单摆模型变式
单摆的运动规律解析
单摆的运动规律解析单摆是由一个质点与一个铅直线相连接，并以线与垂直方向成角度θ悬挂的物体。
它是物理学中常见的模型之一，具有简洁而规律的运动特性。
本文将对单摆的运动规律进行分析和解析。
一、单摆的基本概念单摆的基本组成包括质点和线，质点的运动受到重力和线的约束。
单摆的运动可以用一个简单的数学模型来描述——简谐振动。
简谐振动是指质点在恢复力的作用下，沿着一个平衡位置来回运动，且运动轨迹呈周期性重复的特征。
二、单摆的运动方程对于单摆来说，质点的运动可以用如下的运动方程表示：θ''(t) + （g/l）sinθ(t) = 0其中，θ(t)表示摆角，即质点与垂直线之间的夹角；g表示重力加速度；l为单摆的摆长。
这是一个二阶非线性微分方程，它描述了单摆的运动规律。
根据不同的初始条件，可以得到不同的解，从而得到单摆的运动轨迹。
三、单摆的运动周期解析求解单摆运动方程比较困难，因此我们可以通过近似分析来得到单摆的运动周期。
当摆角较小（θ≈0）时，可以将sinθ近似为θ，此时运动方程变为：θ''(t) + （g/l）θ(t) = 0这是一个简单的谐振动方程，它的解可以表示为：θ(t) = A·sin(ωt + φ)其中，A 表示摆角的最大幅度，ω 表示角频率，φ 为初相位。
根据初值条件，可以得到初始时刻θ=θ0，θ'(t)=0时的解析解：θ(t) = θ0·cos(ωt)可以看出，单摆的运动角度随时间变化呈现出一定的周期性，即振动。
振动的周期T定义为从一个极值点到下一个极值点所需要的时间，即：T = 2π/ω四、单摆的摆长对运动周期的影响从上面的公式可以看出，单摆的摆长 l 对运动周期 T 的影响是非常显著的。
根据公式T = 2π√(l/g)，可以得知，摆长越大，周期越长；摆长越小，周期越短。
这是因为摆长代表了质点与支撑点之间的距离，与摆动的幅度和受力大小有关。
单摆周期的一个推论式及其例解
单摆周期的一个推论式及其例解作者：刘维军来源：《中学教学参考·理科版》2010年第01期我们知道,有些单摆受外部因素影响时,单摆的周期不能直接用T=2πLg计算,一般情况下,可以用两种方式解决:一是等效重力加速度的方法;二是等效摆长的方法.下面介绍一种计算单摆周期的通用推论式,供大家参考.一、计算单摆周期的通用推论式单摆模型在平衡位置(最低点)静止时,所受合力为零,所以摆球所受重力与摆线对摆球的拉力平衡,即拉=mg,也就是重力加速度可以用拉m计算,单摆周期公式即可变为T=2πLg=2πL拉m拉.当受外部因素影响,单摆在平衡位置静止时,摆球所受各力的合力仍为零,即摆球所受摆线的拉力与其他各力的合力平衡,如将其余各力的合力等效为“重力”,有拉合=mg′,即可得“等效重力加速度拉m,单摆周期公式即为拉.综合以上情形,可得计算单摆周期的一个通用的推论式:T=2πmLF,其中F为摆球在平衡位置静止时摆线对摆球的拉力.二、应用举例【例1】如图1所示,在一倾角为θ的光滑斜面上固定一长为l的单摆,若使其小角度摆动,它的运动周期为().图1A.T=2πlgB.T=2πlsinθgC.T=2πlgsinθD.T=2πlgcosθ解析:通常情况下,解此题是用等效摆长的方法,如果等效不正确就会得出选项B的错误答案.根据推论式,现只要求出摆球在平衡位置静止时摆线对摆球的拉力,即拉力等于摆球所受重力沿斜面向下的分力:F=mgsinθ,就可运用推论式求出此单摆的运动周期:T=2πmlF=2πlgsinθ,故正确选项为C.【例2】在O点固定一摆长为l细线,另一端固定一个质量为m,带电量为+q的小球(可视为质点),然后沿水平方向加以电场强度为E的匀强电场,小球处于静止状态,如图2所示.若将其拉开一个较小的角度由静止释放,求小球运动的周期.图2 图3解析:摆球在平衡位置静止时的受力如图3所示.摆球所受的拉力为单摆的周期为【例3】在以加速度为a的匀加速上升的电梯的水平地面上固定一光滑圆弧,圆弧半径为R,有一质量为m的小球(可视为质点)静止在圆弧最低点.若将小球拉离一段较小的弧线由静止释放,如图4所示,求小球运动的周期.图4 图5解析:此小球的运动可等效为单摆,圆弧的半径即可视为单摆的摆长,小球在平衡位置所受的支持力即可视为摆球受到的拉力.小球在平衡位置静止时的受力如图5所示.由F-mg=ma,得F=m(g+a).小球运动的周期T=2πmRF=2πRg+a. (责任编辑黄春香)。
单摆
T Fn
v
G
思考：在哪些位置上小球的回复力才等于小球所受的合力？ 在最低点，小球的回复力为零，重力和拉力的 合力提供了向心力 只有在位移最大处（最高点）小球回复力才等 于其所受的合力。
§11.4 一、单摆 1、模型与结构
单摆
2、单摆的平衡位置与摆长
二、单摆的运动
1、单摆的回复力 2、单摆做简谐运动的条件
O' OP 900
Gx 1
sin x / l
F回 mgx/ l
令
G
G2
k m g/ l
F回 kx
有
而回复力的方向与位移方向相反 单摆在摆角θ很小的情况下， 做的是简谐运动。
§11.4 一、单摆 1、模型与结构
单摆
2、单摆的平衡位置与摆长
二、单摆的运动
1、单摆的回复力 2、单摆做简谐运动的条件 摆角θ很小
第十一章
机械振动
． 第 4节 单摆
摆动是生活中常见的一种 运动形式
．
§11.4 一、单摆 1、模型与结构 轻绳 质点球
单摆
不计空气阻力
实际摆
单摆
是一种理想化模型
§11.4 一、单摆 1、模型与结构
单摆
2、单摆的平衡位置与摆长 平衡位置为悬点的正下方 摆长为摆球到悬点的距离 现实生活中摆动的小球 摆长=绳长+小球的半径
§11.4 一、单摆 1、模型与结构
单摆
2、单摆的平衡位置与摆长
二、单摆的运动
1、单摆的回复力 2、单摆做简谐运动的条件
3、单摆的周期 4、应用
①计时器
②用单摆测定重力加速度
§11.4 一、单摆 1、模型与结构
单摆
最新单摆的等效摆长、等效重力加速度、等效模型问题ppt课件
六、慢性肺系疾病常用治则与药物
补气固表药：
党参、太子参、黄芪、白术、防风、灵芝
补肺养阴药：
南北沙参、西洋参、天麦冬、玉竹、淮山药、川石斛、玄参、天 花粉、百合
补肾填精药：
生熟地、首乌、黄精、女贞子、五味子、桑椹子、枸杞、山茱萸、 龟板、阿胶
六、慢性肺系疾病常用治则与药物
补肾气药
仙灵脾、巴戟天、菟丝子、补骨脂、仙茅、苁蓉
单摆的等效摆长、等效重力 加速度、等效模型问题
一、单摆的概念
单摆是对现实摆的抽象 是一种理想化的物理模型
足够长
理 摆 足够轻不计质量
想线
单摆
化 的
不可伸长
条 件
足够小球的半
摆 径远小于线长
球
球小而重
（密度大）
( 12
2.单摆的运动
) θ单受力分析
T
指向悬点
mgcosθ
L
<摆 5振 0动
m g
mgsinθ指(提向供平向衡位心置 (提力供) 回复力)
4.支气管扩张症：主要表现为长期咳嗽、咳痰，严重者咳黄痰、 脓痰或伴咳血，膏方可以清肺化痰、健脾补肺，凉血止血，提高 免疫功能，减少感染，减少出血；
5.慢性咽喉炎：表现为咽干不适，痰滞咽喉。膏方可以滋阴养肺 、清肝火、利咽喉，从而改善症状；
单摆测定重力加速度实验的拓展与变式
东西南北 2017年11期·295·单摆测定重力加速度实验的拓展与变式崔佳蕙河北省邢台市第一中学，河北 邢台 054000摘要：利用单摆装置测试重力加速度数值是当今我们高中阶段物理学科新课程学习中的重点性实验内容．在针对此实验过程的课外探求型学习活动中，不但能够实现让我们学生重新复习巩固实验环节中所对应的关键性操作内容以及对其产生偏差的根源进行判断，温习及深化同学们对单摆运动周期运算公式等相关知识的认知，还可以对其实验过程加以扩展及调制，促使我们学生的开阔型思索及创新性思索获取深度的加强。
在此就这一实验内容展开探究性的分析过程。
关键词：单摆运动；重力加速度测定；实验方法；拓展优化 中图分类号：G433.7 文献标识码：A 文章编号：1000-7296(2017)11-0295-011 回顾单摆测定重力加速度实验操作过程1.1 回顾及分析实验机理依照单摆周期运算公式T ＝ 2π测定摆长L 及相应的周期T ，就能测出单摆所在位置的重力加速度数值1.2 实验偏差根源判定（1）悬挂点不稳固，致使摆长发生改变，见图1所示情况．（2）摆长过短，见图２所示状态，通常须选取单摆长度为１m 左右。
测定摆长时仅测量线体本身长度，见图３所示操作方式。
其正确操作方式应当是垂直悬吊时，利用米尺测量出其摆线长度l ，再用千分尺测定出其摆球直径d 。
则单摆长度：2 实验的扩展及调整2.1 条件约束状态下的测重力加速度g 实验程序设计 例１ 某位同学欲测试重力加速度数值，现仅有一条很结实的长型细绳、计时秒表、３5cm 长的测距标尺，另外尚有一块质量大致为２.2kg 的奇异形态的石块。
需要你给他编制出一个测试重力加速度的实验过程，拟定出实验程序，确定好计算重力加速度数值的数学表达式，且展开实验过程。
要求完整解答问题，且编纂出实验型论文。
2.2 利用单摆模式测试其它物理参数例2 现有一个小磁铁块、一小块铁片、计时秒表、测距尺、木质架、细软实线等，你判定一下在磁铁和铁板间相距１cm 时彼此间产生的磁力大小？例3 利用计时秒表、千分尺及一个小型钢球大致测量一下凹面镜（或凹透镜）的半径？需说明基本操作步骤且展开实验过程。
单摆的数学模型
g && + θ θ = 0 l
模型假设
下面用拉格朗日来建立数学 模型，因质点作圆弧运动，故 质点坐标的约束方程为
x + y =l
2 2
2
显然，系统只有一个自由度，因而 广义坐标只需一个，可以选弧长s为广 义坐标，也可选取线对铅直位置的夹角 θ，此处选取θ作广义坐标简单些，由 几何关系有
x = l cosθ y = l sin θ
单摆的数学模型
本文用拉格朗日方程建立 了单摆的数学模型
主 要 内 容
问题分析 模型假设 拉格朗日模型建立 进一步思考的问题
质量为m的球用长为l的细线悬挂在o 点，如图
o y
θ
l
y
x
Tr
m
mg cos θ
s = lθ
x
mg
mg sin θ
在地球引力作用下作往复 摆动，若不记线的质量，侧称 次系统为单摆，试求摆球 m的 运动规律（不计其他阻力）。 时间t为自变量，细线与垂线的 摆角为未知函数 θ (t )，设逆时针 方向为 θ 的正向。
问题分析
先分析摆球在运动时的受力 情况，当摆线偏角为θ (t ) 时，重 力mg在运动方向的投影为 mgsinθ 它将摆拉向平衡位置，重力mg在 Om连线方向上的分力与线的张力 相平衡，右牛顿第二定律，有
&& = − mg sin θ mlθ
或写为
&& = −mg sin θ mlθ
上式就是单摆运动的数学 模型，为一个二阶非线性常 微分方程。 当θ 充分小时，即摆球作 小振幅摆动时， θ ≈ θ ，故 sin 可得到近似 的模型：
质点的动能为
1 1 2 2 2 2 T = m ( x + y ) = ml θ 2 2
高中物理单摆模型
摆的研究物理模型是实际物体的抽象和概括, 它反映了客观事物的主要因素与特征, 是连接理论和应用的桥梁. 我们把研究客观事物主要因素与特征进行抽象的方法称之为模型方法, 是物理学研究的重要方法之一. 中学物理习题都是依据一定的物理模型进行构思、设计而成的, 因此, 在解答物理习题时, 为使研究复杂物理问题方便起见, 往往通过抽象思维或形象思维, 构建起描述物理问题的模型, 使用物理模型方法, 寻找事物间的联系, 迅速巧妙地解决物理问题. 单摆就是实际摆的一种理想化物理模型，在处理问题时可以起到柳暗花明的功效，主要有以下应用。
【单摆模型简述】在一条不可伸长的、忽略质量的细线下端栓一可视为质点的小球, 当不必考虑空气阻力的影响, 在摆角很小的情况下可看作简谐运动, 其振动周期公式可导出为.2g l T π=【视角一】合理联想, 挖掘相关物理量.例1. 试用秒表、小石块、细线估算电线杆的直径.分析与解: 要估算电线杆的直径, 题目中没有给刻度尺, 因此, 用什么来替代刻度尺是问题的关键. 秒表、小石块似乎对测量电线杆的直径没有直接关系；若是联想到小石块可以与细线组成单摆， 秒表可用来测量时间，本题便不难解决了。
用等于n 个电线杆圆周长的细线与小石块组成单摆，用秒表测出单摆m （30～50）次全振动所用时间t ，则单摆振动的周期,4222ππg T l g l T =⇒=电线杆的圆周长n l L =，电线杆的直径,πL d =有.4322πnm g l d = 【视角二】迁移与虚拟，活化模型方法. 例2. 一倾角α很小(α＜2°)的斜劈固定在水平地面, 高为h ［如图1(a)］.光滑小球从斜劈的顶点A 由静止开始下滑, 到达底端B 所用时间为t 1. 如果过A 、B 两点将斜劈剜成一个光滑圆弧面, 使圆弧面在B 点恰与底面相切, 该小球从A 由静止开始下滑到B 所用的时间为t 2. 求t 1与t 2的比值.分析与解: 当小球在斜劈上做时, 有=αsin h .2sin 1sin 21121g h t t g ⋅=⇒⋅αα 将斜劈剜成光滑圆弧面后.虚拟并迁移单摆模型, 因2α ＜4°,小球在圆弧面运动时受重力与指向圆心的弹力作 用, 这与单摆振动时的受力 ——重力与指向悬点的拉力 类似. 如图1(b)所示. 则小球 在圆弧面上的运动就是我们熟知的简谐运动. 这样能使问题化繁为简, 化难为易, 迅速找到解决问题的途径. B (b)h 图1因为L-h=Lcos2α. 所以αα2sin 22cos 1h h L =-=. 小球沿圆弧面从A 运动到B 的时间为单摆周期的1/4. 故.2sin 42412g h g L t αππ=⋅=所以, t 1∶t 2=4∶π. 【视角三】 等效变换, 化解习题难度.例3. 如图2(a)所示是一种记录地震装置的水平摆, 摆球m 固定在边长为L 、质量可略去不计的等边三角形的顶角A 上, 它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角α,摆球可绕固定轴BC 摆动, 求摆球作微小摆动时的周期.分析与解: 该题有多种求解方法, 若采用等效法, 能化解难度, 关键是求等效摆长, 因摆球在竖直平面内平衡, 关于轴BC 做微小振动, 将摆球所受重力作用线做反向延长, 在转轴BC 延长线上得交点O, 取O 点为等效单摆的悬点, 则OA 为等效摆长. 在图2(b)的三角形OCA中运用正弦定理, 有αsin 120sin L OA = 则αsin23L OA =故απsin 232g L T =.从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsin ）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l 和重力加速度g 有关．在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8m/s ，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”．等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用．图2说明质点振动系统的一种，是最简单的摆。
单摆模型
（1）
α ' (0) = 0,α (0) = α 0
这就是理想单摆满足的微分方程。
3.解微分方程
当
α 很小时，有 sin α ≈ α， 为简单起见，（1）式写成：
α
''
+
g α L
= 0
（2）
（2）式的特征方程为：
g λ + =0 L
2
对应的特征根为 其中
λ
=
i
g 故方程（2）的通解为： L
α(t) = c1 sinωt + c2 cosωt
ω =
g L
代入初值条件，可求得满足初值条件的微分方程的解
α (t ) = α 0 cos ωt
当摆球在最低点平衡位置时 ， T为周期。即可得出：
α (t ) = 0
=
， 此时
T t = 4
g T L 4
所以得：
π
2
T = 2π
L g
由上图可以看出摆球受到重力和摆线的拉力摆球的质量为m摆线长为l所受合力为mgsin由牛顿第二定律可得
单摆模型
李智
1.单摆模型
• 单摆是一种理想化的模型。 • 在一根不会伸长，忽略质量的悬线下系一质点，质点绕某个位置 来回往复运动。 • 在实验中单摆要满足三个条件： • 1. 线度条件 摆线的长度必须远远大于摆球的直径 2. 质量条件 摆球的质量必须远远大于摆线的质量 3.附加条件 摆线的弹性必须小，摆球形状规则，质量分布均匀，单摆在运动 中受的阻力忽略不计
2.建立理想单摆运动满足的微分方程，由微分方可以看出，摆球受到重力 G
所受合力为mgsin ，
mL α = − mg sin α
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如图所示，为一双线摆，它是在水平天花板上用两根等长的细线悬挂一个小球而构成的。
已知细线长为l ，摆线与天花板之间的夹角为θ。
求小球在垂直于纸面方向作简谐运动时的周期。
g l T θπ
sin 2=
如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，用长为l 的细线栓一个小球，当它做小角度摆动时，周期是多少？
θπ
sin 2g l T =
如图所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内，单摆的摆长为l ，系统水平向右的加速度为a ，摆球的质量为m ，求这一单摆的周期。
2
22g a l T +=π
如图所示，长为l 的绝缘细线下端系一带电量为+q 、质量为m 的小球，整个装置处于场强为E 方向竖直向下的匀强电场中，在摆角小于100时，求它的摆动周期。
m Eq g l T +
=π
2
若其他条件不变，只是将电场变为水平方向，则周期多大？
2
22)m Eq (
g l T +=π
练习题
1．影响单摆周期的因素有( )
A ．振幅
B ．摆长
C ．重力加速度
D ．摆球质量
2．如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆， 若摆线长为l ，两线与天花板的左右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周 期为( )
A ．2π l g
B ．2π 2l g
C ．2π
2l cos αg D ．2π l sin α
g
3．将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s ，下列措施可行的是( )
A ．将摆球的质量减半
B ．振幅减半
C ．摆长减半
D ．摆长减为原来的1
4
4．摆长为l 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取t ＝0)，当振动至t ＝
3π
2
l g
时， 摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图象是下图中的( )
5．如图所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l ，沙筒的质量为m ，沙子的质量为M ，M ≫m ，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期为( )
A ．周期不变
B ．先变大后变小
C ．先变小后变大
D ．逐渐变大
6．如图所示，用绝缘细丝线悬吊着带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则( )
A ．当小球每次通过平衡位置时，动能相同
B ．当小球每次通过平衡位置时，速度大小相同
C ．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同
D ．撤去磁场后，小球摆动周期变大
7．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在
摆球的表面，下列说法正确的是( )
A ．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大
B ．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小
C ．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大
D ．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大 8．图为甲、乙两单摆的振动图象，则( )
A ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝2∶1
B ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝4∶1
C ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加 速度之比g 甲∶g 乙＝4∶1
D ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加 速度之比g 甲∶g 乙＝1∶4
9．如图所示，光滑槽的半径R 远大于小球运动的弧长．今有两个小球(视为质点)同时
由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点O 远些，则它们第一次相遇的地点在( )
A ．O 点
B ．O 点偏左
C ．O 点偏右
D ．无法确定，因为两小球质量关系未定
10.如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：
(1)单摆的振幅为__________，频率为__________，摆长约为______；图中所示周期内位移x 最大的时刻为______．
(2)若摆球从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图象中O 、A 、B 、C 点分别对应单摆中的__________点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是______．势能增加且速度为正的时间范围是__________．
(3)单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是( )
A ．位移
B ．速度
C ．加速度
D ．动能
E ．摆线张力
(4)若在悬点正下方O ′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且O ′E ＝1
4
OE ，则单摆周
期变为______ s ，挡后绳张力______．
11．一根摆长为2 m 的单摆，在地球上某地摆动时，测得完成100次全振动所用的时间 为284 s.
(1)求当地的重力加速度g ；
(2)将该单摆拿到月球上去，已知月球的重力加速度是1.60 m/s 2
，单摆振动的周期是多少？
12.摆长为l的单摆在平衡位置O的左右做摆角小于5°的简谐运动，当摆球经过平衡位置O(O在A点正上方)向右运动的同时，另一个以速度v在光滑水平面运动的小滑块，恰好经过A点向右运动，如图10所示，小滑块与竖直挡板P碰撞后以原来的速率返回，略
去碰撞所用时间，试问：
(1)A、P间的距离满足什么条件，才能使滑块刚好返回A点时，摆球也同时到达O点且
向左运动？
(2)AP间的最小距离是多少？。