第十一章 最短道路和最小树
一个顶点的 T 标号表示从起点v 1到该点的最短路径长度的
上界，这种标号为临时标号；P 标号表示从 v 1 到该点的最 短路长度，这种标号为固定标号。
在最短路径计算过程中，对于已经得到 P标号的顶点，
不再改变其标号；对于凡是没有标上 P标号的顶点，先给 它一个T标号；算法的每一步就是把顶点的T标号逐步修改， 将其变为P标号。
（1）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得运送总成本最小。这属 于最小费用流问题。 （2）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得总流量最大。这属于最 大流问题。 （ 3 ）从某个点 vi 出发到达另一个点 vj ， 怎样安排路线使得总距离最短或总费 用最小。这属于最短路问题。
标号法具体计算步骤
开始，先给v1标上P标号P(v1)＝ 0，其余各点标上T标号 T(vj)＝+∞（j≠1）。 ① 如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于所有这样 的点
v v , v E, 而且v 的标号是 T标号
j i j j
v j0
将其T标号修改为： min[T(vj)，P(vi)+wij]。 vj
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1 7
[1]
v4
1
2
4
v6 6
3
1
v9 2
4
9
v7[10] 1
v10
v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1
[1]
v4
7
1 [6] v6 6 4 3 2 9
v7[10] 1
1
v9 2
4
v10
RUC, Information School, Ye Xiang
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题类型主要包括：
（1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等
RUC, Information School, Ye Xiang
则通过第三个港口转运。那么，各个港口之间最
廉价的货运线路是什么？
3）“时间”意义上的最短路径。 例如，某家经营公司有一批货物急需从一
个城市运往另一个城市，那么，在由公路、
铁路、河流航运、航空运输等四种运输方
式和各个运输线路所构成的交通网络中，
究竟选择怎样的运输路线最节省时间？
以上三类问题，都可以抽象为同一类问题， 即赋权图上的最短路径问题。 ◣不同意义下的距离都可以被抽象为网络 图中边的权值。 ◣权——这种权值既可以代表“纯距离 ”， 又可以代表“经济距离 ”，也可以代表 “时间距离 ”。
第十一章 最短道路和最小树
5.1 网络最优化问题基本概念
8 7 5 8 2 v2 3 v4 6 v6 1
第5章 网络 最优化问题
v1
v3
v5
5
4
对于该网络图，可以提出许多极值问题
RUC, Information School, Ye Xiang
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
程最短。
3）若学校保卫处巡逻队每隔一段时间将学
校所有的道路巡逻一遍，问若何行走，才
使所行走的路程最短。
v1
v2
v5
v6
v3
v4
v7
v8
（2）“经济距离”意义上的最短路径。
例如，某公司在10大港口C1，C2，…，C10设有货
栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由市场动
态决定的。如果两个港口之间无直接通航路线，
最小的路p0使称p0为vs到vt的最短路，w(p0)为vs到vt的
距离，记d(vs,vt)
w( p0 ) min w( p)
p
注：在有向图中d(vs,vt)与d(vt,vs)不一定相同
最短路问题在实际中具有广泛的应用，如管道铺设、线
路选择等问题，还有些如设备更新、投资等问题也可以
归结为求最短路问题求最短路有两种算法： 一是求从某一点至其它各点之间最短离的狄克斯特拉 (Dijkstra)算法； 另一种是求网络图上任意两点之间最短路的Floyd(弗 洛伊德)矩阵（表格）算法。
（一）最短路径的含义
（1）“纯距离”意义上的最短路径。
例如，需要运送一批物资从一个城市到
另一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？
1、问题
对上述校园，若各学院有如图所示的道路连通，现
考虑如下问题： 1）若v1是学校行政部门，常有一名办事员到各学 院办事，现希望确定其行走路线，使之到各学
院的路程最短。 2）若该办事员从v1出发，到每个学院发一份文件， 再回到v1，问若何设计其行走路线，使其行走路
v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
[5]
7 9
v11
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1
2、最短路的概念： 问题1）就是所谓的最短路问题：其一般提法如下 给定一赋权图G，对每一条边aij=(vi,vj)，其对应
权为w(aij)=wij，又给定图中两个顶点vs和vt，设p是vs
到vt的一条路，定义路的权为p中所有边权之和，记 为w(p)，即：
w( p )
aij p
w
ij
求一条从vs到vt的最短路径，即求从vs到vt的一条权和
（二）最短路径的算法
最短路径问题最好的求解方法：
1959年，Dijkstra 提出的标号法。
标号法优点
不仅可以求出起点到终点的最短路径及其长度，
而且可以求出起点到其它任何一个顶点的最短路径
及其长度；同时适用于求解有向图或无向图上的最
短路径问题。
1
首先v1从开始，给每一个顶点标一个数，称为标号。这些 标号，又进一步区分为T标号和P标号两种类型。其中，每
0
② 若G中没有T标号，则停止。否则，把点 修改为P标号，然后再转入①。 其中， 满足： T (v j ) minT (v j )
0
的T标号
v2
1 5
v5
2 9
v8
2
v 8
19
v11
1 7
2
1
v4
4
v7
v6 6
v9 2
3 1
4
9
v10
v [2] 2
1 5
v5
2 9
v8
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1 7
[1]
v4
3
7 1
9
v11
1
2
4
v7
v6 6
v9 2
3 1
4
9
v10
v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
2
[0] v
1
6
v3
[8] 8 1 7
[1]
v4
7 1
9
v11
1
2
4
v6 6
v9 2
3
4
9
v7[10] 1
v10
v [2] 2
1 5
[3] v5 3
2 9
v8
最短路线1
例题【一C→F→G→B、 A→E→F→G→B、A→C→F→I→B、 A→E→F→I→B、A→E→H→I→B、
例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知 走哪条路最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短 路线呢？
方法二：标数法
只能从小号码的蜂房爬进相邻 的大号码的蜂房！ 蜜蜂的运动方向是固定的，所 以依然可以采取标数法。
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房 爬向右侧 邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法!
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
最短路线
最短路线问题就是确定从某处到 另一处最短路线的条数。
标数法：
用来解决最短路线问题的方法，在给 出的图形中的每一个结点标出到达该 点的方法数，最后利用相加原则求出 到达目的地方法数。
例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但 是不知走哪条路最近。小朋友们，你能给它找到几 条这样的最短路线呢？
目标：右、下 方向：左、上
箭头很重要，一定逐一标； 步骤要严谨，不能跳着做。
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
标数法
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
起点是“我” 每个字看做“点”（车站） 共有1+4+6+4+1=16（种）
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房 爬向右侧 邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
目标：右、下 方向：左、上
最小树的名词解释
最小树的名词解释最小树是图论中的一个概念，它是指在一个连通的无向图中，通过选择最少的边将所有的顶点连接起来的一棵树。
最小树通常用于解决最优路径问题和网络设计等领域，它能够在保证所有顶点连通的前提下，使整个图的总权重最小。
为了更好地理解最小树的概念，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个无向图，其中有四个顶点A、B、C和D，以及相应的边AB、AC、AD、BC、BD和CD。
现在的问题是如何通过选择最少的边，将所有的顶点连接起来。
为了解决这个问题，我们可以使用Kruskal算法或Prim算法来构建最小树。
这两种算法在解决最小树问题上非常有效。
在Kruskal算法中，首先将所有边按照权重从小到大进行排序。
之后，依次从最小权重的边开始选择，但要保证所选择的边不会形成环路。
当所有的顶点都被连接起来，即形成一棵树时，这棵树就是最小树。
而在Prim算法中，则是从一个初始顶点开始，逐渐将与该顶点相连的边加入最小树中，直到所有的顶点都被连接起来。
无论是Kruskal算法还是Prim算法，它们都能够快速地找到最小树。
通过这种方式，我们可以在保证图的连通性的前提下，选择最少的边来构建一棵最小树。
最小树不仅仅在图论中有应用，它也可以被应用在其他领域。
例如，最小树经常被用于解决计算机网络设计中的问题。
在设计网络拓扑结构时，我们希望通过尽可能少的连接来保证所有节点之间的可达性和通信效率。
使用最小树可以帮助我们找到一个经济高效的网络设计方案。
此外，最小树还可以用于解决最优路径问题。
在网络路由或交通规划中，我们经常需要找到一条连接所有目标点的最短路径。
使用最小树可以帮助我们找到连接所有目标点的最短路径，从而提高路由的效率和减少通信成本。
总之，最小树是图论中一个重要的概念，它通过选择最少的边来保证图的连通性，并在此过程中使整个图的总权重最小。
最小树不仅仅在图论领域有应用，它还可以被广泛应用于网络设计和最优路径问题等领域。
最短路径经典练习题
最短路径经典练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。
2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它适用于哪些类型的图？3. 请解释A搜索算法中启发式函数的作用。
4. 如何判断一个图中是否存在负权环？5. 简述弗洛伊德（Floyd）算法的基本步骤。
二、单选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 初始化距离表B. 选择当前距离最小的顶点C. 更新相邻顶点的距离D. 重复步骤B和C，直到所有顶点都被访问A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 启发式函数B. 起始节点C. 目标节点D. 图的规模三、多选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 深度优先搜索算法D. 广度优先搜索算法A. 初始化距离矩阵B. 更新距离矩阵C. 查找负权环D. 输出最短路径A. 图的存储结构B. 顶点的数量C. 边的数量D. 起始顶点四、计算题A (3)>B (2)> D\ | ^ \ | | \(2)\ | (1)/C \|(4)A (1)>B (2)> D\ ^ |\(2)\ | (3)/C \ |(1)A (2)>B (3)> D\ | ^\(3)\ | (1)/C \ |(2)五、应用题1. 假设你是一名地图软件的开发者，请简述如何利用最短路径算法为用户提供导航服务。
2. 在一个网络游戏中，玩家需要从起点到达终点，途中会遇到各种障碍。
请设计一种算法，帮助玩家找到最佳路径。
六、判断题1. 迪杰斯特拉算法只能用于无向图的最短路径问题。
（）2. 贝尔曼福特算法可以检测图中是否存在负权环。
（）3. 在A搜索算法中，如果启发式函数h(n)始终为0，则算法退化为Dijkstra算法。
（）4. 弗洛伊德算法的时间复杂度与图中顶点的数量无关。
（）七、填空题1. 迪杰斯特拉算法中，用来存储顶点到源点最短距离的数组称为______。
小学教育-最短路线问题
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。
这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。
典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。
现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。
问：车站应该建在什么地方？分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最甲乙乙图1图2近的点，但是乙村到C点就较远了。
反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。
但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。
解用直线把甲村、乙村连起来。
因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。
他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。
问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？3分析选择最短的路线最合理。
那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。
邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。
因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。
但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。
要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。
最短路径问题——造桥选址问题
一、情境引入（5分钟）
二、自主探究、合作交流
1、旧知回顾：
师：上节课我们探究了最短路径问题，请你用所学知识解决下面的问题。
问题：要在公路m旁建一所小学，到A村和B村的距离和最小？应该建在什么位置？为什么？
（1）
（2）
2、导入：
在现实生活中还有很多涉及到选择最短路径的问题,本节我们将再利
用数学知识来探究数学中有名的“造桥选址问题”
出示问题：
造桥选址问题：
A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
教师出示引导分析：
先将实际问题抽象为几何模型，
1、直接连接AB行吗？为什么？
2、路径是哪些线段之和？
3、桥的位置发生变化后，路径中哪些线段是不变的，哪些在变？
按上面的思路进行引导，尽量让学生思考解决。
2、如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
4、当有n条河时呢？
让学生自主思考，并归纳
按上面的方法思考、讨论、交流解决问题
沿垂直于河岸方向依次把Ａ点移到Ａ１、Ａ１点移到Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝ＰＱ ；
对问题的探索做准备，
激发学生兴趣
通过层层递进将问题逐步简化，让学生能真正参与到教学活动之中。
展示幻灯片达到直观，并能作为归纳的作用
让学生认识到为什么要将A点沿桥的方向平移一个桥长
三、反馈训练，拓展延伸
1、如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
最小树_运筹学_[共8页]
![最小树_运筹学_[共8页]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/8bb5f6119ec3d5bbfc0a7482.webp)
156运筹学图6.17 生成树此时41k E V ==−+，这样得到了生成树。
6.2.3 最小树最小树是网络优化中的一个重要概念，在交通网、电力网、通讯网等的设计中均有广泛的应用。
定义6.2.3 设连通图G V E =（，）。
每条边i j e v v =（，）上都有一个非负权数ij w e w =（）。
若1T V E =（，）是G 的一个生成树，则称1E 中所有边的权之和为生成树T 的权，记为()ij w T w =∑。
称具有最小权的生成树为G 的最小生成树，简称为最小树。
显然，对于最小树，有如下结论成立。
定理6.2.2 若把连通网络图的所有点分成V 和V 两个集合，则两集合之间连线的最短边一定包含在最小树内。
下面介绍如何寻找或构建一个最小树的几种算法。
算法1 Kruskal 算法1956年Kruskal 给出了求最小树问题的一种算法。
其基本思想是从网络中逐步挑选边构成最小生成树。
每次挑选的边对应的权要尽可能小，但必须保证已选好的边不产生圈。
这种方法称为Kruskal 算法，也称为避圈法。
这种方法与求生成树的避圈法类似。
避圈法步骤如下。
Step1 把图中的所有顶点分成V 和V 两个集合。
从图中任选一点i v ，让i v V ∈，图中其余点均包含在V 中。
Step2 从V 和V 的连线中找出最小边，这条边一定包含在最小树内，不妨设最小边为i j v v （，），将i j v v （，）标记成最小树内的边。
令{}j V V v =∪，{}\j V V v =。
Step3 若V =Φ，则算法终止。
否则转入Step2。
例6.6 一个乡有9个自然村，其间道路及各个道路长度如图6.18所示，各边上的数表示距离，问如何拉线才能使用线最短。
解 用Kruskal 算法。
Step1 令{}1V v =，{}02345678V v v v v v v v v =，，，，，，，。
Step2 {}12101818min 1w w w w ==，，。
道路交通运输网络分析技术-道路运输系统工程
§ 6.1
如图6-2 a和图6-2 b
引言
§ 6.1
在生产实际中，我们要了 解某地区的公路交通状况， 要了解公路分布状况和公 路长度，还有与节点或枝 线（弧）相关的数量指标。
引言
§ 6.1
引言
网络，网络理论，网络分析技术
我们带有某种数量指 标的图称为网络图或 称网络
网络
撇开各种图的具体 内容来讨论这种由 点、线段构成的抽 象形式的图，从中 研究其一般规律。
( vi , v j )A
f ij
( vi ,v j ) A
f
ji
0
对于发点vs，记 对于收点vt，记
( vs ,v j )A
f sj
( v j ,vs )A
f
js
V( f )
( vt , v j )A
f tj
( v j ,vt )A
f
jt
V ( f )
11
• 定义每条边与顶点的顺序无关，边都没有方向的 图称为无向图
在无向图中,有(vi , v j ) (v j , vi ). • 如果边是用顶点的有序对来定义，即令其一个 顶点是始点，另一个顶点是终点，那么称该边 为有向边，全部由有向边构成的图称为有向图。 • 有向图中的边称为弧。 • 从有向图中 D (V , A)去掉所有弧上的箭头,就成为无向 图,称为D的基础图. • 图中既有边又有弧, 称为混合图.
水取暖点相互连通，但总的线路长度最短。试求
最短的管道铺设方案。这类问题在网络分析中称 为最小生成树问题。
1、树的定义 无圈的连通图称为树。我们用了T表示树，树中 的边称为树枝
2、树的性质
最短路径(将军饮马造桥选址).pptx
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是
A
M
N
P
Q
B2
B1
B
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线 ，桥要与河岸垂直）
B
思维分析
A
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．
桥MN、PQ和GH在中间，且方 向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决问 题，只有利用平移变换转移到 两侧或同一侧先走桥长.
M
P
N
P
Q Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ １＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝
A
A1 A2
ＰＱ ；
M
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻
河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸
N P
于Ｎ点，建桥ＭＮ；
Q
从Ａ点到Ｂ点的最短路径
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
平移的方法有四种：三个桥长都平移 到A点处；都平移到B点处；MN、PQ 平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
造桥选址问题 最短路径.4-造桥选址问题-最短路径(2)课件
M N P Q B
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A A1 A2
P Q B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.A A1 A1 AM P Q N P Q
连接A1P交A1的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点A1、A2，使ＡA1＝ ＭＮ，A1A2＝ＰＱ ； 连接A2Ｂ交于Ｂ点相邻河 岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接A1Ｐ交A1的对岸于 Ｎ点，建桥ＭＮ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路 径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ ＰＱ＋ＱＢ．
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝ MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB２+B２B１+B１B．
A
M N P Q B2 B1 B
A A1 A2 M N P Q B
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方 向平移Ａ点至A1点，沿垂直 于第二条河岸方向平移Ｂ点 至B1点，连接A1B1 分别交 A、B的对岸于N、P两点， 建桥MN和PQ. 最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为 AA1+A1B1+BB1.
小学数学《最短路线》练习题
小学数学《最短路线》练习题【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？【例3】如图是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程。
【例4】如下图，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A 点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？【例5】一个邮递员投送信件的街道如图，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问走什么样的路线最合理，全程要走多少千米？【例6】下图是一个城市道路图，数字表示各段路的路程（单位：千米），求出图中从A到F 的最短路程。
【例7】仍取上面拓展训练的图中八个行政村的位置和线路图，乡政府要在全乡沿村与村之间的道路挖渠修道，建立排灌系统．全乡的地势是西高东低，即A村最高，依次为B、F、G、H、E、C、D，水源在A村，问沿什么路线修道最合理？【例8】有八栋居民楼A1、A2、…、A8分布在公路的两侧，如下图，由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，使汽车站到各居民楼的距离之和最小，车站应设在哪里？【例9】有两条通讯路线A和B，如下图，通讯员从C处出发，查完两条线后到D处，作图表示他怎样走路程最短（假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作）？【例10】要在两条街道（如下图）A和B上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？【作1】如下图，A、B、C三点分别是正方体三条棱的中点．假设一只蚂蚁沿着正方体的表面从中点A爬到中点C，图中所示路线是否为蚂蚁爬行的最短路线，为什么？【作2】一个小虫从圆柱体（如下图）的A点处绕圆柱体侧面一周，最后爬到顶点B处．请画出小虫从A点绕到圆柱体侧面到达B点的最短路线。