《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第六章-2

第2行 第3行 第4行
An-1n -1 a An-2 An-3 Bn-1 n -3 Cn-1n -5 Dn-1 -7 a a an … Bn-2 Bn-3 B2 0 0 Cn-2 Cn-3 0 0 0 Dn-2 … Dn-3 …
Ai −1 =
M
第(n-1)行 A2 第n行 第(n+1)行
An − 2 =
3
∴ H 3 ( s ) 系统不稳定
以上两个性质是判断系统稳定的必要条件
第六章 连续时间系统的系统函数
(二) 罗斯－霍维茨（Routh-Hurwitz）准则（判据） 罗斯－霍维茨（ 准则（
内容： 若 内容： D(s) = an sn + an−1sn−1 +L+ a1s + a0 的根全部位于s左半平面的充要条件是 左半平面的充要条件是： 则 D(s) = 0 的根全部位于 左半平面的充要条件是： （ⅰ）D ( s ) 的全部系数 a i 为正，无缺项； 为正，无缺项； 罗斯－霍维茨阵列中第一列数字( )符号相同 （ⅱ）罗斯－霍维茨阵列中第一列数字( A i )符号相同 -6 R－H阵列： 1行 An an Bn an -2 Cnan -4 Dnan… … 阵列： － 阵列 第
第六章 连续时间系统的系统函数
例 4 反馈系统
F(s) + _ E(s) G(s)
H(s)
Y(s)
前向通道 , 反馈通道 H ( s ) = K 问当常数满足什么条件时，系统是稳定的？ 解： E ( s) = F ( s) − H ( s)Y ( s)
Y ( s ) = E ( s )G ( s ) = G ( s ) F ( s ) − G ( s ) H ( s )Y ( s )
A1 A0
AiC − A C Bi −1 = …i +1 i +1 i , Ai
Ai Bi +1 − Ai +1Bi , Ai
…
其中A 其中 n=an , An-1=an-1 , Bn=an-2 , Bn-1=an-3 , Cn=an-4 , …
An −1 Bn − An Bn −1 A C − AnCn −1 A D − An Dn −1 , Bn − 2 = n −1 n , Cn − 2 = n −1 n , An −1 An −1 An −1 A B − An −1 Bn − 2 A C − An −1Cn − 2 … = n − 2 n −1 , Bn −3 = n − 2 n −1 , An − 2 An − 2
s 2 = −1,−2
故而 s1,2 = −1 = ± j s3,4 = − 2 = ± j 2 即系统函数在虚轴上有4个单阶极点 故系统临界稳定。 个单阶极点， 即系统函数在虚轴上有 个单阶极点，故系统临界稳定。 事实上： ( ) 事实上：D s) =s5 +s4 +3s3 +3s2 +2s +2=(s4 +3s2 +2)(s +1 =0 6
G( s) =
1 ( s − 1)( s + 2)
反馈系统的传输函数（系统函数）： 反馈系统的传输函数（系统函数）：
T (s) =
D( s ) = ( s − 1)( s + 2) + K = s 2 + s + ( K − 2)
Y (s) G(s) 1 = = F(s) 1 + G(s)H (s) (s −1)(s + 2) + K
R－H数列无符号变化，说明 右半平面无极点，再来判断虚轴上 数列无符号变化， 右半平面无极点， 数列无符号变化 说明s右半平面无极点 的极点是否单阶极点。 的极点是否单阶极点。 原理：辅助多项式必为原系统特征多项式的一个因式， 原理：辅助多项式必为原系统特征多项式的一个因式，令它等于 零所求得的根也必是原系统函数的极点，这些极点可能分布于虚 零所求得的根也必是原系统函数的极点， 轴上（缺奇次幂项）。 轴上（缺奇次幂项）。 2 2 s 4 + 3s 2 + 2 = 0 ⇒ ( s + 1)(s + 2) = 0 由
3.稳定系统的性质 3.稳定系统的性质
bm s m + bm−1 s m−1 + L + b1 s + b0 H ( s) = an s n + an和s=∞这两a1 s + a0 s n−1 +这两 L+ −1 因为s=0和 因为
bm s m 点都是在虚轴上! 点都是在虚轴上 若n > m, lim H ( s) = lim n = 0 即H(s)在无穷大处有一（n-m）阶零点 s →∞ s →∞ a s n m 若n < m, lim H ( s) = lim bm s n → ∞ 即H(s)在无穷大处有一（m-n）阶极点 s →∞ s →∞ a s n H 总的来说， 的极点和零点的数目应该相等。对于稳定系统， 总的来说， (s) 的极点和零点的数目应该相等。对于稳定系统，
D( s ) = 3s 3 + s 2 + 2 s + 8 = ( s 2 − s + 2)(3s + 4) 进一步确定： 进一步确定： s 2 − s + 2 = ( s − p1 )( s − p 2 )
p1, 2 = 1 7 ± j 在右半平面 2 2 4 3s + 4 = 0 → p = − 3
五、系统的稳定条件及其判据 系统的稳定条件及其判据 (M为正常数) 为正常数 Routh-Hurwitz准则 准则
0
∫
∞
h(t ) dt ≤ M
8
R－H阵列： 阵列： 阵列
1 1 K-2
K-2 0 0
0 0
判据知： 由R－H判据知：K-2>0 判据知 即 K>2时系统稳定 时系统稳定
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第六章 连续时间系统的系统函数
本章小结
一、系统函数的定义、分类和意义 系统函数的定义、
R( s) H (s) = E (s)
当s = jω时，H ( jω ) =
1× 4 − 2 ×
` 1 1 7 − 3 × − 1× 3 9 − 3 × 0 − 1× 0 = 0 2 = −3 −3 2
7 2 = −3 1 × 3 − 2 × 0 = 3
2 × 5 − 1× 3 7 = 2 2
R－H阵列第一列系数两次变 阵列第一列系数两次变 0 换符号（1→-3→9/2）, 换符号（ → → ） 故方程有两个正实部根， 0 故方程有两个正实部根， 由此可以判定与此特征方程对应 0 的系统不稳定。 的系统不稳定。
其在s=0和 = 处不允许有重阶极点 因此m和 须满足： 处不允许有重阶极点, 其在 =0和s=∞处不允许有重阶极点,因此 和n 须满足： =0
1 m < n Zi = 对于策动点函数， 对于策动点函数，由于 Y i m ≤ n +1m = n m− n ≤1 策动点函数 m − n ≤ 1 m = n +1 故稳定系统 转移函数 m − n ≤ 1
第六章 连续时间系统的系统函数
例3
D(s) = s5 + s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + 2 = 0
s4 s3 s2 s1 s0 1 1 (0 4 3/2 2/3 2 3 2 3 2 0) 0 6 0 2 0 0 0
R－H阵列 ： 5 － 阵列 s
此行元素全部为0， 此行元素全部为 ，说 明虚轴上可能有极点 处理： 由全“ ” 处理： 由全“0”的上一行组成辅助多项 对其求导得4 式：s4+3s2+2 对其求导得4s3+6s 以其系数代替全“0” 以其系数代替全“
s +s +s+2 H （2） 2 (s) = 3 ） 不满足（ ——不稳定 不满足（ⅱ） 不稳定 2s + 7s + 9 s 2 + 4s + 2 满足（ ）、（ⅱ （3）H 3 (s) = 3s 3 + s 2 + 2s + 8 满足（ⅰ）、（ⅱ）可能稳定 ）
s 3+ 4s 2 − 3s + 2
R ( jω ) E ( jω )
二、系统函数的的三种图示法 复轨迹、 频率响应 H ( jω ) = H ( s ) s = jω 、 复轨迹、零极图 三、由系统函数的零极点分布确定时域特性[h(t)] 由系统函数的零极点分布确定时域特性
N ( s) H ( s) = = D( s) H 0 ∏ (s − z j )
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第六章 连续时间系统的系统函数
稳定系统
H (s ) 表示式中D (s ) 系数 a i 具有以下性质： 具有以下性质：
（ⅰ） a i 全为正 D(s) = ansn + an−1sn−1 +L+ a1s + a0 无缺项（ （ⅱ） D(s)无缺项（可以 a 0 ＝0） ） 的全部奇数项或全部偶数项——临界稳定 缺 s 的全部奇数项或全部偶数项 临界稳定 2 s + 2s + 1 H 不满足（ 不满足（ⅰ）——不稳定 不稳定 例 （1） 1 (s) = 3 2 ）
第六章 连续时间系统的系统函数
四、系统的稳定性
（一）系统的稳定性及其条件
1．定义： ．定义： 对于有限（有界）激励只能产生有限（有界） 对于有限（有界）激励只能产生有限（有界） 响应的系统称为稳定系统， 响应的系统称为稳定系统，也叫有界输入有界 输出（ 输出（BIBO）稳定系统，即 ）稳定系统， e(t ) ≤ M e ,0 ≤ t < ∞ 若激励 则响应函数 r(t) ≤ Mr ,0 ≤ t < ∞ 2. 条件: 系统稳定的充分和必要条件是：系统的冲激响 条件 系统稳定的充分和必要条件是： 应绝对可积， 应绝对可积，即 ∞