第8套量子力学自测题
NO.8 量子力学基础参考答案
[ T ] 5．如果两种不同质量的低速微观粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子
的动量相同，动能不同。
解：由 p = h ，二者 λ 相同，所以动量肯定相同；低速微观粒子，由经典关系，动能 λ
EK
=
p2
，所以动能会不同。
2m
二、选择题： 1．静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度 v 有如下关 系：
( ) Δp ≥
h Δx
=
6.63 ×10−34 0.1 × 10 −9
= 6.63 ×10−24
kg ⋅ m ⋅ s −1
Δp p
=
6.63 ×10−24 1.71 × 10 −23
= 0.39 = 39%
两个答案都正确
4．若一个电子处于原子某能态的时间 Δt = 10−8 s ，这个原子能态的能量的最小不确定值
式变化。 解：例如电子也有衍射现象，这是微观粒子波动性的体现。与其轨迹、速度无关。
[ T ] 3．波函数Ψ 2 = cΨ1 ( c 为任意常数)，则Ψ1 与Ψ 2 描述的粒子状态相同。
解：教材 208.波函数必须满足归一化条件。
[ F ] 4．只有当粒子总能量高于势垒高度才能贯穿势垒。 解：教材222页，“隧道效应”:总能量低于势垒高度的粒子也能穿过势垒到达势垒另侧。
p2 2m
，所以 Ep
: Eα
=
mα
: mp
=
4 :1
2.
若令 λc
=
h mec
(称为电子的康普顿波长，其中 m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为普
朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是 λ =
1 3
质心教育原创物理竞赛模拟题第八套答案及评分标准
综上： （1）上升最大位移
S H h h' A
（2 分）
（2）经历时间
T t1 t2 0.29s
（2 分）
题三、 （20 分）由于潮汐和地球自转的影响，地球上的海水被拉成椭球状，且长轴方向与地 月连线方向略有偏差，这样地球对月亮的引力的合力会在月亮绕地球运动方向有微小的分 量，从而把月球加速，推动月亮远离地球，同时海水对地球的摩擦使得地球自转变慢，直到 月球公转周期和地球自转周期相同。 （事实恐龙看到的月亮比我们看到的大多了…）已知月 球 质 量 为 mM 7.35 10 kg ， 地 球 质 量 为 mE 5.9 10 kg ， 地 球 到 月 球 距 离 为
（4 分）
左室吸气前，为等温过程， P
（2 分） （1 分）
v 运动时受阻力 f k v ，负电荷以速度 v 运动时受阻力 f k v 。把等离子体填充进入
一个边长为 l 的绝热绝缘的立方体内，并在上下面各放置一块金属板块。将上下极板之间接 （以下不是考题：将上下极板之间接入 U 0 cos t 的交流 入 U 0 的直流电源之后，求电流 I 。 电之后，求电流 I (t ) ）
3 3
用手拉住保持活塞静止然后释放。 假设水一旦满出容器就立刻流走， 不再对下方的活塞和水 有作用力。 （1） 求释放活塞上升最大位移 （2） 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。
【解答】 以地面为原点，向上为 x 坐标，描述活塞运动在水未完全溢出前，活塞及水有牛顿第二定律 注意：水也在加速！
m0 s H x a k l0 x m0 g s H x g
GM 3 GM 2 a 2E 或 3 E a
量子力学练习八解答
量子力学练习八解答1．z i j ，y i j ，z i j ，0，0，0 2．()21j j jm +，m jm ，0,1,2,12,32,52,⎧⎨⎩，,1,,m j j j =--+ 3 x y j ij ±1jm ±4．非耦合表象，()221122,,,z z j j j j；耦合表象，()22212,,,z j j j j5．能量本征值，本证态，量子跃迁，光谱分析，散射粒子的角分布，角关联，极化等， 波函数在r →∞处的渐进行为。
6．()ikrikzeef rψθ→+，1i dn j d ⎛⎫ ⎪Ω⎝⎭，i j 为入射粒子流密度，dn 为出射粒子数，d Ω为立体角，把入射粒子与靶相互作用V 看成微扰，即一级近似解中微扰项的波函数用零级近似平面波代替。
7．解：由ˆa p ⎛⎫=+⎪⎪⎭和ˆa p +⎫=-⎪⎪⎭可得)ˆxa a +=+则()11ˆ11n n n n n n x n x n a ann a n n a n n n +'+''-+''==+''⎤=+⎦⎤=-++⎦⎤=+⎦()()()2222222ˆ22212n n n n n n n n x n xn n a ann a n n aa n n a a n n a n n μωμωδμω+'+++'''-+''==+⎡⎤''''=+++⎢⎥⎣⎦⎤=+++⎦8．（1）证明：))[][]11ˆˆˆˆ,,,122a a x ip x ip x ip ip x +⎤⎡⎤=-+=-=-⎥⎣⎦⎦ [],,,a a a a a a a a a a +++⎡⎤⎡⎤=+=-⎣⎦⎣⎦ ,,,a a a a a a a a a a +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）可以求得：)x aa +=+)ˆpaa +=-系统Hamilton 为()()()()()22221111ˆˆˆ222211121222Hp x a a a a a a aaa a a a ++++++⎡⎤=+=--++⎢⎥⎣⎦=+=+=+ 9．解：微扰算符的的矩阵是'''111213'''212223'''31323300'000H H Ha H H H Hb H HH ab**⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1） 根据无简并微扰论，一级能量修正量是： kk H从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量0)0(3)0(2)0(1===E E E又二级能量公式是： ∑≠-=k n n nknk kEEH E)0()0(2')2()(所需的矩阵元'nk H 已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：)0(3)0(12)0(3)0(12'31)0(2)0(12'21)0()0(12'1)2(1)()()(E E a EEH EEH EEH E nnn -=-+-=-=∑)0(3)0(22)0(1)0(22'32)0(1)0(32'12)0()0(22'2)2(2)()()(E E bE E H E E H E E H E nnn -=-+-=-=∑)0(2)0(32)0(1)0(32)0(1)0(32'13)0(2)0(32'23)0()0(32'3)2(3)()()(E E b E E a E E H EEH EEH Ennn -+-=-+-=-=∑。
高等量子力学试题库
高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。
（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义 二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。
《大学物理AII》作业 No.08 量子力学基出 参考解答
解： （1）由波函数归一化条件 ( Axe x ) 2 dx
0 2
2 A2 1 ，可得 A 2 3 ； ( 2 ) 3 d ( x ) 0， dx
2
（2）粒子的概率密度 ( x ) 43 x 2 e 2 x （x>=0）,令 可得： 43 2 xe x (1 x ) 0 ，即 x (1 x ) 0 。
出， 电子的物质波波长是 10 10 m 数量级，在现有的条件下电子的波动性是可以通 过实验进行检验的， 讨论电子等微观粒子的波动性具有实际意义；但是宏观物体 物质波的波长远远小于 10 10 m 数量级， 无法通过我们所能利用的任何仪器装置来 验证其波动性。 因此谈论宏观物体是否遵从德布罗意关系，是否具有波动性是没 有意义的，宏观物体的波动性可以不用考虑。
处于 n=4 的激发态时，则：在 x=0 到 x=
P 3 1 x dx
2 0 a 4x 4x sin dx 3 sin 2 d 0 a a a 4 a a a 3
1 1 4x 1 8x 1 2 1 8 a sin sin 29.9% 2 2 a 4 a 0 2 3 4 a 3
。
3 。 2
2、计算下列两种情况下的速度不确定量： （1）宏观子弹：m =10 克,v=800m/s, Δx=1cm；
（2）原子中的电子：me=9×10-28 克，ve=108cm/s, Δx=10-8cm 第一种情况下， 如果把普朗克常数视为零结果怎样？第二种情况下呢？根据计算 结果总结出采用量子力学与经典力学处理问题的分界线。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
量子力学经典八十题(推荐版本)【含答案】
ψ
nxnynz
(x,
y,
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
8 abc ,
sin
nxπx a
sin
nyπ b
y
sin
nzπ c
z
, 0 < x < a,0 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
n = 1, 2,3,""
9. 粒子在一维 δ 势阱
V (x) = −γ δ (x) (γ > 0)
中运动，波函数为ψ (x) ，写出ψ ′(x) 的跃变条件。
8. 写出三维无限深势阱
V (x,
y, z)
=
⎧0 , 0 < x < a , 0 ⎩⎨∞ , 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
1
量子力学复习题答案（安徽大学）
中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为
+ + Enxnynz
=
= 2π 2 2m
⎜⎛ ⎜⎝
n
2 x
a2
n
2 y
b2
n
2 z
⎟⎞
c 2 ⎟⎠
∑ ψ (x) = cnψ n (x) ， n
写出展开式系数 cn 的表达式。
解：
∫ cn = (ψ n (x) ,ψ (x)) =
ψ
* n
(
x)ψ
(
x)
dx
。
29.
一个电子运动的旋量波函数为
量子力学简答100题及答案 1
1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
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量子力学自测题8
一、填空题（本题25分）
1．自由粒子平面波函数ikx ce x =)(ψ的动量不确定度=∆p ，坐标不确定度=∆x 。
2．波函数kx x cos )(=ψ是否自由粒子的能量本征态？答： 。
如果是，能量本征值是 。
该波函数是否是动量本征态？答： ，因为 。
3．设B A
ˆˆ是两个互为不对易的厄米算符。
在下列算符 （1）B A ˆ,ˆ； （2）B A ˆˆ—A B ˆˆ； （3）2
ˆA ； （4）B A ˆˆ+A B ˆˆ 中，算符 和 的本征值必为实数。
4．设两个电子散射波的自旋波函数()↓↑+↑↓=
2
1χ，则散射波的空间波函数应为 。
因此微分散射截面 。
5．设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E 1和E 2，相应的本征矢量为21n n 和。
则在能量表象中，体系Hamilton 量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。
二、（本题15分）
1．已知在坐标表象中，自由粒子的坐标本征函数为 )()(0x x x -=δψ
求在动量表象中坐标的本征函数。
2．氢原子中的电子在径向坐标dr r r +→的球壳内出现的几率为
dr r r R dr r P nl nl 22)()(=。
已知，0/2/30
1012)(a r e a r R -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求IS 电子的径向几率最大的
位置。
三、（本题15分） 1．求证：iz y +=1ψ，ix z +=2ψ，iy x +=3ψ分别为角动量算符z
y x l l l ˆ,ˆ,ˆ的本征值为 的本征态。
2．试证明：在电子的任意自旋态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b a χ下，只要22b a =，则自旋角动量z
S ˆ的平均值必为零。
四、（本题15分）
1．已知),())((B A i B A B A ⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ其中，A 、B 为与Pauli 矩阵z y x σσσ,,对易的任意两个矢量算符。
试证明：
22)ˆ(p p
=⋅σ，⋅-=⋅σσ 22)(l l l 其中，p 为三维动量， l 为三维角动量。
2．设力学量A
ˆ（不显含时间）为守恒量。
求证：A ˆ的平均值不随时间改变，即0=dt
A d 五、（本题15分）
已知一维谐振子处于基态，坐标的不确定度 l x x x =+=∆2)(
求该谐振子跃迁到第一激发态所需能量。
六、（本题15分）
设一电子在沿x 方向的均匀磁场B 中运动。
在t=0时，电子的自旋向z 轴的正向极化。
求：
（1）在任意时刻t ，电子的自旋波函数。
（2）z
y x S 、S 、S ˆˆˆ的平均值。
（3）z
S ˆ的测值为2/ 和—2/ 的几率。