2020届高中物理二轮复习热点题型专题：4.3万有引力与航天(含解析)
高中物理万有引力与航天常见题型及答题技巧及练习题(含答案)含解析
高中物理万有引力与航天常见题型及答题技巧及练习题(含答案)含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，引力常量为G ．求：(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大． 【答案】（1）()2R H Tπ+（2）()3224R H GT π+（3）()2R H R HTRπ++ 【解析】（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小12π()R H v T+=． （2）设月球质量为M ．“嫦娥一号”的质量为m ．根据牛二定律得2224π()()R H MmG m R H T +=+解得2324π()R H M GT +=． （3）设绕月飞船运行的线速度为V ，飞船质量为0m ，则2002Mm V G m RR =又2324π()R H M GT +=． 联立得()2πR H R HV TR++=2．宇航员在某星球表面以初速度v 0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h .已知该星球的半径为R ，且物体只受该星球的引力作用.求： (1)该星球表面的重力加速度；(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度.【答案】(1)202v h(2) 2v R h 【解析】本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算．(1) 设该星球表面的重力加速度为g ′，物体做竖直上抛运动，则202v g h ='解得，该星球表面的重力加速度202v g h'=(2) 卫星贴近星球表面运行，则2v mg m R'=解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度v v ==3．一名宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t ，已知万有引力恒量为G ，不计阻力，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：（1）该星球表面的“重力”加速度g 的大小； （2）该星球的质量M ；（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期T 为多大？【答案】（1）2v g t =（2）22vR M Gt=（3）2T π=【解析】 【详解】（1）由运动学公式得：2vt g＝解得该星球表面的“重力”加速度的大小 2v g t＝（2）质量为m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg ＝2mM GR解得该星球的质量为 22vR M Gt= （3）当某个质量为m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R 时，该卫星运行的周期T 最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律2224m M m RG R Tπ''＝解得该卫星运行的最小周期 2T π＝ 【点睛】重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供．4．木星在太阳系的八大行星中质量最大，“木卫1”是木星的一颗卫星，若已知“木卫1”绕木星公转半径为r ，公转周期为T ，万有引力常量为G ，木星的半径为R ，求 （1）木星的质量M ；（2）木星表面的重力加速度0g ．【答案】（1）2324r GT π (2)23224r T Rπ 【解析】(1)由万有引力提供向心力222()Mm Gm r r Tπ= 可得木星质量为2324r M GT π=(2)由木星表面万有引力等于重力：02Mm Gm g R''= 木星的表面的重力加速度230224r g T Rπ=【点睛】万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心力得到半径和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解．5．“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F 与在地球表面时重力mg 的比值后Fk mg=称为载荷值．已知地球的半径为R ＝6.4×106m （地球表面的重力加速度为g ＝9.8m/s 2）(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k ＝6，求该过程的加速度；（结论用g 表示）(2)求地球的笫一宇宙速度；(3)“神舟”十号飞船发射成功后，进入距地面300km 的圆形轨道稳定运行，估算出“神十”绕地球飞 行一圈需要的时间．（π2≈g ）【答案】(1) a ＝5g (2)37.9210m/s v =⨯ (3)T =5420s 【解析】 【分析】(1)由k 值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度．(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值． 【详解】(1)由k ＝6可知，F ＝6mg ，由牛顿第二定律可得：F -mg ＝ma 即：6mg -mg ＝ma 解得：a ＝5g(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，由万有引力提供向心力得：2v mg m R=所以：639.8 6.410m/s 7.9210m/s v gR ==⨯⨯=⨯(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：222()Mm G m r Tπ= 在地面上万有引力等于重力：2MmGmg R= 解得：236326244(6.710)s 5420s (6.410)r T gR π⨯⨯===⨯【点睛】本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力．6．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题 (1)以下是地球和太阳的有关数据(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v ＝7.9km/s ，万有引力常量G ＝6.67×l0－11m 3kg －1s －2，光速C ＝3×108ms －1；(3)大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速2倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞．在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体．（①②的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；③的推导结论用字母表达） ①试估算地球的质量；②试估算太阳表面的重力加速度；③己知某星体演变为黑洞时的质量为M ，求该星体演变为黑洞时的临界半径R ． 【答案】（1）6×1024kg （2）32310/m s ⨯（3）22GMC【解析】(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动22m GM v m R R =地地 解得：2R v M G=地＝6×1024kg (2)在地球表面2mGM mg R =地地地解得：2G R M g =地地地同理在太阳表面2G R M g =日日日2322g g 310/M R m s M R ==⨯日地日地日地 (3)第一宇宙速度212v GMmm R R=第二宇宙速度21v c == 解得：22GM R C=【点睛】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．7．2018年12月08日凌晨2时23分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，开启了月球探测的新旅程。
高考物理万有引力与航天常见题型及答题技巧及练习题(含答案)及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的密度；
(3)该星球的“第一宇宙速度”．
（1）木星的质量M；
（2）木星表面的重力加速度 ．
【答案】（1） (2)
【解析】
(1)由万有引力提供向心力
可得木星质量为
(2)由木星表面万有引力等于重力：
木星的表面的重力加速度
【点睛】万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心力得到半径和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解．
8．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为r0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M；
3．设地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．若把一质量为m的物体放在地球表面的不同位置，由于地球自转，它对地面的压力会有所不同．
（1）若把物体放在北极的地表，求该物体对地表压力的大小F1；
（2）若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表压力的大小F2；
2．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤 是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R．
高考物理万有引力与航天答题技巧及练习题(含答案)含解析
高考物理万有引力与航天答题技巧及练习题 ( 含答案 ) 含分析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1． 如下图，返回式月球软着陆器在达成了对月球表面的观察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱．已知月球表面的重力加快度为 g ，月球的半径为月球中心的距离为 r ，引力常量为 G ，不考虑月球的自转．求：R ，轨道舱到（ 1）月球的质量 M ；（ 2）轨道舱绕月飞翔的周期 T ．22 r r【答案】 （1） MgR（ 2） T gGR【分析】【剖析】月球表面上质量为m 1 的物体 ，依据万有引力等于重力可得月球的质量；轨道舱绕月球做圆周运动，由万有引力等于向心力可得轨道舱绕月飞翔的周期 ；【详解】解： (1)设月球表面上质量为m 1 的物体 ，其在月球表面有 ： GMm1m 1g GMm 1m 1gR 2R 2gR 2月球质量 ： MG(2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m2Mm2 2由牛顿运动定律得：G Mmm2πr Gm(rr 2)r 2TT2 r r解得： TgR2．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018 ”．比如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，整年发射18 颗北斗三号卫星，为 “一带一路 ”沿线及周边国家供给服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和 倾斜同步卫星构成．图为此中一颗静止轨道卫星绕地球飞翔的表示图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为 T ，地球质量为 M 、半径为 R ，引力常量为 G ．（1）求静止轨道卫星的角速度ω；（2）求静止轨道卫星距离地面的高度h1；（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运行轨道面与地球赤道面有必定夹角，它的周期也是T，距离地面的高度为h2．视地球为质量散布均匀的正球体，请比较h1和 h2的大小，并说出你的原因．2πGMT 2R（ 3）h1= h2【答案】（ 1）=；（ 2）h1=3T 4 2【分析】【剖析】（1）依据角速度与周期的关系能够求出静止轨道的角速度；（2）依据万有引力供给向心力能够求出静止轨道到地面的高度；（3）依据万有引力供给向心力能够求出倾斜轨道到地面的高度；【详解】（1）依据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度= 2πTMm2π2（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：G2= m( R h1 )( )(R h1 )T解得：h1= 3GMT22R 4π（3）如下图，同步卫星的运行轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运行轨道面与地球赤道面有夹角，可是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．因为它的周期也是 T，依据牛顿运动定律，GMm2 =m(R h2 )(2) 2 ( R h2 )T解得：h2= 3GMT 2R 42所以 h1= h2．1） =2π GMT 2R （3） h 1= h 2故此题答案是：（ ；（ 2） h 1 =3T4 2【点睛】关于环绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力供给向心力即可求出要求的物理量．3． 据报导，一法国拍照师拍到 “ ” “ ”天宫一号 空间站飞过太阳的瞬时．照片中， 天宫一号 的太阳帆板轮廓清楚可见．如下图，假定“天宫一号 ”正以速度 v =7.7km/s 绕地球做匀速圆 周运动，运动方向与太阳帆板两头 M 、 N 的连线垂直， M 、 N 间的距离 L =20m ，地磁场的磁感觉强度垂直于 v ，MN 所在平面的重量5﹣B=1.0 ×10T ，将太阳帆板视为导体．（1）求 M 、 N 间感觉电动势的大小 E ；（2）在太阳帆板大将一只 “ 1.5V 、 0.3W ”的小灯泡与 M 、 N 相连构成闭合电路，不计太阳帆 板和导线的电阻．试判断小灯泡可否发光，并说明原因；（3）取地球半径 R=6.4 ×3 10km ，地球表面的重力加快度 g = 9.8 m/s 2，试估量 “天宫一号 ”距 离地球表面的高度h （计算结果保存一位有效数字）．【答案】（ 1） 1.54V （ 2）不可以（ 3）4105 m【分析】 【剖析】【详解】（1）法拉第电磁感觉定律E=BLv代入数据得E=1.54V（ 2）不可以，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感觉电流．（ 3）在地球表面有GMmmgR 2匀速圆周运动G Mm= m v 2( R + h)2 R + h解得gR2hv2R代入数据得h≈ 4×510m【方法技巧】此题旨在观察对电磁感觉现象的理解，第一问很简单，问题在第二问，学生在第一问的基础上很简单答不可以发光，却不知闭合电路的磁通量不变，没有感觉电流产生．此题难度不大，但第二问很简单犯错，要求考生心细，考虑问题全面．4．已知地球同步卫星到地面的距离为地球半径的 6 倍，地球半径为R，地球视为均匀球体，两极的重力加快度为g，引力常量为G，求：（1）地球的质量；（2）地球同步卫星的线速度大小．【答案】 (1)gR2gR M(2)vG7【分析】【详解】（1）两极的物体遇到的重力等于万有引力，则GMmR2解得mgM gR2；G（2）地球同步卫星到地心的距离等于地球半径的7 倍，即为7R，则GMm v22m7R7R而 GM gR2，解得gRv.75．2016 年 2 月 11 日，美国“激光干预引力波天文台”（LIGO）团队向全球宣告发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13 亿光年以外一个双黑洞系统的归并．已知光在真空中流传的速度为c，太阳的质量为M0，万有引力常量为G．（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26 倍和 39 倍，归并后为太阳质量的62 倍．利用所学知识，求此次归并所开释的能量．（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最迅速度流传的光都不可以逃离它的引力，所以我们没法经过光学观察直接确立黑洞的存在．假定黑洞为一个质量散布均匀的球形天体．a．因为黑洞对其余天体拥有强盛的引力影响，我们能够经过其余天体的运动来推断黑洞的存在．天文学家观察到，有一质量很小的恒星单独在宇宙中做周期为T，半径为 r 0的匀速圆周运动．由此推断，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M；b．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出以前就有人利用牛顿力学系统预知过黑洞的存在．我们知道，在牛顿系统中，当两个质量分别为m1、 m2的质点相距为 r 时也会拥有势能，称之为引力势能，其大小为E p G m1m2（规定无量远处r势能为零）．请你利用所学知识，推断质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R 最大不可以超出多少？24 2r032GM【答案】（ 1） 3M 0c（2）M GT 2； R＝c2【分析】【剖析】【详解】（1）归并后的质量损失m (26 39)M 062M 03M 0依据爱因斯坦质能方程E mc2得归并所开释的能量E3M 0c2（2） a．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m依据万有引力定律和牛顿第二定律Mm22r0G mr02T解得4 2 r03M2GTb．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无量远处；依据能量守恒定律1 mv2G Mm02R解得2GMRv2因为连光都不可以逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不可以超出2GMRc26．假定在月球上的“玉兔号”探测器，以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t 小球落回抛出点，已知月球半径为R，引力常数为G．(1)求月球的密度．(2)若将该小球水平抛出后，小球永不落回月面，则抛出的初速度起码为多大？3v0（ 2）2Rv0【答案】（1）GRt t2【分析】【详解】(1) 由匀变速直线运动规律：v0gt 2所以月球表面的重力加快度g 2v0 t由月球表面，万有引力等于重力得GMmmg R2gR 2 MG月球的密度 =M23v0V GRt(2) 由月球表面，万有引力等于重力供给向心力：v2 mg mR2Rv0可得： vt7．2019 年 4 月，人类史上首张黑洞照片问世，如图，黑洞是一种密度极大的星球。
2020年高考物理二轮提分秘籍：天体运动四大热门题型(学生版)
2020年高考物理二轮复习热点题型与提分秘籍专题05 天体运动四大热门题型题型一 中心天体质量和密度的估算【题型解码】1.考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．2.一定要区分研究对象是做环绕运动的天体,还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力,星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力． 【典例分析1】(2019·河南驻马店高三检测)有一颗行星,其近地卫星的线速度大小为v ,假设宇航员在该行星表面上做实验,宇航员站在正以加速度a 匀加速上升的电梯中,用弹簧测力计悬挂质量为m 的物体时,看到弹簧测力计的示数为F .已知引力常量为G ,则这颗行星的质量是( ) A.G (F －ma )mv 4B.G (F －ma )mv 2C.mv 2G (F －ma ) D.mv 4G (F －ma )【典例分析2】我国已经发射了一百七十多个航天器。
其中发射的货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体,如图所示。
假设组合体在距地面高度为h 的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,周期为T 1。
如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动,轨道半径为R 1,周期为T 2。
已知地球表面处重力加速度为g ,地球半径为R ,引力常量为G ,不考虑地球自转的影响,地球看成质量分布均匀的球体。
则( )A ．月球的质量可表示为4π2R 31GT 22 B ．组合体与月球运转的线速度比值为 R 1hC ．地球的密度可表示为3π(R ＋h )3GT 21R 3D ．组合体的向心加速度可表示为R ＋h R 2g【提分秘籍】估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区 (1)两条思路①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算由G Mm R 2＝mg 天体得M ＝g 天体R 2G ,再由ρ＝M V ,V ＝43πR 3得ρ＝3g 天体4G πR。
高考物理万有引力与航天常见题型及答题技巧及练习题(含答案)含解析
高考物理万有引力与航天常有题型及答题技巧及练习题( 含答案 ) 含分析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．如下图，宇航员站在某质量散布平均的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间 t 落到斜坡上另一点 Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为 R，万有引力常量为 G，求：(1)该星球表面的重力加快度；(2)该星球的质量。
2v0 tan2v0 R2tan【答案】（1）g（2 ）t Gt【分析】【剖析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，依据平抛运动的规律求出星球表面的重力加快度；依据万有引力等于重力争出星球的质量；【详解】(1)依据平抛运动知识可得y 1gt22gttanv0t2v0x2v0 tan解得 gtGMm(2)依据万有引力等于重力，则有R2mggR22v0 R2tan解得MG Gt2．一宇航员站在某质量散布平均的星球表面上沿竖直方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该星球半径为，引力常量为，求：R G(1)该星球表面的重力加快度；(2)该星球的密度；(3)该星球的“第一宇宙速度”．【答案】 (1) g 2v0(2)3v0(3)v2v0 R t2πRGt t【分析】(1) 依据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间2v0 tg可得星球表面重力加快度： g 2v0．tGMm(2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：mg得：M gR 22v0 R2G Gt由于V 4 R 33则有：M3v0V2πRGtR2(3)重力供给向心力，故该星球的第一宇宙速度v2mg mR2v0R v gRt【点睛】此题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力供给圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的重点．3．经过逾 6 个月的飞翔，质量为 40kg 的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年 11 月27 日 03： 56 在火星安全着陆。
(完整版)高考专题-万有引力与航天
高考专题-万有引力与航天1．题型特点关于万有引力定律及应用知识的考查，主要表现在两个方面：(1)天体质量和密度的计算：主要考查对万有引力定律、星球表面重力加速度的理解和计算．(2)人造卫星的运行及变轨：主要是结合圆周运动的规律、万有引力定律，考查卫星在轨道运行时线速度、角速度、周期的计算，考查卫星变轨运行时线速度、角速度、周期以及有关能量的变化．以天体问题为背景的信息题，更是受专家的青睐．高考中一般以选择题的形式呈现．2．命题趋势从命题趋势上看，对本部分内容的考查仍将延续与生产、生活以及航天科技相结合，形成新情景的物理题．1．(多选)(2015·新课标全国Ⅰ·21)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器()A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/sB．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 NC．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度2．(2015·江苏单科·3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110B ．1C ．5D ．10 3．(2015·四川理综·5)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )A.火星的公转周期较小B ．火星做圆周运动的加速度较小C ．火星表面的重力加速度较大D ．火星的第一宇宙速度较大4．(2015·安徽理综·24)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m 、B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ； (3)C 星体的轨道半径R C ； (4)三星体做圆周运动的周期T .考题一 万有引力定律的理解1．(2015·安康二模)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R ，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d ，天宫一号轨道距离地面高度为h ，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( ) A.R －d R ＋hB.(R －d )2(R ＋h )2C.(R －d )(R ＋h )2R 3D.(R －d )(R ＋h )R 2行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m 地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011 火星3.4×1066.4×10232.3×10112．(2015·海南单科·6)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R .由此可知，该行星的半径约为( ) A.12R B.72R C ．2R D.72R 3．(2015·崇明模拟)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以O 为原点建立坐标轴Ox ，如图所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x 轴上各位置受到的引力大小用F 表示，则选项所示的四个F 随x 变化的关系图正确的是( )1．辨析下列说法的正误： 由F 万＝G m 1m 2r2得①r →∞时，F 万＝0( √ ) ②r →0时，F 万＝∞( × ) 2．万有引力定律的适用条件：(1)可以看成质点的两个物体之间． (2)质量分布均匀的球体之间．(3)质量分布均匀的球体与球外质点之间．考题二 天体质量和密度的估算4．(2015·湖南五市十校5月模拟)如图3所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ弧度．已知万有引力常量为G ，则月球的质量是( )A.l 2Gθ3tB.θ3Gl 2tC.l 3Gθt 2D.t 2Gθl3 5．(多选)(2015·淮安四模)木卫一是最靠近木星的卫星，丹麦天文学家罗迈最早在十七世纪通过对木卫一的观测测出了光速．如图所示，他测量了木卫一绕木星的运动周期T 和通过木星影区的时间t .若已知木星的半径R 和万有引力常量G ，T 远小于木星绕太阳的运行周期，根据以上条件可以求出( )A ．木星的密度B ．木卫一的密度C ．木卫一绕木星运动的向心加速度大小D ．木卫一表面的重力加速度大小6．(2015·安阳二模)嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成．探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示.月球半径 R 0 月球表面的重力加速度 g 0 地球和月球的半径之比RR 0＝4 地球表面和月球表面的重力加速度之比g g 0＝6 请根据题意，判断地球和月球的密度之比为( ) A.23 B.32C ．4D ．6估算天体质量的两种方法：1．如果不考虑星球的自转，星球表面的物体所受重力等于星球对它的万有引力． mg ＝G Mm R 2 M ＝gR 2G2．利用绕行星运转的卫星，F 万提供向心力．G Mm r 2＝m 4π2T 2·r M ＝4π2r 3GT 2 特例：若为近地面卫星r ＝R ρ＝M V ＝3πGT2 考题三 卫星运行参量的分析7．(多选)(2015·天津·8)P 1、P 2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s 1、s 2做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a ，横坐标表示物体到行星中心的距离r 的平方，两条曲线分别表示P 1、P 2周围的a 与r 2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( ) A ．P 1的平均密度比P 2的大 B ．P 1的“第一宇宙速度”比P 2的小 C ．s 1的向心加速度比s 2的大 D ．s 1的公转周期比s 2的大8．(2015·武汉四月调研)17世纪，英国天文学家哈雷跟踪过一颗慧星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗慧星将每隔一定的时间飞临地球，后来哈雷的预言得到证实，该慧星被命名为哈雷慧星．哈雷彗星围绕太阳公转的轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示．从公元前240年起，哈雷彗星每次回归，中国均有记录，它最近一次回归的时间是1986年．从公元前240年至今，我国关于哈雷慧星回归记录的次数，最合理的是( ) A ．24次 B ．30次 C ．124次D ．319次9．(2015·襄阳模拟)我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星－500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的12，质量是地球质量的19.已知地球表面的重力加速度是g ，地球的半径为R ，忽略火星以及地球自转的影响，求： (1)火星表面的重力加速度g ′的大小；(2)王跃登陆火星后，经测量，发现火星上一昼夜的时间为t ，如果要发射一颗火星的同步卫星，它正常运行时距离火星表面将有多远？1.基本规律F 万＝G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2·r ＝m 4π2T 2·r得：a n ＝GMr2，v ＝GMr，ω＝ GMr 3，T ＝ 4π2r 3GMr 时(a n 、v 、ω)，T 2．宇宙速度 (1)v Ⅰ＝gR ＝GMR＝7.9 km/s ①最小的发射速度．②(近地面)最大的环绕速度． (2)v Ⅱ＝2v Ⅰ＝11.2 km/s. (3)v Ⅲ＝16.7 km/s.考题四 卫星变轨与对接10．(2015·扬州模拟)如图7所示，有一飞行器沿半径为r 的圆轨道1绕地球运动．该飞行器经过P 点时，启动推进器短时间向前喷气可使其变轨，2、3是与轨道1相切于P 点的可能轨道，则飞行器( ) A ．变轨后将沿轨道2运动 B ．相对于变轨前运行周期变长C ．变轨前、后在两轨道上经P 点的速度大小相等D ．变轨前、后在两轨道上经P 点的加速度大小相等11．(2015·黄冈八校第二次联考)美国宇航局的“信使”号水星探测器按计划将在2015年3月份陨落在水星表面．工程师找到了一种聪明的办法，能够使其寿命再延长一个月．这个办法就是通过向后释放推进系统中的高压氦气来提升轨道．如图所示，设释放氦气前，探测器在贴近水星表面的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，释放氦气后探测器进入椭圆轨道Ⅱ上，忽略探测器在椭圆轨道上所受外界阻力．则下列说法正确的是( ) A ．探测器在轨道Ⅱ上A 点运行速率小于在轨道Ⅱ上B 点速率 B ．探测器在轨道Ⅱ上某点的速率可能等于在轨道Ⅰ上的速率 C ．探测器在轨道Ⅱ上远离水星过程中，引力势能和动能都减少 D ．探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上A 点加速度大小不同1．变轨问题中，各物理量的变化(1)当v 增大时，所需向心力m v 2r 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝GMr知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．(2)当卫星的速度突然减小时，向心力m v 2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v ＝ GMr知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少． 2．规律总结(1)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v ＝GMr判断． (2)卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用F ＝GMmr2＝ma 比较得出．考题五 双星与多星问题12．(2015·上饶三模)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此圆周运动的周期为( ) A.nk T B.n 2k T C.n 3k 2T D.n 3kT 13．(2015·衡水高三下学期期中)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．每颗星做圆周运动的角速度为3GmL 3B ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍1．双星系统具有如下特点：(1)它们以相互间的万有引力来提供向心力．(2)它们共同绕它们连线上某点做圆周运动．(3)它们的周期、角速度相同．(4)r、a n、v与m成反比．2．N星系统(1)向心力由其他星对该星万有引力的合力提供．(力的矢量合成)(2)转动的星的T(ω)相等．注意：运算过程中的几何关系．专题综合练1．(2015·山东理综·15)如图1所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是() A．a2>a3>a1B．a2>a1>a3C．a3>a1>a2D．a3>a2>a12．(多选)(2015·揭阳质检)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据，可以估算的物理量有()A．地球的质量B ．地球的密度C ．地球的半径D ．月球绕地球运行速度的大小3．(2015·泰安二模)设地球半径为R ，质量为m 的卫星在距地面R 高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g ，则( ) A ．卫星的线速度为gR2B ．卫星的角速度为 g 4RC ．卫星的加速度为g2D ．卫星的周期为4πR g4．(2015·雅安三诊)2015年3月5日，国务院总理李克强在十二届全国人民代表大会上所作的政府工作报告中提到：“超级计算、探月工程、卫星应用等重大科研项目取得新突破”，并对我国航天事业2014年取得的发展进步给予了充分肯定．若已知地球半径为R 1，赤道上物体随地球自转的向心加速度为a 1，第一宇宙速度为v 1；地球同步卫星的轨道半径为R 2，向心加速度为a 2，运动速率为v 2，判断下列比值正确的是( ) A.a 1a 2＝R 1R 2 B.a 1a 2＝(R 1R 2)2 C.v 1v 2＝R 1R 2D.v 1v 2＝ R 1R 25．(2015·龙岩市5月模拟)如图所示，一个质量均匀分布的星球，绕其中心轴PQ 自转，AB 与PQ 是互相垂直的直径．星球在A 点的重力加速度是P 点的90%，星球自转的周期为T ，万有引力常量为G ，则星球的密度为( ) A.0.3πGT 2 B.3πGT 2 C.10π3GT 2D.30πGT2 6．(多选)(2015·南通二模)据报道，一颗来自太阳系外的彗星于2014年10月20日擦火星而过．如图所示，设火星绕太阳在圆轨道上运动，运动半径为r ，周期为T ，该慧星在穿过太阳系时由于受到太阳的引力，轨道发生弯曲，彗星与火星在圆轨道的A 点“擦肩而过”．已知万有引力常量G ，则( ) A ．可计算出太阳的质量B ．可计算出彗星经过A 点时受到的引力C ．可计算出彗星经过A 点的速度大小D ．可确定慧星在A 点的速度大于火星绕太阳的速度7．(多选)(2015·绥化二模)我国研制的“嫦娥三号”月球探测器于2013年12月1日发射成功，并成功在月球表面实现软着陆．如图13所示，探测器首先被送到距离月球表面高度为H 的近月轨道做匀速圆周运动，之后在轨道上的A 点实施变轨，使探测器绕月球做椭圆运动，当运动到B 点时继续变轨，使探测器靠近月球表面，当其距离月球表面附近高度为h (h <5 m)时开始做自由落体运动，探测器携带的传感器测得自由落体运动时间为t ，已知月球半径为R ，万有引力常量为G .则下列说法正确的是( ) A ．“嫦娥三号”的发射速度必须大于第一宇宙速度 B ．探测器在近月圆轨道和椭圆轨道上的周期相等C ．“嫦娥三号”在A 点变轨时，需减速才能从近月圆轨道进入椭圆轨道D ．月球的平均密度为3h2πGRt 28．(2015·银川二模)我国第一颗绕月探测卫星——嫦娥一号于2007年10月24日成功发射．如图14所示，嫦娥一号进入地月转移轨道段后，关闭发动机，在万有引力作用下，嫦娥一号通过P 点时的运动速度最小．嫦娥一号到达月球附近后进入环月轨道段．若地球质量为M ，月球质量为m ，地心与月球中心距离为R ，嫦娥一号绕月球运动的轨道半径为r ，G 为万有引力常量，则下列说法正确的是( ) A ．P 点距离地心的距离为MM ＋mRB ．P 点距离地心的距离为MM ＋m RC ．嫦娥一号绕月运动的线速度为 GMr D ．嫦娥一号绕月运动的周期为2πRR Gm9．(多选)(2015·潍坊二模)2015年2月7日，木星发生“冲日”现象．“木星冲日”是指木星和太阳正好分处地球的两侧，三者成一条直线．木星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨迹都近似为圆．设木星公转半径为R 1，周期为T 1；地球公转半径为R 2，周期为T 2，下列说法正确的是( )A.T 1T 2＝(R 1R 2)23B.T 1T 2＝(R 1R 2)32 C ．“木星冲日”这一天象的发生周期为2T 1T 2T 1－T 2D ．“木星冲日”这一天象的发生周期为T 1T 2T 1－T 210．(2015·北京朝阳区4月模拟)第一宇宙速度又叫做环绕速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度．理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的2倍，这个关系对其他天体也是成立的．有些恒星，在核聚变反应的燃料耗尽而“死亡”后，强大的引力把其中的物质紧紧地压在一起，它的质量非常大，半径又非常小，以致于任何物质和辐射进入其中都不能逃逸，甚至光也不能逃逸，这种天体被称为黑洞．已知光在真空中传播的速度为c ，太阳的半径为R ，太阳的逃逸速度为c 500.假定太阳能够收缩成半径为r 的黑洞，且认为质量不变，则Rr 应大于( )A ．500B ．500 2C ．2.5×105D ．5.0×10511．(多选)(2015·陕西西安交大附中四模)物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能．若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m 0的质点距质量为M 0的引力中心为r 0时，其万有引力势能E p ＝－GM 0m 0r 0(式中G 为引力常量)．一颗质量为m 的人造地球卫星以半径为r 1圆形轨道环绕地球飞行，已知地球的质量为M ，要使此卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径增大为r 2，则在此过程中( ) A ．卫星势能增加了GMm (1r 1－1r 2)B ．卫星动能减少了GMm 3(1r 1－1r 2)C ．卫星机械能增加了GMm 2(1r 1－1r 2)D ．卫星上的发动机所消耗的最小能量为2GMm 3(1r 2－1r 1)12．(2015·合肥二质检)如图所示，P 是一颗地球同步卫星，已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，地球自转周期为T .(1)设地球同步卫星对地球的张角为2θ，求同步卫星的轨道半径r 和sin θ的值．(2)要使一颗地球同步卫星能覆盖赤道上A 、B 之间的区域，∠AOB ＝π3，则卫星可定位在轨道某段圆弧上，求该段圆弧的长度l (用r 和θ表示)．答案精析专题4 万有引力与航天真题示例1．BD [在星球表面有GMm R 2＝mg ，所以重力加速度g ＝GM R 2，地球表面g ＝GMR 2＝9.8 m/s 2，则月球表面g ′＝G 181M (13.7R )2＝3.7×3.781×GM R 2≈16g ，则探测器重力G ＝mg ′＝1 300×16×9.8N ≈2×103 N ，选项B 正确；探测器自由落体，末速度v ＝2g ′h ≈43×9.8 m /s ≠8.9 m/s ，选项A 错误；关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动悬停，所以机械能不守恒，选项C 错误；在近月轨道运动时万有引力提供向心力，有GM ′mR ′2＝m v 2R ′，所以v ＝G 181M 13.7R ＝ 3.7GM81R＜ GMR，即在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，选项D 正确．]2．B [根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3GT2，所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒M 太＝r 3行T 2地 r 3地T 2行＝(120)3×(3654)2≈1，故选项B 正确．]3．B [由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ＝ma 知，T ＝2πr 3GM ，a ＝GMr2，轨道半径越大，公转周期越大，加速度越小，A 错误，B 正确；由G Mm R 2＝mg 得g ＝G M R 2，g 地g 火＝M 地M 火·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 火R 地2≈2.6，火星表面的重力加速度较小，C 错误；由G MmR 2＝m v 2R 得v ＝GM R ，v 地v 火＝ M 地M 火·R 火R 地≈2.2，火星的第一宇宙速度较小，D 错误．]4．(1)23G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)74a (4)πa 3Gm解析 (1)由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a2＝F CA方向如图所示则合力大小为F A ＝F BA ·cos 30°＋F CA ·cos 30°＝23G m 2a 2(2)同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为 F AB ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2F CB ＝G m C m B r 2＝G m 2a 2方向如图由余弦定理得合力F B ＝F 2AB ＋F 2CB －2F AB ·F CB ·cos 120°＝7G m 2a2 (3)由于m A ＝2m ，m B ＝m C ＝m通过分析可知，圆心O 在BC 的中垂线AD 的中点 则R C ＝⎝⎛⎭⎫34a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝74a (4)三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m (2πT )2R C可得T ＝πa 3Gm考题一 万有引力定律的理解1．C [令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的的万有引力大小相等，有：g ＝G MR 2.由于地球的质量：M ＝ρ·43πR 3，所以重力加速度的表达式可写成：g ＝GM R 2＝G ·ρ43πR 3R 2＝43πGρR .质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号所在处的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d )，所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力G Mm(R ＋h )2＝ma ，“天宫一号”的加速度为a ＝GM (R ＋h )2，所以a g ＝R 2(R ＋h )2所以g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2R 3.]2．C [平抛运动在水平方向上为匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12gt 2，所以x ＝v 02h g ，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以g 行g 地＝x 2地x 2行＝74，根据公式G Mm R 2＝mg 可得R 2＝GMg ，故R 行R 地＝M 行M 地·g 地g 行＝2，解得R 行＝2R ，故C 正确．] 3．A [设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g ＝GMR 2.由于地球的质量为M ＝43πR 3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g ＝4πGRρ3.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，故在深度为(R －r )的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于r 的球体在其表面产生的万有引力，g ′＝4πGρ3r ，当r <R 时，g 与r 成正比，当r >R 后，g 与r 的平方成反比．即质量一定的小物体受到的引力大小F 在地球内部与r 成正比，在外部与r 的平方成反比．]考题二 天体质量和密度的估算4．C [l ＝Rθ则R ＝l θ；v ＝lt“嫦娥三号”绕着月球做匀速圆周运动，F ＝GMmR 2＝m v 2R .代入v 与R ，解之可得M ＝l 3Gθt2]5．AC [如图，通过木星影区的时间为t ，周期为T ，则：θ2π＝tT ，解得：θ＝t T ×2π，而R r ＝sin θ2＝sin t πT ，解得：r ＝RsinπtT ，根据万有引力提供向心力：G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得：M ＝4π2r 3GT 2＝4π2R 3GT 2sin 3πt T ，可求得中心天体的质量，木星的体积V ＝43πR 3，可得：ρ＝MV＝3πGT 2sin 3πt T ，故A 正确，B 错误；根据万有引力提供向心力：G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T2r ，解得：a ＝4π2r T 2＝4π2RT 2sinπt T ，故C 正确；公式只能计算中心天体的物理量，故D 错误．]6．B [在地球表面，重力等于万有引力，故：mg ＝G MmR2解得：M ＝gR 2G .故密度：ρ＝M V ＝gR 2G 43πR 3＝3g4πGR同理，月球的密度：ρ0＝3g 04πGR 0故地球和月球的密度之比：ρρ0＝gR 0g 0R ＝6×14＝32.]考题三 卫星运行参量的分析7．AC [由题图可知两行星半径相同，则体积相同，由a ＝G Mr 2可知P 1质量大于P 2，则P 1平均密度大于P 2，故A 正确；第一宇宙速度v ＝GMR，所以P 1的“第一宇宙速度”大于P 2，故B 错误；卫星的向心加速度为a ＝GM(R ＋h )2，所以s 1的向心加速度大于s 2，故C 正确；由GMm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得T ＝4π2(R ＋h )3GM，故s 1的公转周期比s 2的小，故D 错误．] 8．B [设彗星的周期为T 1，地球的公转周期为T 2，由开普勒第三定律R 3T 2＝k 得：T 1T 2＝ R 31R 32＝183≈76， 可知哈雷彗星的周期大约为76年，240＋198676≈29.所以最合理的次数是30次．故B 正确，A 、C 、D 错误．] 9．(1)49g (2) 3gR 2t 236π2－12R解析 (1)在地球表面，万有引力与重力相等，GMm 0R 2＝m 0g对火星GM ′m 0R ′2＝m 0g ′ 联立解得g ′＝49g (2)火星的同步卫星做匀速圆周运动的向心力由火星的万有引力提供，且运行周期与火星自转周期相同．设卫星离火星表面的高度为h ，则GM ′m 0(R ′＋h )2＝m 0(2πt )2(R ′＋h ) 解得：h ＝3gR 2t 236π2－12R考题四 卫星变轨与对接10．D [由于在P 点推进器向前喷气，故飞行器将做减速运动，由公式G mMr 2＝m v 2r 可知，飞行器所需向心力减小，而在P 点万有引力保持不变，故飞行器将开始做近心运动，轨道半径减小．因为飞行器做近心运动，轨道半径减小，故变轨后将沿轨道3运动，故A 错误；根据开普勒行星运动定律知，卫星轨道半径减小，则周期减小，故B 错误；因为变轨过程是飞行器向前喷气过程，故是减速过程，所以变轨前后经过P 点的速度大小不相等，故C 错误；飞行器在P 点都是由万有引力产生加速度，因为在同一点P ，万有引力产生的加速度大小相等，故D 正确．]11．B [根据开普勒第二定律知探测器与水星的连线在相等时间内扫过的面积相同，则知A 点速率大于B 点速率，故A 错误；在圆轨道A 点实施变轨成椭圆轨道是做逐渐远离圆心的运动，要实现这个运动必须万有引力小于飞船所需向心力，所以应给飞船加速，故A 点在轨道Ⅱ上的速度大于在轨道Ⅰ上的速度GMr A，在轨道Ⅱ远地点速度最小为 GMr B，故探测器在轨道Ⅱ上某点的速率在这两数值之间，故可能等于在轨道Ⅰ上的速率GMr A，故B 正确；探测器在轨道Ⅱ上远离水星过程中，引力势能增加，动能减小，故C 错误；探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上A 点所受的万有引力相同，根据F ＝ma 知加速度大小相同，故D 错误．]考题五 双星与多星问题12．D [两恒星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，则有Gm 1m 2L 2＝m 1r 1(2πT)2，G m 1m 2L 2＝m 2r 2(2πT )2，又L ＝r 1＋r 2，M ＝m 1＋m 2，联立以上各式可得T 2＝4π2L 3GM ，故当两恒星总质量变为kM ，两星间距变为nL 时，圆周运动的周期T ′变为n 3kT .] 13．C [三星中其中两颗对另外一颗星的万有引力的合力来提供向心力，由于是等边三角形，所以每个角都是60°，根据万有引力提供向心力G m 2L 2×2cos 30°＝mω2r ，其中r ＝L 3，得出ω＝3Gm L 3，所以A 项错误；根据G m 2L 2×2cos 30°＝ma n ，得出向心加速度的表达式a n ＝ 3GmL 2，圆周运动的加速度与三星的质量有关，所以B 项错误；根据G m 2L 2×2cos 30°＝m 4π2T 2r ，解出周期的表达式T ＝4π2L 33Gm，距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，周期为T ′＝ 4π3(2L )33G (2m )＝2T ，所以C 项正确；根据G m 2L 2×2cos 30°＝m v 2r 得出v ＝GmL，若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，线速度不变，所以D 项错误．]专题综合练1．D [因空间站建在拉格朗日点，故其周期等于月球的周期，根据a ＝4π2T2r 可知，a 2>a 1，。
高中物理万有引力与航天练习题及答案及解析.docx
高中物理万有引力与航天练习题及答案及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1． 如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱．已知月球表面的重力加速度为 g ，月球的半径为月球中心的距离为 r ，引力常量为 G ，不考虑月球的自转．求：R ，轨道舱到（ 1）月球的质量 M ；（ 2）轨道舱绕月飞行的周期 T ．22 r r【答案】 （1） MgR（ 2） T gGR【解析】【分析】月球表面上质量为m 1 的物体 ，根据万有引力等于重力可得月球的质量；轨道舱绕月球做圆周运动，由万有引力等于向心力可得轨道舱绕月飞行的周期 ；【详解】解： (1)设月球表面上质量为m 1 的物体 ，其在月球表面有 ： GMm1m 1g GMm 1m 1gR 2R 2gR 2月球质量 ： MG(2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m2Mm2 2由牛顿运动定律得：G Mmm2πr Gm(rr 2)r 2TT2 r r解得： TgR2 ． 中国计划在 2017 年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高 h 处以初速度 v 0 水平抛出一小球，测出水平射程为L （这时月球表面可以看作是平坦的），已知月球半径为R ，万有引力常量为 G ，求：（1 ）月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月 ；（2 ）如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？（3 ）当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少 ?【答案】（ 1 2hV 02 R 2 （ 2） V 0 2hR （ 3 L( R H ) 2(R H )） M） ThGL 2LRV 0【解析】 【详解】（1）由平抛运动的规律可得：h1 gt 22L v 0tg2hv 02L2由GMmmgR 22hv 02 R 2MGL 2（ 2）GM RGv 0 2hRv 1L R（3）万有引力提供向心力，则GMm2m RH2 2TR H解得：L RH2 R HThRv 03． 人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同 一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤 是从高度为 h 处下落，经时间 t 落到月球表面．已知引力常量为G ，月球的半径为 R ．（1）求月球表面的自由落体加速度大小g 月；（2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M 和月球的 “第一宇宙速度 ”大小 v ．【答案】（ 1） g 月2h 2hR 2 2hRt 2 （2） MGt 2； vt【解析】 【分析】（ 1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；（ 2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量 M ； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小．【详解】（1）月球表面附近的物体做自由落体运动h ＝1g 月 t 22月球表面的自由落体加速度大小g 月＝2ht 2（2）若不考虑月球自转的影响GMm2 ＝mg 月R月球的质量 M ＝2hR 2Gt 2质量为 m' 的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动 m ′g v 2月＝ m ′R2hR月球的 “第一宇宙速度 ”大小 v ＝ g 月R ＝【点睛】结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v ．4． 土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。
高考物理万有引力与航天解题技巧及经典题型及练习题(含答案)及解析
高考物理万有引力与航天解题技巧及经典题型及练习题(含答案)及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，引力常量为G ．求：(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大． 【答案】（1）()2R H Tπ+（2）()3224R H GT π+（3）()2R H R HTRπ++ 【解析】（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小12π()R H v T+=． （2）设月球质量为M ．“嫦娥一号”的质量为m ．根据牛二定律得2224π()()R H MmG m R H T +=+解得2324π()R H M GT +=． （3）设绕月飞船运行的线速度为V ，飞船质量为0m ，则2002Mm V G m RR =又2324π()R H M GT +=． 联立得()2πR H R HV TR++=2．某星球半径为6610R m =⨯，假设该星球表面上有一倾角为30θ=︒的固定斜面体，一质量为1m kg =的小物块在力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行，如图甲所示．已知小物块和斜面间的动摩擦因数33μ=，力F 随位移x 变化的规律如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）．已知小物块运动12m 时速度恰好为零，万有引力常量11226.6710N?m /kg G -=⨯，求（计算结果均保留一位有效数字）（1）该星球表面上的重力加速度g 的大小； （2）该星球的平均密度． 【答案】26/g m s =，【解析】 【分析】 【详解】（1）对物块受力分析如图所示；假设该星球表面的重力加速度为g ，根据动能定理，小物块在力F 1作用过程中有：211111sin 02F s fs mgs mv θ--=- N mgcos θ= f N μ=小物块在力F 2作用过程中有：222221sin 02F s fs mgs mv θ---=-由题图可知：1122156?3?6?F N s m F N s m ====，；， 整理可以得到： (2)根据万有引力等于重力：，则：，，代入数据得3．一名宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t ，已知万有引力恒量为G ，不计阻力，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：（1）该星球表面的“重力”加速度g 的大小； （2）该星球的质量M ；（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期T 为多大？【答案】（1）2v g t =（2）22vR M Gt=（3）22Rt T v π= 【解析】 【详解】（1）由运动学公式得：2vt g＝解得该星球表面的“重力”加速度的大小 2v g t＝（2）质量为m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg ＝2mMGR 解得该星球的质量为 22vR M Gt= （3）当某个质量为m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R 时，该卫星运行的周期T 最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律2224m M m RG R Tπ''＝ 解得该卫星运行的最小周期 22RtT vπ＝ 【点睛】重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供．4．如图所示，A 是地球的同步卫星．另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内．已知地球自转角速度为0ω ，地球质量为M ，B 离地心距离为r ，万有引力常量为G ，O 为地球中心，不考虑A 和B 之间的相互作用．（图中R 、h 不是已知条件）（1）求卫星A 的运行周期A T（2）求B 做圆周运动的周期B T（3）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】（1）02A T πω=（2）2B T =3）t ∆=【解析】 【分析】 【详解】（1）A 的周期与地球自转周期相同 02A T πω=（2）设B 的质量为m ， 对B 由牛顿定律:222()BGMm m r r T π= 解得：2B T = （3）A 、B 再次相距最近时B 比A 多转了一圈，则有：0()2B t ωωπ-∆=解得：t ∆=点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2π的整数倍．5．我国的火星探测器计划于2020年前后发射，进行对火星的科学研究．假设探测器到了火星上空，绕火星做匀速圆周运动，并测出探测器距火星表面的距离为h ，以及其绕行周期T 和绕行速率V ，不计其它天体对探测器的影响，引力常量为G ，求： (1)火星的质量M ． (2)若4TVh π=，求火星表面的重力加速度g 火大小． 【答案】（1）32TV M Gπ= （2）8=V g T π火【解析】(1)设探测器绕行的半径为r ，则：2rT Vπ= 得：2TVr π=设探测器的质量为m ，由万有引力提供向心力得：22GMm V m r r=得：32TV M Gπ=(2)设火星半径为R ，则有r R h =+ 又4TV h π=得：4TVR π= 火星表面根据黄金代换公式有：2=GMg R 火 得：8=Vg Tπ火 【点睛】（1）根据周期与线速度的关系求出半径，再根据万有引力提供向心力求解火星质量；（2）根据黄金代换公式可以求出．6．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r 的匀速圆周运动。
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专题4.3万有引力与航天1．对于万有引力定律的数学表达式F ＝Gm 1m 2r 2，下列说法正确的是 ( ) A ．公式中G 为引力常量，是人为规定的 B ．r 趋近零时，万有引力趋于无穷大 C ．m 1、m 2受到的万有引力总是大小相等D ．m 1、m 2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 答案：C2．今有一个相对地面静止，悬浮在赤道上空的气球。
对于一个站在宇宙背景惯性系的观察者，仅考虑地球相对其的自转运动，则以下对气球受力的描述正确的是 ( )A ．该气球受地球引力、空气浮力和空气阻力B ．该气球受力平衡C ．地球引力大于空气浮力D ．地球引力小于空气浮力 答案：C解析：气球环绕地球做圆周运动，速度与大气相同，没有空气阻力，重力比浮力大的部分提供向心加速度，选C 。
3．已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v 1、向心加速度大小为a 1，近地卫星线速度大小为v 2、向心加速度大小为a 2，地球同步卫星线速度大小为v 3、向心加速度大小为a 3。
设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍。
则以下结论正确的是 ( )A ．v 2v 3＝61 B ．v 2v 3＝17C ．a 1a 3＝17D ．a 1a 3＝491答案：C解析：地球赤道上的物体与地球同步卫星是相对静止的，有相同的角速度和周期，比较速度用v ＝ωr ，比较加速度用a ＝ω2r ，同步卫星距地心距离约为地球半径的7倍，则C 正确；近地卫星与地球同步卫星都是卫星，都绕地球做圆周运动，向心力由万有引力提供，即G Mm r2＝ma ，所以比较加速度用a ＝GM r 2，则加速度之比为a 2a 3＝491；比较速度用v ＝GMr，则速度比v 2：v 3＝7：1。
上得到地球和月球的半径之比为4∶1、地球表面和月球表面的重力加速度之比为6∶1，则可判断地球和月球的密度之比为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶1D ．6∶1 答案 B解析 在地球表面，重力等于万有引力，故mg ＝G Mm R 2，解得M ＝gR 2G ，故密度ρ＝MV ＝gR 2G43πR3＝3g 4πGR ，同理，月球的密度ρ0＝3g 04πGR 0，故地球和月球的密度之比ρρ0＝gR 0g 0R ＝6×14＝32，B 正确。
15． (多选)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G 1；在南极附近测得该物体的重力为G 2。
已知地球自转的周期为T ，引力常量为G ，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( )A ．地球的密度为3πG 1GT 2G 2－G 1B ．地球的密度为3πG 2GT 2G 2－G 1C ．当地球的自转周期为 G 2－G 1G 2T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 D ．当地球的自转周期为 G 2－G 1G 1T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 答案 BC16． (多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L 。
已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。
则下列说法正确的是( )A ．月球表面的重力加速度g 月＝2hv 2L2B ．月球的平均密度ρ＝3hv 22πGL 2RC ．月球的第一宇宙速度v ＝v 0L2hD ．月球的质量M 月＝hR 2v 20GL2答案 AB解析 平抛运动的时间t ＝L v 0，再根据h ＝12g 月t 2，得g 月＝2h t 2＝2hv 20L 2，故A 正确；在月球表面G M 月m R 2＝mg 月，得M 月＝g 月R 2G ＝2hR 2v 20GL 2，月球的体积V 月＝4πR 33，月球的平均密度ρ＝M 月V 月＝3hv 202πGL 2R，故B 正确、D 错误；月球的第一宇宙速度v 1＝g 月R ＝2hv 20R L 2＝v 0L2hR ，故C 错误。
22．暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命。
为了探测暗物质，我国已成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星。
已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运动周期)，运动的弧长为s ，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G ，则下列说法中正确的是( )A ．“悟空”的线速度大于第一宇宙速度B ．“悟空”的环绕周期为2πtβC ．“悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度D ．“悟空”的质量为s 3Gt 2β答案 B23． (多选)已知地球自转周期为T 0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是( )A.T 04B.3T 04C.3T 07D.T 07答案 CD解析 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，运动周期为T ，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有GMm r 2＝m 4π2T 2r ，解得T ＝2πr 3GM。
同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为T 0。
已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是TT 0＝r 34r3＝18，解得T ＝18T 0。
设卫星每隔t 时间在同一地点的正上方出现，则2πT t －2πT 0t ＝2n π，解得t ＝nT 07(n ＝1,2,3，…)，当n ＝1时t ＝T 07，n ＝3时t ＝3T 07，故A 、B 错误，C 、D 正确。
24．空间站是一种在近地轨道长时间运行，可供多名航天员巡防、长期工作和生活的载人航天器。
如图所示，某空间站在轨道半径为R 的近地圆轨道Ⅰ上围绕地球运动，一宇宙飞船与空间站对接检修后再与空间站分离。
分离时宇宙飞船依靠自身动力装置在很短的距离内加速，进入椭圆轨道Ⅱ运行，已知椭圆轨道的远地点到地球球心的距离为3.5R ，地球质量为M ，引力常量为G ，则分离后飞船在椭圆轨道上至少运动多长时间才有机会和空间站进行第二次对接( )A ．8π R 3GMB ．16π R 3GM C ．27π R 3GMD ．54π R 3GM答案 D25．如图建筑是厄瓜多尔境内的“赤道纪念碑”。
设某人造地球卫星在赤道上空飞行，卫星的轨道平面与地球赤道重合，飞行高度低于地球同步卫星。
已知卫星轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，某时刻卫星通过这一赤道纪念碑的正上方，该卫星过多长时间再次经过这个位置( )A.2πgR2r3B.2πω0＋gR2r3C.2πω0－gR2r3D.2πgR2r3－ω0答案 D26．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。
设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。
已知引力常量为G。
关于宇宙四星系统，下列说法中错误的是( )A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为a2C．四颗星表面的重力加速度均为GmR2D．四颗星的周期均为2πa2a4＋r(2Gm)答案 B解析分析可得：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力的合力作用下(合力方向指向对角线的交点)，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a，故A正确、B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得Gmm′R2＝m′g，解得g＝GmR2，故C 正确；由万有引力的合力提供向心力得Gm 2r(2a2)＋2Gm2a2＝m4π2T2·2a2，解得T ＝2πa2a4＋r(2Gm )，故D 正确。
27．一宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示。
F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力。
求(1)星球表面的重力加速度；(2)星球的密度。
答案：(1)F 1－F 26m (2)F 1－F 28πGRm(2)在星球表面处有mg ＝GMm R 2，则M ＝gR 2G 。
密度ρ＝M V ，而V ＝4πR 33，所以密度ρ＝3g4G πR。
将(1)中g 代入得ρ＝F 1－F 28πGRm.28．万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。
已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G 。
将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。
设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0。
(1)若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值F 1F 0的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；(2)若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值F 2F 0的表达式。
答案：(1)F 1F 0＝R 2R ＋h 2 0.98 (2)F 2F 0＝1－4π2R3T 2GM29．我国火星探测器计划于2020年前后由长征五号运载火箭在海南发射场发射入轨，直接送入地火转移轨道。
假设探测器到了火星附近，贴近火星表面做匀速圆周运动，现测出探测器运动的周期为T 以及运行速率为v ，不计周围其他天体的影响，万有引力常量为G 。
(1)求火星的质量；(2)设某星球的质量为M ，一个质量为m 的物体在离该星球球心r 处具有的引力势能公式为E p ＝－GMmr(取物体离该星球无穷远处势能为零)。
若一颗质量为m ′的卫星绕火星做半径为r 1的匀速圆周运动，后来因为需要卫星的轨道半径变为r 2，且r 1r 2＝12，求该卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比。
答案：(1)v 3T2πG(2)2 1解析：(1)由T ＝2πR v ，可得火星半径约R ＝vT2π，由GM πR 2＝m v 2R可得火星的质量M ＝v 3T 2πG(2)由GMm r 2＝m v 2r可得动能为：E k ＝GMm2r 引力势能：E p ＝－GMm r故物体的机械能为：E ＝E k ＋E p ＝－GMm 2r可见：E ∞1r故卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比：E 1E 2＝21。