风险理论第四章_随机模拟

例2 设随机变量X服从参数为l>0的指数分布，其 分布函数为 F(x) =1 - e -lx x>0
试用反函数法给出X的随机数。 解：令x=F-1(u)，则 或者 于是 u=F(x)=1- e -lx 1-u= e –lx 1 x ln( 1 u)
又 U ~ U [0,1]
1 U ~ U [0,1] 1 故 x ln u l 也为X的随机数。
u1 , u2 , , un
二、均匀随机数与伪随机数
对随机现象进行模拟，首要的问题是解决随机数的 生成问题，服从均匀分布U(0,1)的随机数是一切随 机模拟的基础。因而产生[0,1]区间上的服从均匀分 布的随机数是随机模拟的关键。 随机数应满足的条件：
＊ 统计特性好 ＊ 循环周期长 ＊ 计算简便
＊ 对解析模型进行验证。
模拟的基本步骤：
＊ 建立恰当模型；
＊ 设计试验方法；
＊ 从概率分布中重复生成随机数； ＊ 分析模拟结果。
步骤3是任何随机模拟的基本要素，本章将讨 论几种常用分布的随机数生成方法，并通过几个简 单例子来说明随机模拟方法在保险精算中的应用。
均匀随机数模拟定积分 计算

1
0
f ( x )dx
例1. 设w0＝3456，利用平方取中法，求服从区间
[0,1]上服从均匀分布的随机数列。
2 wn { wn 1的中间m位数字}
2 w 解： 0 11943936 则 w1 9439 , u1 0.9439 ; 2 w1 89094721 则 w 2 947 , u2 0.0947 ;
例2. 如果选择m＝999563，k＝470001，根据乘同 余法求出5个在区间[0,1]上服从均匀分布的随机数。
解： 取初值w0＝671800，则有
w1 470001 * 671800 (mod 999563 ) 713108
470001* 671800 713108 (备注 : 315884 ) 999563 999563
＊ 多次重复这一过程，到
某一步为止。
a x
不规则图形面积 落入不规则图形中的随机点数 an ＝ ＝ 正方形面积 正方形内随机点总数 n
什么时候用模拟？
＊ 在费用和时间上均难以对风险系统进行大量实测； ＊ 难以对复杂的风险系统构造精确的解析模型；
＊ 由于实际风险系统的损失后果严重而不能进行实测；
＊ 用解析模型不易求解；
0

蒙特卡罗模拟方法的原理 计算图中不规则图形的面积 f(x) 与正方形图形面积的比率: a ＊ 选择一组随机数(x,y)， x，y均属于(0,b),b>a,在 正方形内描出坐标点(x,y)
3. Box-Muller方法 首先产生[0，1]区间上两个独立的均匀分布的 随机数u1与u2，令 x1=(-2lnu1)1/2 cos(2πu2) x2=(-2lnu2)1/2 sin(2 πu2)
则x1， x2就是两个相互独立的服从N（0，1） 分布的随机数。
4. 极方法 首先产生[0，1]区间上两个独立的均匀分布的 随机数u1与u2，令 vi=2ui－1 ρ = v12+v22
产生均匀随机数的数学方法：
3. 乘同余法(一阶线性同余法)： 最常用
其数学公式为
w n kwn1 (mod m ) un w n m
这里k，m和w0 都是正整数 根据模运算可知wn 的可能值是0, 1, …, m－1， 因而最多经过m次运算，将出现重复。所以在采用 乘同余法时，必须选择适当的k,m使得对任意初值w0， 不发生重复的的数列的项数必须足够大。
w 2 470001 * 713108 (mod 999563 ) 2704 w 3 470001* 2704(mod 999563) 438131 w 4 470001 * 438131 (mod 999563 ) 35375
w5 470001* 35375(mod 999563) 553996
若ρ >1，重新生成u1和u2；否则令
x1 v1 2 ln

,
x2 v 2
2 ln

,
则x1， x2就是两个相互独立的服从N（0，1）分 布的随机数。
2.3.2 连续型随机变量的模拟 例1 设随机变量X的分布函数为 F(x) = xn 0<x<1
试用反函数法给出X的随机数。 解：令x=F-1(u)，则 u=F(x)=xn 于是 x=u1/n 即为随机变量X的随机数，其中u为[0,1]上均匀分布 的随机数。
验证这些随机数是否满足区间[0,1]上均匀分 布的随机变量的抽样分布特征，一般用卡方检验 法检验均匀性，用相关系数法检验独立性。 在实际应用中，常见的统计软件都可以产生 很好的均匀分布的伪随机数，它们能很好地近似 真实的均匀分布随机数，所以，可以认为有一个 “黑箱”能产生任意所需的均匀分布随机数。
l
即为X的随机数，其中u为[0,1]上 均匀分布的随机数。
例3 设随机变量X服从参数为c>0,g>0的韦布尔分布， 其分布函数为
F ( x) 1 e
cx g
x0
试用反函数法给出X的随机数。 解：令x=F-1(u)，则
u F ( x) 1 e
1
Байду номын сангаас cx g
ln( 1 u) g x c 即为X的随机数，其中u为[0,1]上均匀分布的随机数。
2 w3 896809
则 w 3 9680, u3 0.9680;

得到[0,1]上的均匀随机数列 u1 , u2 , u3 ,
产生均匀随机数的数学方法：
2. 倍积取中法：用数学式子表示就是：
w n {kwn 1的中间m位数字}
＊ 任取一m位正整数为初值w0
＊ 再选取一正整数k（m位） 步骤与平方取中法一样。
2.
取舍法 若X的分布密度函数ƒ(x)可分解为： ƒ(x)=C•h(x)•g(x) 其中C为大于等于1的常数，0＜ g(x) ≤ 1， h(x) 是一个简单的密度函数(用反函数法易求)
＊ 先产生均匀分布的随机数u； ＊ 再产生与u对应的h(x)的随机数y； ＊ 若u≤ g(y),则令x=y； ＊ 否则新生成均匀分布的随机数u。
常规方法不易计算，利用随机数 获得一近似值。
1
设U～U[0,1],Y=f(U), 则 E (Y ) 0 f ( x )dx
1 n 由数理统计知识可知， E (Y ) y yi n i 1 利用某种手段产生[0,1]上的均匀随机数：
则

1
0
1 n f ( x )dx E (Y ) y f ( ui ) n i 1
第四章
随机模拟
一、随机模拟简介
模拟是建立系统或决策问题的数学或逻辑模型，并 以该模型进行试验，以获得对系统行为的认识或帮 助解决决策问题的过程。 随机模拟方法又称蒙特卡罗（Monte Carlo） 方法或统计试验法，是指随机系统可以用概率模型 来描述并进行试验的方法。 随机模拟方法在现在精算和风险分析中起着非 常重要的作用。
例2. 如果选择m＝999563，k＝470001，根据乘同 余法求出5个在区间[0,1]上服从均匀分布的随机数。
解：w1 713108
w 2 2704
w 3 438131
w 4 35375
713108 0.71341976 999563 2704 u2 0.00270518 999563 438131 u3 0.43832255 999563 u1
产生均匀随机数的方法：
＊ 检表法 ＊ 物理方法 ＊ 数学方法
(平方取中法、倍积取中法、乘同余法)
真随机数
利用递推公式
un g( un1 , un 2 , un k )
和一组初值 u0 , u1 , u k 1 ， 逐步求出 u1 , u2 , u3 ,
产生均匀随机数的数学方法：
1. 自然取中法(平方取中法)： 用数学式子表示就是：
2 wn { wn 1的中间m位数字}
＊ 任取一m位正整数为初值w0
2 w1 { w0 的中间m位数字}
2 w 2 { w1 的中间m位数字}
＊ 逐步求出 w1 , w 2 , w 3 ,
＊ 将数列除以10m，则得[0,1]上的均匀随机数列 u1 , u2 , u3 ,
三、一般分布的随机数
已知来自均匀分布[0,1]上的随机数u，对于随机变量 X～F(x)，求来自X的随机数（子样）。 2.3.1 常用方法：
＊ 反函数法：理论上，任意随机变量都可以由它产生
相应的随机数；
＊ 取舍法 ＊ Box-Muller方法 ＊ 极方法
1. 反函数法 若X～F(x)，令x=F-1(u)，则x就是所 要求的随机数，其中u为[0,1]上的均匀分 布的随机数。 说明：1、若U~U(0,1)，则随机变量F-1(U)的分布函 数F(x)，即在分布相等的意义上x=F-1(u)。 2、若已知X的分布函数为F(x)，只要产生一 个均匀分布随机数u，对应地取分布函数F(x)的u分 为点即可。