一元一次不等式组及其解集
第三节 一元一次不等式(组)的解集与区间
集的规定可知a＝6.
同步精练
9．若不等式组
2x 1 3
1,
的解集{x|x>2}，则a的取值范围
x a
是___a_≤__2__．
【提示】
解不等式组
2x 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 x a
1,
得
x x
2,要
a,
使解集是{x|x>2}，需a≤2.
10．不等式x－3≥1＋5x的解集可用区间表示为(_－__∞_，__－__1_]．
解：解不等式4x＋6＞0，得x＞ 3 ;
2
解不等式3x－5<0，得x＜ 5 .
3
∴原不等式的解集是
3 2
,
5 3
.
同步精练
13．已知不等式组 数a，b的值．
2x 2x
a a
b b
的解集是(－5，4)，求实
解：不等式2x－a＞－b等价于2x＞a－b，解得x＞ a b ;
2
不等式2x－a＜b等价于2x＜a＋b，解得x＜ a b .
知识梳理
(3)一元一次不等式组的解法 若a＜b，则不等式组
①
x a x b
的解集为__{_x_|_x＞__b_}____；
②
x a x b
的解集为_{_x_|_a_＜__x_＜__b_}_；
③
x a x b
的解集为__{_x_|_x＜__a_}____；
④
x a x b
的解集为_____∅_______．
|
x
5 3
典例解析
(2)去分母得2(x－2)≤3x－6，去括号2x－4≤3x－6，移项、 合并同类项得－x≤－2，化系数得x≥2，所以不等式的解集 为{x|x≥2}．
一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集是指该不等式组满足给定条件时，未知量可取到的所有实数值。
以下列出一元一次不等式组的解集:1、加法原理：若有不等式$ax+b>0$��不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b>0$与$a{x'}+b>0$同时成立的解集为$x>{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}>{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}或{-\dfrac{b}{a}}<{x'}<x$$2、减法原理：若有不等式$ax+b>0$与不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b<0$与$a{x'}+b<0$同时成立的解集为$x<{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}<{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$${x'}<x<{-\dfrac{b}{a}}$$3、乘法原理：若有不等式$ax+b>0$，则可乘以$\dfrac{1}{a}$，得$x+\dfrac{b}{a}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}$$4、倍乘法原理：若有不等式$a^2x+b>0$，则可以乘以$\dfrac{1}{a^2}$，得$x+\dfrac{b}{a^2}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a^2}}$$5、翻转原理：若有不等式$ax+b>0$，则可以转置变为${-ax-b}<0$，令$\quad-ax-b=0$，得$x={-\dfrac{b}{a}}$，即满足不等式无解结果。
6、乘容原理：若有不等式$ax-b>0$与$cx-d>0$，则$acx-ad-bc+bd>0$，令$acx-ad-bc+bd=0$，得$x=\dfrac{ad-bc}{ac}$，即$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$，即有：$$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$$7、综合分析：若有$ax+b>0$且$cx+d>0$，得$acx+ad+bc+bd>0$，故有：$$x>\dfrac{ad+bc}{ac}$$。
一元一次不等式(组)及其解法
一.一元一次不等式的定义
只含有一个未知数, 只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的 不等式叫一元一次不等式. 不等式叫一元一次不等式.
二.形式: 形如 形式: 形如ax>b(a≠0)
如何解不等式ax>b(a ≠0)? 如何解不等式
b 分类讨论:a>0时,x> 分类讨论 时 a
1 − 3x 练习: (1)解不等式 − 7 ≤ <2 2 (2)解不等式组 : 4 + 2x > 7 x + 3 3x + 6 > 4 x + 5 2 x − 3 < 3x − 5
x+y=3 例8.方程组 8.方程组 的解满足 x-2y=-3+a 2y=-
x>0 ,求a的取值范围. 的取值范围. y>0
x
b a b a
x
b a<0时,x< 时 a
三.一元一次不等式的解法: 一元一次不等式的解法:
4 − 2x x −3 例1.解不等式 < 1− 3 4
去分母 去括号 移项b的形式 或 化成 的形式
练习：求不等式21 − 4 x > 5的非负整数解 1. 1 2 2.k取什么值时, 代数式 (1 − 5k ) − k的值为非负数. 2 3
2 3 x + 25 例2.关于x的方程 − ( x + m) = + 1的解是正数, 3 3 那么m的取值范围是什么?
四.一元一次不等式组
假设a>b 假设
x>a
(1)
x>b x>a
x>a
x<a
一元一次不等式组及其解集
一、本节的重点:理解一元一次不等式组及其解集的意义，二、难点是：如何找一元一次不等式组的解集，三、学习本节时应注意以下两点：①两个一元一次不等式合在一起组成一个不等式组，要理解其解集是什么，即一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集；②二元一次方程组的解通过消元直接产生，而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴得出。
一定要注意：如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解；探究问题现有长度为3cm和10cm的两条线段，则第三条线段x需取多长可以围成三角形x>10-3x<10+3探究问题现有长度依次为3cm、10cm、6cm、9cm和14cm的五条线段，从中选出三条线段并且三条线段中必须有3cm和10cm的两条线段，请大家思考共有多少情况？哪些情况三条线段可以围成三角形？重要概念1．定义：类似于方程组，把两个（或多个）不等式合起来，组成一个一元一次方程组记作：①②由不等式①解得x<13由不等式②解得x>7从图可以看出解集是7<x<13。
例1.利用数轴判断下列不等式组是否有解集？如有，请写出。
不等式组的解集为ｘ<1都小取较小例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为ｘ>3都大取较大例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为1<ｘ<3小大大小中间找例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为空集即：不等式组无解大大小小无解了比一比：看谁反应快运用规律求下列不等式组的解集：1.都大取较大，2.都小取较小；3.小大大小中间找，4.大大小小无解了。
x>2x>-2x<3x<-43<x<7-1<x<4无解-2≤ｘ<1x≤-2x<-2设a＜b，你能说出下列四种情况下不等式组的解吗？用数轴试一试Ｘ＞b X＜ａ无解ａ＜X＜ｂ大小小大中间找大大小小无解了两小取小两大取大规律(口诀)探究活动：解不等式①得：ｘ>2解不等式②得：ｘ≧3在数轴上表示不等式①、②的解集：例1.解不等式组：解：所以不等式组的解集为：ｘ<-1因此，原不等式组无解。
一元一次不等式组的概念及其解法
一元一次不等式组的概念及其解法一、概念解析一元一次不等式组，顾名思义，即由一元一次不等式构成的一个集合。
一元一次不等式是指不等式中只包含一个变量，并且该变量的最高次数为1。
而不等式组则是由多个不等式组成的系统，其中每个不等式都包含相同的变量。
一元一次不等式组就是由一元一次不等式构成的一个系统或集合。
解法通常包括图解法和代入法。
图解法是指通过绘制不等式的图像来解析问题，从而得出解的范围。
而代入法则是将不等式组中的不等式逐一进行代入，解出变量的取值范围，并且保证该范围同时满足所有的不等式。
二、深入讨论在解一元一次不等式组时，首先需要将不等式组中的每一个不等式都化为标准式，即形式为ax+b>0的形式。
这一步骤十分重要，因为只有将不等式统一格式化之后，才能更好地进行比较和推导。
接下来，可以利用代入法来解，通过逐一代入不等式组中的每一个不等式，并求解出变量的取值范围。
将这些取值范围进行交集运算，得出最终的解集。
在实际应用中，一元一次不等式组常常出现在数学建模和优化问题中。
在生产成本、市场需求、销售收入等方面的问题中，都可能涉及到一元一次不等式组，通过解出不等式组的解集，可以得出最优的经济决策方案。
三、总结与回顾通过本文的深入讨论，我们对一元一次不等式组的概念和解法有了更深入的了解。
一元一次不等式组是由一元一次不等式构成的系统，解法包括图解法和代入法。
在实际应用中，一元一次不等式组常常出现在数学建模和优化问题中，通过解出不等式组的解集，可以得出最优的经济决策方案。
四、个人观点与理解在我的个人观点中，一元一次不等式组是数学中的重要概念之一，它不仅是数学建模和优化问题的重要工具，更可以帮助我们更好地理解变量的取值范围和限制条件。
对一元一次不等式组的深入理解和应用十分重要。
我们应当在学习中注重实际问题的应用，通过解决实际问题来巩固对一元一次不等式组的理解，从而更好地掌握其解法和应用方法。
通过本文的撰写，我对一元一次不等式组的概念和解法有了更深入的了解，并且明白了它在实际问题中的重要性。
一元一次不等式组的概念和解集
2 y 7 6 (1)3x 3 1
×
x 1 (2)x 2
√
(3)x1 x
2 1
1
×
(4)32aa
7 3
1 0√首发 打造中学高效课堂首选课件
思考：怎样确定上面的不等式组中x的取值范围呢？ 类比方程组的求解，不等式组中的各个不350,的解集.首发 打造中学高效课堂首选课件
由此可知，这个足球场的长度在105至109m 之间，从场地的大小方面来说，可以进行国际足 球比赛.首发 打造中学高效课堂首选课件
典例精析
2x－1 x,
①
例2
解不等式组：
1
x
＜3.
②
2
解: 解不等式①，得 x＞ 1 .
-2
0
3
由图可以看出这两个不等式的解集没有公共部分.
所以，这个不等式组无解.
归纳 会用不等式基本性质解不等式组并在数轴上表示.首发 打造中学高效课堂首选课件
当堂练习
1.选择下列不等式组的正确解集.
x ≥ -1 ①
x≥ 2 x＜ -1 ② x＜ 2
③ x ≥ -1 x＜ 2
④ x＜ -1 x≥ 2
2
(
x
70
)
350,
70x
7630.
2(x+70)>350 和 70x<7630
像
2(x +70)> 350 70x <7630
这样，关于同一未知数
的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.首发 打造中学高效课堂首选课件
练一练
一元一次不等式组及其解集
一元一次不等式组及其解集学生姓名：麦麦提江·克依木学号：20080103012系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008-1班完成日期：2012年 5 月5一元一次不等式组及解集●学习目标1．理解一元一次不等式组解集的概念，会利用数轴求较简单的一元一次不等式组的解集．2．掌握一元一次不等式组解集的几种情况．3．通过利用数轴解不等式组，培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力．●重点·难点（一）重点：理解一元一次不等式组解集的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况．（二）难点：正确理解一元一次不等式组解集的含义．●教学过程什么叫不等式？答：象这种用“>”，“≠”，“≥”，“≤”，“<”符号表示大小关系的式子叫做不等式。
用不等号表示不等关系的式子1、下面给出的几个式子，哪些属于不等式？（1）-1 <0 （）（2）3X-2Y（）（3）3x +4=0 （）（4）5+3 x > 240 （）（5）x +3≠ 0 （）（6）5-x≥1（）可以看出：不等式可含有未知数，也可以无未知数；练一练：用不等式表示下列例题：想一想：观察下列不等式，有什么共 同点，并试着给它们起名？（1）x-2≥-1 （2）4x>7（3） 问：什么叫一元一次不等式？含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做 一元一次不等式。
下列式子中：（1）3x+2>x –1 (2)-5<0(3)2x=3 (4)a+b≠c(5) 1 /x +3<5x –1 (6) 5x+3<0 (7) 3x+2 (8) x 2 +3<2x(9)4x-2y≤0不等式是：(1)，(2)，(4)，(5)，(6)，(8)，(9) 一元一次不等式是： (1) (6)321y ＜判断下列不等式中哪些是一元一次不等式？（1），（3）不是一元一次不等式（2），（4）是一元一次不等式；解一元一次不等式组的步骤：1、求出不等式组中各个不等式的解集。
《一元一次不等式组及其解法》教案
《一元一次不等式组》教案教学目标1．理解一元一次不等式组和它的解集的概念．2．掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集．3．在积极参与探索一元一次不等式组解法的学习活动中，体会一元一次不等式组在实际问题中的应用，发展应用数学知识的意识与能力．教学重难点重点：两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解法．难点：确定两个不等式解集的公共部分．教学过程一．创设情境1．什么叫做一元一次不等式？解一元一次不等式的一般步骤是什么？2．提出问题：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多少时间能将污水抽完？二．探索归纳1．分析问题：问：求解应用题时，在很多情况下，我们可以将某些适当的量设为未知数．此题中我们如何来设元呢？答：可以直接设元，设需要x 分钟才能将污水抽完．问：总的抽水量可表示成什么形式？答：总的抽水量为______吨．问：依据题中的条件，你能列出什么式子？答：由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，应有1200≤30x ≤1500．这实际上包括了两个不等式30x ≥1200和30x ≤1500．⎩⎨⎧≤≥ ②． ①， 150030120030x x像这样，由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组就叫做一元一次不等式组．⎩⎨⎧≤≥ ②． ①， 150030120030x x分别求这两个不等式的解集，得:⎩⎨⎧≤≥．，5040x x同时满足不等式①，②的未知数x 应是这两个不等式解集的公共部分．要求学生在同一数轴上表示这两个不等式的解集，并找出公共部分．如图，公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40≤x ≤50．这就是所列不等式组的解集．所提问题的答案为：大约需要40到50分钟能将污水抽完．2．概念与方法：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．求不等式组解集的过程叫做解不等式组．方法：解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集．三．例题解析：例1：解不等式组23-x ＜52-x212-x ＜32-x . 例2：解不等式组5x -6≥2x +63x -4＞4（x -1）.例3：求适合不等式-11＜-2a -5≤3的a 的整数解.课堂总结：本节课你学会了什么？。
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2x 5 > 0 3 x < 1
x 2 < 1 3x 1 8
能说出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
这节课我们学到了什么？ （1）一元一次不等式组的概念；
（2）解一元一次不等式组的步骤；
（３）数学思想的运用,类比的思想； 数形结合思想；
体会…….
作业:
课本 习题1.8 第一题(必做) 第二题(选做)
3
解不等式②得 x < 6
在同一条数轴上表示不等式① ②的解集,如图:
-5
-4
-3 -2
-1
01 3
1
2
34
5
6
7
因此,原不等式组的解集为: 1 < x < 6
3
例2:解一元一次不等式组 3(x+2)＞X +4 ①
解: 解不等式①,得X＞-1
2X-3≤X+3 ②
解不等式②,得X≤6
把①, ②两不等式的解表示在数轴上(如图)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
所以原不等式组的解是 -1＜X≤6
思考：求上述不等式组的整数解？
议一议：你能总结一下解一元一次不等式组的 解题步骤吗？
1.求出这个不等式组中每个不等式的解集;
2.利用数轴求出这些不等式的解集的公共部 分;
3.用不等式表示公共部分.
利用数轴解下列不等式组。
我校准备成立一个艺术体操队，从身高方面作 了规定，要求必须在1.65米以上，1.75米以下， 现在开始选拔队员，试问身高满足多少的学生 才可以面试？
解：设身高满足x米的学生可以面试，则
x > 1.65
x
<
1.75
1.6.1 一元一次不等式组
定义:
一般地，关于同一未知数的几个一 元一次不等式合在一起，就组成一个一 元一次不等式组.
2x 1 x
定义:
一元一次不等式组中各个不等式 的解集的公共部分 ,叫做这个一元一 次不等式组的解集.
求不等式组的解集的过程,叫做解 不等式组.
解下列不等式组：
x＜1 (1) x＜－2
x＞1 (2) x＞－2
(3)
x＜1 x＞－2
x＜1 ① (1) x＜－2 ② 在数轴上表示不等式①，②的解集，如图
－３ －２பைடு நூலகம்－１ ０ １ ２ ３
可知不等式组的解集是： x＜－2
x＞1 ① (2) x＞－2 ② 在数轴上表示不等式①，②的解集，如图
－３ －２ －１ ０ １ ２ ３
可知不等式组的解集是： x＞1
x＜1 ① (3) x＞－2 ② 在数轴上表示不等式①，②的解集，如图
－３ －２ －１ ０ １ ２ ３
可知不等式组的解集是： －2 ＜ x＜1
x＞1 ① (4) x＜－2 ② 在数轴上表示不等式①，②的解集，如图
－３ －２ －１ ０ １ ２ ３
可见，这两个不等式的解集没有公共部 分，这时，我们就说这个不等式组无解。
例1：解不等式组:
｛ 2x 1> x ① 1 x<3 ②
2
解: 解不等式①得
x>1
2 y 7 < 6 (1)3x 3 > 1
x （不是） (2)x
<1 > 2
（是）
(3)x1 x
2 <1
1
（不是）
(4)32aa
7 3
> <
1 0
（是）
x3>5
关于同一未知数的几个一
（5） 3x 1 < x
（是）
元一次不等式合在一起， 就组成了一元一次不等式 组