1 = C1 A2 B2 C2
cosϕ = s1 ⋅ s2 =
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 |
ax ay az bx by bz = 0
0×a = a×0 = 0
cx cy cz
a×a =0
(a + b)× c = a × c + b × c (λa)× (µb) = λµ(a × b)
a b的充要条件是a × b = 0
a×b
= (aybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx )k
∫ ax d x = ax + C(a > 0, a ≠ 1) ln a
∫ sinh x d x = cosh x + C
∫ cosh x d x = sinh x + C
不定积分线性运算法则
∫[αu(x) + β v(x)]d x = α ∫ u(x) d x + β ∫ v(x) d x
不定积分的换元法
向量的坐标表示
向量a与b的夹角满足公式
cosθ = a ⋅b (其中0 ≤ θ ≤ π ) | a || b |
若a = (ax , ay , az ),b = (bx , by , bz ),则
cosθ =
axbx + ayby + azbz
ax2
+
a
2 y
+
az2
⋅
bx2 + by2 + bz2
同济二版 微积分(下)
以点M1(x1, y1, z1)为起点, M 2 (x2 , y2 , z2 )为终点 的坐标
M1M 2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
∫a f (x)d x = 0 −a
π
π
∫ 2 f (sin x) d x = ∫ 2 f (cos x) d x
| a |= ax2 + ay2 + az2
向量的数量积（点积、内积）
a ⋅b =| a || b | cosθ
a⋅0 = 0⋅a = 0
a ⋅ b =| a | Prja b =| b | Prjb a
即:Prja
b
=
a⋅b |a|
=
ea
⋅b
a ⋅ b = (ax , ay , az ) ⋅ (bx , by , bz ) = axbx + ayby + azbz a ⋅ a =| a |2
或ϕ([β ,α ]) ⊆ [a,b];
(2)ϕ′ ∈C[α, β ](或ϕ′∈ C[β ,α ])
那么：∫b f (x) d x = ∫ β f [ϕ (t)]ϕ′(t) d t
a
α
1
若f ∈C[−a, a],并且为偶函数，则
∫ a f (x) d x = 2∫ a f (x) d x;
−a
0
若f ∈C[−a, a],并且为奇函数，则
0
0
∫ ∫ π xf (sin x) d x = π
π
2 f (sin x) d x
0
0
π
π
∫ ∫ 2 sinn x d x = 2 cosn x d x
0
0
定积分的分部积分法
∫ ∫ b a
uv′
d
x
=
[uv]ba
−
b vu′ d x
a
∫ ∫ b a
u
d
v
=
[uv]ba
−
b
vdu
a
m = 1, 2, 3,⋯
基本积分表
∫ k d x = kx + C(k = 1时, ∫ d x = x + C)
∫ xµ d x = xµ+1 + C
µ +1
∫ 1 d x = ln | x | +C
x
∫
1 1+ x2
d
x
=
arctan
x
+
C
∫ 1 d x = arcsin x + C
1− x2
∫ cos x d x = sin x + C
a2 − b2x2 b
a
∫ dx
x2 − a2
=
1 ln 2a
x−a x+a
+C
∫ sec x d x = ln | sec x + tan x | +C
∫ csc x d x = ln | csc x − cot x | +C
( ) ∫ d x = ln x + x2 + a2 + C(a > 0) x2 + a2
2
同济二版 微积分(下)
若a = (ax , ay , az ), b = (bx ,by ,bz ),则
(a ×b) ⋅c
a ⊥ b的充要条件是axbx + ayby + azbz = 0
向量的向量积 设a和b是两个向量, 规定a与b的向量积是一 个向量,记作a × b,它的模与方向分别是:
( ) (i) | a × b |=| a | × | b | sinθ 其中θ = (a ^ b)
直线L和平面Π 相互垂直的充要条件是:
A= B =C; mn p 相互平行的充要条件是: Am + Bn + Cp = 0.
3． 一般方程
直线L可以看作两个平面
Π1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0与 Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0的交线.空间一点 M (x, y, z)在直线L上,当且仅当它的坐标x, y, z
| s1 || s2 |
m12 + n12 + p12 m22 + n22 + p22
直线L1和L2
点到平面的距离 点P0 (x0, y0 , z0 )到平面Ax + By + Cz + D = 0 的距离为:d = | Ax0 + By0 + Cz0 + D |
A2 + B2 + C 2
相互垂直的充要条件是: m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 相互平行的充要条件是:
|a|
|a|
|a|
其中| a |=
ax2
+
a
2 y
+
az2
.
方向余弦满足:cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
ea = (cosα , cos β , cosγ )
向量的投影 向量a在b上的投影, 记为 Prj | a | cos(a ^ b)
b
向量的模 向量a = (ax , ay , az )的模为
∫ ∫ f [ϕ (x)]ϕ′(x) d x = f (u) d uu=ϕ(x) ∫ f (x) d x = [ f [φ (t)]φ ′(t) d t ]t=φ−1(x)
积分公式
∫ dx
a2 + x2
=
1 a
arctan
x a
+C
∫ d x = arcsin x + C
a2 − x2
a
∫ d x = 1 arcsin bx + C(a > 0,b > 0)
同时满足Π1与Π 2的方程,的下面的直线方程:
A1x
+
B1 y
+
C1z
+
D1
=
0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
其中 A1 = B1 = C1 不成立. A2 B2 C2
两直线的夹角