石家庄市2011～2012学年度第一学期期末考试高二数学试卷及答案
石家庄市2011～2012学年度第一学期期末考试试卷高二数学(文科)(时间l20分钟，满分150分)注意事项：1．本试卷分第l 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第l 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷(选择题共60分)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y 2=8x 的焦点坐标是A ．(2，0)B ．(4，0)C ．(0，2)D ．(0，4)2．“x =1”，是“(x-1)(x +2)=0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件c ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．曲线Y=x 3—2x+1在点(1，0)处的切线方程为A ．Y=x-lB ．Y=-x+1C ．Y=2x-2D ．Y=-2x+24．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A ．62B ．63C ．64D ．655．由点P(2，3)向圆x 2+y 2=9引切线，则切线长为A ．2B ．3C ．4D ．56．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是 A. 81 B.83 c. 85 D ．877．执行右图所示的程序框图，输出的S 值是A ．13 8．14 C ．15 D ．168．椭圆5x 2+y 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k=A ．-lB ．1c ．5 D ．-59．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥 而不对立的两个事件是A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与都是红球C ．至少有一个黑球与至少有一个红球D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球 l10．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是l0，标准差是2，则xy=A ．95B ．96C ．97D ．9811．若F 1、F 2为双曲线C ：x 2-y 2=1的左、右焦点，点P 在曲线C 上，∠F 1PF 2 =600，则∣PF 1∣∙∣ PF 2∣=A ．2B ．4C ．6D ．812．圆x 2+2x +y 2+4y 一3=0上到直线x+y+1=0的距离等于2的点共有 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“0932,2 +-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围为 .14．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为 185的样本，已知抽取高一年级学生75人，抽取高二年级学生60人，则高中部共有学生的人数为 .15．函数y=3x+2cosx 在区间[0，2π]上的最大值是 . 16．过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，∣AF ∣=2，则∣BF ∣= .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题．(I)在79．5～89．5之间的频率、频数分别是多少?(Ⅱ)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)．18．(本小题满分12分)动圆C 截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8、4，求动圆圆心C 的轨迹方程．19．(本小题满分12分)已知函数c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0，1)，且在x=1处的切线方程是y=x-2． (I)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)求函数)(x f 的单调递增区间．20．(本小题满分12分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验．收集数据如下：(I)请画出上表数据的散点图；(Ⅱ)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b y +=；(Ⅲ)现需生产20件此零件，预测需用多长时间?(注：用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n x y x n y x b n i i ni i i -=--=∑∑==,1221)21．(本小题满分12分)已知a ∈(0，6)，b ∈(0，6)(I)求∣a-b ∣≤1的概率；(Ⅱ)以a ，b 作为直角三角形两直角边的边长，则斜边长小于6的概率．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：)0(12222 b a b y a x =+的离心率为36，右焦点为(2，0)． (I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过原点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 交于A ，B 两点，求证：点O 到直线AB 的距离为定值．石家庄市2011～2012学年度第一学期期末考试高二数学（文科答案）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1～5 AAACA 6～10 DCBDB 11～12 BC二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分..13. [－22，22]； 14．3700； 15． 3π 2； 16．2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步1．抛17.(本小题满分10分)解：（Ⅰ）频率为0.025×10＝0.25;………………3分频数为60×0.25＝15.所以在79.589.5 之间的频率、频数分别是0.25和15.……………5分（Ⅱ）0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75所以估计及格率为0.75. …………………10分18. .(本小题满分12分)解：设点C (x ，y )，圆C 的半径为r ，则点C 到直线30x y -=的距离为12331x yd -=+， ……………3分 点C 到直线30x y +=的距离为223+31x yd =+,…………6分依题意 2222331643131x y x y ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ……………9分化简整理，得x y ＝10.动圆圆心C 的轨迹方程为x y ＝10. ………………12分19. .(本小题满分12分)解：（Ⅰ）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，………………2分 '3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=…………4分切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+.……………………6分（Ⅱ）因为'3()109f x x x =-，3109x x -0,>…………………9分 解得3103100,1010x x -<<>或， 所以函数(f x ）单调递增区间为310310(,0),(,)1010-+∞.………………12分 20. .(本小题满分12分)解： （Ⅰ）散点图略…………………4分 （Ⅱ）1234 2.54x +++==； 23584.54y +++==…………………6分 41422142+6+15+32-4 2.5 4.5=2(14916)4 2.5 2.54ii i ii x y xy b xx ==-⨯⨯==+++-⨯⨯-∑∑ （）. ˆay bx =- ＝4.5－2×2.5＝－0.5 所以ˆ20.5yx =-.……………9分 （Ⅲ）因 2200.539.5y =⨯-=(小时)所以生产20件此零件，预测需用39.5小时.……………12分21. .(本小题满分12分)解：（Ⅰ）若点)6,0(,∈b a ，则点位于正方形OABC 内（不含边界）；…………2分 若1≤-b a ，点)6,0(,∈b a 位于直线a -b =1和a +b =1之间（含边界）.……………4分 所以满足1≤-b a 的概率为15522511211363636.⨯⨯⨯--=………………6分 （Ⅱ）由已知a 2＋b 2＜36, )6,0(,∈b a ,则满足题意的点位于阴影部分（不含边界），……………9分 则2164=.364⨯π⨯π 以b a ,作为直角三角形两直角边的边长，斜边长小于６的概率为.4π……………12分 22. .(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）由已知222632;.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩； ……………2分 解得3;1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以，所求椭圆方程为2213x y +=.…………………4分 （Ⅱ） 设11()A x y ，，22()B x y ，， 若k 存在，则设直线AB ：y ＝kx ＋m.由2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得 222(13)6330k x kmx m +++-=△ ＞0，12221226133313km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………7分 有OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(k x 1＋m ) (k x 2＋m ) ＝(1＋k 2) x 1x 2＋k m (x 1＋x 2)＝0 ………………………9分代入，得4 m 2＝3 k 2＋3 原点到直线AB 的距离d ＝2321mk =+.………………………10分 当AB 的斜率不存在时，11x y =,可得132x d ==，依然成立． 所以点O 到直线AB 的距离为定值32．………………12分。
石家庄市2012质检二数学(理)
2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)高三数学(理科)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡或答题纸上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡或答题纸一并交回．第I 卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =N ，集合P ={1，2，3，4，5}，Q ={1，2，3，6，8}，则U (C Q )P = A ．{1，2，3} B ．{4，5} C ．{6，8} D ．{1，2，3，4，5} 2．复数111i z ii=+-+，则z =A ．iB ．-iC ．1+iD ．1-i3．已知中心在原点，焦点在yA ．2y x =± B．2y x =± C ．12y x =± D．y =4．已知命题1:R p x ∃∈，使得210x x ++<；2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为A ．12p p ⌝∧⌝B ．12p p ∨⌝C ．12p p ⌝∧D ．12p p ∧5．已知点Q (5，4)，动点P (x ，y )满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-0102022y y x y x ，则|PQ |的最小值为A ．5B ．34 C ．2 D ．76．若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为 A ．33 B ．332 C ．321 D ．77．图示是计算1+31+51+…+291值的程序框图，则图中(1)、(2)处应填写的语句分别是A ．15,1=+=i n n ?B ．15,1〉+=i n n ?C ．15,2=+=i n n ?D ．15,2〉+=i n n ?8．已知函数()x x x f 2cos 2sin 3+=，下面结论错误．．的是 A ．函数()x f 的最小正常周期为π B ．函数()x f 可由()x x g 2sin 2=向左平移6π个单位得到C ．函数()x f 的图象关于直线6π=x 对称D ．函数()x f 在区间[0，6π]上是增函数9．函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为A ．31 B ．34 C ．2 D ．3810．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．364 B ．32 C ．380 D ．38+2811．已知定义域为R 的函数()x f 是奇函数，当0≥x 时，()=x f |2a x -|-2a ，且对∈x R ，恒有()()x f x f ≥+1，则实数a 的取值范围为 A ．[0，2] B ．[-21，21] C ．[-1，1] D ．[-2，0]12．在ABC∆中，OA BC AC ,51cos ,7,6===是ABC ∆的内心，若−→−OP=−→−+−→−OB OA y x ，其中10≤≤x ，10≤≤y ，动点P 的轨迹所覆盖的面积为 A ．6310 B ．635 C ．310 D ．320第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()22logx x y -=的定义域为 ．14．学校要安排4名学生在周六、周日参加社会实践活动，每天至少1人，则学生甲被安排在周六的不同排法的种数为 (用数学作答)．15．已知i 、j 、k 为两两垂直的单位向量，非零向量)R ,,(321321∈++=a a a k a j a i a a ，若向量a 与向量i 、j 、k 的夹角分别为α、β、γ，则=++γβα222cos cos cos ． 16．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{n a }为公差不为零的等差数列，1a =1，各项均为正数的等比数列{n b }的第1 项、第3项、第5项分别是1a 、3a 、21a ． (I)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)求数列{n a n b }的前n 项和． 18．(本小题满分l2分)如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，∠ABC=60 ，EC ⊥面ABCD ，FA ⊥面ABCD ，G 为BF 的中点，若EG//面ABCD ．(I)求证：EG ⊥面ABF ；(Ⅱ)若AF=AB ，求二面角B —EF —D 的余弦值． 19．(本小题满分12分)某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩(单位：秒)如下：(I)请画出适当的统计图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．(Ⅱ)从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个低于 12．8秒的概率．(III)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11．5，14．5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0．8秒的概率． 20．(本小题满分12分)点P 为圆O ：222a y x =+ (a >0)上一动点，PD ⊥x 轴于D 点，记线段PD 的中点M 的运动轨迹为曲线C ． (I)求曲线C 的方程；(II)若动直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，当△OAB(O 是坐标原点)面积取得最大值，且最大值为1时，求a 的值． 21．(本小题满分l2分)已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a ∈R． (I)讨论函数)(x f 的单调性； (Ⅱ)当1≥x 时，)(x f ≤1ln +x x 恒成立，求a 的取值范围．请者生在第22～24三题中任选一题做答。
河北省石家庄市高二数学第一学期期末试题
石家庄市2008-2009学年度高二第一学期数学期末试题（时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.标有【普通高中】的只供普通高中考生做；标有【示范高中】的只供示范性高中考生做，没有标记的题目供所有考生做.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若,x y m n >>，则下列关系正确的是 （ ） A . m y n x ->- B . x m y n ->- C .x yn m> D . x m y n > 2．已知直线l 的倾斜角为45，下列可以作为直线l 方向向量的是 （ ）A . (2,1)B . (2,2)C . ()D . () 3．点(,)P x y 在直线34x y +=上，O 为坐标原点，则OP 的最小值为 （ ）A .B .C .D . 2 4．【示范高中】抛物线22y ax =的准线方程是1y =，则实数a 的值为 （ ） A .18 B . 18- C . 8 D . 8- 【普通高中】双曲线22841x y -=的实轴长为 （ ）A . 1B .C . 12D . 25．函数1(2)2y x x x =+>-的最小值为 （ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 46．过点)2,1(的直线中，被圆222610x y x y ++++=截得的弦最长的直线方程是（ ） A . 5210x y --= B . 01252=-+y x C . 0925=-+y x D . 0523=-+y x7．双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线l 与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线l 的条数共有 （ ）A . 4B . 3C . 2D . 1 8．不等式(1)(1)0x x +->的解集是（ ）A ．{}01x x ≤<B . {}0,1x x x <≠-且C . {}11x x -<<D . {}1,1x x x <≠-且 9．已知点11(,)M x y 在直线:3210l x y --=的上方，点22(,)N x y 在直线l 的下方，则有（ ）A . 11223210,3210x y x y -->--<B . 11223210,3210x y x y --<--<C . 11223210,3210x y x y --<-->D . 11223210,3210x y x y -->-->10．已知动点M 的坐标(,)x y 112x =-，则动点M 的轨迹是（ ）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 以上均不对 11. 直线12:3,:0l ax y l x by c +=+-=，则1ab =是1l ∥2l 的 （ ） A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件12.【示范高中】设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则P 点的轨迹方程是 （ ）A . 22331(0,0)2x y x y +=>> B . 22331(0,0)2x y x y -=>> C . 22331(0,0)2x y x y -=>> D . 22331(0,0)2x y x y +=>>【普通高中】已知12,F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 不在椭圆外部，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ）A . 0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B . 10,2⎛⎤⎥⎝⎦C . 0,2⎛ ⎝⎦D . 2⎫⎪⎪⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．一条光线从点(6,3)M 射出，经x 轴反射，反射光线过点(2,5)N ，则反射光线所在的直线方程是 .14．若x 、y 满足约束条件2231y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则32z x y =+的最大值为 .15．已知椭圆21(2)149x y --+=2（)上点P 到其中一个焦点的距离为4，则点P 到另一个焦点的距离为 .16．【示范高中】若双曲线的渐近线方程为43y x =±，且经过点(-的双曲线方程 是 _____________________.【普通高中】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 _________________ .三、解答题:共本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本题10分) 解关于x 的不等式x ＜3x－2.18. (本题12分)【示范高中】已知圆C 满足下列条件：①过点A (2,1)-；②直线20x y +=平分圆的周长；③圆C 与直线10x y +-=相交所得的弦长为26，求圆C 的方程.【普通高中】求经过点(2,1)A -，圆心在直线20x y +=上，且和直线10x y +-=相切的圆的方程.19. (本题12分)如图为一水池的截面，其中水槽截面曲线为抛物线型，当水面宽为米4时，水槽底距水面米2.（1）建立适当的坐标系，求该抛物线方程；（2）求水面再上升米2后的水面宽度.20. (本题12分)如图，菱形ABCD的对角线交于点O，两条对角线长度之和为8，点E在对角线AC上，=.AE ED=，设AO x（1）用x 表示OE ；（2）求EOD ∆面积的最大值及相应x 的值.21. (本题12分)【示范高中】已知ABC ∆的两个顶点A 、B 分别为椭圆2255x y +=的左焦点和右焦点,且三个内角A 、B 、C 满足关系式1sin sin sin 2B AC -=. （1）求线段AB 的长度； （2）求顶点C 的轨迹方程.【普通高中】已知B 、C 是两个定点，6BC =，且ABC ∆的周长为16. （1）求三角形顶点A 的轨迹的方程；（2）设过点B 与BC 垂直的直线l 交轨迹S 于D 、E 两点，求线段DE 的长度.22. (本题12分)已知双曲线的两个焦点的坐标为1(F 、2F ，离心率e =（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是（1）中所求双曲线上任意一点，过点P 的直线与两渐近线12l l 、分别交于点12,P P ,若12PP PP λ=（0λ>），求12OPP ∆面积的最小值及相应的λ的值.石家庄市2008～2009学年度第一学期期末考试试卷高二数学参考答案评分说明：1． 本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．【示范】B 【普通】D 5． D 6．A 7．B 8．D 9．C 10．A 11．C 12．【示范】D 【普通】C 二、填空题13． 092=-+y x 14．13 15．216．【示范高中】198222=-x y 【普通高中】1922=-x y 三、解答题 17．解：原不等式可化为223x x x+-＜0， ………3分等价于 x (x ＋3)(x －1)＜0. ……… 6分 方程x (x ＋3)(x －1)=0的根分别为0，－3，1. 由数轴标根法可得原不等式的解集为{x ∣x ＜－3或0＜x ＜1}. ………10分 18. 【示范高中】解：设所求圆的圆心为C (,)a b ,半径为r , ………2分 由题意可知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=--+-=+.)21(18,)1()2(,0222222r b a r b a b a ………6分 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==.26,6,32r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==-=.18,2,12r b a ……10分∴圆C 的方程为26)6()3(22=++-y x 或18)2()1(22=-++y x .………12分 【普通高中】解：设所求圆的圆心为C (,)a b ,半径为r , ……2分 由题意可知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--+-=+.21,)1()2(,02222r b a r b a b a ………6分解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==.2,2,1r b a ………10分∴圆C 的方程为2)2()1(22=++-y x . ………12分 19. 解：（1）取水池最低点为原点，水面的垂线为y 轴， 建立如图所示直角坐标系. 依题意设所求抛物线方程为)0(22>=p py x . ………… 3分则()2,2在抛物线上，解得1=p ，∴抛物线方程为y x 22=. ……… 6分 （2）当水面再上升2米,即4=y 时，x =± ……… 10分∴水面的宽度d =.答：所求抛物线方程为y x 22=，水面的宽度为. ………12分20.解：（1）为菱形四边形ABCD ，8=+BD AC , ∴4,=+⊥OD AO OD AO .又x AO =，x OD -=4, ED AE =, ………2分222ED OE OD OED Rt =+∆中，在,∴222AE OE OD =+，即 222)()4(OE x OE x -=+-. 解得 x OE 84-= . ………6分 （2）xx x x OE OD S OED 16212)84)(4(2121--=--=⋅=∆. 又0>x ,∴2812162212-=⋅-≤∆xx S OED , ………10分 当且仅当xx 162=，即22=x 时取等号. ∴22=x 当时，OED ∆的面积有最大值2812-. ……12分 21. 【示范高中】(1)解：将椭圆方程化为标准形式2215x y +=. ………2分 ∴225,1a b ==，2224c a b =-=.则(2,0),(2,0)A B -，4AB =. ………… 4分(2)解1sin sin sin 2B AC -=,∴由正弦定理得122CA CB AB AB -==<4=,即动点C 到两定点A 、B 的距离之差为定值. ………8分∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并设其标准方程为22221x y m n-=,则22,m =即1m =.又半焦距2c =,∴2223n c m =-=， ……………10分∴所求的点C 的轨迹方程为221(1)3y x x -=>. ……12分（注：不写x 的范围扣1分）【普通高中】解：（1）取BC 所在直线为x 轴，BC 中点为原点，建立如图所示坐标系，由题意可知：16=++BC AC AB ，又6=BC ， ∴10=+AC AB . …………3分点A 为ABC ∆的一个顶点,∴点A 轨迹为椭圆除去x 轴上两点， 16,3,5222=-===c a b c a ，∴点A 轨迹S 的方程为)0(1162522≠=+y y x . ………6分 （注：不写y 的范围扣1分）（2）由题意可知：Ｂ点坐标为），或（03)0,3(-，则直线l 的方程为3±=x ，代入点A 的轨迹方程， 得 516±=y ， ………10分 ∴532=-=E D y y DE . …………12分 22. 解：（1）由题意可知 5=c ，255===a a c e ， ∴2=a ，1222=-=a c b ， ∴双曲线的标准方程为1422=-y x . …………3分 （2）设P 、1P 、2P 点的坐标分别为(,)x y 、11(,)2x x 、22(,)2x x -，由12PP PP λ=，得12121221x x x x x y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩；．即1212121x x x x x y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩；． ……5分 将P 点坐标代入2214x y -=，得1221(1)x x λλ=+，即212(1)x x λλ+=． ……7分 设12POP α∠=，则212tan =α，2222sin cos 2tan 4222sin 5sin cos 1tan 222ααααααα===++， ……9分 1212121154sin 2245OP P S OP OP x x α∆=⋅=⋅⋅， 将212(1)x x λλ+=代入, 得22212122112)1(221=⋅+≥++=+=∆λλλλλλP OP S )0(>λ， ……11分 当且仅当122λλ=时，即1λ=时，面积的最小值为2． ……12分。
河北省石家庄市第十二中学高二数学文上学期期末试题含解析
河北省石家庄市第十二中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在的大致区间是( )A B C 和 D参考答案：B2. 已知x与y之间的一组数据如右，则y与x的线性回归方程为 y=b x+a必过（）A.点 B．点C．D．点参考答案：D略3. 如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）A. 平行B. 相交C. AB⎧αD. 平行或相交参考答案：D4. 若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )参考答案：C略5. 下列命题正确的个数是( )①命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“?＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确．【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π?a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，?＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．6. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为( )A． B． C． D．参考答案：C略7. 已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．【解答】解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．8. 下列函数中，最小值是2的是（）A． B．C． D．参考答案：C略9. 若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（）参考答案：B略10. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A． B． C．2 D．0参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 假设某次数学测试共有20道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个选项是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，否则得0分．某考生每道题都给出了答案，并且会做其中的12道题，其他试题随机答题，则他的得分X 的方差D （X ）=．参考答案：【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差．【分析】设剩下的8题答对的个数是Y ，则得分X=5Y+60，且Y ～B （8，），先求出D （Y），再由D（X）=D （5Y+60）=52×D（Y ），能求出结果．【解答】解：设剩下的8题答对的个数是Y ，则得分X=5Y+60， 且Y ～B （8，），D （Y ）=8×=，∴D（X ）=D （5Y+60）=52×D（Y ）=25×=．故答案为：．12. 。
2011年石家庄市质量检测(二)数学答案
2011年石家庄市高中毕业班复习数学质量检测（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1～5 ABACD 6～10 BCBAA 11～12BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13． 160- 14． 2 15． 31- 16 ．223三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）()22cos 23sin cos 3f x x x x ωωω=++cos23sin 24x x ωω=++2sin 246x ωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. ∵()f x 的最小正周期为π， 0ω>,∴22ωπ=π，则1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 222262k x k πππ-+π≤+≤+π，k ∈Z 得36k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 222262k x k ππ3π+π≤+≤+π,k ∈Z 得63k x k π2π+π≤≤+π,k ∈Z ∴函数()f x 的单调增区间为[36k k ππ-+π,+π]，k ∈Z ;单调减区间为[63k k π2π+π,+π],k ∈Z . 18．(本小题满分12分)解:（Ⅰ）由题意可知总的基本事件数为3464=，三人注射的疫苗批号互不相同的基本事件数为3443224A =⨯⨯=， 所以所求概率为243648p ==. （Ⅱ）由题意知三个人中没有一个人选疫苗批号为1的概率为33327464=，三人中至少有一人选择疫苗批号为1的概率为333371464-=. 19． (本小题满分12分)解：（Ⅰ）)1(3)(2++-='a ax x x f ，由于)(x f 在1=x 处取得极值， 所以0)1(='f ，即022=-a ， 1=a ，经检验1=a 时函数)(x f 在1=x 处取得极值，故 1.a =（Ⅱ）不等式12)2()(2++--<'a x a ax x f 对任意)0(∞+∈，a 恒成立， 即)1(32++-a ax x 12)2(2++--<a x a ax 也就是x x x a 2)1(22->+. 当1-=x 时，320)1(22=-=+x x x a ，，显然上述不等式不成立；当1-≠x 时，0)1(2>+x ，所以22)1(2+->x x x a 对任意)0(∞+∈，a 恒成立， 所以022≤-x x 即20≤≤x ，故实数x 的取值范围]20[，. 20．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1n =时，11122S a a =-=，∴ 12a =．当2n ≥时，1122n n S a --=-，①，22n n S a =-，②；②－①得：1122n n n n n S S a a a ---=-=，∴ 12n n a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，∴ 1222n n n a -=⋅=,*N n ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：22log 121n n b a n =-=-，∴ 212n n n b n a -=． 1211323212222n n n n n T ---=++++L ……③， 231113232122222n n n n n T +--=++++L ……④， ③－④得：23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L111112132311222242n n n n n --+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴ ()13232n n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭．21. 解：（Ⅰ）过E 作//EF CD 交PD 于F ,由//,//EF CD CD AB 可知//EF ABF E B A ,,,∴四点共面，又因为ABE PD 面⊥∴AF PD ⊥,∵AD PA =∴在Rt PAD ∆中，的中点为PD F ,∴可得E 为PC 的中点．（Ⅱ）连结,//,ABE EN PD EN EN 面⊥∴连结ME MN ,，则EMN ∠为直线MN 与平面ABE 所成的角．在MEN Rt ∆中，sin ,EN EMN MN∠= ∴MN 最小时，EMN ∠最大，此时AB MN ⊥． 所以M 为AB 中点，则AM ND EF ==////．.为平行四边形AMEF ∴由,AF PD CD AF ⊥⊥， 可知,AF PCD ME PCD ⊥⊥面面的平面角为二面角N ME C CEN --∠∴设,PA AD a ==122tan 222a CN Rt CEN CEN EN a ∆∠===在中，，22arctan 所求二面角的大小为∴. 法二（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系,不妨设1PA =,则(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),P A B C (0,1,0),D (1,1,1)PC =- ，(0,1,1)PD =- .设),,(λλλλ-==PC PE , )1,,(),,()1,0,0(λλλλλλ-=-+=+=PE AP AE ，因为PD ABE ⊥ 面 , 0PD AE ⋅= ，10λλ+-=，即12λ=,中点为PC E ∴. （Ⅱ）设(,0,0)M t =，1(,1,0)2N ,1(,1,0),2MN t =- 由（Ⅰ）知面ABE 的法向量为)1,1,0(-=PD ，设MN 与面ABE 所成角为θ,sin |cos ,|MN PD θ=<> 22121()2t =+- 当t =21时，θsin 最大，此时M 为AB 中点, 平面NEM 的法向量为1(1,0,0)=-n 设平面CEM 的法向量为2(,,)x y z =n2200EC MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 而 1111(,,)(,1,0),2222EC MC =-= 1()0,210.2x y z x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令121y x y ==-=-则.21226(2,1,1)cos ,36∴=--<>==n n n ， 36arccos所求二面角为∴. 22．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由动点P 到定点A (0,1)的距离比到定直线1:2l y =-的距离小1知P 到定点A (0,1)的距离等于到直线1y =-的距离，由抛物线定义知动点P的轨迹方程为24x y =.（Ⅱ） 由题意知2x y '= 设1122(,),(,)M x y N x y ,0(,1)Q x -,则切线MQ ：111()2x y y x x -=-, 切线NQ ：222()2x y y x x -=-，又MQ ，NQ 交于0(,1)Q x -,故11011()2x y x x --=-，22021()2x y x x --=-,可得直线MN :01()2x y x x --=-,又24x y =，可得20240x x x --=.易知12,x x 为方程20240x x x --=的两个解, 由韦达定理可知1202x x x +=，所以,,M Q N 三点的横坐标成等差数列.。
石家庄高二上学期期末考试数学(理)试卷含答案
石家庄高二上学期期末考试数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.如图,空间四边形OABC 中, OA a =,OB b =,OC c =.点M 在OA 上,且2OM MA =,N 为BC 的中点,则MN 等于( )A.121232a b c -+ B. 211322a b c -++C. 112223a b c +-D. 221332a b c +-2.命题:“20,0x x x ∀>+≥”的否定形式是( )A. 20,0x xx ∀≤+>B. 20,0x x x ∀>+≤C. 20000,0x x x ∃>+<D. 20000,0x x x ∃≤+>3.抛物线214y x =的焦点坐标是( ) A. 10,16⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,1D. ()1,04.将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次,出现一次正面向上,一次反面向上的概率为( )A.12 B. 13C. 14D. 155.设x R ∈,则“13x <<”是“21x -<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.执行如图所示的程序框图,则输出结果s 的值为( )A. 12-B. 1-C. 12D. 07.某单位要在800名员工中抽取80名员工调查职工身体健康状况,其中青年员工400名,中年员工300名,老年员工100名,下列说法错误的是( )A.老年人应作为中点调查对象,故抽取的老年人应超过40名B.每个人被抽到的概率相同为110C.应使用分层抽样抽取样本调查D.抽出的样本能在一定程度上反应总体的健康状况8.若过点(3P 的直线l 与圆221x y +=有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A. 2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表所示,根据表中的数据可得回归方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ0a =.据此模型预报x .当广告费用为7万元时的销售额为C.73D.69 10.设12,F F 为椭圆的两个焦点, M 为椭圆上一点, 12MF MF ⊥,且2MF MO = (其中点O 为椭圆的中心),则该椭圆的离心率为( )A.1B. 2C.2D. 211.在单位正方体1111ABCD A BC D -中,M 是AB 的中点,则点1C 到平面1A DM 的距离为( )A.3B.C. 2D. 1212.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点, P 是双曲线C 的右支上的点,射线P Q 、平分12F PF ∠交x 轴于点Q ,过原点O 作P Q 、的平行线交1PF 于点M ,若1214MP F F =,则C 的离心率为( )A.32 B. 3 C. 2D.二、填空题13.若五个数1,2,3,4,a 的平均数为4,则这五个数的标准差为 .14.设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实数,则斜边长小于1的斜率为 .15.已知(2,1,3)a =-,()1,3,3?b =--,()13,,3?c λ=,若向量,,a b c 共面,则λ的值为__________.16.设1F ,2F 分别是椭圆22=12516x y +的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为()6,4,则2PM PF +的最大值为__________.三、解答题17.现有6道题甲类题,3道乙类题,某同学从中任取两道题解答.试求: 1.所取的两道题都是甲类题的概率; 2.所取的两道题不是同一类题的概率.18.设命题2:(2)1p x -≤,命题2:(21)(1)0q x a x a a ++++≥,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.从某高一年级1000名学生中随机抽取100名测量身高,测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之间,将测量结果分为八组:第一组[155,160),第二组[160,165),……,第八组[190,195),得到频率分布直方图如图所示:1.计算第三组的样本数;并估计该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数;2.估计被随机抽取的这100名学生身高的中位数,平均数.20.已知圆22:(1)9C x y +-=,直线:20l x my m -+-=,且直线l 与圆C 相交于,A B 两点.1.若AB =,求直线l 的倾斜角;2.若点()2,1P 满足AP PB =,求直线l 的方程.21.如图所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形, 60BCD ∠=︒,E 是CD 的中点, PA ⊥底面ABCD ,2PA =.1.证明:平面PBE ⊥平面PAB ;2.求二面角B PE D --的余弦值.22已知椭圆的上顶点为,且离心率为. 1.求椭圆的方程; 2.从椭圆上一点向圆上引两条切线,切点分别为,当直线分别与轴、轴交于两点时,求的最小值.23.已知函数()x f x e ax =-,(e 为自然对数的底数). 1.讨论()f x 的单调性;2.若对任意实数x 恒有()0f x ≥,求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1.答案：B解析：()1223MN ON OM b c a =-=+-. 2.答案：C 解析： 3.答案：C 解析： 4.答案：A 解析： 5.答案：C 解析： 6.答案：B 解析： 7.答案：A 解析： 8.答案：D 解析： 9.答案：B 解析： 10.答案：A 解析： 11.答案：A 解析： 12.答案：C 解析：二、填空题13.解析： 14.答案：4π 解析： 15.答案：6 解析：16.答案：11 解析：三、解答题17.答案：1.设所取的两道题都是甲类题为事件A ,甲类题为123,,a a a ,乙类题为123,,b b b , 则基本事件空间为()()()()()()()12131112132321{,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a b a a a b Ω=()()()()()()()()2223313233121323,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b b b b b b b .共15个基本事件. 其中事件()()(){}121323,,,,,A a a a a a a =包含3个基本事件,因为是等可能事件,所以()31155P A ==.2.设所取的两道题不是同一类题为事件B , 则事件()()()()11121321{,,,,,,,,B a b a b a b a b =()()()()()2223313233,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b 包含9个基本事件,因为是等可能事件,所以()93155P B ==. 解析：18.答案：设{}2|(2)1A x x =-≤,{}2|(21)(1)0B x x a x a a =++++≥,易知{}|13A x x =≤≤,{|1B x x a =≤--或}x a ≥-, 由p 是q 的充分不必要条件知,∴4a ≤-或1a ≥-,故所求实数a 的取值范围是4a ≤-或1a ≥-. 解析：19.答案：1.由第三组的频率为()150.0080.0080.0120.0160.0160.0620.2-⨯+++++÷=⎡⎤⎣⎦, 则其样本数为0.210020⨯=.由()50.0080.0160.20.32⨯++=,则高一年级1000名学生身高低于170厘米的人数约为0.321000320⨯= (人). 2.前四组的频率为()50.0080.0160.40.52⨯++=,0.520.50.02-=, 则中位数在第四组中,由0.020.10.2=,得1750.15174.5-⨯=, 所以中位数为174.5cm ;经计算得各组频数分别为 4,8,20,20,30,8,6,4, 平均数约为:(157.54162.58167.520172.520177.530⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 182.58187.56192.54)100174.1cm +⨯+⨯+⨯÷=.解析：20.答案：1.因为圆心()0,1C 到直线l的距离d =圆的半径为3,所以2223=+⎝⎭,解得m =所以直线l的斜率为3±直线l 的倾斜角为30或150.2.联立方程组22(1)9{20x y x my m +-=-+-=,消去y 并整理,得()22214450m x x m +-+-=,所以12241x x m +=+,2122451m x x m-⋅=+, 设()11,A x y ,()22,B x y ,由AP PB =知点P 为线段AB 的中点,所以122441x x m +==+,解得0m =,所以所求直线方程为20x -=.解析：21.答案：1.连接BD ,由已知中四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形, 60BCD ∠=︒,E 是CD 的中点, PA ⊥底面ABCD , 可得BE AB ⊥,PA BE ⊥,由线面垂直的判定定理可得BE ⊥平面PAB , 因为BE ⊂平面PBE ,所以平面PBE ⊥平面PAB .2.由1知BE CD ⊥,又PA ⊥底面ABCD ,以点E 为坐标原点, EB 所在直线为x 轴, EC 所在直线为y 轴, 过点E 垂直于平行于直线AP 的方向为z 轴建立空间坐标系,则()0,0,0E,B ⎫⎪⎪⎝⎭,10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭,1,0A ⎫-⎪⎪⎝⎭,1,2P ⎫-⎪⎪⎝⎭, 所以()0,1,2PB =-,32EB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,10,,02ED ⎛⎫= ⎪⎝⎭,31,22EP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 设1(,,)n x y z =为平面BPE 的法向量,则110{0n PB n EB ⋅=⋅=,所以20{0y z x -==,令1z =得()10,2,1n =为平面BPE 的一个法向量,同理得(24,0,n=为平面DPE 的一个法向量,121212cos ,n n n n n n +〈〉==-解析：答案： 1.因为,,所以,,所以椭圆的方程为.2.设切点为,当切线斜率存在时,设切线方程为,又∵,故切线方程为,∴,当不存在时,切点坐标为,对应切线方程为,符合,综上知切线方程为.设点坐标为,,是圆的切线,切点,,过点的圆的切线为,过点的圆的切线为.∵两切线都过点, ∴,.∴切点弦的方程为,由题意知,∴,,∴.当且仅当,时取等号,∴, ∴的最小值为.23.答案：1. ()'xf x e a =-,(1)当0a ≤时, ()'0xf x e a a =->-≥,()f x 在R 上单调递增;(2)当0a >时,令()'0xf x e a =->,得ln x a >,令()'0xf x e a =-<得ln x a <,所以()xf x e ax =-的单调递减区间是(),ln a -∞,单调递增区间是()ln ,a +∞.综上知(1)当0a ≤时, ()f x 在R 上单调递增;(2)当0a >时, ()xf x e ax =-的单调递减区间是(),ln a -∞,单调递增区间是()ln ,a +∞. 2.由1知当0a >时()xf x e ax =-在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,所以()xf x e ax =-在ln x a =时取得最小值()ln ln f a a a a =-,由题意,只需ln 0a a a -≥,解得0a e <≤; 当0a ≤时, ()f x 在R 上单调递增,而当0a =时, ()0xf x e =>满足条件;当0a <时,对于给定的a ,若x →-∞,则ax -→-∞, 而0x e →,()xf x e ax =-→-∞,故必存在00x <使得()00f x <,不合题意, 综上知,满足条件的实数a 的取值范围是[]0,e . 解析：。
石家庄市2011~2012学年度第一学期期末考试试卷 高一物理A卷word版(含答案)
石家庄市2011～2012学年度第一学期期末考试试卷 高一物理(A 卷)注意事项：1．本试卷分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．时间90分钟，满分100分，请在答题纸上作答。
第I 卷(选择题)一、选择题(本题共l0小题，每小题4分。
共40分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得4分，选不全的得2分。
有选错或不答的得0分)1．下列哪组单位都是国际单位制中的基本单位( ) A ．千克、米、秒 B ．千克、秒、牛顿 C ．克、千米、秒 D ．牛顿、克、米2．由于刹车，汽车以10m ／s 的初速度开始做匀减速直线运动，若加速度大小为2m ／s 2，则 汽车在前6s 内的位移为( )A ．24mB ．25mC ．36mD ．42m3．沿光滑墙壁用网兜把一个足球挂在A 点，足球的质量为m ，网兜的质量不计。
足球与墙壁的接触点为B ，悬绳与墙壁的夹角为α，则悬绳对球的拉力F 1和墙壁对球的支持力F 2分别为( )A ．αcos 1mg F =B ．αsin 1mgF = C ．αtan 1mg F = D ．αtan 1mgF =4．如图所示，是采用动力学方法测量空间站质量的原理图，若已知飞船质量为3．0×103kg ，其推进器的平均推力为900N ，在飞船与空间站对接后，推进器工作5s ，测出飞船和空间站速度变化是0．05m ／s ，则空间站的质量为( ) A ．9．0×104 kg B．8．7×104 kg C ．6．0×104 kg D ．6．0×103 kg5．为了测定重力加速度，用一个小石子做自由落体运动，测出以下数值就可以测出重力加速度的是( )A ．下落高度和时间B ．着地速度和下落时间C ．下落高度D ．石子质量6．一物体做匀变速直线运动，其位移随时间的变化规律为x=24t-1.5t2(各物理量均采用国际单位制基本单位)，根据这一关系式可知，物体速度为零的时刻是( )A．1．5s B．8sC．16s D．24s7．如图所示，质量为50kg的小红同学站在升降机中的磅秤上，某一时刻她发现磅秤的示数为40kg，则在该时刻升降机可能是以下列哪种方式运动( ) ．A．匀速上升 B．加速上升C．减速上升 D．加速下降8．甲、乙两物体由同一地点出发沿同一方向运动，其v-t图象如图所示，下列判断正确的是( )A．甲做匀速直线运动，乙做往复直线运动B．两物体两次相遇的时刻分别在1s末和4sC．乙在前2s内做匀加速直线运动，2s后做匀减速直线运动D．2s后，甲乙两物体的速度方向相反9．下列说法正确的是( )A．运动越快的汽车越不容易停下来，是因为汽车运动得越快，惯性越大B．小球由于重力作用自由下落时，它的惯性就不存在了c．一个小球被竖直上抛，抛出后能继续上升，是因为小球抛出后仍受到向上的推力D．物体的惯性是物体保持静止状态或匀速直线运动状态的一种属性，与物体的速度大小无关10．如图所示，物块M通过与斜面平行的细绳跨过定滑轮与小物块m相连，当斜面的倾角θ改变时，下列情况中物块M所受摩擦力大小判断正确的是( )A．若物块M始终保持静止，则θ角越大．摩擦力越大B．若物块M始终保持静止，则θ角越大，摩擦力越小C．若物块M沿斜面下滑，则θ角越大，摩擦力越大D．若物块M沿斜面下滑，则θ角越大，摩擦力越小第Ⅱ卷(非选择题)二、实验题(本题共2小题，每空3分，共18分)11．(12分)某同学设计了一个“探究加速度与力、质量关系”的实验。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
石家庄高二数学文科第一学期期末试题含答案
高二数学（文）一、选择题：1-5DCDAB 6-10CBADB 11-12AC 二、填空题13．160 14．20001,2x x x ∃≤-≤ 15．1k ≥ 16三、解答题17．解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=， ．．．．．．．．．．．．．3分 解得0.018x =． ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ) 450.06550.06650.1750.54850.18950.0674x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．10分18．解：（I ）由所给茎叶图知，15位观众对甲选手的评分由小到大排序，排在8位的是88，故样本中位数为88，所以现场观众对甲选手评分的中位数估计值是88． ．．．．．．．3分 15位观众对乙选手的评分由小到大排序，排在8位的是84，故样本中位数为84，所以现场观众对乙选手评分的中位数估计值是84． ．．．．．．．．．．．．．6分（II ）由所给茎叶图知，对甲选手的评分的中位数高于对乙选手的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲选手的评分的标准差要小于对乙选手的评分的标准差；．．．．．．．9分说明甲选手的受欢迎程度较高，观众对甲选手的评价较为一致．．．．．．．．．．．．．．12分 （注：考生利用平均数等其他统计量进行分析，结论合理的同样给分） 19．解：设点M 的坐标为（x ，y ），则A 点的坐标为（x ，2y ），根据90OA ∠=,可得0AB AC ⋅=,．．．．．．．．．．．．．．．．3分代入坐标得：,2,222x y x y x x y y ⋅⨯⨯=(-2-)(2-)=(-2-)(2-)+0． ．．．．．．．．．．7分 化简可得22440x y -+=，即2214x y +=， ．．．．．．．．．．．．．．．10分又因为A 、B 、C 构成三角形不能共线，所以0y ≠，故动点M 的轨迹方程2214x y +=（0y ≠）． ．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（I ）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：．．．．．．．．．．．．．．．．2分0,1y ==，代入数据可得0ˆ7.2b =， ．．．．．．．．．．．．．．．4分 00ˆˆ1a y b x =-= ， ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由上述计算结果，知所求回归直线方程为ˆ2867.2(2010)1yx -=-+即7.214185y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （II ）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为7.2201514185323⨯-=（万吨）． ．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（I ）代入直线方程可得(1)3f =-，求导可得2()32f x x ax b '=++，．．．．．．．．．2分根据题意可得(1)13(1)321f a b f a b =++=-⎧⎨'=++=⎩， ．．．．．．．．．．．．．．．．4分解得26a b =⎧⎨=-⎩； ．．．．．．．．．．．．6分（II ）由（I ）可得32()26f x x x x =+-，所以方程等价于32267x x x m x +-=-，即322x x x m ++=，令32()2h x x x x =++，2()341(31)(1)h x x x x x '∴=++=++， ．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()0h x '=，解得13x =-或1x =-．当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：．．．．．．．．．．．．．．．．10分要使322x x x m ++=有三个解，需要4027m -<<， 所以m 的取值范围是4027m -<<． ．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（I ）坐标（0，－1）代入椭圆方程可得b =1，所以22163a c c a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得32a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程是2213x y +=． ．．．．．．．．．．．．．．．3分 （II ）如下图所示由125F A F B =得，直线12F A F B 与平行，由椭圆的对称性可知，115F A CF =（其中C 为直线1F A 与椭圆的另一个交点）．设直线1F A 的方程为11222,(,),(,)x my A x y C x y =-,将2x my =-代入到椭圆方程中有22(2)33my y -+=，展开得：22(3)2210m y my +--=， ．．．．．．．．．．．．．．．5分x(,1)-∞-1-1(1,)3--13- 1(,)3-+∞ ()h x ' + 0 － 0＋ ()h x单调递增单调递减427-单调递增由根与系数的关系可知，122122313y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，（*） ．．．．．．．．．．．．．．．7分又由115F A CF =得125y y =-，代入到（*）中，求得22m =， 当2=m时，由2213x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=51526y x （舍去）．即A （0，1）当2-=m时，由2213x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得A （0，－1）．又因为A 、B 在上半椭圆，所以舍去．．．．．．．．．．．．．．．．10分 代入两点间距离公式得53321==BF AF ，，直线12||AF BF |和|之间的距离3|22|=d ，所以四边形21F ABF的面积125S =⨯=． ．．．．．．．．．．．．．12分。
石家庄市2011～2012学年度第一学期期末考试(理科)
人：L石家庄市2011～2012学年度第一学期期末考试 高二数学（理科答案）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1～5 AACDA 6～10 DBCC B 11～12 C C12题提示：以B 为原点,BC 为x 轴，1BB 为y 轴，建立平面直角坐标系可得. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13． [－22，22]； 14. 3700； 15．2； 16．① ② ③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分) 解：（Ⅰ）频率为0.025×10＝0.25;………………3分 频数为60×0.25＝15.所以在79.589.5之间的频率、频数分别是0.25和15.……………5分 （Ⅱ）0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75 所以估计及格率为0.75. …………………10分 18. (本小题满分12分)解：设点C (x ，y )，圆C 的半径为r ， 则点C 到直线30x y -=的距离为1d =， ……………3分点C 到直线30x y +=的距离为2d =,…………6分依题意22164+=+ ……………9分化简整理，得x y ＝10.动圆圆心C 的轨迹方程为x y ＝10. ………………12分 19. (本小题满分12分)解： （Ⅰ）散点图略…………………4分 （Ⅱ）12342.54x +++==；23584.54y +++==…………………6分 41422142+6+15+32-4 2.5 4.5=2(14916)4 2.5 2.54i ii ii x yxyb xx ==-⨯⨯==+++-⨯⨯-∑∑（）.ˆay bx =-＝4.5－2×2.5＝－0.5 所以ˆ20.5yx =-.……………9分 （Ⅲ）因2200.539.5y =⨯-=(小时)所以生产20件此零件，预测需用39.5小时.……………12分 20．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）若点)6,0(,∈b a ，则点位于正方形OABC 内 （不含边界）；…………2分若1≤-b a ，点)6,0(,∈b a 位于直线a -b =1和 a +b =1之间（含边界）.……………4分所以满足1≤-b a 的概率为15522511211363636.⨯⨯⨯--=………………6分 （Ⅱ）由已知a 2＋b 2＜36, )6,0(,∈b a ,则满足题意的点位于阴影部分（不含边界），……………9分则2164=.364⨯π⨯π以b a ,作为直角三角形两直角边的边长， 斜边长小于６的概率为.4π……………12分21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C11,(1,0,1),(1,,1)0,DA D E x =-=因为所以11D E A D ⊥.……………4分（Ⅱ）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，)1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为(,,)a b c =n ，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c a b a 2，从而(2,1,2)=n ，……………7分所以点E 到平面1ACD 的距离为1||2121.||33D E h ⋅+-===n n ………………9分（Ⅲ）31=E D ,1s i n h D E θ== E D 1与平面C AD 1所成角的正弦值9.……………12分 22. (本小题满分12分)解：（Ⅰ） 设11()A x y ，，22()B x y ，， 若k 存在，则设直线AB ：y ＝kx ＋m.由2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得 222(13)6330k x kmx m +++-=△ ＞0，12221226133313km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………2分 有OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(k x 1＋m ) (k x 2＋m )＝(1＋k 2) x 1x 2＋k m (x 1＋x 2)＝0 ………………………4分代入，得4 m 2＝3 k 2＋3 原点到直线AB 的距离d2=.………………………5分 当AB 的斜率不存在时，11x y =,可得12x d ==，依然成立． 所以点O 到直线AB的距离为定值2．………………6分 （Ⅱ）2222221222633(1)()(1)()41313km m AB k x x k kk ⎡⎤-=+-=+-⨯⎢⎥++⎣⎦…………8分 ＝42242423(9101)123961961k k k k k k k ++=+++++ ＝22123196k k+++≤4当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立.………………10分 当斜率不存在时，经检验|AB |＜2. 所以OAB S ∆≤122⨯=.………………12分。
河北省石家庄市高二数学上学期期末考试试题文(扫描版)
河北省石家庄市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题文（扫描版）石家庄市2016～2017学年度第一学期期末考试试卷高二数学（文科答案）（时间120分钟，满分150分）一、选择题：二、填空题：13. 6 14. 15. 16. 9三、解答题：17.(本题满分10分)解：（I）从个球中任取一个，记事件“得到红球”，事件“得到黄球”，事件“得到绿球”，则事件、、两两互斥，由题意有：即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分解之，得，，，故得到红球、黄球、绿球的概率分别为、、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（II）事件“不是红球”可表示为事件“”，由（1）及互斥事件概率加法公式得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分故得到的不是“红球”的概率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：互斥事件的概率公式及概率的关系．18.(本题满分12分)解：设,,易知,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由是的充分不必要条件知A B，∴或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分故所求实数的取值范围是或.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.(本题满分12分)解：（Ⅰ）由第三组的频率为，则其样本数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由，则高一年级1000名学生身高低于170厘米的人数约为（人）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）前四组的频率为，，则中位数在第四组中，由, 得，所以中位数为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分经计算得各组频数分别为平均数约为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.(本题满分12分)解：（Ⅰ）因为圆心到直线的距离，圆的半径为，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以直线的斜率为，直线的倾斜角为.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）联立方程组消去并整理，得..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以，. ①设，，由知点P为线段AB的中点.所以，解得,..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以所求直线方程为..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.(本题满分12分)解：（Ⅰ）（1）当时，在R上单调递增；．．．．．．．．．．．2分（2）当时，令得，令得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分综上知（1）当时，在R上单调递增；（2）当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值，由题意，只需，解得；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当时，在R上单调递增，而当时，满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当时，对于给定的，若，则，而，故必存在使得，不合题意.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上知，满足条件的实数的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.(本题满分12分)解：（I）设点P(x,y)为曲线上的任意一点，则，，由题意，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以，化简得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（II）由，得，设点，则，，,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以，又因为点到直线的距离为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以的面积为，11由．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分解得.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。