(完整版)高中数学必修四《两角和与差的三角函数》同步测试题.doc
______：题号位座答__________要_____：名姓不______内____：级班线_______订__________装：校学高中数学必修四《两角和与差的三角函数》同步测试题1.化简 cos(45 °－α) cos( α＋ 15°)－ sin(45 °－α) sin( α＋ 15°)的结果为 __________ 。
2.sin20°cos10°－ cos160°sin10°＝ __________ 。
3. 已知 sin( ＋α) ＋ sinα＝453，则 sin( α＋7) 的值为 __________。
3 64. 已知 cosα＝1 1) ，则 cos( α－β)的值等于 __________ 。
， cos( α＋β)＝－，且α、β∈ (0 ，3 3 25.tan20°＋ tan40°＋ 3 tan20°tan40°＝ __________ 。
6. 若α∈ ( ，π) ， tan( α＋) ＝1，则 sinα＝ __________ 。
2 4 77.已知 tan2α＝－3， tan( α－β＝)1，则 tan( α＋β＝) __________。
4 28.已知 tan( α－β) ＝1， tanβ＝－1， tan(2 α－β)＝ __________ 。
2 79. 若 0＜α＜，－＜β＜ 0， cos(4＋α) ＝1， cos －＝ 3 ，则 cos( α＋) ＝ __________。
2 234 2 3 210. 已知 cosα＝1， cos( α－β)＝13，且 0＜β＜α＜，则β＝__________ 。
7 14 211. 若 sin2α＝ 5 ， sin( β－α) ＝10 ，且α∈[ ，π] ，β∈ [ π，3] ，则α＋β＝ __________ 。
5 10 4 22 ＋3 3 x＋ 4＝ 0 的两根，且α、β∈ ( －，) ，则α＋β＝__________ 。
12. 已知 tanα、tanβ是方程 x2 213.2 cos10－sin 20＝__________。
sin 7014.cos10－3 sin 10 ＝__________。
sin 2015.已知tan(＋α)＝2，tanβ＝1。
4 2(1)求 tan2α的值；(2) 求sin(＋)－2 sin cos 的值。
2 sin sin ＋ cos( ＋ )16. 已知α∈ ( ，π) ，且 sin ＋ cos ＝ 6 。
2 2 2 2(1) 求 cosα的值；(2) 若 sin( α－β) ＝－3，β∈ ( ，π)，求 cosβ的值。
5 217.已知函数f( x) ＝ 2sin(1x －) ， x∈ R。
3 6(1)求 f(5) 的值；4(2) 设α、β∈ [0 ，] ， f(3 α＋2) ＝10， f(3 β＋ 2π) ＝6，求 cos( α＋β)的值。
2 13 5基础自测1.下列各式的值为1的是42 － 1 2 75 C． 2 tan22.5A． 2 cos B． 1－ 2 sin1－D． sin15°cos112 2 22 5tan .2.sin68°sin67°－sin23°cos68°＝ __________。
3. 若 tanα＝ 3，则sin 2＝ __________ 。
2cos4.已知 sinα＝2，则 cos( π－ 2α) ＝__________。
35.设 sin( ＋θ)＝1，则 sin2θ)＝ __________ 。
4 36.tan20°＋ tan40°＋ 3 tan20°tan40°＝ __________。
7.若 tan( ＋α) ＝2，则 tanα＝ __________ 。
4 53，且α∈( ，π) ，那么sin 2的值等于 __________ 。
8. 已知 sinα＝25 2 cos9.已知 tan( α＋β)＝ 3， tan( α－β) ＝5，则 tan2α＝ __________。
10. 设α∈ (0 ，) ，若 sinα＝3，则 2 cos( α＋) ＝ __________。
2 5 43 211. 已知 sinα＝，α∈ ( ，π) ，则cos ＝__________。
5 2 2 sin( ＋)412. 已知 tan( α＋β)＝2， tan( β－) ＝1，那么 tan( α＋) ＝ __________。
5 4 4 413.sin163°· sin223°＋ sin253°· sin313°＝ __________ 。
14.已知 x∈ ( －， 0) ， cosx＝4，则 tan2x＝ __________。
2 515. 已知 cos2α＝1( 其中α∈ ( －， 0)) ，则 sin α的值为 __________ 。
2 416. ( cos － sin )( cos ＋ sin ) ＝ __________ 。
12 12 12 122 sin 2x－117. 若 f( x) ＝ 2tanx －2 ，则 f() 的值为 __________。
sin xcosx122218. cos4＋ cos43 ＋ cos 45 ＋ cos 47＝__________ 。
888 8 19. 若 α＋ β＝ 3，则 (1 － tan α)(1 － tan β) 的值是 __________ 。
4 二、三角函数式的化简与求值1. 求值：(1)cos15 － sin 15 ＋ 3 tan10°)(2) sin50°(1cos15 ＋ sin 152. 已知函数 f( x) ＝ 2sin( x－ ) ， x ∈ R 。
36(1) 求 f(5) 的值；4(2) 设 α、β∈ [0 ， ] ， f(3 α＋2 ) ＝10， f(3 β＋ 2π)＝ 6，求 cos( α＋ β)的值。
2 13 53. 求 [2 sin50°＋ sin10°(1 ＋3 tan10°)] · 2sin 2 80 的值。
4. 已知 tan α＝ 4 3 ， cos( α＋β) ＝－11， α、 β均为锐角，求 cos β的值。
14三、三角函数式的求角问题 ( 含角的变换 )1.已知 cos α＝ 1 ， cos( α－ β)＝13，且 0＜ β＜ α＜ ，求 β。
7 1422.若 sinA ＝5， sinB ＝ 10，且 A ， B 均为钝角，求 A ＋B 的值。
5103. 已知 α、 β∈ ( － ， ) ，且 tan α、 tan β是方程 x 2＋ 3 3 x ＋4＝ 0 的两个根，求 α＋ β的值。
2 24.已知 tan( α－ β) ＝ 1 ，tan β＝－ 1，且 α、β∈ (0 ，π) ，求 2α－ β的值。
2 7四、三角函数角的变换1.若sin ＋ cos＝ 3， tan( α－ β) ＝2，则 tan( β－2α) ＝ __________ 。
sin － cos2.设 tan( α＋β) ＝ 2 ， tan( β－ ) ＝ 1，则 tan( α＋ ) ＝ __________。
5 4 4 4 3.已知 cos( x －) ＝－ 3，则 cosx ＋ cos( x － ) 的值是 __________。
6 33 4． 已知 α满足 sin α＝1，那么 sin( ＋α) sin( －α) ＝__________ 。
24 4 5.设 α、β都是锐角，且cos α＝ 5 ，sin( α＋ β)＝ 3，则 cos β＝ __________ 。
5 56.已知 α为第二象限角， sin α＋ cos α＝3， cos2α＝ __________。
3第 3 页共 6 页 第 4 页 共 6 页______：题号位座答__________要_____：名姓不______内____：级班线_______订__________装：校学7. 已知 sin( α＋) ＋ sinα＝－4 3 ，－＜α＜ 0，求 cosα的值。
3 5 28.求值：(1)sin 7 ＋ sin 8 cos15 ；cos7 － sin 8 sin 15(2)2 cos10 － sin 20 ；sin 70(3) cos20°cos40°cos80°。
9. 已知：＜β＜π， cos( β－) ＝4。
2 4 5(1)求 sin2β的值；(2) 求 cos( β＋) 的值。
410.已知α、β都是锐角，且 cosα＝4， cos( α＋β) ＝－5，求 cosβ的值。
51311. 已知α∈ ( ，3) ，β∈ (0 ，) ， cos(4－α) ＝3，sin(3＋β) ＝5，求 sin( α＋4 4 45 4 1312.已知tan(＋α)＝2，tanβ＝1。
4 2(1)求 tan2α的值；(2)求 sin( ＋ )－2 sin cos 的值。
2sin sin＋cos(＋)。
新人教A版高中数学必修四三角函数两角和同步练习习题(含答案解析)
三角函数练习10 两角和与差的正弦、余弦、正切11.已知sin αcos60°-cos αsin60°＝21,α∈(0，2π)，则α＝( ) A.2πB. 67πC. 6π或23πD. 2π或67π2.tan11.5°+tan33.5°+tan11.5°·tan33.5°＝( ) A.1B.-1C.2D.-23.若y ＝3sin θ-4cos θ＝-5cos(θ+φ)，tan φ＝( ) A.34B.43 C.-34 D.-43 4.△ABC 中，已知sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB ＝2，则△ABC 是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形5.若tan α，tan β是方程x 2-px+q ＝0的两根，cot α,cot β是方程x 2-rx+s ＝0的两根，则下列成立的式子有几个( )(1)ps ＝r (2)qs ＝1 (3)qr ＝p (4)r(1-q)＝p(s-1) A.1B.2C.3D.46.xx xx cos sin cos sin -+＝( )A.tan(x-4π)B.tan(x+4π)C.cot(x-4π)D.cot(x+4π)7.设α，β∈(-2π，2π)，tan α，tan β是一元二次方程x 2+33x+4＝0的两个根，则α+β为( )A. 3πB. 34πC.- 32π或3π D.-32π8.︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2＝( )A. 3B.1C.23D.-23 9.tanAtanB ＝tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是( ) A.-22 B.22 C.±22D.±21 10.已知tanx+tany ＝25,cotx+coty ＝30,则tan(x+y)＝( )A.120B.150C.180D.200二、填空题11.已知α、β均为锐角，tan α＝43,cos(α+β)＝-1411，则cos β＝ . 12.已知sin αsin β＝1则cos(α+β)的值为 . 13.求值：︒︒-︒︒︒+︒8sin 30sin 22cos 8sin 30cos 22sin ＝ .14.已知sin(α+β)＝21,sin(α-β)＝31，则)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+＝ . 15.若α+β＝3π，给如下四个式子： (1) 3 (tan αtan β+α)+tan α+tan β＝3 (1+α)(2) 3 (tan αtan β+α)+tan α+tan β＝33(1+α) (3) 3(tan αtan β+α)+tan α+tan β＝33(1-α) (4) EMBED Equation.3 (tan αtan β+α)+tan α+tan β)＝ EMBED Equation.3(3+π-3β)其中正确的是 .16.命题甲：3sin ααcos β(α+β)＝sin(2α+β)是命题乙：tan(α+β)＝2tan α成立的是 条件.三、解答题17.已知 EMBED Equation.3＝ EMBED Equation.3，求cosx 的值.18.矩形ABCD 中AB ＝a,BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使AB+BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值.19.设cos(α- EMBED Equation.3 )＝- EMBED Equation.3,sin( EMBED Equation.3-β)＝ EMBED Equation.3 ，且 EMBED Equation.3 ＜α＜π，0＜β＜ EMBED Equation.3，求cos(α+ β)的值.参考答案一、1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A 9.C 10.B 一、11. EMBED Equation.3 12.-1 13. EMBED Equation.314.5 15.(1)(4) 16.必要不充分三、17.解：原式变形为 EMBED Equation.3+ EMBED Equation.3＝ EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.33cosx ＝3cos2x-sin2xEMBED Equation.3 3cosx ＝4cos2x-1 EMBED Equation.34cos2x-3cosx-1＝0EMBED Equation.3cosx ＝1或- EMBED Equation.318.解：设BP ＝x 则PD ＝a+x PC ＝2a-x在Rt △PCD 中，(a+x)2＝(2a-x)2+a2 EMBED Equation.3 x ＝ EMBED Equation.3a EMBEDEquation.3BP ＝ EMBED Equation.3a PC ＝ EMBED Equation.3a设∠APB ＝α ∠DPC ＝β，则tan α＝ EMBED Equation.3 ,tan β＝ EMBED Equation.3∴tan ∠APD ＝-tan(α+β)＝- EMBED Equation.3 ＝18又∵cos(α- EMBED Equation.3 )＝- EMBED Equation.3 sin( EMBED Equation.3-β)＝ EMBED Equation.3∴sin(α-2β)＝954 cos(2α-β)＝35∴cos(2α+2β)＝cos ［(α-2β)-( 2α-β)］＝-91·35 + 32·954＝-2757∴cos(α+β)＝2cos 22βα+-1＝2×(-2757)2-1＝-729239。
北师大版数学高一-必修四3.2两角和与差 的三角函数(练)
必修四3.2两角和与差 的三角函数（练）一、选择题1．已知α为锐角，且sin α∶sin α2＝8∶5，则cos α的值为( ) A.45B.825C.1225D.725 [答案] D[解析] 由已知sin αsin α2＝85，即(2sin α2·cos α2)sin α2＝85得cos α2＝45，则cos α＝2cos 2α2－1＝2×1625－1＝725. 2.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2C.3cos2D ．－3cos2[答案] D[解析] 原式＝1＋cos 22＋2cos 22－1＝3cos 22 ＝－3cos2.3．若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ的值是( ) A ．－65B ．－45C.45D.65[答案] D[解析] ∵tan θ＝13，∴原式＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝65. 4．若sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α＝( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－2[答案] B[解析] 法一：sin α＋cos α＝－2⇒sin(α＋π4)＝－1， ⇒α＝2k π＋5π4，k ∈Z ， ∴tan α＝1，∴原式＝1＋11＝2. 法二：由sin α＋cos α＝－2两边平方得，sin αcos α＝12， ∴原式＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2. 5．cos π5·cos 2π5的值是( ) A ．4B.14C ．2D.12[答案] B[解析] 原式＝sin π5cos π5cos 2π5sin π5＝14sin 4π5sin π5＝14.6．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( ) A.459B.259C ．－459D ．－259[答案] A[解析] 令底角为α，则顶角β＝π－2α， ∵cos α＝23，∴sin α＝53， ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝2×53×23＝459. 7．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是( ) A ．－79B ．－13 C.13 D.79[答案] A[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 8．函数y ＝cos x 1－sin x的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫2k π－32π，2k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫2k π－3π2，2k π－π2(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) [答案] A[解析] y ＝cos x 1－sin x ＝cos 2x 2－sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos x 2－sin x 22 ＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sin x 2＝1＋tan x 21－tan x 2＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2，当π4＋x 2∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 时，函数为增函数，此时x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－3π2，2k π＋π2，k ∈Z ，故选A.9．(2010·福建省福州市)已知sin10°＝a ，则sin70°等于( )A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1[答案] A[解析] 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2，故选A.10．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根为tan α、tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是( )A.12B ．－2C.43D.12或－2 [答案] B[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－4a <0tan α·tan β＝3a ＋1>0， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝43， ∵tan α<0，tan β<0，∴⎩⎨⎧ －π2<α<0－π2<β<0，∴－π<α＋β<0，∴－π2<α＋β2<0， ∵tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝43，∴tan α＋β2＝－2，故选B. 二、填空题11．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，则cos2α＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，∴cos α＝35， ∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725. 12．若cos θ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．[答案] 第四象限[解析] ∵sin2θ＝2sin θcos θ<0，cos θ>0，∴sin θ<0，∴θ是第四象限角．13．如果tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2010，那么1cos2α＋tan2α＝______. [答案] 2010[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2010，∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2010. 14．已知sin θ2＋cos θ2＝12，则cos2θ＝__________. [答案] －18[解析] ∵(sin θ2＋cos θ2)2＝14，∴sin θ＝－34， ∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×916＝－18. 三、解答题15．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. [解析] 原式＝cos2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α2·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1.16．已知cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35且17π12<x <7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x的值． [解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35，5π3<x ＋π4<2π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－43. 又sin2x ＝－cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－2·⎝⎛⎭⎫352＝725.∴原式＝sin2x ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2x 2sin x cos x 1－tan x＝sin2x ·1＋tan x 1－tan x ＝sin2x ·tan π4＋tan x 1－tan π4tan x ＝sin2x ·tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝725×⎝⎛⎭⎫－43＝－2875. 17．若π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α . [解析] ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，求cos 2α－β2的值． [解析] 将sin α＋sin β＝12与cos α＋cos β＝13的两边分别平方得， ∴sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝14① cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝19② ①＋②得：2＋2cos(α－β)＝1336.∴cos(α－β)＝－5972， ∴2cos 2α－β2－1＝－5972，∴cos 2α－β2＝13144.。
高一数学第二章第2节两角和与差的三角函数同步练习 北师大版必修4
高一数学北师大版两角和与差的三角函数同步练习（答题时间：60分钟）一、选择题1、sin15cos75cos15sin105+o o o o 等于A. 0B. 12C.D. 1 2、若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于 A. －2 B. 12- C. 12D. 2 3、下列各式中，值为23的是 A. ︒-︒15cos 15sin 2 B. ︒-︒15sin 15cos 22C. 115sin 22-︒D. ︒+︒15cos 15sin 224、函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是A. 1 C. 32 *5、已知()3tan =+βα，()5tan =-βα，则α2an t 的值是 A. －1B. 74-C. 47D. 2 *6、已知231cos sin -=α+α，()πα,0∈，则α2cos 等于 A. 21 B. 21-C. 21±D. 23 *7、当()Z n n ∈≠πα时，2an αt 与αsin ：A. 总是同号B. 总是异号C. 当α在第一、二象限时同号，在第三、四象限时异号，D. 当α在第一、四象限时同号，在第二、三象限时异号二、填空题8、若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则β⋅αtan tan ＝ 9、已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是三、解答题10、已知sin2α=53，α∈（4π5，2π3）． （1）求cos α的值；（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010的锐角x ． 11、已知tan2θ＝－22（2π＜2θ＜)π， 求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值． 12、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，B CA cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C A -的值．13、已知21s i n (),s i n ().35αβαβ+=-=（1）求t a n c o t αβ的值；（2）当(,),(,)2222ππππαβαβ+∈--∈-时，求sin 2β的值．【试题答案】一、选择题5、2an t =tan[（α+β）+（α－β）]，再利用和角的正切公式展开；6、α2cos =（cos α+sin α）（cos α－sin α）. 由于231cos sin -=α+α<0，故cos α<0，sin α>0，从而α2cos =（cos α+sin α）（cos α－sin α）>0.将231cos sin -=α+α两边同时平方可求得：sin2α=23-，故求得212cos =α。
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两角和与差练习题一、选择题：1.sin75cos105sin105sin15︒︒-︒︒的值等于（ ）A.12 B.12- C.0 D.1 2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=53,则cos α的值为( )A ．－10334+ B ．10343- C ．10334- D ．10334+)(,3cos 2cos 3sin 2sin 3. ==x x x x x(A )10π(B)6π (C)5π(D)4π4、3tan11°+3tan19°+tan11°tan19°的值是 （ ）A ．3B ．33C ．0D ．15．已知tan()3,tan()3αβαβ+=-=，tan 2α则的值是（ ）A.74B. -1C. 2D. 4-76. 2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A ．12B ．32C ． 3D ． 2解析： 原式＝2cos(30°―20°)―sin20°cos20°＝3cos20°cos20°＝3．C7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.45解析：∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋12sin α＋sin α＝453，∴3(12cos α＋32sin α)＝453，∴sin(α＋π6)＝45，又∵sin(α＋7π6)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)，∴sin(α＋7π6)＝－45.答案：C8.f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)C ．(－3－12,3－12)D ．[－2－12,2－12]解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[―2,―1]∪(―1, 2)．则f(x)＝t 2－121＋t ＝t －12∈[－2－12,―1]∪(―1, 2－12)．B9 .sin()cos()cos()θθθ+︒++︒-+︒7545315的值等于（ ） A. ±1B. 1C. -1D. 0解析：令+15=+75=+60+45=+30θαθαθαo o o o o ，则，代入原式化简D 10．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的取值范围是( ) A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6Ｂ．π4 Ｃ．π3 Ｄ．5π412．已知是锐角，sin =x,cos =y,cos()=－53，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y=－5321x -+54x (53<x<1) B ．y=－5321x -+54x (0<x<1) C ．y=－5321x -－54x (0<x<53)D ．y=－5321x -－54x (0<x<1)解析： y ＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝―351―x 2＋45x ＞0⇒4x ＞31―x 2⇒35＜x ＜1．A13、若函数()(13)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2C 31D 3214．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是 ( ) A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]解析：f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3) ∵－π≤x ≤0，∴－4π3≤x －π3≤－π3当－π2≤x －π3≤－π3时，即－π6≤x ≤0时，f (x )递增．答案：D15. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=016.若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（ ） A. 83- B . 83 C. 73 D. 5317. 若()()17tan 411tan 4=-+βα,则()βα-tan 的值为（ ）A. 14B. 12C . 4 D. 1218. 已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是 （ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a19．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21B ．22C ．22-D ．22±20.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 解析：sin αα>Q∴sin 0αα> ，即12sin 2sin 023πααα⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵02απ≤≤ ∴5333πππα-≤-≤，∴03παπ≤-≤ ，即4,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选C ；21．已知tan α,tan β是方程x 2+4=0的两根,且2π-<α<2π,2π-<β<2π,则α+β等于 （ ）A ．23π-B ．3π C ．3π或23π- D ．－3π或23π 解析：tan ,tan αβ是方程240x ++=的两个实数根，tan tan 0,tan tan 40.αβαβ+=-=>∴g 又,(,)22ππαβ∈-，所以,(,0)2παβ∈-，从而0παβ-<+<，又tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++===-g ，23παβ+=-∴22．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ）Ａ．m n m n -+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+- 23．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 解析： 由2sinAcosB ＝sin(A ＋B)⇒sin(B －A)＝0⇒B ＝A ．B24．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形 25．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ） Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于126．在ABC △中，90C >o ，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（ ）Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >> Ｃ．F E G >> Ｄ．F G E >>27.ABC ∆中，若135cos ,53in ==B A s ，则C cos 的值是（ ）Ａ。
高中数学北师大版必修4《两角和与差的三角函数习题课》练习含试卷分析详
所以左边＝ ＝ ＝ ＝ ，
右边＝ － － ＝ － － ＝ － －tan ＝ － －tan ＝ ，
所以左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝ sin －cos ，x∈R.
(1)求f 的值；
(2)若α，β∈ ，f ＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求cos(α＋β)的值．
解析：(1)∵f(x)＝ sin －cos ，x∈R，
∴f(x)＝2sin ，x∈R.f ＝2sin ＝2sin ＝ .
(2)f ＝2sinα＝ ，∴sinα＝ ，∵α∈ ，∴cosα＝ .
f(3β＋2π)＝2sin ＝2cosβ＝ ，∴cosβ＝ ，∵β∈ ，∴sinβ＝ .
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ × － × ＝ .
＝ sinx－ cosx＋ cosx－ sinx＝0.
8．函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为________．
答案：[－5,1]
解析：y＝2 sin2x＋2cos2x－3＝4sin －3.又x∈ ，所以2x＋ ∈ ，sin ∈ ，所以－2≤4sin ≤4，所以－5≤4sin －3≤1.所以函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为[－5,1]．
4．若sin2α＝ ，sin(β－α)＝ ，且α∈ ，β∈ ，则α＋β的值是()
A. B.
C. 或 D. 或
答案：A
解析：因为α∈ ，所以2α∈ .又sin2α＝ ，故2α∈ ，所以α∈ ，所以cos2α＝－ .又β∈ ，所以β－α∈ ，且α＋β∈ ，于是cos(β－α)＝－ ，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－ × － × ＝ ，故α＋β＝ .
2013-2014学年高中数学 基础知识篇 3.2两角和与差的三角函数同步练测 北师大版必修4
文化出品§2 两角和与差的三角函数（数学北师版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )A.12B.33C.22D.322．若cos α＝－12，sin β＝－32，α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，则sin(α＋β)的值是( )A.32 B ．－32C ．－1D ．0 3.已知a =(2sin 35°,2cos 35°)，b =(cos 5°,－sin 5°)，则a ·b ＝( )A.12B ．1C ．2D ．2sin 40° 4. 在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C＝( ) A ．－55 B.55C ．－255 D.255二、填空题(每小题5分，共10分)5．化简：cos(π3＋α)＋sin(π6＋α)＝________.6．函数y ＝cos x ＋cos(x+ π3)的最大值是________．三、解答题(共70分)7．（15分）已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45.求sin(α＋β)的值．8. （20分）若sin(34π＋α)＝513，cos(π4－β)＝35，且0<α<π4<β<34π，求cos(α＋β)的值．9．(20分)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x －θ)的定义域为R.(1)当θ＝0时，求f(x)的单调递增区间；(2)若θ∈(0，π)，且si n x≠0，当θ为何值时，f(x)是偶函数？10. （15分）已知1tanα=2，2tan()3αβ-=-，求tan(2)βα-的值.§2 两角和与差的三角函数（数学北师版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.§2 两角和与差的三角函数（数学北师版必修4）答案一、选择题1.A 解析：sin 43°cos 13°－cos 43°s in 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12.2.A 解析：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin α＝21cos α-＝32，cos β＝21sin β-＝12，∴sin(α＋β)＝32.3.B 解析： a ·b ＝2sin 35°cos 5°－2cos 35°sin 5°＝2sin(35°－5°)＝2sin 30°＝1.4.D 解析：sin B ＝31010，∴sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1010＋31010＝255.二、填空题5.cos α 解析：cos(π3＋α)＋sin(π6＋α)＝cos π3cos α－sin π3sin α＋sin π6cos α＋cos π6sin α＝12cos α－32sin α＋12cos α＋32sin α ＝cos α.6. 3 解析：y ＝cos x ＋12cos x －32sin x＝3( 31sin 2x x -) ＝3sin(π3x -),故最大值是 3. 三、解答题7.解：∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45.∵cos(π＋β)＝－45，∴cos β＝45.又β为第四象限角，∴sin β＝－35，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝35×45＋45×(－35)＝0. 8．解：∵ 0<α<π4<β<3π4，∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又已知sin(3π4＋α)＝513，cos(π4－β)＝35，∴cos(3π4＋α)＝－1213，sin(π4－β)＝－45.∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)]＝sin[(3π4＋α)－(π4－β)]＝sin(3π4＋α)cos(π4－β)－cos(3π4＋α)sin(π4－β)＝513×35－(－1213)×(－45) ＝－3365.9. 解： (1)θ＝0时，f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.当2kπ－π2≤x＋π4≤2kπ＋π2(k ∈Z )，即2kπ－34π≤x≤2kπ＋π4(k ∈Z )时，f(x)是增函数,∴f(x)的单调递增区间是[3ππ2π,2π44k k -+] (k ∈Z )． (2)由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x),∴sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)． ∴sin(x ＋θ)＋s in(x －θ)＝cos(x ＋θ)－cos(x －θ)． ∴2sin xcos θ＝－2sin xsin θ. ∵sin x≠0，∴cos θ＝－sin θ.∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0，θ＋π4＝kπ，k ∈Z . 又θ∈(0，π)，令k ＝1，得θ＝34π,∴当θ＝34π时，f(x)是偶函数．10. 解：∵1tan α=2，∴1tan 2α=， ∴tan(β-2α)=-tan(2α-β) tan[()]αβα=--+tan()tan 11tan()tan 8αβααβα-+=-=--．。
(完整版)高中数学必修四《两角和与差的三角函数》同步测试题
2
2
22
(1)求 cosα 的值；
3
(2)若 sin(α－β)＝－ ，β∈( ，π)，求 cosβ 的值。
5
2
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17. 已知函数 f(x)＝2sin( 1 x － )，x∈R。 36
(1)求 f( 5 )的值； 4
10
6
(2)设 α、β∈[0， ]，f(3α＋ )＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求 cos(α＋β)的值。
8
8
8
8
19. 若 α＋β＝ 3 ，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是__________。 4
二、三角函数式的化简与求值 1. 求值：
(1) cos15－1si5n cos15＋1si5n
(2)sin50°(1＋ 3 tan10°)
三、三角函数式的求角问题(含角的变换)
1.
已知
cosα＝
7
14
2
11. 若 sin2α＝ 5 ，sin(β－α)＝ 10 ，且 α∈[ ，π]，β∈[π， 3 ]，则 α＋β＝__________。
5
10
4
2
12. 已知 tanα、tanβ 是方程 x2＋3 3 x＋4＝0 的两根，且 α、β∈(－ ， )，则 22
α＋β＝__________。 13. 2cos10－2si0n ＝__________。
4
14. 已知 x∈(－ ，0)，cosx＝ ，则 tan2x＝__________。
2
5
15. 已知 cos2α＝ 1 (其中 α∈(－ ，0))，则 sinα 的值为__________。
2
4
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数学 3.1两角和与差的三角函数检测试题 必修4 试题
【金榜教程】2021年高中数学 3.1两角和与差的三角函数检测试题北师大版必修4(30分钟 50分)一、选择题(每一小题4分，一共16分) 1.以下各式中能成立的是( ) (A)sin α=cos α=12 (B)cos α=13且tan α=2 (C)sin α=12且tan αα=2且cot α=122.cos(α-π)=513，且α是第四象限角，那么sin(-2π+α)=( ) (A)1213 (B)1213 (C)1213 (D)512θ=2，那么sin()cos()2sin()sin()2( )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)231sinx sinx 11sinx cosx，那么x 的取值范围是( )(A)2k π≤x ≤2k π+ 2(k ∈Z)(B)2k π+2＜x ＜2k π+32(k ∈Z) (C)2k π+32＜x ＜(2k+1)π (k ∈Z)(D)(2k+1)π＜x ＜2k π+32(k ∈Z)二、填空题(每一小题4分，一共8分)5.(2021·高一检测212sin10cos10sin1701sin 170___________.6.(2021·高一检测)α∈(322,)，tan(α-7π)=34，那么sinα+cosα的值是________.三、解答题(每一小题8分，一共16分)7.(2021·高一检测)2cos2α+3cosαsinα-3sin2α=1，求：(1)tanα；(2)2sin 3cos4sin9cos．2+5kx-2(1+k)=0的两根,务实数k的值. 【挑战才能】(10分)sin(3π-αcos(32)3αcos(π+β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.答案解析1.【解析】选C.A项不满足平方关系，B项利用商数关系可得sinα=23,不满足sin2α+cos2α=1，D项根据三角函数的定义tanα与cotα互为倒数，cotα应为12，应选C.2.【解析】选A.由cos(α-π)=513得，cosα=513，而α为第四象限角，∴212sin(2)sin1cos13.3.【解析】选B. sin()cos()cos (cos ) 2cos sin sin()sin()22cos222 cos sin1tan12.4.【解析】选21sinx1sinx1sinx1sinx1sinx 1sinx cosx,1sinx sinx1 1sinx cosx∴1sinx 1sinxcosx cosx,从而有cosx ＜0,应选B.5.212sin10cos10sin1701sin 170222sin 10cos 102sin10cos10sin101sin 102(sin10cos10)sin10cos10|sin10cos10|sin10cos10cos10sin101sin10cos10.答案：-1独具【误区警示】在开方过程中，忽略sin10°与cos10°的大小关系而导致错误. 6.【解析】由tan(α-7π)= 34得tan α=34， 即sin 3cos4(*)， 又sin 2α+cos 2α=1,∴cos 2α=1625,∵α∈(322,) ∴cos α=45, 将其代入(*)得sin α=35, ∴sin α+cos α=15. 答案：157.【解析】(1)由原条件得22222cos 3cos sin 3sin 1sin cos2223tan 3tan 1tan 1+α-α⇒=α+⇒4tan 2α-3tan α-1=0得tan α=14-或者tan α=1;(2)原式2tan3 4tan9当tanα=14时，原式=720；当tanα=1时，原式=15.8.【解析】∵方程5x2+5kx-2(1+k)=0有实数根，那么Δ=25k2+40(1+ k)≥0即5k2+8k+8≥0 (1)又sinA cosA k21k sinAcosA5,∵cos2A+sin2A=1，∴241kk15即5k2+4k-1=0.∴k=-1或者k=15,而k=-1或者k=15均满足(1)式，∴k=-1或者k=15.独具【方法技巧】揭秘sinα±cosα与sinα·cosα的关系α+cosα，sinα-cosα，sinαcosα关系剖析∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα.∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα.同理可得(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.∴(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2.sinαcosα=12(sinα+cosα)212=1122(sinα-cosα)2.∴sin α+cos α，sin α-cos α,sin αcos α可“知一求二〞，也就是这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值.这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视.α和cos α，因此探究思路是从sin α和 cos α的关系式sin 2α+cos 2α=1开场讨论.如： sin θ+cos θ=15，θ∈(0，π)，求sin 2θ-cos 2θθ+cos θ的值求出sin θ-cos θ的值，从而求得sin 2θ-cos 2θ的值. 详细解答如下： ∵sin θ+cos θ=15， ∴21111112sin cos(sin cos )022225225＜. ∴sin θ和cos θ的符号相反. 又∵θ∈(0，π)， ∴θ∈(2,π).∴sin θ＞0，cos θ＜0. ∴sin θ-cos θ＞0.∴247sincos12sin cos 1255. ∴sin 2θ-cos 2θ=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)1775525. 3.解答该类问题，利用同角三角函数的根本关系时无视隐含条件或者符号的选取常为致错的主因，应特别注意. 【挑战才能】独具【解题提示】利用诱导公式将条件化简.构造平方关系，结合角的范围，到达求解角的目的.【解析】条件可化为sin 2sin (1)3cos2cos (2),两式平方相加可得sin 2α+3cos 2α=2，即sin 2α=12，sin α=±2,∵0＜α＜π，∴sin α=2， ∴α=4或者34，分别代入(2)可求得cos β或者cos β=32， 又0＜β＜π， ∴β=6或者β=56； 因此α=4，β=6或者α=34，β=56.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高中数学必修四《3.1两角和与差的三角函数测试》练习题新人教版必修4
A.-cot2
2
B. -
3
3
3
C.-
D.
2
2
6. 已知 sin θ +cosθ ＝ 2 (0 ＜ θ＜ π ) ，则 cos2 θ 的值为 ( ) 2
A. ± 3 2
B.- 3 2
C. 3 2
D.- 1 2
7. 已知 cos78 °约等于 0.20 ，那么 sin66 °约等于 ( )
A. 0.92
-sin10 ° ( cos5 - sin 5 ) ＝ cos10 -sin10 °
4 sin 10 cos10
sin 5 cos5
2 sin 10
cos10
cos10
cos10 2 sin 20 cos10 2 sin(30 10 )
＝
-2cos10 °＝
＝
＝
sin 5 cos5 2sin10
2sin10
2
16. 解：∵ tan α-tan β ＝2tan α tan β
tan
tan β ＝
2
tan2
∴原式＝ sin 2 cos
cos 2 sin ＝ sin 2 +cos2α ＝ sin2 α · 1 2 tan 2
sin
tan
tan
+cos2
α
＝ 2sin α cos α· 1 2 tan 2 tan
2
2
2
3. 如图， ABCD是半圆 O的内接等腰梯形，其中 AB为半圆直径， AB＝ 2，设∠ COB＝α ，梯形 的周长为 l ，求 l 的最大值 .
第三章 三角恒等变换 两角和与差的三角函数单元测试 【课内四基达标】 一、 1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C
高一数学必修4同步训练 3.1.1 两角和与差的余弦
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1 两角和与差的余弦一、选择题:1. 65sin 1211cos 611cos 1225sin ππππ-等于( ) A.-22 B.22 C.-sin 2π D.sin 12π 2. 设α、β为锐角且满足sin α＝1010sin ,55=β，则α＋β的大小为( ) A.－43π B.4π C.43π D.4π或43π 3. 若sin α²sin β＝1，则cos （α＋β）的值为( )A.0B.1 Ｃ.±1 Ｄ.－14. 在△AB Ｃ中，cos A ＝135cos 53=B 且，则cos Ｃ等于( ) A.－6533 B.6533 Ｃ.－6563 Ｄ.6563 5. 若在△ABC 中满足tan A ²tan Β＞1，则这个三角形一定是( )A.正三角形B.等腰直角三角形Ｃ.锐角三角形 Ｄ.钝角三角形6. 若cos α＝a ，sin β＝b ，α∈（0，2π），β∈（0，π），则cos （α＋β）的值的个数是( ) Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.4二、填空题:7. 已知cos α－cos β＝21，sin α－sin β＝31，则cos （α－β）＝ . 8. 已知cos （α＋β）＝31，cos （α－β）＝51则tan α²tan β＝ . 9. 已知α、β为锐角，cos α＝71，cos （α＋β）＝－1411，则β＝ . 10. 若cos （α＋β）＝54，cos （α－β）＝－54，且2π＜α－β＜π，23π＜α＋β＜2π，则cos2α＝ ，cos2β＝ .二、解答题:11. 求12cos 312sin ππ-的值12. 求证：︒=︒-︒20cos 3210cos 310sin 122 =32cos20°.13. 已知锐角α、β满足10103cos ,55sin ==βα，求α＋β.14. 已知cos(2α－β)=－1411,sin(α－2β)=734,且4π＜α＜2π,0＜β＜4π,求cos(α+β)的值.15. 已知sin （4π－α）＝135 ( 0＜α＜4π）,求)4cos(2cos απα+的值.拓展创新——练能力16. 知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π,求cos(α+β)的值.17. 已知π＜α＜α+β＜2π,且26217)cos(,1312cos =+-=βαα,求角β.18. △ABC 中，1312cos ,54sin ==B A ，求cosC 的值,并判断△ABC 的形状.参考答案:1. B2. B3. D4. B5. C6. B7.7259 8. －14 9. 3π 10. －257 －1 解析：∵2α＝（α＋β）＋（α－β） ∴cos2α＝cos ［（α＋β）＋（α－β）］＝－257 ∵2β＝（α＋β）－（α－β）∴cos2β＝cos ［（α＋β）－（α＋β）］＝－1.11. 解析:原式＝)12cos 2312sin 21(2ππ-2(sin sin cos cos )2cos()2cos 6126126124πππππππ=-=-+=-=12. 证法一：左边=︒+-︒-=︒+-︒-20cos 1620cos 12220cos 13220cos 11 右边=︒=︒︒⋅︒=︒︒︒=︒︒+︒-︒-︒=︒︒-︒=︒-︒=︒--︒=20cos 3220sin 20sin 20cos 3220sin 20sin 40sin 1620sin )]2040cos()2040[cos(820sin )60cos 20(cos 820sin )2120(cos 820cos 1420cos 82222222 ∴原式成立.证法二：左边=︒⋅︒︒-︒10cos 10sin 10sin 310cos 2222 .20cos 3220sin 40sin 1620sin )1030sin()1030sin(1620sin )10sin 2310cos 21)(10sin 2310cos 21(16)10cos 10(sin )10sin 310)(cos 10sin 310(cos 222右边=︒=︒︒=︒︒-︒⋅︒+︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒︒+︒= ∴原式成立.13. 解析:∵α、β为锐角且10103cos ,55sin ==βαcos α===sincos()cos cos sin sin2βαβαβαβ===∴+=-==由0＜α＜2π，0＜β＜2π得0＜α+β＜π又cos（α＋β）＞0 ∴α＋β为锐角∴α＋β＝4π14. 解析:∵4π＜α＜2π,0＜β＜4π,∴4π＜2α－β＜π,－4π＜α－2β＜2π,由cos(2α－β)=－1411得，sin(2α－β)=1435;由sin(α－2β)=734得，cos(α－2β)=71.∴cos(α+β)=cos［(2α－β)－(α－2β)］=cos(2α－β)cos(α－2β)+sin(2α－β)sin(α－2β)=－1411³71+1435³21734=.15. 解析:cos（4π＋α）＝cos［2π－（4π－α）］＝sin（4π－α）＝135又∵0＜α＜4π, ∴0＜4π－α＜4π，4π＜4π+α＜2π,12cos()413πα-===则12sin()413πα+===cos[()()]cos()cos()sin()sin() cos2444444cos()cos()cos()444ππππππαααααααπππααα+--+-++-==+++5121252413131313.51313⋅+⋅==16. 解析:∵40,24πβπαπ<<<<,∴4π<2α-β<π,- 4π<α-2β<2π, 由cos(2α-β)=-1411得，sin (2α-β)=1435; 由sin (α-2β)=734得，cos(α-2β)=71. ∴cos(α+β)=cos ［(2α-β)-(α-2β)］=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin (2α-β)sin (α-2β)=-1411³71+1435³734=21. 17. 解析:∵π＜α＜α+β＜2π5sin 13sin()26123cos 0,1323cos()0,2262ααβαπαπαβπαβπ∴===-+===-=-<∴<<+=>∴<<<0(),0cos cos[()]cos()cos sin()sin 125()(()131334αβαπβπβαβααβααβαβπ∴<+-<<<∴=+-=+++=-+⨯-=∴=即 18. 解析:由已知得:A +B +C =π,且A 、B 、C ＞0. ∵54sin =A ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-±=是钝角时当是锐角时当A A A 53 53)54(1cos 2 又135)1312(1sin ,1312cos 2=-=∴=B B 1312)53(13554cos cos sin sin )cos()](cos[cos ⨯±-⨯=-=+-=+-=∴B A B A B A B A C π⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为钝角时当为锐角时当A A 6556 6516当A 为锐角时,6516cos -=C ＜0,则C 为钝角,这时△ABC 为钝角三角形 当A 为钝角时,6556cos =C ＞0,C 为锐角,这时△ABC 为钝角三角形. 于是,△ABC 为钝角三角形.。