广义逆矩阵求法19页PPT

第4章矩阵的广义逆

定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在，使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ，即有 AA A A ．（5）
A为列满秩
7
推论设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 ALபைடு நூலகம்A En
x N ( A)
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之，按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义推论 1 逆矩阵A , 则

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268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.
§2.3 逆矩阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a

矩阵广义逆求法

推论：设A Cmn， 1 ）当r n时(列满秩)，A+ =(AH A)1 AH， r 2）当r m时(行满秩)，A+ =AH (AAH )1.
证明：当r n时, A AI n BC为A的满秩分解，由定理可得 1) A + =(A H A) 1 A H； 2)当r m时, A I m A BC ,
54 75 33 1 32 43 1 BH 234 130 182 78 34 53 15
3 1 2)因B列满秩，B =(B B) B = (1,3) (1,3) (1,3). 10 1
注：当r ( A) 1时，非零特征值只有1个，则A =
+
1
1
AH .
此时，设A=(aij ) mn , r ( AH A) r ( A) 1, 可知 1 n 0 H tr ( A A) 1 =tr j 1 0
a
i 1
利用奇异值分解求A +的简化步骤： 1)求出A H A的r个非零特征值1， , r , i 0; 2)求出A H A对应于特征值1， , r的标准正交特征向量
1 , , r .令V1 =(1 , , r );
1-1 H H + 3)则A V1 V1 A r-1
1 2 1 解：A 0 1 -1 0 1 -1 1 2 1 B= 2 5 ，C= 0 4 9 5 1 0 3 -3 4 0 1 -1 4 ，令 4 0 0 0 0 0 3 -3 . 1 -1 4
上述定理可简化：
Sr 定理3：设A C ，在A奇异值分解A=U 0 令V=(x1 , , x r ,x r 1 , ,x n )=(V1 ,V2 ).则

第八章矩阵的广义逆

第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。

矩阵的广义逆及其应用.ppt

高等工程数学理学院杨文强
第五章矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
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第五章矩阵的广义逆
第五章矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时，方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论方程组 Ax b的解，其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
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第五章矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可表示成x Ab (In A A)t的形式.
A

1
1
1
2

(3)(1)3

0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2

0 4 8
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第五章矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A

0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0

第六章广义逆矩阵

第六章广义逆矩阵§6.1 投影矩阵一、投影算子与投影矩阵v设L和M都是C n的子空间，且LÅM=C n．于是任意xÎC n都可唯一分解为x=y+z，yÎL，zÎM，称y是x沿着M到L的投影．v定义将任意xÎC n变为沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M ，即PL,Mx=y。

v显然，R(P L,M)=L，N(P L,M)=M．v投影算子P L,M是一个线性算子。

v定义投影算子P L,M在C n的基e1,…,e n下的矩阵称为投影矩阵．记为P。

L,Mv幂等矩阵：A2=Av引理设AÎC n×n是幂等矩阵，则N(A)=R(I-A)。

证明：A2=AÞA(I-A)=OÞ对任意xÎR(I-A),存在yÎC n,x=(I-A)y，必有Ax=0。

故R(I-A)ÌN(A)Þdim R(I-A)£dim N(A)=n-dim R(A)即rank(I-A)£n-rank A。

考虑到I=A+(I-A)Þn£rank A+rank(I-A)有rank(I-A)=n-rank A，使得dim R(I-A)=n-dim R(A)=dim N(A)，即得N(A)=R(I-A)。

v定理：P为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵为投影矩阵，则对任意xÎC n有证明：设P=PL,MP2L,M x = P L,M (P L,M x) = P L,M y = y = P L,M x故P为幂等矩阵。

反之，设P为幂等矩阵n则对任意xÎC有x=x-Px+Px=(I-P)x+Px，其中(I-P)xÎN(P)，PxÎR(P)，使得C n=N(P)+R(P)。

设zÎN(P)∩R(P)，由于N(P)=R(I-P)故存在u，vÎC n使得z=Pu=P2u=P(I-P)v Þz=Pu=(I-P)v=0故N(P)∩R(P)={0}。

矩阵的广义逆 ppt课件

意。
A-b为AX=b的特解, (In-A-A)Z为AX=0的通解.
E.H. Moore and Roger Penrose
二、Moore-Penrose (M-P) 广义逆
由Moore 1920年提出，1955年由Penrose独立研究和发展。
1、定义4.3 (P.98) 设矩阵 A Cmn，如果
A
L
1
的存在性
直观分析
➢
A
1 L
存在矩阵A列满秩
➢
A
1 L
=
(AHA)–1AH
定理4.1(P.93) 设 A Cmn ，下列条件等价
1. A左可逆;
BA = In
2. A的零空间 N(A) = {0}; Ax = 0 x = BAx = 0
3. m n，秩(A) = n，即A是列满秩的; n-r(A) = 0
1. 矩阵A右可逆;
AC = Im
2. A的列空间 R(A) = Cm ; x = ACx
x R(A)
3. n m, 秩(A) = m, 即A是行满秩的r;(A)=dimR(A)
4. 矩阵 AAH 可逆，且
A
R
1
= AH(AAH)–1
r(AAH) = r(A)
讨论：可逆矩阵Ann的左、右逆和逆的关系 ➢ 可逆矩阵A的左、右逆就是矩阵A的逆A
GCnm ，使得
4.
矩阵AHA可逆，且
A
L
1
= (AHA)–1AH 。r(AHA) = r(A)
1 0
如前例矩阵 A =
0
1
左可逆，AT右可
逆。如何求左或右逆？ 2 1 可用行或列初等变换！
m r(A) C r(A )m ,n