第五章-广义逆矩阵

第五章 广义逆矩阵

广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。

第一节 广义逆矩阵的概念

对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。

若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式

AA －1A =A

A －1AA －1=A －1

(AA －1)H =AA －1

(A －1A )H =A －1A

若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足

AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。 定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。

由上定义可知，广义逆阵有1544342414

=+++C C C C 种之多。为了方便，引进一些记号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。

如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。

在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。为此先了解一下线性方程组的解的问题。

根据线性方程组Ax =b 是否有解，可把线性方程组分为两大类。第一类是有解方程组，又称相容方法组；第二类是无解方程组，又称不相容方程组或矛盾方程组。

对于第一类方程组，若A 是列满秩的，则有惟一解；否则，有无穷多解。我们从中挑选出2－范数极小的解，即所谓的极小范数解

2||||min x b

Ax = 对于第二类方程组，其根本就没有解。但实际问题中经常要求出近似解

2||||min b Ax n C

x -∈ 即最小二乘解；如果方程组的最小二乘解有无穷多个，我们也从中挑出2－范数极小的解，即极小范数最小二乘解

2||||min ||||min 2x b Ax -

第二节 A －与相容线性方程组的通解

我们把广义逆矩阵A (1)记为A －，称为A 的减号逆或g -逆，即

AA －A =A

例如，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001C 都是⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=010101A 的减号逆。 下面将证明任何矩阵的减号逆都是存在的。

定理1 设n m r C A ⨯∈，并且存在m m m C P ⨯∈，n n n C Q ⨯∈，使

Q O O O E P A r ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛= 则}1{A G ∈的充分必要条件是

12221121--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=P G G G E Q G r （1） 其中G 12、G 21、G 22是具有相应阶数的任意矩阵。

证明 充分性。直接验证便得。

必要性。设}1{A G ∈，则

Q O O O E P Q O O O E QGP O O O E P r r r ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

两边同左乘以P －1，右乘以Q －1，得

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E Q O O O E QGP O O O E r r r 若记

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=22211211G G G G QGP 代入上式，有G 11=E r ，从而

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2221

12G G G E QGP r 这里的G 12，G 21，G 22是具有相应阶数的任意矩阵，故有

12221121--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=P G G G E Q G r 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不惟一的，而且还给出了计算减号逆的方法。

例 设

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=210121A 求A －

解 经过初等变换可得

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-10211P ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-1002105011Q 故

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+--+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---21121121121121212241251025110211001100210501t t t t t t t t t t t P G E Q A 其中t 1、t 2是任意数。

定理2 设n m C A ⨯∈，}1{A A ∈-，则}1{A G ∈的充分必要条件是

W A A E AA E V A G n m )()(----+-+= （2）

其中V 、W 是具有相应阶数的任意矩阵。

证明 充分性。由

A AW A

AW A AVA AVA A AW A

AA AW A A AVAA AVA A W A

A A E A A AA E AV A AA AGA n m =-+-+=-+-+=-+-+=-----)()(

知}1{A G ∈。

必要性。设}1{A G ∈，令V =G －A －，W =VA A －，并注意到

O A A A AA AGA A A G A AVA =-=-=-=--)(

有

W

A A E AA E V A VAA A A E AA E V A A AVA A A G A G n m n m )()()()()()(--------

----+-+=-+-+=--+=

定理于此证毕。

（1）式和（2）式以后都称为矩阵A 的减号逆的一般表达式。

减号逆有下面一些基本性质：

性质1 --=)()(H H A A

性质2 A A A A A A H H =-)(，H H H H A A

A A A A =-)(

即H H A A A -)(、-)(A A H 分别是A 、A H 的减号逆。

证明 因为 O

A A A A E A A A A A A A A A A A A E A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H =--=--=--=---------)

]()([])(][)([]

)(][)([]

)([])([

并考虑到对任意矩阵B ，如果B H B =O ，那么B =O ，有

A (A H A )－A H A －A =O