石家庄市期末考试高二数学试卷有答案
河北省石家庄市2008～2009学年度第一学期期末考试高二数学试卷
（时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.标有【普通高中】的只供
普通高中考生做；标有【示范高中】的只供示范性高中考生做，没有标记的题目供所有考生
做. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．若,x y m n >>，则下列关系正确的是 （ ）
A . m y n x ->-
B . x m y n ->-
C .
x y n m > D . xm yn > 2．已知直线l 的倾斜角为45o ，下列可以作为直线l 方向向量的是 （ ）
A . (2,1)
B . (2,2)
C .
D .
3．点(,)P x y 在直线34x y +=上，O 为坐标原点，则OP 的最小值为 （ ）
A .
B .
C .
D . 2 4．【示范高中】抛物线22y ax =的准线方程是1y =，则实数a 的值为 （ ）
A . 18
B . 18
- C . 8 D . 8- 【普通高中】双曲线22841x y -=的实轴长为 （ ）
A . 1
B .
C .
12 D . 2 5．函数1(2)2
y x x x =+>-的最小值为 （ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 6．过点)2,1(的直线中，被圆222610x y x y ++++=截得的弦最长的直线方程是（ ）
A . 5210x y --=
B . 01252=-+y x
C . 0925=-+y x
D . 0523=-+y x
7．双曲线方程为2
2
14y x -=，过(1,0)P 的直线l 与双曲线只有一个公共点，则满足条件的
直线l 的条数共有 （ ）
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
8．不等式(1)(1)0x x +->的解集是（ ）
A ．{}01x x ≤<
B . {}0,1x x x <≠-且
C . {}11x x -<<
D . {}1,1x x x <≠-且
9．已知点11(,)M x y 在直线:3210l x y --=的上方，点22(,)N x y 在直线l 的下方，则有
（ ）
A . 11223210,3210x y x y -->--<
B . 11223210,3210x y x y --<--<
C . 11223210,3210x y x y --<-->
D . 11223210,3210x y x y -->-->
10．已知动点M 的坐标(,)x y 112
x =-，则动点M 的轨迹是（ ）
A . 椭圆
B . 双曲线
C . 抛物线
D . 以上均不对
11. 直线12:3,:0l ax y l x by c +=+-=，则1ab =是1l ∥2l 的 （ ）
A . 充要条件
B . 充分不必要条件
C . 必要不充分条件
D . 既不充分也不必要条件
12.【示范高中】设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两
点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u r u u u r ，且1OQ AB ⋅=u u u r u u u r
，则P 点
的轨迹方程是 （ ） A . 2
2331(0,0)2x y x y +=>> B . 22331(0,0)2
x y x y -=>> C . 22331(0,0)2x y x y -=>> D . 22331(0,0)2x y x y +=>> 【普通高中】已知12,F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r 的点M 不在椭圆外部，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ）
A . 0,
2⎛ ⎝⎭ B . 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C . 0,2⎛ ⎝⎦
D . 2⎫⎪⎪⎣⎭
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13．一条光线从点(6,3)M 射出，经x 轴反射，反射光线过点(2,5)N ，则反射光线所在的
直线方程是 .
14．若x 、y 满足约束条件2231y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则32z x y =+的最大值为 .
15．已知椭圆2
1(2)149
x y --+=2（)上点P 到其中一个焦点的距离为4，则点P 到另一个焦点的距离为 .
16．【示范高中】若双曲线的渐近线方程为43y x =±
，且经过点(-的双曲线方程 是 _____________________.
【普通高中】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，
它的一个焦点是，则双曲线的
方程是 _________________ .
三、解答题:共本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本题10分)
解关于x 的不等式x ＜
3x
－2.
18. (本题12分)
【示范高中】已知圆C 满足下列条件：①过点A (2,1)-；②直线20x y +=平分圆的周长；
③圆C 与直线10x y +-=相交所得的弦长为26，求圆C 的方程.
【普通高中】求经过点(2,1)A -，圆心在直线20x y +=上，且和直线10x y +-=相切
的圆的方程.
19. (本题12分)
如图为一水池的截面，其中水槽截面曲线为抛物线型，当水面宽为米
4时，水槽底距水面2.
米
（1）建立适当的坐标系，求该抛物线方程；
（2）求水面再上升米
2后的水面宽度.
20. (本题12分)
如图，菱形ABCD的对角线交于点O，两条对角线长度之和为8，点E在对角线AC上，=.
AE ED
=，设AO x
（1）用x表示OE；
∆面积的最大值及相应x的值.
（2）求EOD Array
21. (本题12分)
【示范高中】已知ABC ∆的两个顶点A 、B 分别为椭圆2255x y +=的左焦点和右焦点,且
三个内角A 、B 、C 满足关系式1sin sin sin 2
B A
C -=
. （1）求线段AB 的长度；
（2）求顶点C 的轨迹方程.
【普通高中】已知B 、C 是两个定点，6BC =，且ABC ∆的周长为16.
（1）求三角形顶点A 的轨迹的方程；
（2）设过点B 与BC 垂直的直线l 交轨迹S 于D 、E 两点，求线段DE 的长度.
22. (本题12分)
已知双曲线的两个焦点的坐标为1(F 、2F ，离心率
2
e = （1）求双曲线的标准方程； （2）设P 是（1）中所求双曲线上任意一点，过点P 的直线与两渐近线12l l 、分别交于点12,P P ,
若12PP PP λ=u u u v u u u v （0λ>）
，求12OPP ∆面积的最小值及相应的λ的值.。
石家庄市2022-2023学年高二下学期期末考试数学答案
石家庄市2022～2023学年度第二学期期末检测试题----- 高二数学答案 一、单选题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1-5 B C B A B 6-8 C D A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. ABD 10. BCD 11. ACD 12.AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.0.3 14. 0.0525 3715. 624 16.( e2,+∞ )四、解答题.(17题10分，18-22题每题12分)17. (1)由题意，⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n展开式前三项的二项式系数和为 C n 0＋C n 1＋C n 2＝1＋n ＋n （n －1）2＝22，……………………2分解得n ＝6或n ＝－7(舍去)，即n 的值为6. ……………………3分 (2)通项公式T k ＋1＝C 6k (2x )6－k ⎝⎛⎭⎫1x k ＝C 6k 26－k x 6－3k 2……………………5分令6－3k2＝0，可得k ＝4. ……………………6分∴展开式中的常数项为T 5＝C 6426－4＝60. ……………………7分 (3)令x=1，∴展开式中各项系数和为36=729……………………10分18.解：(1)f′(x)=x 2−2x −3=(x −3)(x +1)，…………………1分令f′(x)>0，解得x <−1或x >3，令f′(x)<0，解得−1<x <3，…………………3分 所以f(x)单调递减区间为(−1,3)，单调递增区间为(−∞,−1)，(3,+∞)．………………4分 (2)由(1)知，f(x)极小值=f(3)=13×33−33−3×3+m =−6，解得m =3．………7分 f(x)在(−3,−1)单调递增，在(−1,3)上单调递减，在(3,4)上单调递增，f(−3)=13×(−3)3−(−3)2−3×(−3)+3=−6， f(−1)=13×(−1)3−(−1)2−3×(−1)+3=143， f(3)=13×(3)3−32−3×3+3=−6，f(4)=13×(4)3−42−3×4+3=−113，…………………11分 所以f(x)在[−3,4]上的最大值为143，最小值为−6．…………………12分19.解：(1)由频率分布表可知，在抽取的100人中，有“冬奥迷”25人，故2×2列联表如下：零假设为H 0：冬奥迷与性别有关 …………………3分 把2×2列联表中的数据代入公式计算得： χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(30×10−45×15)275×25×45×55=10033≈3.030，…………………5分因为3.030<3.841，根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立， 所以不能认为“冬奥迷”与性别有关． …………………7分 (2)由频率分布表可知抽到“冬奥迷”的频率为0.25，将频率视为概率， 则从观众中抽到一名“冬奥迷”的概率P =14， ……………8分 由题意得，X ∽B(3,14)， ……………9分故E (X)=3×14=34． D(X)=3×14×34=916． ………12分 20.解：(1)设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件A 1，A 2，则P(A 1)=34×45=35，P(A 2)=35×23=25……………2分 由题意可得，X 的取值有0，1，2，P(X =0)=(1−35)×(1−25)=625， P(X =1)=(1−35)×25+35×(1−25)=1325 P(X =2)=35×25=625． ……………5分 所以E(X)=0×625+1×1325+2×625=1 ……………6分(2)依题意，甲，乙抢到并答对一题的概率分别为P(B 1)=13×35=15， P(B 2)=23×25=415，….8分乙已得10分，甲若想获胜情况有： ①甲得20分：其概率为15×15=125 ②甲得10分，乙再得−10分，其概率为C 21(15)×23×35=425; ③甲得0分，乙再得−20分，其概率为(23×35)2=425． ……………11分 故乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率为125+425+425=925． …………12分…………………2分21.解：(1)由题意知r 2=−0.9953，r 1=√ 11.67×√ 21.22=√ 247.6374≈0.886，……2分因为|r 1|<|r 2|<1，所有用y =c +dx模型建立y 与x 的回归方程更合适．…………4分(2)d ̂=∑t i 13i=1y i −13t⋅y ∑t i 213i=1−13t2=−2.10.21=−10，……………6分 ĉ=y −d ̂t =109.94+10×0.16=111.54，……………7分 所以ŷ关于x 的回归方程为y ̂=111.54−10x；……………8分(3)由题意知z ̂=20y ̂−12x =20(111.54−10x )−12x =2230.8−(200x +12x) ≤2230.8−20=2210.8，……………10分所以ẑ⩽2210.8，当且仅当x =20时等号成立， 所以当温度为20°C 时这种草药的利润最大．……………12分22.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x. ……………2分若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．………3分 若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减．……5分 (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a . ………………6分 所以f (x )≤－34a －2 等价于 ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a －2， 即 ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a＋1≤0. ……………7分 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1. ……………8分当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.则g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x ＝1时，g (x )取得极大值且为最大值，最大值为g (1)＝0. ……………9分 所以当x ＞0时，g (x )≤0. ……………10分从而当a ＜0时，-12a >0, 所以 ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0， 即f (x )≤－34a－2. ……………12分。
河北石家庄2024年高二下学期期末质量检测数学试卷(解析版)
石家庄市2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某汽车启动阶段的位移函数为32()25s t t t =−，则汽车在2t =时的瞬时速度为（ ）A. 10B. 14C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】由瞬时速度计算公式可得答案.【详解】设瞬时速度为v ，则由题意得：()()()0222lim t s t s v s t∆→+∆−′==∆.又2()610s t t t ′=−，则()224104v s ′==−=.故选：C2. 将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（ ） A. 6 B. 24C. 60D. 120【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①、将连号的两张参观券分给甲，分析连号的情况就可得甲的分法，②将剩下的3张参观券分给其他三人，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有33A 6=种分法， 则有4624×=种不同的分法； 故选:B ．3. 设离散型随机变量X 的分布列如表所示，则q =（ ）A.12B. 1C. 1D. 1±【答案】B 【解析】【分析】由分布列的性质可得221121201211012q q q q−++=≤−≤ ≤+≤，求解即可. 【详解】由分布列性质可得211212q q −++=,即22410q q −+=，解得1q =. 又201211012q q ≤−≤ ≤+≤，解得102q ≤≤，故1q =. 故选:B.4. 已知一组观测值()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 满足(1,2,)i i i y a bx e i n =++= ，若i e 恒为0，则2R =（ ） A. 0 B. 0.5C. 0.9D. 1【答案】D 【解析】【分析】由i e 恒为0，可得 0i i y y −=，再结合公式可求2R .的【详解】由i e 恒为0，知 i i y y =恒成立，即 0i i y y −=恒成立，故 ()()221211101ni ii n ii y y R y y ==−=−=−=−∑∑.故选：D ．5. (4的展开式中33x y 的系数为（ ）A. 4−B. 4C. 6−D. 6【答案】D 【解析】【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项求出第1r +项，令x ，y 的指数都为1求出33x y 的系数．【详解】解：4224(x y −=−，只需求4展开式中的含xy 项的系数，4的展开式的通项为(414Crrrr T −+=，令422r r −==，得2r =，∴展开式中33x y 的系数为24C 6=故选：D ．6. 李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数22()2()x f x µσ−=的图像如图所示，其中µ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差，且(||)0.6827P X µσ−≤=，(||2)0.9545P X µσ−≤=，(||3)0.9973P X µσ−≤=．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班的平均分比乙班的平均分高B. 相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散C. 甲班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%D. 乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等 【答案】D 【解析】【分析】根据两个班数学成绩的正态曲线图，易于判断A,B 两项；对于C 和D ，需要根据图中两个班数学成绩的期望和最大值分别求出µ和σ，再结合曲线图的对称性和三段区间的概率值计算对应的概率值，比较后研判即得.【详解】对于A ，由图知98100µµ==甲乙，，，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A 错误； 对于B ，因甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”，即σσ<甲乙，表示甲班的数学成绩更集中，故B 错误；对于C，甲班22()2()x f x µσ−=5σ=甲，则1(108)(2)[1(]0.02275 4.55%2||2)P X X X P P µµσσ>=>+=−=≠−≤,故C 错误； 对于D，乙班22()2()x f x µσ−=，则6σ=乙，则1(112)(2)[1(]0.0227522||)X P X P X P µσµσ−>=≤>=+=−，又这两个班的人数相等，则乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等，故D 正确. 故选：D .7. 某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（ ） A. 51种 B. 45种 C. 48种 D. 42种【答案】A 【解析】【分析】由题意，至少两人报名数学竞赛，所以可分为：两人报名数学竞赛和三人报名数学竞赛两种情况进行讨论．【详解】解：若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有2133C C 种情况，若这两个人选报的另外的学科不同，则共有22213322C C A C 种情况， 若三个人全部都报名数学竞赛，则共有33A 种情况，所以不同的参赛方案有：2122213333322351C C C C A C A ++=种情况，8. 已知函数()()31e 1xf x x kx =−−+，若对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+，则实数k 的取值范围是（ ）A. e ,3∞ −B. e ,3−∞C. 1,3 −∞D. 1,3−∞【答案】B 【解析】【分析】将条件转化为1212)[()()]0x x f x f x −−>（可知，原问题等价于函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，然后根据导数恒大于等于0，转化为导函数最小值问题，然后可得.【详解】()()()()112221121212)[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇔−−>（，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.所以当0x >时，2()e 3(e 3)0x x f x x kx x kx ′=−=−≥恒成立，即e 30x kx −≥恒成立，记()e 3x g x kx =−，则()e 3x g x k ′=−，当31k ≤，即13k ≤时，易知()e 30x g x k ′=−≥，所以()e 3x g x kx =−在区间(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=，则有()0f x ′>，满足题意；当31k >，即13k >时，令()e 30x g x k ′=−=，得ln 3x k =，0ln 3x k <<时()0g x ′<，ln 3x k >时()0g x ′>，所以当ln 3x k =时，()g x 有最小值min()(ln 3)33ln 3g x g k k k k ==−，解33ln 30k k k −≥，得1e 33k <≤.综上，k 的取值范围为e(,]3−∞.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的是（ ）A. 对于独立性检验，2X 的值越大，说明两事件的相关程度越大B. 以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程ˆˆˆy a bx =+中，ˆ2,1,3b x y ===，则ˆ1a= D. 通过回归直线ˆˆˆybx a =+及回归系数ˆb ，可以精确反映变量的取值和变化趋势【解析】 【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.【详解】对于A ，根据独立性检验的性质知，2X 的值越大，说明两个事件的相关程度越大，故A 正确；对于B ，由e kx y c =，两边取自然对数，可得lnln y c kx =+， ln z y =，则ln z kx c =+，因为0.34z x =+，所以ln 4,0.3,c k == 则4e ,0.3,c k = = 故B 正确； 对于C ，由于回归直线过点ˆˆ(,),3211x y a y bx=−=−×=，故C 正确； 对于D ，通过回归直线ˆˆˆybx a =+及回归系数ˆb ，可预测变量的取值和变化趋势，故D 错误. 故选：ABC .10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A. 222234511C C C C 220++++= B. 记第n 行的第i 个数为i a ，则11134n i n i i a +−==∑C. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等D. 第30行中第12个数与第13个数之比为12∶19 【答案】BD 【解析】【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断即可． 【详解】对于A ，由11C C C m m m nn n −++=可得:22222322234511334511C C C C 1C C C C C ++++=++−+++322244511C C C C 1=++++− 312121110C 11219321××−−×× ,故A 错误；对于B ，()11001122133C 3C 3C 3C 134n ni n n n i n n n n i a +−==++++=+=∑ ，故B 正确；对于C ，第2023行的二项式系数个数为偶数，中间两项最大，即10112023C 和10122023C ， 也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故C 错误；对于D ，第30行中第12个数与第13个数之比为()()()()1112303012!18!30!C :C 12:1911!19!30!×=×=×，故D 正确. 故选：BD.11. 某大学文学院有A B 、两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室A 的概率为13；他第二天去自习室B 的概率为14；如果他第一天去自习室A ，则第二天去自习室B 的概率为12.下列说法正确的是（ ）A. 小王两天都去自习室A 的概率为14B. 小王两天都去自习室B 的概率为112C. 小王两天去不同自习室的概率为34D. 如果他第二天去自习室B ，则第一天去自习室A 的概率为12 【答案】BC 【解析】【分析】根据条件概率公式及独立事件概率公式计算即可判断.【详解】设小王第一天去自习室A 的事件为1A ，第二天去自习室A 的事件为2A ， 设小王第一天去自习室B 的事件为1B ，第二天去自习室B 的事件为2B ， 由题意，11()3P A =，212121()()()4P B P A B P B B =+=，又12211()1()()2P A B P B A P A ==，所以12111()236P A B =×=，则122121111()()()43212P B B P B P A B =−=−×=，所以B 正确； 因为12211()1()()2P A A P A A P A ==，所以12111()236P A A =×=，所以A 错误；设小王两天去不同自习室的事件为C ， 则1212113()1()()16124P C P A A P B B =−−=−−=，所以C 正确； ()()()1211122321234P A B P A B P B ×===，所以D 错误；故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则()E ξ=__________． 【答案】1 【解析】【分析】根据题意可列出ξ的分布列，即可得答案.【详解】∵编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位， ∴有123,132,213,231,312,321,共6种结果，设与座位编号相同的学生个数为ξ，则ξ的可能为0,1,3， ∴ξ的分布列为：∴()1110131326E ξ=×+×+×=. 故答案为:1.13. 在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量,X Y 的取值集合均为{}()*0,1,2,3,,n n ∈N ，则,X Y 的散度()()()(||)ln ni P X i D X Y P X i P Y i =====∑.若X ，Y 的概率分布如下表所示，其中01p <<，则(||)D X Y 的取值范围是__________.【答案】[)0,∞+ 【解析】【分析】根据已知公式得出()11(||)ln 241D X Y p p =−，根据二次函数最值与不等式性质得出114(1)p p ≥−，即可根据对数函数性质得出11(||)ln 024(1)D X Y p p =≥−，即可得出答案.【详解】根据已知公式()()()0(||)ln ni P X i D X Y P X i P Y i =====，得111111(||)ln ln ln 22(1)2224(1)D X Y p p p p =+=−−， 24(1)44p p p p −=−+，令244p y p =−+，开口向下，对称轴为12p =， 244p p ∴−+在01p <<上，24410p p −+≤<，则114(1)p p ≥−，则11(||)ln 024(1)D X Y p p =≥−， 故答案为：[)0,∞+14. 若二次函数()223f x x =+的图象与曲线C ：()e 3(0)xg x a a =+>存在公切线，则实数a 的取值范围是________. 【答案】280,e【解析】【分析】设公切线与()f x 、()g x 的切点坐标，由导数的几何意义，斜率公式化简，分理出a 后构造函数，利用导数判断单调性，求出最值即可求解.【详解】由()223f x x =+可得()4f x x ′=， 由()e 3xg x a =+可得()e xg x a ′=， 设公切线与()223f x x =+的图象相切于点()211,23x x +， 与()e 3xg x a =+的图象相切于点()22,e 3xx a +， 所以()222212112121e 323e e 24x x x a x x x x a x x a x +−−===−−+，即11122122x x x x x −=−， 可得10x =或2122=+x x ， 因为214e xx a =，0a >，则1>0x ，21222x x =+>，即21x >，()()2222214e 2281e 4ex x x x x x a−−===，21x >， 令()()81e ,1x x h x x −=>，可得()()2e 8e 81168e ex x xx x h xx −−′=−=， 由()0h x ′>可得12x <<；由()0h x ′<可得2x >， 所以()()81exx h x −=在()1,2上单调递增，在()2,∞+上单调递减， 所以()()()max 2282182e eh x h ×−===， 所以实数a 的取值范围是280,e， 故答案为：280,e.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设函数()32398f x x x x =−−+．（1）求f （x ）在1x =处的切线方程；（2）求f （x ）在[－2，4]上的最大值和最小值．【答案】（1）1290x y +−=； （2）最大值是13，最小值是－19. 【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出结果； （2）利用导数判断函数的单调性，进而结合单调性即可求出最值. 【小问1详解】由题意知，()13f =−，即切点为（1，－3）， 又()2369f x x x ′=−−，所以()112f ′=−所以f （x ）在1x =处的切线方程为：312(1)y x +=−−，即1290x y +−=； 【小问2详解】()()()2369331f x x x x x =−−=−+′，令()0f x ′<得13x −<<；令0f x '>得1x <−或3x >，故f （x ）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和()3,+∞，函数f （x ）的极大值()113f −=，函数f （x ）的极小值()319f =−， 又()26f −=，()412f =− ∴f （x ）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－19 16. 已知()()23nf x x =−展开式的二项式系数和为512，且()()()()201223111nnn x a a x a x a x −=+−+−++− ．（1）求2a 的值；（2）求123n a a a a ++++ 的值； （3）求12323n a a a na ++++ 的值． 【答案】（1）144−;（2）2; （3）18. 【解析】【分析】(1)根据二项式系数和为512先确定n 值，再计算2a 值； (2)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得． (3)先求导数后代值，即可得答案. 【小问1详解】由二项式系数和为512知，9251229n n ==⇒=，故()()()()()9099212921112311x a a a a x x x x −−−=−−=++++ − ， 所以()7722998C 21414421a ×=××−=−×=−×. 【小问2详解】在()()()()929012923111x a a x a x a x −=+−+−++− 中， 令1x =，可得()902131a =×−=−， 令2x =，可得()901292231a a a a ++++=×−= ，所以1231239n a a a a a a a a =++++++++()1230902a a a a a a ++++=+−= .【小问3详解】在()()()()929012923111x a a x a x a x −=+−+−++− 中， 两边求导可得()()()1288918223119x a a x a x =+−++−− ， 令2x =,可得()1289291823128a a a +++=−=× ， 所以121239232918n a a a a a a na ++++=+++= .17. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．的（1）请完成下列22×列联表．并依据小概率值0.01α=的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联；（结果均保留到小数点后三位）上课转笔上课不转笔合计 优秀 合格 20 合计55100（2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k 的概率为()P k ，当()P k 取最大值时，求k 的值．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．()2P k χ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，成绩优秀与上课转笔有关; （2）分布列见解析，()72E X =； （3）11k =. 【解析】【分析】（1）列出22×列联表，求出2χ，对照临界值即可得出答案； （2）得出X 的值，求出相应的概率，写出分布列，从而求出数学期望；（3）由题意可得20111920202011212020C 0.550.45C 0.550.45C 0.550.45C 0.550.45k k k k k k k k k k k k −++−−−−− ≥ ≥ ，解出k 的范围，即可得出答案. 【小问1详解】零假设0H ：成绩优秀与上课转笔无关，22×列联表如下：上课转笔 上课不转笔 合计优秀 5 25 30 合格 50 20 70 合计 5545100()22100520255025.449 6.63545557030χ××−×≈>×××，根据小概率值0.01α=独立性检验，我们推断0H 不成立， 因此认为成绩优秀与上课转笔有关． 【小问2详解】100个人中优秀的人数为()0.01250.00252010030+××=， 则合格的人数为70人，由分层抽样可知：10人中有3人优秀，7人合格； 由题意X 的可能值为2,3,4,5,()2373510C C 12C 12P X ===,()3273510C C 53C 12P X ===, ()4173510C C 54C 12P X ===,()5073510C C 15C 12P X ===, 则X 的分布列为: 所以()155172345121212122E X =×+×+×+×=. 【小问3详解】由题意可知()~20,0.55k B ，则()2020C 0.550.45kkkP k −=，20111920202011212020C 0.550.45C 0.550.45C 0.550.45C 0.550.45k k k k k k k k k k k k −++−−−−− ≥ ≥ , 解得10.5511.55k ≤≤. 又k ∈N ,所以11k =，则当11k =时，()P k 取最大值．18. 一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t （分钟）和答对人数y 的统计表格如下： 时间t （分钟） 102030405060708090100答对人数y987052363020151155lg y1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.70.7时间t 与答对人数y 和lg y 的散点图如下：附：102138500ii t==∑，101342i i y ==∑，101lg 13.52i i y ==∑，10110960i i i t y ==∑，101lg 621.7i i i t y ==∑，对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线方程ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==−=−∑∑，ˆˆv u αβ=−．请根据表格数据回答下列问题： （1）根据散点图判断，yat b =+与lg y ct d =+哪个更适宜作为线性回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）判断结果，建立y 与t 的回归方程；（a ，b 或c ，d 的计算结果均保留到小数点后三位） （3）根据（2）请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍．（结果四舍五入保留整数）（参考数据：lg 20.3≈，lg 30.48≈）． 【答案】（1）lg yct d =+更适宜作为线性回归类型； （2）0.015 2.16610t y −+=； （3）19分钟. 【解析】【分析】（1）根据给定的两个散点图即可得答案.（2）先求得lg y 的线性回归方程，再将对数式化为指数式即得y 与t 的回归方程. （3)）解不等式 75y ≥即可得答案. 【小问1详解】观察两个散点图知，lg yct d =+更适宜作为线性回归类型. 【小问2详解】 依题意，1020304050607080901005510t+++++++++=，101lg 1.3521lg 10i i y y ===∑，由（1）知，lg yct d =+，根据最小二乘法得： 101102221lg 10lg 621.71055 1.3520.01480.01538500105510iii ii t y t yct t ==−−××=≈−≈−−×−∑∑， lg 1.352(0.0148)55 2.166dy ct =−=−−×=，于是lg 0.015 2.166y t =−+， 因此y 与t 的回归方程0.015 2.16610t y −+=. 【小问3详解】依题意，75y ≥，即0.015 2.1661075t −+≥，则0.015 2.166lg 75t −+≥，而lg 752lg 5lg 322lg 2lg 3 1.88=+=−+≈，于是0.015 2.166 1.88t −+≥，解得19t ≤， 所以要想答对人数不少于75人，至多间隔19分钟需要重新记忆一遍.19. 对于正实数a ，()b a b >，我们熟知基本不等式：(,)(,)G a b A a b <，其中(,)G a b =为a ，b 的的几何平均数，(,)2a b A a b +=为a ，b 的算术平均数．现定义a ，b 的对数平均数：(,)ln ln a bL a b a b −=−．（1）设1x >，求证：12ln x x x<−；（2）证明(,)(,)G a b L a b <；（3）若不等式(,)(,)(,)G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数,()a b a b >恒成立，求正实数m 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）(0,2]m ∈ 【解析】【分析】（1）构造函数11()ln (),02f x x x x x=−−>，利用其单调性可证得()(1)0f x f <=推理即得； （2）将待证式等价转化成<−设t =，则1t >，利用（1）结论证明12ln t t t <−即可；（3）将题设不等式等价转化成11(1)2ln am a b a b b−<+⋅+，设t =，则1t >，将问题化成1ln 01t m t t −⋅−<+在1t >时恒成立.，设1ln ,1()1t t t t g t m ⋅−=−>+，分类讨论其导函数的零点情况，探讨函数()g t 的值域情况即得. 【小问1详解】设11()ln (),02f x x x x x=−−>，则2222211121(1)()2222x x x f x x x x x −−−′=−−==−， 故当1x >时，()0f x ′<恒成立，即()f x 在(1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，故1x >时，()(1)0f x f <=即1x >时，11ln ()2x x x<−，即12ln x x x <−得证.【小问2详解】要证(,)(,)G a b L a b <ln ln a ba b−<−，因a b >，故只需证，ln a b <<设t =，则1t >，由（1）可得12ln t t t <−，即得<−故(,)(,)G a b L a b <得证.的【小问3详解】由不等式(,)(,)(,)G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数,()a b a b >恒成立可得，ln ln 2a b a b m a b −+⋅<+−，即11(1)2ln a m a b a b b−<+⋅恒成立.设t =，则1t >，则有2211(1)2ln 2m t t t t −<+⋅+，化简得，11ln m t t t −⋅<+，即1ln 01t m t t −⋅−<+在1t >时恒成立.设1ln ,1()1t t t t g t m ⋅−=−>+，则222212(1)1,1)(1))((t m t t t t g m t t ′−+−−−=++=⋅ ① 当24(1)40m ∆=−−>时，即m>2时，方程22(1)10t m t −+−−=有两个异根12,t t ， 由12122(1)0,10t t m t t +=−>⋅=>，可取11,t >则201t <<，因1t >，故当11t t <<时，()0g t ′>，()g t 在1(1,)t 上单调递增，故()(1)0g t g >=，与题意不符，故舍去；② 当02m <≤时，因1t >，则2222(1)121(1)0t m t t t t −+−−≤−+−=−−<，即()0g t ′<，()g t 在(1,)+∞上单调递减，故恒有()(1)0g t g <=成立，符合题意. 综上可知，(0,2]m ∈【点睛】思路点睛：本题主要考查运用导数证明不等式，解决不等式恒成立求参问题，属于难题. 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
2023-2024学年河北省石家庄市高二(下)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−1,0,1}，B={x|x(x−1)≤0}，则A∩B=( )A. ⌀B. {0}C. {1}D. {0,1}2.命题p：∀x∈R，都有e x>1，则命题p的否定为( )A. ∃x∈R，使得e x≤1B. ∀x∈R，都有e x<1C. ∃x∈R，使得e x>1D. ∀x∈R，都有e x≤13.函数f(x)=x+1x在x=2处的切线斜率为( )A. −3B. 34C. 54D. 54.不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )A. [−4,4]B. (−4,4)C. (−∞,−4]∪[4,+∞)D. (−∞,−4)∪(4,+∞)5.从7本不同的书中选3本送给3个人，每人1本，不同方法的种数是( )A. C37B. A37C. 37D. 736.已知一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x n,y n)，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为y=0.85x−85.7，则在样本点(165,57)处的残差为( )A. −2.45B. 2.45C. 3.45D. 54.557.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量X～N(μ,σ2)，可以证明，对给定的k∈N∗，P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩ξ基本服从正态分布ξ～N(105,102).若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在(105,125)的考生人数大约为( )A. 341B. 477C. 498D. 6838.某货车为某书店运送书籍，共10箱，其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书.到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为( )A. 15B. 14C. 13D. 38二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
2022届河北省石家庄市高二第二学期数学期末质量检测试题含解析
2022届河北省石家庄市高二第二学期数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知i 为虚数单位，z 41ii=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣2i B ．2iC ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得22z i =+，即可得到复数的虚部，得到答案. 【详解】 由题意，复数()()()41422111i i i i z i i i ⋅-==+++-=，所以复数z 的虚部为2，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．求值：4cos 50°－tan 40°＝( ) ABC．D ．1【答案】C 【解析】 【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=440404040sin cos sin cos ︒︒-︒︒=()280301040sin sin cos ︒-︒+︒︒=121010102240cos cos cos ︒-︒-︒︒=310102240cos sin cos ︒-︒︒=()301040cos ︒+︒︒故选C ． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 3．复数1i i-+等于（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i【答案】A 【解析】 【分析】直接化简得到答案. 【详解】12z i i i i i=-+=--=-.故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.4．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是（ ）.附表：A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A【解析】 【分析】对照表格，看2K 在0k 中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论． 【详解】由2K ≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A ． 【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题．5．已知函数()(ln )xe f x k x x x=--，若()f x 只有一个极值点，则实数k 的取值范围是A ．(,)e -+∞B ．(,)e -∞C ．(,]e -∞D ．1(,]e-∞【答案】C 【解析】 【分析】由2()()(1),(0,)x kx e f x x x x -∈'=-+∞，令()0f x '=，解得1x =或x e k x =，令()xeg x x=，利用导数研究其单调性、极值，得出结论. 【详解】221(1)()()(1)(1),(0,)x x e x kx e f x k x x x x x--=--=-∈+∞'， 令()0f x '=，解得1x =或xek x=，令()x e g x x =，可得2(1)()x e x g x x'-=， 当1x =时，函数()g x 取得极小值，(1)g e =，所以当k e <时，令()0f x '=，解得1x =，此时函数()f x 只有一个极值点， 当k e =时，此时函数()f x 只有一个极值点1，满足题意， 当k e >时不满足条件，舍去.综上可得实数k 的取值范围是(,]e -∞，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.6．复数5(12ii i-是虚数单位)的虚部是( ) A ．2- B ．1C ．2i -D ．i【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得答案． 【详解】()()()512510*********i i i i i i i i +-+==-+--+Q， ∴复数512ii-的虚部是1． 故选B ． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 7．已知直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直，则,m n 的关系为（ ） A ．0m n += B ．10++=m nC ．0-=m nD ．10-+=m n【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直，列出等量关系，化简即可得出结果. 【详解】因为直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直， 所以110⨯-⨯=m n ， 即0-=m n 选C 【点睛】根据两直线垂直求出参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.8．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π【答案】C 【解析】由题意得PC 为球O 的直径,而222425PC =+=,即球O 的半径5R =;所以球O 的表面积24π20πS R ==.本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有55120A =种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有211321336A A A =种取法，∴36312010P == 考点：古典概型及其概率计算公式10．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 11．已知8位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是( )A．众数为7B．极差为19C．中位数为64.5D．平均数为64【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数． 【详解】根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，A 错误； 极差是75﹣57＝18，B 错误；中位数是62672+=64.5，C 正确； 平均数为6018+（﹣3﹣1+1+2+7+7+12+15）＝65，D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题． 12．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是（） A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 无最大值，最小值75【答案】A 【解析】 【分析】先化简函数()f x ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法 【详解】 因为函数()()2132132111x x f x x x x -++===+---，所以()f x 在[)8,4--上单调递减，则()f x 在8x =-处取得最大值，最大值为53，4x =-取不到函数值，即最小值取不到.故选A. 【点睛】本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值，考查分析判断求解能力，属基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____． 【答案】2； 【解析】 【分析】先求这组数据的平均数x ，再代入方差公式，求方差.【详解】 因为1325415355x ++++===，方差222222(13)(33)(23)(53)(43)25s -+-+-+-+-==.【点睛】本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力.14．给出定义 ：对于三次函数32()(0),f x ax bx cx d a =+++≠设'()f x 是函数()y f x =的导数，()f x ''是'()f x 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点0,0((())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数3232115()32,()33212h x x x x g x x x x =-++=-+-.设1234037()()()......(),2019201920192019h h h h n ++++=1232018()()()......()2019201920192019g g g g m +++=.若2()(1),t x mx nxt '=+则(0)t '=__________． 【答案】-4037 【解析】 【分析】由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有()(1)2g x g x +-=,()(2)2h x h x +-=,借助倒序相加的方法,可得,m n 进而可求2()(1)t x mx nxt '=+的解析式,求导,当1x =代入导函数解得(1)t ',计算求解即可得出结果. 【详解】 函数32115()33212g x x x x =-+-函数的导数2()3,()21g x x x g x x '''=-+=-由()0g x ''=得0210x -=解得012x =,而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭故函数()g x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()(1)2g x g x ∴+-=故1232018()()()...+()2019201920192019g g g g m +++=，201820171201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L两式相加得220182m ⨯=，则2018m =.同理32()32h x x x x =-++,2()361h x x x '=-+,()66h x x ''=-,令()0h x ''=,则1x =,(1)1h =,故函数()h x 关于点()1,1对称,()(2)2h x h x ∴+-=,1234037()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=4037403640351()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=两式相加得240372n ⨯=,则4037n =. 所以2()20184037(1),t x x xt '=+()40364037(1),t x x t ''=+当1x =时, (1)40364037(1),t t ''=+解得:(1)=1t '-,所以()40364037,t x x '=-则(0)4037t =-'.故答案为: -4037. 【点睛】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难. 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为______． 【答案】32【解析】 【分析】 【详解】分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由6abc =及公式in 12s S ab C =求得面积. 详解：由题意得22sin c R C ==，即sin 2cC =， ∴1sin 2ABC S ab c ∆==1113622442c ab abc ⨯==⨯=，故答案为32.点睛：正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为4abcS R=22sin sin sin R A B C =.16．已知数据12n x ,x ,,x L 的方差为1，则数据i 3x 1(i 1,2,,n)+=L 的方差为____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据方差的线性变化公式计算：i x 方差为m ，则i ax b +的方差为2a m . 【详解】因为()1,2,3...i x i n =方差为1，则()1311,2,3...x i n +=的方差为2319⨯=, 【点睛】本题考查方差的线性变化，难度较易.如果已知i x 方差为m ，则i ax b +的方差为2a m ，这可用于简便计算方差.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-. （1）m 为何值时，z 是纯虚数？ （2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.【答案】（1）2-；（2）[,5【解析】 【分析】（1）利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m 的值； （2）由复数的几何意义，画出图形，数形结合得答案 【详解】（1）()()()()12212z m i i m m i =+-=++-．当20120m m +=⎧⎨-≠⎩时，即2m =-时，z 是纯虚数； （1）()()212z m m i =++-Q∴可设复数z 对应的点为(,)P x y ，则由212x m y m=+⎧⎨=-⎩，得250x y +-=，即点P 在直线250x y +-=上， 又5z ≤Q ，∴点P 的轨迹为直线250x y +-=与圆2225x y +=相交的弦AB ，则z i -表示线段AB 上的点到(0,1)M 的距离PM ，由图象可知，当PM AB ⊥时，距离最小，即点M 到直线的距离，则min ()5PM ==由2225025x y x y +-=⎧⎨+=⎩得05x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=-⎩(0,5)A ∴，(4,3)B -max ()PM BM ===，||z i ∴-的取值范围是45[,42]5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，属于中档题． 18．已知函数()21()2ln x f x a x x x -=-+，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】 (1) 当a≤0，()f x 在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当104a <<，()f x 在（0，2）和,a a +∞）上单调递增，在（2aa）递减；当a=14，()f x 在（0，+∞）递增；当a ＞14，()f x 在（0a 2，+a 2）递减；(2) ()1,081ln2a ⎛⎫∈- ⎪ ⎪-⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分四种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞，又()10f a =<，取01max ,5x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，可证明()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<，()f x 有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，可证明，当14a =时与当0a >且14a ≠时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2332122'1x ax x f x a x x x ---⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，（i ）当0a ≤时，210ax -<恒成立，()0,2x ∈时，()()'0,f x f x >在()0,2上单调递增； ()2,x ∈+∞时，()()'0,f x f x <在()2,+∞上单调递减.（ii ）当0a >时，由()'0f x =得，1232,x x x ===（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x ≥恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增； ②当12x x >，即14a >时，x ⎛∈ ⎝或()2,x ∈+∞， ()'0f x >恒成立，()f x 在(),2,⎛+∞ ⎝上单调递增；x⎫∈⎪⎭时，()'0f x <恒成立，()f x 在⎫⎪⎭上单调递减.③当12x x <，即104a <<时，x ⎫∈+∞⎪⎭或()0,2x ∈时，()'0f x >恒成立， ()f x 在()0,2,⎫+∞⎪⎭单调递增， x⎛∈ ⎝时，()'0f x <恒成立，()f x 在⎛ ⎝上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间为； 当14a >时，()f x 单调递增区间为(),2,⎛+∞ ⎝，单调递减区间为⎫⎪⎭.（2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞， 又()10f a =<Q ，取01max ,5x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，令()()1212ln ,f x x x f x x =-=，则()12'10f x x=->在()2,+∞成立，故()12ln f x x x =-单调递增， ()()1052ln5122ln51f x ≥-=+->，()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<， ()f x ∴有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--， 1088ln 2a ∴>>--，当0a =时，()21x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当0a >且14a ≠时，()f x 有两个极值， ()()1222ln 20,ln 4f a f a a a =-+>=-， 记()ln g x x x x =-，()()'1ln 1ln g x x x =++-=， 令()ln h x x =+，则()3322111'22h x x x x =-+=， 当14x >时，()()'0,'h x g x >在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当104x <<时，()()'0,'h x g x <在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 故()()1''=22ln 20,4g x g g x ⎛⎫>->⎪⎝⎭在()0,∞+单调递增， 0x →时，()0g x →，故ln 0f a a a =+->，又()()1222ln 204f a =-+>， 由（1）知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2⎛⎫- ⎪-⎝⎭.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19．已知函数()2sin cos f x x x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大值，并说明取最大值时对应的x 的值. 【答案】（1）()f x 的最小正周期为T π=（2）3x π=时，()f x 取得最大值32【解析】 【分析】降次化为()sin()f x A ωx φB =++的形式再通过2T πω=求出最小正周期。
石家庄市高二下学期期末考试理科数学试卷(带解析)
石家庄市高二下学期期末考试理科数学试卷（带解析）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.设随机变量X 服从正态分布()3,4N ,若()()232P X a P X a <+=>-,则a 的值为( )A.53 B. 3 C. 5D. 732甲,乙,丙,丁四位同学各自对A,B 两变量的线性相关试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r 如表:甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85则这四位同学的试验结果能体现出A,B 两变量有更强的线性相关性的是( ). A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3已知a 是实数，i 是虚数单位，是纯虚数，则a 的值为（ ）.A ．1B ．﹣1C ．D ．﹣4.用三段论推理:“任何实数的平方大于0,因为a 是实数,所以20a >”,你认为这个推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的 5若i 为虚数单位，复数z=2﹣i ，则+=（ ）.A ．2+iB ．2+iC ．2+iD ．2+3i6某人上班途中要经过三个有红绿灯的路口，设遇到红灯的事件相互独立，且概率都是0.3，则此人上班途中遇到红灯的次数的期望为（ ）.A ．0.3B ．0.33C ．0.9D ．0.77已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）.A ．B ．C ．D ．8设（x ﹣）6的展开式中x 3的系数为a ，二项式系数为b ，则的值为（ ）.A ．B ．C ．16D ．49某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将4个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数为（ ）.A ．12B ．36C ．72D ．108 10.函数()()22xf x x x e =- (e 为自然数的底数)的图象大致是( )A.B.C.D.11已知x ＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N *），则a=（ ）.A ．2nB ．3nC ．n 2D ．n n12.用数学归纳法证明()()()22222222121111322n n n n n ++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅++=+时,由n k =的假设到证明1n k =+时,等式左边应添加的式子是( )A. ()2212k k ++ B. ()221k k ++C. ()21k + D.()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦ 二、填空题13若（x+m ）9=a 0+a 1（x+1）+a 2（x+1）2+…+a 9（x+1）9，且a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…+a 8﹣a 9=39，则实数m 的值为 ．14曲线y=x 2﹣1与直线x+y=1围成的图形的面积为 ．15甲、乙两名选手进行围棋比赛，甲选手获胜的概率为，乙选手获胜的概率为，有如下两种方案，方案一：三局两胜；方案二：五局三胜．对于乙选手，获胜概率最大的是方案 ．16已知函数f （x ）=x 3+ax 2﹣a （a∈R），若存在x 0，使f （x ）在x=x 0处取得极值，且f （x 0）=0，则a 的值为 ． 三、解答题 17 如图:的角平分线的延长线交它的外接圆于点。
2021-2022学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知{}n a 是等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则公差d 为（ ） A ．6 B ．6-C ．2-D ．2【答案】C【分析】设{}n a 的首项为1a ，把已知的两式相减即得解.【详解】解：设{}n a 的首项为1a ，根据题意得111111241053599a a d a d a d a d a d ++++=⎧⎨+++++=⎩，两式相减得2d =-. 故选：C2．甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人各射击一次恰有一人中靶的概率为（ ） A ．0.26 B ．0.28 C ．0.72 D ．0.98【答案】A【分析】依据独立事件同时发生的概率即可求得甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率.【详解】记甲中靶为事件A ，乙中靶为事件B ， 则()0.8()0.2,()0.9()0.1P A P A P B P B ====，，甲乙两人各射击一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中两种情况， 则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率为 ()()()()0.80.10.90.20.26P A P B P B P A ⋅+⋅=⨯+⨯=故选：A3．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =，则向量MN 可表示为（ ）A ．12a b c ++B ．1144a b c ++C ．131484a b c --D ．313444a b c +-【答案】D【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解. 【详解】解：因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =， 所以()111113132424MN MA A N AD AC AD AC AA =+=-+=-+-()111331331324444444AD AB AD AA AB AD AA a b c =-++-=+-=+-， 故选：D.4．已知F 是椭圆22:11615x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(4,4)，则||||PQ PF +的最大值为（ ） A ．41 B ．13C ．3D ．5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示：()42||||||2||2||841413PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+=+-+=，故选：B5．已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（ ）A ．3±B ．3C．D．【答案】A【分析】依据点差法即可求得a b 、的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率. 【详解】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-， 由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=则22620a b -=，即22=3a b ，则3a b 则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为a b ±=故选：A6．若数列{}n b 满足()1233721n n b b b b n ++++-=，则数列{}n b 的通项公式为（ ）A ．2n b n =B ．2n n b =C ．42n nb =D ．121n n b =- 【答案】D【分析】由()1233721n n b b b b n ++++-=，分两步，当1n =求出1b ，当2n ≥时得到()1123137211n n b b b b n --++++-=-，两式作差即可求出数列{}n b 的通项公式；【详解】解：因为()1233721n n b b b b n ++++-=①，当1n =时，11b =，当2n ≥时()1123137211n n b b b b n --++++-=-②，①-②得()211nn b -=，所以121n n b =-，当1n =时121n n b =-也成立，所以121nn b =-； 故选：D7ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，O 是正方形ABCD 的中心，则EOF ∠的大小为（ ） A ．60︒ B ．120︒C ．45︒D ．135︒【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求EOF ∠的大小即可解决. 【详解】由题意可得OC ⊥平面ABD ，OA OB ⊥，则OA OB OC 、、两两垂直 以O 为原点，分别以OB 、OA 、OC 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0)O ，11(,,0)22E -，11(,0,)22F ，11(,,0)22OE =-，11(,0,)22OF =222211110012222cos cos ,211112222OE OF EOF OE OF OE OF -⨯+⨯+⨯⋅∠====-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又0180EOF ≤∠≤，则120EOF ∠= 故选：B8．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221231e e +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率1e 和双曲线的离心率2e 的关系式，即可求得221231e e +的值. 【详解】设椭圆的长轴长为2m ，双曲线的实轴长为2n ，令122F F c =， 不妨设12PF PF >则121222n PF PF m PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，解之得12PF m n PF m n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩代入()22212122π22cos3c PF PF PF PF =+-⋅， 可得()()()()()2222c m n m n m n m n =++-++-整理得22243c m n =+，即2243m n c c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是2212314e e +=故选：C 二、多选题9．给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ）A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B ．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则A 与B 互为对立事件C ．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是950D ．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率 【答案】CD【分析】根据频率和概率的定义，以及对立事件的定义，即可判断选项.【详解】A.甲胜的概率为35表示甲每次获胜的可能性都是35，但不一定比赛5场，甲胜3场，故A 错误；B. 事件A 与B 都包含“向上的点数为1”这个事件，故不是对立事件，故B 错误；C.由频率的概念可知抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是950，故C 正确； D.频率在一定程度上反映了事件发生的可能性，随着实验次数的改变而改变，当实验次数相当大时，频率非常接近概率，而概率是事件本身的属性，不随实验次数的多少而改变，是定值，故D 正确. 故选：CD10．已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于AB 、两点，点P 为双曲线C 上异于A B 、的一动点，则下列结论正确的有（ ） A ．22F A F B ⋅的最大值为9B ．若以AB 为直径的圆经过双曲线的右焦点2F ，则1216F AF S ∆=C ．若17PF =，则有21PF =或13D ．设PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，则221214k k +的最小值为94【答案】BD【分析】求得22F A F B ⋅的最大值判断选项A ；求得12F AF S ∆判断选项B ；求得2PF 的值判断选项C ；求得221214k k +的最小值判断选项D. 【详解】双曲线22:1916x y C -=中1(5,0)F -、2(5,0)F ，焦距210c =，实轴长26a =不妨设111111()()(0,0)A x y B x y x y -->>,、,，22(,)P x y选项A ：211211(5,),(5,)F F A x y B x y =-=---则2222111111(5,)(5,)250F A B F x y x y x y ⋅=-⋅---=--=，又()22111699y x =-，则222125419F F A B x ⋅=- 由13x ≥，可知219x ≥，即212541169x -≤，则22F A F B ⋅的最大值为16.判断错误； 选项B ：以AB 为直径的圆经过双曲线的右焦点2F ，则有22F A F B ⊥则22222111111125(5,)(5,)254109F A B x y x y x y F x ⋅=-⋅---=--=-=， 解之得2194125x =⨯，则2116925641992525y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则1165y =则1212111161016225F F A F y S F ∆⨯⨯⨯==⨯=.判断正确； 选项C ：若17PF =，由12276PF PF PF -=-=，可得213PF =或21PF =（因为212PF c a =<=-，舍去）.判断错误；选项D ：由2211222219161916x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()212121210916x x x x y y y y -+-+-=即()()()()212121210916x x x x y y y y -⎡--⎤-⎡--⎤⎣⎦⎣⎦-=，则12169k k = 故22121212141299241644k k k k k k +≥⋅==⨯=，（当且仅当122k k == 即221214k k +的最小值为94.判断正确. 故选：BD11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-，数列{}n b 满足1n n n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ） A ．数列{}n a 的通项公式为13-=n n a B ．{}lg n a 为等差数列C ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．数列{}n b 的通项公式()()11233131n n nn b -+⨯=-- 【答案】BCD【分析】根据题目求出{}n a 的通项公式，即可判断A 、B 选项的正误；求出数列{}n b 的通项公式，利用裂项相消法结合数列的单调性可判断C 、D 选项的正误. 【详解】当=1n 时，11312S a =-，则12a =， 当2n ≥时，11312n n S a --=-，两式相减得：()132n n n a a a -=-，则13n na a -=， 所以{}n a 是以首项为2，公比为3的等比数列. 11123n n n a a q --∴==⋅，所以A 错；又因为()()11lg lg 23lg 2lg31lg3lg 2n n n a n --=⋅=+=-+，()+1lg lg lg3lg21lg3lg2lg3n n a a n n ∴-=+---=，所以{}lg n a 是以1lg =lg 2a 为首相，lg 3为公差的等差数列，所以B 对. 11123n n n a a q--==⋅，()2133113n n n S -∴==--,()()()()()()11111313123111133313131313131n nn n n n n n n n b +-+++---⨯⎛⎫==⨯=-⎪------⎝⎭，D 对； 22334111111111133131313131313131n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()111166331n +=-<-，0n b >，所以，数列{}n T 为单调递增数列，则118n T T ≥=，故1186n T≤<，C 对.故选：BCD.12．设m R ∈，直线310mx y m --+=与直线310x my m +--=相交于点(,)P x y ，线段AB 是圆22:(2)(1)9C x y +++=的一条动弦，Q 为弦AB 的中点，||AB =确的是（ ）A ．点P 在定圆22(2)(2)8x y -+-=上B ．点P 在圆C 外C ．线段PQ 长的最大值为6D ．PA PB ⋅的最小值为15-【答案】BC【分析】两直线互相垂直，分别过定点(3,1)M ，定点(1,3)N ，可得P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=即可判断选项A ；判断两圆的位置关系可判断选项B ；由垂径定理可得||1CQ =，则有Q 的轨迹是以(2,1)C --为圆心，半径为1的圆，从而可得线段PQ 长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径即可判断选项C ；由数量积的运算结合选项C 即可判断选项D ．【详解】解：因为直线310mx y m --+=与310x my m +--=，满足1(1)0m m ⋅+⋅-=，所以两直线互相垂直，又两直线分别过定点(3,1)M ，定点(1,3)N ，所以P 是以MN 为直径的圆，圆的方程为22(2)(2)2x y -+-=，故选项A 错误；圆22(2)(2)2x y -+-=与圆22:(2)(1)9C x y +++=的圆心距为53，所以两圆相离，则点P 在圆C 外，故选项B 正确；因为||AB =Q 为弦AB 的中点，所以||QA =(2,1)C --到弦AB 的距离为||1CQ =，所以弦AB 中点Q 的轨迹是以(2,1)C --为圆心，半径为1的圆， 所以线段PQ 长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径，即16选项C 正确； 2()()()PA PB PQ QA PQ QB PQ PQ QA QB QA QB⋅=+⋅+=+⋅++⋅22222||8PQ QA PQ QA PQ =-=-=-，因为||14min PQ所以2()(4810min PA PB ⋅=-=-选项D 错误． 故选：BC. 三、填空题13．抛物线22y x =的焦点坐标是______. 【答案】10,8⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程212x y =，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：10,8⎛⎫⎪⎝⎭.14．如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为120︒，测得从D ，C 到库底与水坝斜面的交线的距离分别为80m DA =，60m BC =，若40m AB =，则甲，乙两人相距________________．【答案】2041【分析】首先构造二面角的平面角，如图，再分别在CEB △和CDE △中求解. 【详解】作//BE AD ，且BE AD =，连结DE ，EC ，BE AB ⊥，BC AB ⊥，AB ∴⊥平面EBC 且120CBE ∠=，四边形ADEB 时平行四边形，∴//DE AB ，∴DE ⊥平面EBC ，EC ⊂平面CEB ，∴DE EC ⊥CEB △中，22160802608020372EC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,CDE △中，22240148002041DC DE EC =+=+=.故答案为：204115．若椭圆22221y x a b+=的焦点在y 轴上，过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是________________． 【答案】2215y x +=【分析】设过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭的圆221x y +=的切线为l ，分类讨论求得直线l 分别与圆的切线,A B ，求得直线AB 的方程，从而得到直线AB 与x 轴、y 轴的交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，进而求得椭圆的方程.【详解】设过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭的圆221x y +=的切线分别为1(1)2-=-y k x ，即102kx y k --+=，当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为1x =，恰好与圆221x y +=相切于点(1,0)A ； 当直线l 与x 轴不垂直时，原点到直线l的距离为1||1k d -+==，解得34k =-，此时直线l 的方程为3544y x =-+，此时直线l 与圆221x y +=相切于点34(,)55B ，因此，直线AB 的斜率为14052315k -==--，直线AB 的方程为2(1)y x =--， 所以直线AB 交x 轴交于点(1,0)A ，交于y 轴于点(0,2)C ， 椭圆22221y x a b+=的右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2)，所以2,1c b ==，可得2225a b c ，所以椭圆的标准方程为2215y x +=.故答案为：2215y x +=.四、双空题16．已知递增数列{}n a 共有2021项，且各项均不为零，20211a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则n a 的范围是________________，数列{}n a 的所有项和2021S =________． 【答案】 (0,1] 1011 【分析】根据题意得到122020202101a a a a <<<<<=，得到202120201a a a -=，202120192a a a -=，，202112020a a a -=，进而得到2020120192120201a a a a a a +=+==+=，从而即可求得2021S 的值.【详解】由题意，递增数列{}n a 共有2021项，各项均不为零，且20211a =， 所以122020202101a a a a <<<<<=，所以n a 的范围是(0,1]，因为i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项， 即20212020202120192021101a a a a a a <-<-<<-<，且上述的每一项均在数列{}n a 中，所以202120201a a a -=，202120192a a a -=，，202112020a a a -=，即2020120192120201a a a a a a +=+==+=，所以2021220211S =+，所以20211011S =. 故答案为：(0,1]；1011. 五、解答题17．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，520S =，且3510,,a a a 成等比数列 (1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2n n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)35n a n =- (2)12372222+=+--n n n n S【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得到方程组，解得1a 、d ，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得(35)2nn b n =-+，再利用分组求和法求和即可；【详解】(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意，得()()()123451211151020294a a a a a a d a d a d a d ++++=+=⎧⎪⎨++=+⎪⎩， 解得140a d =⎧⎨=⎩或123a d =-⎧⎨=⎩，因为0d ≠，所以23(1)35n a n n =-+-=-． (2)解：当35n a n =-时，(35)2n n b n =-+，所以()1212212235372221222n n nn n S b b b n n n +--+-=+++=⋅+=+---．18．已知三个条件①圆心C 在直线1y =+上；②圆的半径为2；③圆过点2)M 在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)已知圆C 过点(2,1)A 且圆心在y 轴上，且满足条件________，求圆C 的方程； (2)在（1）的条件下，直线:20l ax y a +--=与圆C 交于P 、Q 两点，求弦长PQ 的最小值及相应的a 值．【答案】(1)条件选择见解析，圆C 的方程为22(1)4x y +-=(2)PQ 的最小值为22，相应1a =【分析】（1）选择条件①或②或③，求得圆心和半径，由此求得圆C 的方程. （2）首先求得直线l 过定点()1,2D ，根据CD PQ ⊥求得最短弦长以及此时a 的值.【详解】(1)若选条件①，由题意知，圆心是方程310y x x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的解，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以(0,1)C ，设半径为r ，则||2r AC ==．则圆的方程为：22(1)4x y +-=．若选条件②，设圆心(0,)C b ，由题意知22||(20)(1)2AC b =-+-=，所以1b =． 圆心()0,1C ，半径为2，所以圆的方程为：22(1)4x y +-=． 若选条件③，设圆心(0,)C b ，由题意知||||=AC MC ， 即有2222(20)(1)(30)(2)b b -+-=-+-，解得1b =， 圆心为()0,1C ，且半径为22(30)(21)2-+-=， 所以圆的方程为： 22(1)4x y +-=．(2)由（1）圆的方程为：22(1)4x y +-=，圆心为()0,1C ，半径2r =. 直线l 过定点(1,2)D ，要使弦长PQ 最短，CD PQ ⊥， 1CD PQ k k ∴⋅=-，21110CD k -==-，1PQ k ∴=-， 直线l 的斜率，也即直线PQ 的斜率为a -，所以1,1a a -=-=.||2CD =，2||24(2)22PQ ∴=-=，所以弦长最小值为22PQ =．19．已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取了n 名学生，成绩分为A （优秀），B （良好），C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14401064++=（人），数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人，已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07．(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求a ，b 的值；(2)已知12a ≥，10b ≥，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率． 【答案】(1)18a =，12b = (2)49【分析】（1）根据x 与y 均为A 等级的概率是0.07，求得n 值，再根据数学成绩的优秀率是30％求得a 值，最后利用抽取的总人数求出b 值即可；（2）根据30a b +=，12a ≥，10b ≥，写出满足条件得基本事件(),a b ，找出其中2a b >+的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可. 【详解】(1)由题意知140.07n=，解得200n =， 1428100%30%200a ++⨯=，解得18a =，由已知得1440103628834200a b ++++++++=，解得12b =. (2)由30a b +=，12a ≥，10b ≥，可知1220a ≤≤， 则试验的样本空间{(12,18),(13,17),(14,16),(15,15),(16,14),(17,13),(18,12)(19,11),(20,10)}Ω=，共9个样本点．其中2a b >+包含的样本点有(17,13),(18,12),(19,11),(20,10)共4个， 故所求概率49P =． 20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且2PA =，E 为PD 的中点．(1)求平面PAB 与平面ACE 夹角的余弦值；(2)在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(2)存在，点F 为线段BC 的靠近B 点的三等分点【分析】（1）根据题意证得BC ⊥平面PAB ，进而证得CD ⊥平面PAD ，得到PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得平面ACE 和平面ABC 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设点(2,,0)(02)F t t ≤≤，求得平面PAF 的法向量为1(,2,0)n t =-，结合向量的距离公式列出方程，求得t 的值，即可得到答案.【详解】(1)解：因为四边形ABCD 为正方形，则BC AB ⊥，CD AD ⊥， 由PB BC ⊥，BC AB ⊥，PB AB B ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ， 因为PA ⊂平面PAB ，所以PA BC ⊥，又由PD CD ⊥，CD AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ， 又因为PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥，因为BC CD C ⋂=且,BC CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ，由PA ⊥平面ABCD ，且AB AD ⊥，不妨以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ， 可得(2,2,0)AC =，(0,1,1)AE =，(2,2,2)PC =-，设平面ACE 的法向量为111(,,)z m x y =，则11112200m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11y =，可得111,1x z =-=-，所以(1,1,1)m =--， 易得平面PAB 的法向量为(0,1,0)n =，则cos ,||||3m n m n m n⋅===⋅⨯由平面PAB 与平面ACE 夹角为锐角，所以平面PAB 与平面ACE (2)解：设点(2,,0)(02)F t t ≤≤，可得(2,,0)AF t =，(0,0,2)AP =， 设平面PAF 的法向量为1(,,)n a b c =，则112020n AF a tb n AP c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取a t =，可得2,0b c =-=，所以1(,2,0)n t =-， 所以点E 到平面PAF 的距离为121||310||4AE n d n t ⋅===+， 解得249t =，即23t =或23t =- 因为0t >，所以23t =故当点F 为线段BC 的靠近B 点的三等分点时，点E 到平面PAF 的距离为310.21．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)1F x y -+=外的点P 在y 轴的右侧运动，且P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离，记P 的轨迹为E ． (1)求E 的方程；(2)过点F 的直线交E 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ，线段DM 交E 于点N ，证明：N 是DM 的中点． 【答案】(1)24(0)y x x => (2)证明见解析【分析】（1）设点(,)P x y ，求得P 到圆F 上的最小距离为||1PF -，根据题意得到||1PF x -=，整理即可求得曲线E 的方程；（2）当直线AB 的斜率不存在时，显然成立；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程(1)y k x =-，联立方程组求得212224k x x k ++=和124y y k +=，得到2222,k D kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合抛物线的定义和方程求得21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212,N k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合2M D N x x x +=，即可求解.【详解】(1)解：设点(,)P x y ，（其中0x >），由圆22:(1)1F x y -+=，可得圆心坐标为(1,0)F ，因为P 在圆F 外，所以P 到圆F 上的点的最小距离为||1PF -， 又由P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离， 可得||1PF x -=，即22(1)1x y x -+-=，整理得24(0)y x x =>，即曲线E 的方程为24(0)y x x =>．(2)解：当直线AB 的斜率不存在时，可得点D 为抛物线的交点，点N 为坐标原点， 点M 为抛物线的准线与x 轴的交点，显然满足N 是DM 的中点； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程(1)(0)y k x k =-≠， 设()00,N x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭， 联立方程组2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222240k x k x k -++=，因为()224224416160k k k ∆=+-=+>，且212224k x x k ++=，则121224()k x y x k y k =+=++，故2222,k D kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义知212244||2k AB x x k +=++=，设(,)M M M x y ，可得2M y k =，所以222||M k MD x k +=-， 又因为||||2AB MD =，所以222222M k x k k+-=+，解得1M x =-，所以21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为02,N x k ⎛⎫⎪⎝⎭在地物线上，所以021x k =，即212,N k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2M D N x x x +=，即N 是MD 的中点．22．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(1)M m ，在抛物线上，且2MF =，椭圆22221x y a b +=右焦点也为F ，离心率为12． (1)求抛物线方程和椭圆方程；(2)若不经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且3OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），直线与椭圆交于C 、D 两点，求CDF 面积的最大值． 【答案】(1)抛物线方程为24y x =， 椭圆方程为22143x y +=【分析】（1）由212pMF ==+，可得2p =，继而可得(1,0)F ，故1c =，再利用离心率，以及222b a c =-，即得解；（2）设直线l 方程为my x n =+，与抛物线联立，()21212121216y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+，结合韦达定理可得3n =-，再与椭圆联立，11||222CDFC D C D C D SEF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-=入，结合均值不等式即得解 【详解】(1)由题意，212pMF ==+ 解得：2p =，故(1,0)F ， 1c ∴=，12c e a ==，2a ∴=，2223b a c =-=， 所以抛物线方程为24y x =， 椭圆方程为22143x y +=． (2)设直线l 方程为my x n =+，由24,,y x my x n ⎧=⎨=+⎩消去x 得，2440y my n -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=⎩ 因为()22122121212164431616y y n OA OB x x y y y y n n n ⋅=+=+=+=+=-，所以3n =-或1n =-（舍去），所以直线l 方程为3my x =-．由221,433,x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得，()223418150m y my +++=． 设(),C C C x y ，(),y D D D x ，则22183415,34C D C D m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设直线l与x轴交点为E，则(3,0)E．所以11||222CDF C D C D C D S EF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-==(0)t t=>，则2253tm+=，所以243()9tS tt tt===++当且仅当3t=时，即m=。
石家庄市2019-2020学年第二学期期末检测高二数学(含答案)
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__
a y 0.7 x 67.2 0.7 23 83.3
所以当 x>17 亿元时， 与 满足的线性回归方程为：
.………………8 分
所以当 x=20 亿元时，科技改造直接收益的预测值
.………9 分
所以当 x=20 亿元时，实际收益的预测值为
亿元 ………10 分
即 79.3 亿元>72.93 亿元
……………………………………3 分
当 m 1时， f x x2 是偶函数； ……………………………………5 分
所以 m 1， f x x2 ； ……………………………………6 分
（2）由（1）知 g x loga x2 2x ，
设 t x2 2x, x 2,3 ，则 t 0,3 ，……………………………………7 分
石家庄市 2019—2020 学年度第二学期期末考试 高二数学答案
一．选择题 1-5 CADDA 6-10 CACDC 11-12 AA 二．填空题
1
13.
9
14. 2x y e 0
（10 分）
2
16.
5
x
1 x
2n
展开式中第
4
项与第
6
项的系数相等
C23n C25n ,
所以有 99.5%的把握认为平均车速超过 1100km/h 与性别有关． …………6 分
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性
且车速超过 100km/h 的车辆的概率为 40 = 2 ．…………7 分 100 5
X
可取值是
0,1,2,3，
X
~B
此时 g x 在 2,3 上的值域，就是函数 y loga t,t 0,3 的值域； 当 a 1 时， y loga t 在区间 0,3 上是增函数，所以 y , loga 3 ；………………9 分 当 0 a 1时， y loga t 在区间 0,3 上是减函数，所以 y loga 3, ；………………11 分 综上：当 a 1 时，函数 g x 的值域为 , loga 3 ， 当 0 a 1时， g x 的值域为 loga 3, ．……………………………12 分
河北省石家庄市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
【详解】
f
(x)
ln
x
ln x, 0 ln x, x 1
x
1
，
∴ f (x) 在 (0,1] 是 单调递减，在[1, ) 上单调递增， f (x)min f (1) 0 ，又
f
1 e
f
(e) 1
，
1 a 1
a1
由题意 e
，1 b e ，且 e 和 b e 中至少有一个取到．
值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
b 3 8. 若正实数 a, b ，满足 a b 1，则 3a b 的最小值为（ ）
A. 2
B. 2 6
C. 5
D. 4 3
【答案】C
【解析】
【分析】
b 3 b 3a 3b b 3a 3
根据题意，分析可得 3a b 3a
b
3a b ，结合基本不等式的性质分析可
所以 P 80 90 P 90 100 0.3 ，
P 100 1 P 80 100 1 0.6 0.2
所以
2
2
，
所以该班数学成绩在 100 分以上的人数为 60 0.2 12 （人）.
故选：A.
【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点
1 x2 9. 函数 f(x)＝ ex 的图象大致为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值 f (2) 可区分剩余两个选项.
1 x2 【详解】因为 f(－x)＝ ex ≠f(x)知 f(x)的图象不关于 y 轴对称，排除选项 B，C.
14 3 又 f(2)＝ e2 ＝－ e2 <0.排除 A，故选 D.
2022届石家庄市名校高二第二学期数学期末考试试题含解析
2022届石家庄市名校高二第二学期数学期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）附表：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A 【解析】分析：根据列联表中数据利用公式求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论. 详解：根据卡方公式求得()223081281020101218K -==⨯⨯⨯，27.89710.828K <<，∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.2．被称为宋元数学四大家的南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中记载了求解三角形面积的公式，如图是利用该公式设计的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，依次计算可得所求结果 【详解】当4a =，3b =，2c =时，315124S =<，2k =； 当5a =，4b =，3c =时，612S =<，3k =； 当6a =，5b =，4c =时，27124S =<，4k =； 当7a =，6b =，5c =时，6612S =>，5k =； 故选B 【点睛】本题考查程序运算的结果，考查运算能力，需注意1k k =+所在位置3．函数()f x 在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数()'y f x =的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】函数的单调性确定()f x '的符号，即可求解，得到答案． 【详解】由函数()f x 的图象可知，函数()f x 在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当0x >时，函数()f x 单调递增，所以导数()f x '的符号是正，负，正，正，只有选项C 符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系，其中解答中由()f x 的图象看函数的单调性，得出导函数()f x '的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 4．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据导数与函数单调性的关系，当()0f x '<时，函数()f x 单调递减，当()0f x '>时，函数()f x 单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。