数值分析第5章习题
数值分析第五章答案
数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章2-1程序：clear;clc;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];n=length(y1);c=y1(:);or j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i)*df(i);enddisp(4次牛顿插值多项式);p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs;disp(三次样条函数);for i=1:4s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];s=vpa(collect(s),5)endx2=0.2:0.08:1.08;dot=[1 2 11 12];figureezplot(p4,[0.2,1.08]);hold ony2=fnval(pp,x2);x=x2(dot);y3=eval(p4);y4=fnval(pp,x2(dot));plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co);title(4次牛顿插值及三次样条);结果如下：4次牛顿插值多项式p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x +0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下2-3（1）程序：clear;clc;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点n=length(y1);a=ones(n,2);a(:,2)=-x1;c=1;for i=1:nc=conv(c,a(i,:));endq=zeros(n,n);r=zeros(n,n+1);for i=1:n[q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk)enddw=zeros(1,n);for i=1:ndw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数endp=dw*q;syms x l8;for i=1:nl8(i)=p(n-i+1)*x^(i-1);enddisp(8次拉格朗日插值);l8=vpa(collect((sum(l8))),5)xi=0:64;yi=polyval(p,xi);figureplot(xi,yi,x1,y1,r*);hold ontitle(8次拉格朗日插值);结果如下：8次拉格朗日插值l8 =- 3.2806e-10*x^8 + 6.7127e-8*x^7 - 5.4292e-6*x^6 +0.00022297*x^5 - 0.0049807*x^4 + 0.060429*x^3 - 0.38141*x^2 +1.3257*x输出图如下：第五章4-1（3）程序：clc;clear;y= @(x) sqrt(x).*log(x);a=0;b=1;tol=1e-4;p=quad(y,a,b,tol);fprintf(采用自适应辛普森积分结果为： %d \n, p);结果如下：采用自适应辛普森积分结果为： -4.439756e-01第九章9-1(a)程序：clc;clear;a=1;b=2;%定义域h=0.05;%步长n=(b-a)/h;y0=1;%初值f= @(x,y) 1/x^2-y/x;%微分函数xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份 yn=zeros(1,n);%结果矩阵yn(1)=y0;%赋初值%以下根据改进欧拉公式求解for i=1:nxn=xn(i);xnn=xn(i+1);yn=yn(i);yp=yn+h*f(xn,yn);yc=yn+h*f(xnn,yp);yn=(yp+yc)/2;yn(i+1)=yn;endxn=yn;%以下根据经典四阶r-k法公式求解for i=1:nxn=xn(i);yn=yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);yn(i+1)=yn;enddisp(改进欧拉法四阶经典r-k法); disp([xn yn])结果如下：改进欧拉法四阶经典r-k法 110.998870.998850.99577 0.99780.991140.996940.985320.996340.978570.996030.971110.996060.963110.996450.95470.997230.945980.998410.9370510.92798 1.0020.91883 1.00440.90964 1.00730.90045 1.01060.89129 1.01430.88218 1.01840.87315 1.02290.86421 1.02780.85538 1.03310.84665 1.0388（b）程序：clc;clear;a=0;b=1;%定义域h=[0.1 0.025 0.01];%步长y0=1/3;%初值f= @(x,y) -50*y+50*x^2+2*x;%微分函数 xi=linspace(a,b,11);y=1/3*exp(-50*xi)+xi.^2;%准确解 ym=zeros(1,11);for j=1:3【篇二：数值分析(第五版)计算实习题第五章作业】题：lu分解法：建立m文件function h1=zhijielu(a,b)%h1各阶主子式的行列式值[n n]=size(a);ra=rank(a);if ra~=ndisp(请注意：因为a的n阶行列式h1等于零，所以a不能进行lu 分解。
数值分析(李庆杨第四版)Cht5 解线性方程组的直接法
bk bkmkk .
结果：
1
b1
( A | b) ( A(n1) | b(n1) )
1
b2
1
bn
解, 运算量?
定理9(高斯 - 若当法求逆矩阵) 设A为非奇异矩阵,方程组 AX I的增广矩阵为C ( A | I ). 若对C应用高斯 - 若当法 化为(I | T ), 则A1 T.
bi(2) bi(1) mi1 b1(1) , (i 2,3,, n)
第二步：若 a2(22) 0, 用… …. ……
第k步：若 ak(kk) 0, 用 mik ai(kk) / ak(kk) 乘第k行 加到第i行中，得到
a1(11)
a1(1k)
ak( kk ) 0
x 1.00, y 1.00
全主元消去法;列主元消去法.
一、列主元消去法
设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n
x1
b1
A
a21
a22
a2n
,
X
x2
,
b
b2
.
an1
an2
ann
xn
bn
第一步:先在A的第一列选取绝对值最大的元素作主元素,
ai1,1
b2
.
0
0
ann
xn
bn
回代求解
xn bn ann
xi
bi
j
n aijx j
i 1
aii , (i n 1,,1)
算法(列主元消去法).消元结果 A, mik aik , x b,存det.
……
数值分析课后习题全解(可编辑优质文档)
数值分析课后习题全解（可编辑优质文档）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第5章 数值分析课后习题全解第5章：解线性方程组的直接方法1． 证明：由消元公式及A 的对称性得(2)211,,2,3,..........,1111111a a j i a a a a a a i j na a ijij j j iji =-=-== 故2A对称2．证明：（1）因A 对称正定，故,)0,1,2,......,e i ni >=aii=(Ae i其中i e =（0,…,0,1,0,...,0）T 为第i 个单位向量.(2)由A 的对称性及消元公式得111211122222n n nn n n u u u d d u u d d u d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)ij a =ija -1111i j a a a =ji a -111j a a 1i a =(2)ji a ，I,j=2,…,n故2A 也对称.又 11120Ta a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1L A 1TAL其中 1L =211111111.....1n a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦显然1L 非其异,从而对任意的x ≠0,有1TL X ≠0,(x,1L A 1TL X)=(1TL x, A 1TL X)>0 (由A 的正定性) 故11T L AL 正定.又11T L AL =11200a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而11a >0,故2A 正定. 3.证明 由矩阵乘法简单运算即得证.4.解 设有分解4232125316⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=123431231αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1231111βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由公式11,1111,2,3,,,2,3,.1i i i i ii i b a c b i n c i n αβαβααβ-==⎧⎪=+=⎨⎪==-⎩其中i b ,i a ,i c 分别是系数矩阵的主对角线元素及下边和上边的次对角线元 素.故有112233414,272,27397,7138513αβαβαβα⎧==⎪⎪⎪=-=-⎪⎨⎪==⎪⎪⎪=⎩从而有4232125316⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=4732392785113⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦11221771131⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故 1y =64=32, 2y =12372y --=573y =21022039137y -=, 4y =3518513y +=故4x =1,3x =420711313x -=,2x =352177x +=,1x =231122x -= 5. 解 (1)设U 为上三角阵1112112222n n nn n u u u x u u x u x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因nn n u x =n d ，故n x =nnnd u . 因 10001010302171101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎦⎣ii i u x +1n ij j j i u x =+∑=id ,故i x =1ni ij ij i iid u xu =+-∑,i=n-1,n-2,,1当U 为下三角阵时11212212n n nn u u u u u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得,1x =111d u , 1x =11i i ij jj iid u x u -=-∑,i=2,3,…,n.(2)除法次数为n,乘法次数为1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2 故总的乘法次数为n+n(n-1)/2=n(n+1)/2. (3)设U 为上三角阵,1U-=S,侧S 也是上三角阵.由11121222n n nn u u u u s u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121222n n nn s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 1ii iis u =, i=1,2,…,nij s =-1jik kjk i iiusu =+∑,j=i+1,i+2,…,n; i=n-1,n-2,…,1当U 为下三角阵时,由11212212n n nn d d d d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11212212n n nn s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 1ii iis u =,i=1,2,…,n ij s =11i ik kjk iiusu -=-∑,i=2,3,…,n;j=1,2,…,i-16. 证明 (1)因A 是对称正定阵,故存在唯一的分解A=L TL ,其中L 是具有正对 角元素的下三角阵.从而 1A -=(L TL )1-=(TL )1-L 1-=(L 1-)TL 1-(A 1-)T =11()TT L L --⎡⎤⎣⎦=11()T L L --=1A -故1A -是对称矩阵.又1L -非奇异,故对任意的 x ≠0,有1L -x ≠0,故1Tx A -X=11()T T x L L x --=11()()T L x L x -->0故1A -是对称正定矩阵,即1A -也对称正定.(2)由A 对称正盯,故A 的所有顺序主子式均不为零,从而A 有唯一的 Doolittle 分解A=L U.又U=1122nn u u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1121111222111n n u u uu u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=D 0U 其中D 为对三角阵, 0U 为单位上三角阵,于是 A=U L =D L 0U又 A=TA =TO U D TL由分解的唯一性即得T O U =L从而有 A=D L TL 又由A 的对称正定性知 1d =1D >0, i d =1ii D D ->0 (i=2,3,…,n) 故 D=12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣=12D 12D 故A=L D TL =L12D12D TL =(L 12D )(L 12D )T =LL T其中L=L 12D 为三角元为正的下三角矩阵.7. 解[A|I]=21311000310701001242001010150001⎡--⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎢⎦⎣-> 101500010138010302330011011111002⎡-⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎦⎣-> 1015010138010300319021700431101⎡-⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥---⎢⎦⎣->421410003333010110114192170010333385542500013333⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦-> 410231685178517100033641130100851785170010191538851785170001314585178517⎤--⎥⎥⎡⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎥⎥--⎦->1A -=4102316851785173364113851785171953885178517314585178517⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0.04705890.58823530.27058820.94117650.38823530.35294120.48235290.76470590.22352940.29411760.03529410.47058820.03529410.05882350.04705890.2941176--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦8． 解 设有分解2112112112112-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦= 123451111ααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123451111βββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由公式11,1111,(2,3,4,5),(2,3,4)i i i i i i i b c b i c i ααβαβααβ-==⎧⎪=+=⎨⎪==⎩其中i b ，i a ，i c 分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元 素，则有12α=， 232α=， 343α=， 454α=， 565α= 112β=-， 223β=-， 334β=-， 445β=-由12345231120410305140615y y y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得1y =12，213y =，314y =，415y =，516y = 由112213314415⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦123451213141516x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得5x =16，4x =13，3x =12，2x =23，1x =569．解 设211123131-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=121312123231323111111d l l l d l l l d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由矩阵乘法得1d =2， 2112l =-， 3112l = 252d =-，3275l =-3275d =由123141152617125y y y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦得 14y =，27y =，3695y = 由12311122245717256927155x x x ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 得 123111222247514175256927123559x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故3x =239=2.555 555 6，279x ==0.777 777 8，1x =109=1.111 111 1 10． 解 A 中2∆=0，故不能分解。
《数值分析》(第5版)第四、五章作业题
第4章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(1) ∫f (x )ⅆx h−h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=2ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=23ℎ3解得A -1 = ℎ3 ，A 0 = 4ℎ3，A 1 = ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx ℎ−ℎ=ℎ3(−ℎ)3+ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx ℎ−ℎ≠ℎ3(−ℎ)4+ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx ℎ−ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度(2) ∫f (x )ⅆx 2h−2h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=4ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=163ℎ3解得A -1 = 8ℎ3 ，A 0 = -4ℎ3，A 1 = 8ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx 2ℎ−2ℎ=8ℎ3(−ℎ)3+8ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx 2ℎ−2ℎ≠8ℎ3(−ℎ)4+8ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx 2ℎ−2ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： (2)∫√x ⅆx 91，n = 4解：h =b−a n=9−14= 2根据复合梯形公式：∫√x ⅆx 91= ℎ2[f (1)+f (9)+2∑f (x k )3k=1] =(1 + 3 + 2√3+2√5+2√7) ≈17.228 根据复合辛普森求积公式： ∫√x ⅆx 91= ℎ6[f (1)+4∑f(x k+12)3k=0+2∑f (x k )3k=1+f (9)]= 13(1 + 4√2+4√4+4√6+4√8 + 2√3+2√5+2√7 + 3) ≈ 17.3326. 若用复合梯形公式计算积分I = ∫ⅇx ⅆx 10，问区间[0, 1]应分多少等份才能使截断误差不超过12×10-5 ？若改用复合辛普森公式，要达到同样精度区间[0, 1]应分多少等份？解：f(x) = e x , f’’(x) = f (4)(x) = e x , b-a = 1, h = 1n , ∴根据复合梯形公式： | R n (f) | = | -b−a 12ℎ2f ′′(η) | =ⅇx 12n≤ ⅇ12n≤ 12× 10-5 求得n ≥ 212.85, 取n = 213, 即将区间[0, 1]分为213等份时，用复合梯形公式计算，截断误差不超过12×10-5。
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析第五章实习题答案
数值分析第五章实习题答案数值分析第五章实习题答案数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
在数值分析的学习过程中，实习题是非常重要的一部分，通过实习题的练习，可以帮助我们巩固所学的知识，并且提高我们的解题能力。
本文将为大家提供数值分析第五章实习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一题：求下列方程的一个正根，并用二分法和牛顿法分别计算根的近似值。
方程：x^3 - 3x + 1 = 0解答：首先，我们可以通过绘制函数图像来初步估计方程的根的范围。
根据图像，我们可以大致确定根在区间[0, 2]之间。
接下来，我们使用二分法来计算根的近似值。
根据二分法的原理，我们将区间[0, 2]等分为两部分，然后判断根在哪一部分。
不断重复这个过程，直到找到根的近似值。
具体计算过程如下：- 将区间[0, 2]等分为两部分，得到中点x = 1。
- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。
- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 2]之间。
- 将区间[1, 2]等分为两部分，得到中点x = 1.5。
- 计算方程在x = 1.5处的函数值f(1.5) = 1.375。
- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 1.5]之间。
- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。
最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。
接下来，我们使用牛顿法来计算根的近似值。
牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近根的位置来计算根的近似值。
具体计算过程如下：- 选择初始近似值x0 = 1。
- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。
- 计算方程在x = 1处的导数值f'(1) = 4。
- 利用牛顿法的迭代公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)，我们可以得到x1 ≈ 1.333。
- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。
最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。
通过二分法和牛顿法，我们分别得到了方程x^3 - 3x + 1 = 0的一个正根的近似值为x ≈ 1.365。
数值分析第5章习题
1. 过点),(),...,,(),,(551100y x y x y x 的插值多项式P(x)是（）次的多项式 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 考查知识点：插值多项式的基本概念 答案：B2. 通过点),(),,(1100y x y x 的拉格朗日插值基函数)(),(10x l x l 满足（） A. 0)(,0)(1100==x l x l B. 1)(,0)(1100==x l x l C. 0)(,1)(1100==x l x l D. 1)(,1)(1100==x l x l 考查知识点：拉格朗日插值基函数的性质 答案：D3. 设)(x L 和)(x N 分别是)(x f 满足同一插值条件的n 次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别是)(x r 和)(x e ，则（B.） 考查知识点：插值多项式的存在唯一性 A.)()(),()(x e x r x N x L =≠B.)()(),()(x e x r x N x L ==C.)()(),()(x e x r x N x L ≠=D.)()(),()(x e x r x N x L ≠≠解析：插值多项式存在唯一性定理可知，满足同一插值条件的拉格朗日插值多项式和牛顿插值实际上是同一个多项式，故，余项也相同。
4. =∇+∆k k y y _______ 考查知识点：差分的概念 答案：11-+-k k y y5. ]2,,2,2[]2,,2,2[,13)(817147f f x x x x f 和则+++=为 与[][]!80!8)(22221!7!7!7)(222)8(8710)7(710===⋯⋯===⋯⋯ξξf f f f ，，，，，，，根据差商和导数关系6. 的二次插值多项式为则时当)(4,3,0)(2,1,1x f ，x ，f x -=-= （拉格朗日插值） 解： 4,3,2,1,110210=-===-=y y x x x ，Lagrange 这里插值公式利用二次得,42=y)()()()(2211002x l y x l y x l y x L ++=3723653)1)(1(406)2)(1(32-+=-+⨯++--⨯-=x x x x x x7. 设2)(x x f =，则)(x f 关于节点2,1,0210===x x x 的二阶向前差分为_2_。
数值分析习题
第一章 绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）8 设⎰-=11dx e x eI x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。
（计算方法的比较选择）第二章 插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。
（拉格朗日插值）2 已知9,4,10===x x x y ，用线性插值求7的近似值。
（拉格朗日线性插值）3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有)())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+-试证明),...1,0()(0n k x x l xnj k jk j =≡∑=。
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由于
15. 已知在处的函数值，求及的近似值并估计误差。 考查知识点：等距节点插值公式 解：首先构造查分表如下：
0
1.00000
0.1
0.99500 -0.00500
0.2
0.98007 -0.01493 -0.00993
0.3
0.95534 -0.02473 -0.00980 0.00013
0.4
出题情况（营销） 8陈飞 11李欣雨
6周莹舒 5张明晓 12张慧 14李墩芝、王雪松
4. _______ 考查知识点：差分的概念 答案：
5. 为 与
6. （拉格朗日插值） 解：
7. 设，则关于节点的二阶向前差分为_2_。 考查知识点：各阶前向差分的应用 解析：由节点可求出对应的函数值，如下表：
0
0
1
1
1
2
4
3
2
8. 已知中有，求的拉格朗日插值多项式。（拉格朗日插值） 解法一（待定系数法）：设，由插值条件，有 解得：。 故。 解法二（基函数法）：由插值条件，有
9.设，取作出关于的差商表，给出关于的Newton插值多项式，并给出插 值误差。 考查知识点：牛顿插值公式
解析：差商表为
-1
-1
-0.8 0.16032 5.8016
0
1
1.0496 -4.725
0.5 1.15625 0.3125 -0.567 2.79
1
3
3.6875 3.375
2.19
-0.3
0.92106 -0.03428 -0.00955 0.00025
（1） 用牛顿前插公式计算的近计 其中 。
（2） 用牛顿后插公式计算的近似值 后插公式： 取，代入公式得
误差估计 其中 。
出题情况(电信) 张楠 2 张爽 13 李锋 15 陆亚男 3,7,9 张云雪 10 宋剑 1,4
考查知识点：分段插值 解：分段线性Lagrange插值的公式为
14. 已知的函数表
求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余 项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表
由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得
1. 过点的插值多项式P(x)是（）次的多项式
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
考查知识点：插值多项式的基本概念
答案：B
2. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（）
A.
B.
C.
D.
考查知识点：拉格朗日插值基函数的性质
答案：D
3. 设和分别是满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式，它 们的插值余项分别是和，则（B.） 考查知识点：插值多项式的存在唯一性 A. B. C. D. 解析：插值多项式存在唯一性定理可知，满足同一插值条件的拉格朗日 插值多项式和牛顿插值实际上是同一个多项式，故，余项也相同。
0.36
0.04
0.3 2.08
0.40
0.04
0
0.4 2.52
0.44
0.04
0
0
0.5 3.00
0.48
0.04
0
0
0
= =
由x=0.45得t=
11.
x
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144
解：
12.设。(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给
Newton插值多项式：
10. 已知函数的函数表如图所示，试列出向后差分表，并写出牛顿的 向后差值公式，用其估计出。
考查知识点：各阶后向差分的运用
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f(x)
1.00
1.32
1.68
2.08
2.52
3.00
解析：
0.0 1.00
0.1 1.32
0.32
0.2 1.68
出。(2)写出余项的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
解：，，，，
设，
解得：，，，。
故。
，其中，。
12. 设f(x)在各点处的数据，求f(x)在x=0.36,0.98处的近似值。(用分 段插值)
i
0
1
2
3
4
5
0.30
0.40
0.55
0.65
0.80
1.05
0.30163 0.41075 0.57815 0.69675 0.87335 1.18885