第五章-广义逆矩阵
广义逆矩阵
广义逆矩阵广义逆矩阵是数学中常见的一种概念，它也被称为奇异值分解（SVD）或反矩阵（INV）。
它的定义可以用矩阵的形式表示：它是一个方阵A的反函数，可以把方阵A的列投影到A的行上，并且，A的行可以投影到A的列上。
广义逆矩阵可以用来求解线性方程组，而且还有许多应用，比如科学数值计算和模式识别等都要用到它。
广义逆矩阵最早被提出于1890年，由英国数学家哈密尔顿发现，他发现了一个定理：任何原矩阵A可以化简为一个单位矩阵U和一个单位对称矩阵V的乘积，其中U和V的乘积就是A的广义逆矩阵。
这个定理是有益的，可以极大地简化计算乘积的过程，使得求解大型矩阵的逆矩阵成为可能。
为了更好地理解广义逆矩阵，我们可以用一个实际的例子来说明：假设有一个5x5的方阵A，它的第一行是：a11, a12, a13, a14, a15如果我们求这个方阵A的广义逆矩阵，则我们需要将该矩阵A化简为单位矩阵U和单位对称矩阵V的乘积，同时要求U和V分别除以矩阵A的每一行：u1/a11, u2/a12, u3/a13, u4/a14, u5/a15v1/a11, v2/a12, v3/a13, v4/a14, v5/a15最后，乘积U和V就是方阵A的广义逆矩阵了。
广义逆矩阵也可以用来求解一般的线性方程组。
假设要求解一元n次方程组ax+by=c，其中a，b和c是实数，x和y是未知数。
首先，我们可以把方程组以矩阵形式写出：A = [ a b ; c 1 ]然后可以计算A的广义逆矩阵A^-1，关于x和y的一元n次方程组的解就是A^-1中的每一列向量：x = [ x ; y]因此，我们只要计算出A的广义逆矩阵，就可以得到方程组的解。
此外，广义逆矩阵在科学数值计算和模式识别中也有重要的应用。
在科学数值计算中，它可以用来简化符号计算，以及求解矩阵的积分。
在模式识别中，它可以用来求解线性模型，如最小二乘拟合，和多变量模型，从而用于数据分析和建模等。
综上所述，广义逆矩阵是一个极其重要的概念，它在数学、科学计算和科学模式识别中都有着重要的应用，可以大大简化计算过程，使得解决大型矩阵的问题成为可能。
广义逆矩阵
广义逆矩阵矩阵是数学中的一种重要的概念，矩阵的逆矩阵也是非常重要的概念。
它们是数学中通常用来解决一些复杂问题的有效工具，而广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）则是在这一领域中一种更加复杂的概念。
在本文中，我将对广义逆矩阵的定义，性质，求解方法等内容进行详细的介绍。
一、定义广义逆矩阵是在数学的线性代数中使用的一种概念，它是一种用于求解矩阵的新概念，它是一种非可逆矩阵。
首先，它是一种可以逆矩阵，但不能逆矩阵，它不能通过乘法求解，而是通过复合函数求解。
在定义广义逆矩阵之前，我们必须先定义矩阵和普通逆矩阵，因为广义逆矩阵是基于矩阵和普通逆矩阵所定义的。
矩阵是数学中的一种重要的概念，它是一种用数字表示空间或者抽象概念的表示方法，矩阵的相反数是普通逆矩阵，它具有与矩阵相反的定义，可以把矩阵的表达式变换为普通逆矩阵的形式。
而定义广义逆矩阵的免则如下：如果A是矩阵，那么A的广义逆矩阵记为A1，是满足以下条件的非可逆矩阵：AA1A=A。
二、性质研究广义逆矩阵的性质是必不可少的，因为它在数学上具有很多重要的性质。
（1）具有不可逆性：只有当矩阵A是可逆的时候，才能确定其广义逆矩阵；（2）具有自反性：设A为矩阵，则A1是A的广义逆矩阵，而A1的广义逆矩阵却是A本身；（3）具有可转性：设A和B分别为两个矩阵，则AB的广义逆矩阵等于B的广义逆矩阵乘以A的广义逆矩阵。
（4）具有保持秩性：设A为矩阵，则A的广义逆矩阵A1具有与A相同的秩。
三、求解方法由于广义逆矩阵是一种特殊的矩阵，其解决方案也是复杂的，因此，在求解广义逆矩阵时，我们可以使用一些特殊的方法。
（1）谱分解法：谱分解法是求解广义逆矩阵的一种有效的方法，它是把矩阵A分解成三个矩阵的乘积，即A=UDUT，其中U和D的元素分别为A的奇异值和奇异值的平方根。
由于A的特征值是不变的，而特征向量是可变的，因此矩阵D的逆矩阵可以由特征向量得到，并且可以得到A1＝UD1UT。
广义逆矩阵
广义逆矩阵
广义逆矩阵是指一个非奇异的复矩阵的逆矩阵，这种逆矩阵可以使得不同的矩阵进行运算。
广义逆矩阵可以分为两类：一类是经典矩阵，即特定的正交矩阵；另一类是非正交矩阵，即一般矩阵。
经典矩阵的广义逆矩阵可以用某种特殊的正交矩阵表示，这种正交矩阵是矩阵的逆，可以使任意矩阵进行运算。
此外，经典矩阵的广义逆矩阵也满足下列几个性质：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些和经典矩阵相似的特点：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
然而，经典矩阵和非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些不同之处。
例如，非正交矩阵的广义逆矩阵可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，而经典矩阵的广义逆矩阵不能实现这一点。
此外，非正交矩阵的广义逆矩阵还具有长时间计算性质，而经典矩阵的广义逆矩阵则不具备这种性质。
上述介绍了广义逆矩阵的定义和特性。
可以看出，广义逆矩阵是一种可以使任意矩阵进行运算的矩阵，它具有很多性质，特别是可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，并具有长时间计算性质，所以广义逆矩阵在矩阵数学的应用中非常重要。
总的来说，广义逆矩阵是一种重要的矩阵，它可以使任何类型的矩阵进行计算，具有非常重要的应用价值。
如果我们能够更好地理解它的性质，也许我们就能更好地利用它来解决数学问题。
广义逆矩阵作用
广义逆矩阵作用广义逆矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它在多个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍广义逆矩阵的定义、性质以及应用，并探讨其在实际问题中的作用。
一、广义逆矩阵的定义在矩阵理论中，矩阵A的广义逆矩阵，记作A⁺，是满足以下条件的矩阵：1. AA⁺A = A，即A乘以广义逆矩阵再乘以A等于A本身。
2. A⁺AA⁺= A⁺，即广义逆矩阵乘以A再乘以广义逆矩阵等于广义逆矩阵本身。
二、广义逆矩阵的性质1. 广义逆矩阵的广义逆矩阵是它本身，即(A⁺)⁺ = A⁺。
2. (AB)⁺= B⁺A⁺，即两个矩阵的乘积的广义逆矩阵等于右边矩阵的广义逆矩阵乘以左边矩阵的广义逆矩阵。
3. (A⁺)ᵀ= (Aᵀ)⁺，即广义逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的广义逆矩阵。
4. (AᵀA)⁺Aᵀ= A⁺，即矩阵A的转置与A的乘积的广义逆矩阵等于A的广义逆矩阵乘以A的转置的广义逆矩阵。
三、广义逆矩阵的应用1. 线性方程组的求解：对于一个线性方程组Ax = b，如果A是列满秩矩阵（即A的列向量线性无关），则方程组有唯一解x = A⁺b。
如果A不是列满秩矩阵，方程组可能有无穷多解，此时可以通过最小二乘法求解，即x = A⁺b是方程组的最小二乘解。
2. 伪逆最小二乘法：当矩阵A不是一个方阵时，无法求出其逆矩阵。
此时可以使用广义逆矩阵来进行最小二乘拟合，例如曲线拟合和数据降维等问题。
3. 线性回归分析：广义逆矩阵可以用于线性回归模型的参数估计，通过最小化残差平方和来求解回归方程的参数。
4. 信号处理：广义逆矩阵可以用于信号处理中的滤波、降噪和频谱估计等问题，提高信号处理的精度和效果。
5. 图像处理：广义逆矩阵可以应用于图像处理中的去噪、图像复原和图像压缩等问题，提高图像处理的质量和效率。
6. 线性规划：广义逆矩阵可以用于线性规划问题的求解，例如最优化问题和约束优化问题等。
7. 控制系统：广义逆矩阵在控制系统中有广泛的应用，如系统辨识、状态估计、控制器设计和自适应控制等方面。
矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘
第五章 广义逆及最小二乘解在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。
作一番调查或整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：Ax b =然而是否是相容方程呢？倘若不是，又如何处理呢？最小二乘解是常见的一种处理方法。
其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。
广义逆从1935年Moore 提出以后，未得响应。
据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦涩。
其后，1955年Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。
为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩阵的奇值分解。
§5.1 矩阵的酉交分解、满秩分解和奇值分解在线行空间中，知道一个线性变换在不同基偶下的矩阵表示是相抵的或等价的。
用矩阵的语言来说，就是：若 ,m n A B C ×∈，倘有非异矩阵()P m n ×，()Q n n ×存在，使B PAQ =则称A 与B 相抵的或等价的。
利用初等变换容易证明m n A C ×∈，秩为r ，则必有P ，Q ，使000r m nI PAQ C ×⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠(5.1-1) 其中r I 是r 阶单位阵。
在酉空间中，上面的说法，当然也成立，如果加上P ，Q 是酉交阵的要求，情形又如何呢？下面就来讨论这个问题。
定理 5.1.1 (酉交分解) m n A C ×∈，且秩为r ，则(),(),,H H m n U m n V n n U U I V V I ∃××==，使00r HU AV Δ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠(m n) (5.1-2) 其中r Δ为r 阶非异下三角阵。
矩阵的广义逆及其应用.ppt
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A
1
1
1
2
(3)(1)3
0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2
0 4 8
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A
0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0
广义逆矩阵的计算方法及意义
广义逆矩阵的计算方法及意义广义逆矩阵是矩阵理论中的一个非常重要的概念，它不仅在数值计算中具有重要意义，而且在优化理论、信号处理以及系统控制等领域也广泛应用。
本文将从广义逆矩阵的定义、计算方法及其意义等方面阐述这一重要概念。
一、广义逆矩阵的定义广义逆矩阵的定义是指，对于任意的一个矩阵A ∈ Rm×n，若存在一个矩阵A+ ∈ Rn×m，使得下列两个条件成立，即：A × A+ × A = AA+ × A × A+ = A+则称A+为A的广义逆矩阵。
其中，A+也满足下列两个条件：(A × A+)T = A × A+(A+ × A)T = A+ × A需要注意的是，如果A的列线性无关，则A+实际上就是A的逆矩阵。
二、广义逆矩阵的计算方法广义逆矩阵的计算方法有以下几种：（1）矩阵求导法矩阵求导法是一种比较简单的计算广义逆矩阵的方法。
它的基本思想是，将A与A的转置相乘，得到一个对称矩阵B，然后对B进行求导，最终就可以得到广义逆矩阵A+。
但是，这种方法的计算复杂度较高，适用范围也比较狭窄。
（2）奇异值分解法奇异值分解法是一种较广泛使用的计算广义逆矩阵的方法。
该方法的基本思想是，将A进行奇异值分解，得到A = UΣVT，然后对Σ进行逆运算，得到Σ+，最后通过A+ = VΣ+UT，就可以得到广义逆矩阵A+。
（3）正交交替投影法正交交替投影法是一种可以解决较大规模矩阵计算问题的方法。
该方法的基本思想是，通过Von Neumann展开，将广义逆矩阵的计算转化为一个正交投影问题，然后利用正交的性质以及平衡收敛的原理，不断迭代求解，最终得到广义逆矩阵A+。
三、广义逆矩阵的意义广义逆矩阵作为一种重要的矩阵理论工具，具有许多重要的应用意义，下面我们对其进行简单的介绍：（1）最小二乘法在数据处理的过程中，经常会出现数据不完备或者存在噪声的情况。
广义逆矩阵
广义逆矩阵矩阵（Matrix）是数学中使用最广泛的数据结构，它包含了数学中许多基本概念，比如向量、空间、线性变换等，矩阵被广泛应用到物理、生物、经济、工程等领域。
广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）是矩阵的基本概念，它的存在及性质的研究是现代矩阵论的一个重要分支，它在科学研究和工程应用中扮演着重要的角色。
一般而言，矩阵逆等价于矩阵乘积为单位矩阵。
矩阵A的逆被称为A的广义逆，它可以被定义为一个或多个矩阵变化，使得结果等于单位矩阵。
矩阵求逆是现代数学中最重要的问题之一，它是线性代数和几何学的基础。
只有求出矩阵的逆，才能对矩阵进行变换，从而更好地理解线性变换的意义。
此外，求逆矩阵的过程中存在极大的数学难题和技术挑战，尤其是当矩阵维度较高、矩阵元素灵活变化时，实际问题求解更为困难。
广义逆矩阵不仅仅能够分解矩阵，它还能够用来处理矩阵的特殊情况，比如非方阵、正定矩阵以及秩不足的情况，这些现实中的应用情况都可以有效的利用广义逆矩阵来进行处理。
例如，当求解矩阵的某些特殊情况时，矩阵的逆就可以使用广义逆矩阵：如果矩阵的秩不足，那么将该矩阵的广义逆算出来，就可以求出该矩阵的解析解；同理，当求解矩阵的特征值时，通过广义逆矩阵可以求出所有特征值，而不受矩阵形状限制。
另外，广义逆矩阵在数值计算中也有着巨大的用处，当用有限精度浮点数方式实现函数f(x)时，可以用广义逆矩阵来表示该函数，从而提高计算效率。
从上面可以看出，广义逆矩阵在现代数学和高等数学的研究中扮演着重要的角色，它可以用来求解矩阵的特殊情况，求解一般线性方程，甚至可以应用到数值计算中，极大的提高效率和准确度。
研究广义逆矩阵的方法非常多，主要有矩阵分解法、特征值分解法和最小二乘法等，其中，矩阵分解法是求解广义逆矩阵最常用的方法，它可以利用“矩阵特征分解法”来求得一个矩阵的广义逆，这种方法简单、高效、计算量小，所谓的“矩阵特征分解法”实质上是将n×n矩阵A分解为“固定矩阵M”和“可逆矩阵X”的乘积，即AX=M，可以看出，X就是A的广义逆，也就是说，广义逆矩阵可以通过将一个n×n矩阵分解成M和X两个矩阵得到。
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第五章 广义逆矩阵广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。
其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。
它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。
广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。
第一节 广义逆矩阵的概念对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。
但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。
这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。
若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式AA －1A =AA －1AA －1=A －1(AA －1)H =AA －1(A －1A )H =A －1A若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。
定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。
由上定义可知，广义逆阵有1544342414=+++C C C C 种之多。
为了方便，引进一些记号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。
同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。
如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。
在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。
我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。
为此先了解一下线性方程组的解的问题。
根据线性方程组Ax =b 是否有解，可把线性方程组分为两大类。
第一类是有解方程组，又称相容方法组；第二类是无解方程组，又称不相容方程组或矛盾方程组。
对于第一类方程组，若A 是列满秩的，则有惟一解；否则，有无穷多解。
我们从中挑选出2－范数极小的解，即所谓的极小范数解2||||min x bAx = 对于第二类方程组，其根本就没有解。
但实际问题中经常要求出近似解2||||min b Ax n Cx -∈ 即最小二乘解；如果方程组的最小二乘解有无穷多个，我们也从中挑出2－范数极小的解，即极小范数最小二乘解2||||min ||||min 2x b Ax -第二节 A －与相容线性方程组的通解我们把广义逆矩阵A (1)记为A －，称为A 的减号逆或g -逆，即AA －A =A例如，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001C 都是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010101A 的减号逆。
下面将证明任何矩阵的减号逆都是存在的。
定理1 设n m r C A ⨯∈，并且存在m m m C P ⨯∈，n n n C Q ⨯∈，使Q O O O E P A r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 则}1{A G ∈的充分必要条件是12221121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G G G E Q G r （1） 其中G 12、G 21、G 22是具有相应阶数的任意矩阵。
证明 充分性。
直接验证便得。
必要性。
设}1{A G ∈，则Q O O O E P Q O O O E QGP O O O E P r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛两边同左乘以P －1，右乘以Q －1，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E Q O O O E QGP O O O E r r r 若记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211G G G G QGP 代入上式，有G 11=E r ，从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222112G G G E QGP r 这里的G 12，G 21，G 22是具有相应阶数的任意矩阵，故有12221121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G G G E Q G r 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不惟一的，而且还给出了计算减号逆的方法。
例 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210121A 求A －解 经过初等变换可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-10211P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1002105011Q 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---21121121121121212241251025110211001100210501t t t t t t t t t t t P G E Q A 其中t 1、t 2是任意数。
定理2 设n m C A ⨯∈，}1{A A ∈-，则}1{A G ∈的充分必要条件是W A A E AA E V A G n m )()(----+-+= （2）其中V 、W 是具有相应阶数的任意矩阵。
证明 充分性。
由A AW AAW A AVA AVA A AW AAA AW A A AVAA AVA A W AA A E A A AA E AV A AA AGA n m =-+-+=-+-+=-+-+=-----)()(知}1{A G ∈。
必要性。
设}1{A G ∈，令V =G －A －，W =VA A －，并注意到O A A A AA AGA A A G A AVA =-=-=-=--)(有WA A E AA E V A VAA A A E AA E V A A AVA A A G A G n m n m )()()()()()(------------+-+=-+-+=--+=定理于此证毕。
（1）式和（2）式以后都称为矩阵A 的减号逆的一般表达式。
减号逆有下面一些基本性质：性质1 --=)()(H H A A性质2 A A A A A A H H =-)(，H H H H A AA A A A =-)(即H H A A A -)(、-)(A A H 分别是A 、A H 的减号逆。
证明 因为 OA A A A E A A A A A A A A A A A A E A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H =--=--=--=---------)]()([])(][)([])(][)([])([])([并考虑到对任意矩阵B ，如果B H B =O ，那么B =O ，有A (A H A )－A H A －A =O这就证明了第一个等式，对第一个等式两边转置就得到第二个等式。
性质3 AGA=A 的充分必要条件是 A H AGA=A H A 。
证明 必要性是显然的，下面证充分性。
设A H AGA=A H A 即 A H AGA －A H A =O 因为OA A AGA A E G A A AGA A A G A A AGA A AGA H H H H H H H H H =--=--=--))(())(()()( 所以AGA －A =O也就是AGA =A性质4 rank(A －)≥rank(A )证明 根据矩阵秩的性质，可得rank(A －)≥rank(AA －)≥r (AA －A )=r (A )用减号逆可以把相容方程组的通解很简明地表示出来。
定理3 设A －是n m C A ⨯∈的一个减号逆，则相容方程组Ax =b 的通解为x = A －b +(E n －A －A )c其中c 是C n 中的任意向量。
证明 由Ax =b 相容知，存在x 0∈C n 使Ax 0=b 。
从A [A －b +(E n －A －A )c ]=AA －b =AA －Ax 0=Ax 0=b可知（3）式是Ax =b 的解。
设x 0是Ax =b 的任一解，即Ax 0=b ，因而0000)(x A A E b A Ax A x b A bA x b A x n -------+=-+=-+=这说明Ax =b 的任一解x 0均可由（3）式表示出来。
故（3）式是Ax =b 的通解。
第三节 -m A 与相容线性方程组的极小范数解定义1 设A ∈C m ×n ，称同时满足AGA =A（1） (GA )H =GA（2）的G ∈C n ×m 为矩阵A 的极小范数广义逆，记为-m A 或A (1，4)。
上面的定义中G 要满足的两个方程（1）和（2）可以用一个方程GAA H =AH （3）来代替。
事实上，由（1）式和（2）式可得A (GA )H =A两边取转置共轭有GAA H =A H反之，把（3）式两边右乘以G H 得GAA H G H =A H G H即 GA (GA )H =(GA )H（4） 两边取转置共轭(GA )(GA )H =GA（5） 比较（4）式（5）式，有(GA )H =GA代入（3）式得(GA )H A H =A H即AGA =A矩阵的极小范数广义逆-m A 与(AA H )－有着密切的关系。
定理1 设n m r C A ⨯∈，则--=)(H H m AA A A（6） 证明 因(AA H )－是减号逆，故(AA H )(AA H )－(AA H )=AA H若A =BC 为A 的满秩分解，则上式可写为AA H (AA H )－BCC H B H =BCC H B H用B(B H B)－1(CC H )－1C 右乘上式两边，得AA H (AA H )－BE r E r C =BE r E r C即AA H (AA H )－A =A这表明A H (AA H )－满足（1）式。
又因[A H (AA H )－A ]H =A H (AA H )－A所以A H (AA H )－满足（2）式。
定理1说明-m A 通常也不惟一，而（6）还给出了计算-m A 的一种方法。
在上节中，给出了相容线性方程组Ax =b 的通解，现在，欲从这所有解中，求范数极小的解（或称LN 解），即求减号逆G ，使22||||min ||||x Gb bAx == 定理2 向量x =Gb 是相容线性方程组Ax =b 的极小范数解的充分必要条件是G ∈A {1，4}证明 充分性。
设G ∈A {1，4}⊆A{1}，则线性方程组Ax=b 的任一解可表示成x =Gb +(E －GA )c （c 为任意向量）的形式。
因此),)(())(,())(,)((),())(,)((||)(||||||2222Gb c GA E c GA E Gb c GA E c GA E Gb Gb c GA E Gb c GA E Gb c GA E Gb x -+-+--+=-+-+=-+= 由于Ax =b 是相容的，从而有解x 0Ax 0=b 。