专题一 图形规律探索题
2019年中考数学：专题(1)-规律探索问题(含答案)
数学精品复习资料第二篇专题能力突破专题一规律探索问题A组全国中考题组一、选择题1．(2015·湖北黄冈中学自主招生，9，3分)两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31…7，11，15，19，23，27，31，35，39…第1个相同的数是7，第10个相同的数是() A．115 B．127 C．139 D．151解析第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m＋4；第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n＋3.∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12.∵第一个相同的数为7，∴相同的数组成的数列的通式为12n－5.第10个相同的数是：12×10－5＝120－5＝115.答案 A2．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()A．32 B．29C．28 D．26解析观察图形发现：图1中有2个黑色正方形，图2中有2＋3×(2－1)＝5个黑色正方形，图3中有2＋3×(3－1)＝8个黑色正方形，图4中有2＋3×(4－1)＝11个黑色正方形，…，图n中有2＋3×(n－1)＝3n－1个黑色的正方形，当n＝11时，2＋3×(11－1)＝32.答案 A3．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()A．21 B．24C．27 D．30解析观察图形得：第1个图形有3＋3×1＝6个圆圈，第2个图形有3＋3×2＝9个圆圈，第3个图形有3＋3×3＝12个圆圈，…，第n个图形有3＋3n＝3(n＋1)个圆圈．当n＝7时，3×(7＋1)＝24，故选B.答案 B4．(2015·浙江宁波，10，3分)一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n＋1＝b n，b2n＋2＝b n＋b n＋1，若b0＝1，则b2 015的值是()A．1 B．6 C．9 D．19解析∵b2n＋1＝b n，b2n＋2＝b n＋b n＋1，∴b2 015＝b1 007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30＋b31＝b14＋b15＋b15＝b6＋b7＋2b7＝3b3＋b2＋b3＝4b3＋b0＋b1＝5b1＋b0＝6b0.∵b0＝1，∴b2 015的值是6.答案 B5．(2015·山东德州，5，4分)一组数1，1，2，x，5，y，…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为() A．8 B．9 C．13 D．15解析∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x＝1＋2＝3，∴y＝x＋5＝3＋5＝8，即这组数中y表示的数为8.故选A.答案 A二、填空题6．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．解析第一行小太阳的个数为1，2，3，4，…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1，2，4，8，…，2n－1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5＋16＝21个太阳．答案217．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3，(如图所示)，以此类推…，若A 1C 1＝2，过点A ，D 2，D 3，…D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是________．解析 设A 1C 1交AD 10于点E ，根据正方形的排放规律，可知，△AD 1E ∽△D 2A 1E ，∴12＝1－A 1E A 1E ，解得A 1E ＝23；△D 2A 1E ∽△D 3A 2D 2，∴A 2D 3－223＝A 2D 32，解得A 2D 3＝3，△A 2D 2D 3∽△A 3D 3D 4，∴A 3D 4－31＝A 3D 43，解得A 3D 4＝92； △A 3D 3D 4∽△A 4D 4D 5，∴A 4D 5－9292－3＝A 4D 592，解得A 4D 5＝3322；∴A n D n ＋1＝3n －12n －2，A 9D 10＝3827(或6 561128)．答案 3827(或6 561128) 三、解答题8．(2015·四川自贡，22，12分)观察下表：我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4a ＋b .回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为________，第n 格的“特征多项式”为________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，求a ，b 的值． 解 (1)观察图形发现：第1格的“特征多项式”为 4a ＋b ， 第2格的“特征多项式”为 8a ＋4b ， 第3格的“特征多项式”为 12a ＋9b ， 第4格的“特征多项式”为16a ＋16b ， …第n 格的“特征多项式”为4na ＋n 2b ； 故填12a ＋9b 16a ＋16b 4na ＋n 2b .(2)∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴⎩⎨⎧4a ＋b ＝－10，8a ＋4b ＝－16，解得：a ＝－3；b ＝2，∴a ，b 的值分别为－3和2.B 组 全国中考题组一、选择题1．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )图1图2A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 016解析∵图1中各三角形的棋子数分别是3，6，9，12，…，显然都是3的倍数，图2中各正方形棋子数分别是4，8，12，16，…，显然都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的棋子数必能被12整除，而2 010，2 012，2 014，2 016四个数中，只有2 016能被12整除，故答案选D.答案 D2．(2013·山东日照，11，4分)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是()A．M＝mn B．M＝n(m＋1)C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1)解析方法一：验证法：A中等式不满足第一个图形，故排除A；B中等式不满足第一个图形，故排除B；C中等式不满足第二个图形，故排除C；故选D.方法二：观察三个图形中数字的变化，可知1×(2＋1)＝3，3×(4＋1)＝15，5×(6＋1)＝35，故M与m，n的关系是M＝m(n＋1)，故选D.答案 D3．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()A．22 B．24 C．26 D．28解析 已知三个图形中三角形的数目为：2，8，14，求差为：8－2＝6，14－8＝6，差相等，所以各个数据可以看作：2＝6－4，8＝6×2－4，14＝6×3－4，则第五个图形中三角形的个数是：6×5－4＝26，故选C. 答案 C4．(2012·浙江绍兴，10，4分)如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为斜边BC 中点．第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；……；设P n －1D n －2的中点为D n －1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n －1重合，折痕与AD 交于点P n (n >2)．则AP 6的长为( )A.5×35212B.365×29C.5×36214D.375×211解析 在Rt △ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，所以BC ＝5.又D 是BC 的中点，所以AD ＝52.因为点A ，D 是一组对称点，所以AP 1＝52×12.因为D 1是DP 1的中点，所以AD 1＝52×12×32，∴AP 2＝52×12×32×12，同理AP 3＝52×12×(32×12)2，…，AP n ＝52×12×(32×12)n －1，所以AP 6＝52×12×(32×12)6－1＝52×12×(32×12)5＝5×35212，故应选A. 答案 A5．(2014·山东威海，12，3分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，…的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝…＝30°.若点A 1的坐标为(3，0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4，…则依此规律，点A 2 014的纵坐标为( ) A ．0 B ．－3×(233)2 014C ．(23)2 014D ．3×(233)2 013解析 OA 2＝OC 2sin 60°＝OA 1sin 60°＝332＝3×233.同理可求：OA 3＝3×(233)2；OA 4＝3×(233)3......以此类推OA n ＝3×(233)n －1.又因为2 014÷4＝503…2，所以点A 2 014与点A 2在同一半轴上，故点A 2 014的纵坐标为3×(233)2 013，故选D. 答案 D 二、填空题6．★(2013·江西，11，3分)观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为________(用含n 的代数式表示)．解析 第一个图形共有4个点，第二个图形共有9个点，第三个图形共有16个点，4，9，16都是完全平方数，故可看作4＝(1＋1)2，9＝(2＋1)2，16＝(3＋1)2，则第n 个图形中所有点的个数为(n ＋1)2. 答案 (n ＋1)27．(2013·浙江湖州，15，4分)将连续的正整数按以下规律排列，则位于第七行、第七列的数x 是________． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列 … 第一行1 3 6 10 15 21 28第二行2 5 9 14 20 27第三行4 8 13 19 26 …第四行7 12 18 25 …第五行11 17 24 …第六行16 23 …第七行22 (x)……解析第一行的第一列与第二列相差2，第二列与第三列相差3，第三列与第四列相差4，…第六列与第七列相差7，第二行的第一列与第二列相差3，第二列与第三列相差4，第三列与第四列相差5，…第五列与第六列相差7，第三行的第一列与第二列相差4，第二列与第三列相差5，第三列与第四列相差6，第四列与第五列相差7，…第七行的第一列与第二列相差8，是30，第二列与第三列相差9，是39，第三列与第四列相差10，是49，第四列与第五列相差11，是60，第五列与第六列相差12，是72，第六列与第七列相差13，是85；故答案为85.答案858．(2014·贵州毕节，18，5分)观察下列一组数：14，39，516，725，936…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是________．解析分子依次为1，3，5，7，9，…，可表示为2n－1；分母依次为22，32，42，52，62，…，可表示为(n＋1)2，所以第n个数是2n－1（n＋1）2.答案2n－1（n＋1）29．(2012·浙江湖州，16，4分)如图，将正△ABC 分割成m 个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n 个边长为1的小正三角形，若m n ＝4725，则正△ABC 的边长是________．解析 设正△ABC 的边长为x ，则高为32x ，S △ABC ＝12x ·32x ＝34x 2.∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为32x －3，较短的对角线为(32x －3)33＝12x －1，∴黑色菱形的面积＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝38(x －2)2，∴m n ＝34x 2－38（x －2）238（x －2）2＝4725，整理得，11x 2－144x ＋144＝0，解得x 1＝1211(不符合题意，舍去)，x 2＝12.∴△ABC 的边长是12. 答案 1210．(2014·江苏扬州，18，3分)设a 1，a 2，…，a 2 014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2 014＋1)2＝4 001，则a 1，a 2，…，a 2 014中为0的个数是________．解析 设这些数中0的个数为a ，则由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝69可知：1的个数比－1的个数要多69，即1的个数为2 014－a ＋692，而－1的个数为2 014－a －692；再考虑到另一个等式(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2 014＋1)2＝4 001，得到每个数＋1后，其中平方后为4的数有2 014－a ＋692个，1有a 个，其余都是0，可知4·2 014－a ＋692＋a ＝4 001，解得a ＝165.答案 165三、解答题11．(2013·浙江绍兴，19，8分)如图，矩形ABCD中，AB＝6.第1次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1；第2次平移矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2；…；第n次平移矩形A n－1B n－1C n－1D n－1沿A n－1B n－1的方向向右平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n(n≥2)．(1)求AB1和AB2的长；(2)若AB n的长为56，求n.解(1)由题意可得，B点向右平移5个单位到达B1点，故AB1＝6＋5＝11；B1点再向右平移5个单位到达B2点，所以AB2＝11＋5＝16；(2)由(1)知AB1＝6＋5，AB2＝6＋2×5，依此类推，AB3＝6＋3×5，…，AB n＝6＋5n，∴AB n＝6＋5n＝56，n＝10.。
中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
中考规律探索型问题及答案
规律探索型问题1. 如图,下面是按照一定规律画出的“数形图”,经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”, 图A 3比图A 2多出4个“树枝”, 图A 4比图A 3多出8个“树枝”,……,照此 规律,图A 6比图A 2多出“树枝”D. 124答案C2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察,第 n 个图形有 个小圆. 用含 n 的代数式表示答案(1)4n n ++或24n n ++3. 观察下列算式：① 1 × 3 - 22= 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32= 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42= 15 - 16 = -1 ④ ……1请你按以上规律写出第4个算式； 2把这个规律用含字母的式子表示出来；3你认为2中所写出的式子一定成立吗并说明理由．答案解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+--- 1=-.第1个图形第 2 个图形第3个图形 第 4 个图形4. 观察上面的图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第_____个图形共有120 个;答案155. 先找规律,再填数：1111111111111111,,,,122342125633078456............111+_______.2011201220112012+-=+-=+-=+-=-=⨯则 答案110066. 观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；……解答下面的问题： 1若n 为正整数,请你猜想)1(1+n n ＝ ；2证明你猜想的结论； 3求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ .答案 1111n n -+ 2证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n nn n +-+＝)1(1+n n .3原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101 ＝12009120102010-=. 7. 设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+++,则S=_________ 用含n 的代数式表示,其中n 为正整数．答案122++n nn ．22111(1)n S n n =+++=21111[]2(1)(1)n n n n +-+⨯++=2111[]2(1)(1)n n n n ++⨯++ =21[1](1)n n ++∴S=1(1)12+⨯+1(1)23+⨯+1(1)34+⨯+…+1(1)(1)n n ++122++=n n n .接下去利用拆项法111(1)1n n n n =-++即可求和．8. 如下数表是由从1 开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.1表中第8行的最后一个数是 ,它是自然数 的平方,第8行共有 个数；2用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ,最后一个数是 ,第n 行共有 个数；3求第n 行各数之和．解164,8,15；22(1)1n -+,2n ,21n -；3第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的,第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.9.求1+2+22+23+…+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22012,则2S=2+22+23+24+…+22013,因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52012的值为A ．52012﹣1 B ．52013﹣1 C ． D ．解析设S=1+5+52+53+…+52012,则5S=5+52+53+54+…+52013,因此,5S ﹣S=52013﹣1,S=答案选C ．10.观察下列一组数：32,54,76,98,1110,…… ,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k 个数是 ． 答案122+k k11. 观察下列面一列数：1,-2,3,-4,5,-6,…根据你发现的规律,第2012个数是___________ 答案-201212.在下图中,每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成,照此规律,第10个图案中共有 个小正方形;答案100．13、如图,第1个图有2个相同的小正方形,第1个图有2个相同的小正方形,第2个图有6个相同的小正方形,第3个图有12个相同的小正方形,第4个图有20个相同的小正方形,……,按此规律,那么第n 个图有 个相同的小正方形;（1） 2 3 4 解析：因为()()()()1445420,1334312,122326,111212+⨯=⨯=+⨯=⨯=+⨯=⨯=+⨯=⨯=,故第n 个图有n n +2个小正方形 .答案n n +2或nn+114．如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 ．故答案为：4n ﹣2或2+4n ﹣1 答案4n ﹣2或2+4n ﹣115．在平面直角坐标系xOy 中,点1A ,2A ,3A ,…和1B ,2B ,3B ,…分别在直线y kx b =+和x 轴上．△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3,…都是等腰直角三角形,如果A 11,1,A 223,27,那么点nA 的纵坐标是_ _____．答案123-⎪⎭⎫⎝⎛n 16．观察下列等式： 第1个等式：a 1==21×1﹣31； 第2个等式：a 2==21×31﹣51； 第3个等式：a 3==21× 51﹣71； 第4个等式：a 4==21×71﹣91； …请解答下列问题：1按以上规律列出第5个等式：a 5= = ；2用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n = = n 为正整数； 3求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值． 解答： 解：根据观察知答案分别为：1； ；2；；3．y xy=kx+bOB 3B 2 B 1 A 3 A 2A 117.右图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式： ()127531-+⋅⋅⋅++++n = .()是正整数表示，用n n解答：当2=n 时：()224122131==-⨯+=+当3=n 时：()23913231531==-⨯++=++当4=n 时：()24161425317531==-⨯+++=+++猜想：()127531-+⋅⋅⋅++++n =2n18．一组数据为：234,2,4,8,x x x x --观察其规律,推断第n 个数据应为 .答案11(1)2n n n x +--19. 小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,···成为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是答案：D20.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,…,则第⑥个图形中五角星的个数为解析：都是轴对称图形,每一排的个数都是偶数,分别是2,4,6,…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.答案D21．根据排列规律,在横线上填上合适的代数式：x,-3x2,5x3, -7x4 ,9x5,… ,表示第n代数式．22．如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个图形中平行四边形的个数是解析图形①中1=1×1+0,图形②中5=2×2+1,图形③中11=3×3+2,……,依次类推,∴第⑩个图形中平行四边形的个数是10×10+9=109解答D.23．如图12,已知A1,A2,A3,…A n,…是x轴上的点,且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n-1A n…＝1,分别过点A1,A2,A3,…A n,…作x轴的垂线交反比例函数y＝1xx＞0的图象于点B1,B2,B3,…B n,…,过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1,过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……,记△B1P1B2的面积为S1,△B2P2B3的面积为S2……,△B n P n B n+1的面积为S n,则S1＋S2＋S3＋…＋S n＝.解析由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n-1A n…＝1,可得P1B2＝P2B3＝P3B4＝…＝P n B n+1＝1,以及B11,1,B22,12,B33,13,…,B n n,1n,B n+1n＋1,11n+,所以S1＋S2＋S3＋…＋S n＝12B1P1·P1B2＋1 2B2P2·P2B3＋…12B n P n·P n B n+1＝12B1P1＋B2P2＋…B n P n＝121－12＋12－13＋…＋1n－11n+＝1 2 1－11n+＝2(1)nn+．答案2(1)nn+yx O A1A2A3B1B2B3P1P2图1210题图24. 同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：① 第5个图形有多少颗黑色棋子 ② 第几个图形有2013颗棋子说明理由;解析第一个图需棋子6,第二个图需棋子9,第三个图需棋子12,第四个图需棋子15,第五个图需棋子18,…第n 个图需棋子3n+1枚． 答案118；2第670个图形25、如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上,则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上,则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳,则经过2012次后它停在哪个数对应的点上 A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案：D26、将1、错误!、错误!、错误!按右侧方式排列．若规定m ,n 表示第m 排从左向右第n 个数,则4,2与21,2表示的两数之积是 ． A ．1 B ．2 C ．2错误! D ．6答案：D27、下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成,其中,第①个图形中一共有1个正方形,第②个图形中一共有5个正方形,第③个图形中一共有14个正方形,……则第⑦个图形中正方形的个数为A 、49B 、 100C 、140D 、91 答案：C第1个第2个 第3个 第4个134111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排……28、如图,已知直线l ：y =x ,过点A 0,1作y 轴的垂线交直线l 于点B ,过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1,过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去,则点A 4的坐标为A 、0,64B 、0,128C 、0,256D 、0,512答案： C29、如图,直线x y 33=,点1A 坐标为1,0,过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ,以原点O 为圆心,1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ,以原点O 为圆心,2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ,…,按此做法进行 下去,点n A 的横坐标为A ．1)332(-n B ．23()3n C ．32()3n D ．132()3n答案：A第29题图30.如图,△ABC 是边长为1的等边三角形．取BC 边中点E ,作ED ∥AB ,EF ∥AC ,得到四边形EDAF ,它的面积记作S 1；取BE 中点E 1,作E 1D 1∥FB ,E 1F 1∥EF ,得到四边形E 1D 1FF 1,它的面积记作S 2．照此规律作下去,S 2012=A ．201023 B ．201223 C ．402423 D.402523答案：D31.观察下列图形：若图形1中阴影部分的面积为1,图形2中阴影部分的面积为43,图形3中阴影部分的面积为169,图形4中阴影部分的面积为6427,…,则第n 个图形中阴影部分的面积用字母表示为⑷⑶⑵⑴A ．n 43B ．n)43(C ．1)43(-nD ．1)43(+n答案：CA1第7题图第31题32．下列图形都是由同样大小的等边三角形按一定的规律组成,其中,第①个图形中一共有3根小棒,第②个图形中一共有9根小棒,第③个图形中一共有18根小棒,……,则第⑥个图形中小棒的根数为① ② ③A ．60B ．63C ．69D ．72 答案B33.已知a ≠0,12S a =,212S S =,322S S =,…,201220112S S =, 则2012S = 用含a 的代数式表示． 答案：1a34、如图,n +1个上底、两腰长皆为1,下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上,设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1,四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2,……,四边形P n M n N n N n +1的面积记为S n ,则S n = ▲答案：33121n n ++ 35、设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++,若12...n S S S S =则S =_________ 用含n 的代数式表示,其中n 为正整数． 答案： )1()2(2++n n n……36、如图,对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C 1,使得A 1B =2AB ,B 1C =2BC ,C 1A =2CA ,顺次连接A 1、B 1、C 1,得到△A 1B 1C 1,记其面积为S 1；第二次操作,分别延长A 1B 1,B 1C 1,C 1A 1至A 2,B 2,C 2,使得A 2B 1=2A 1B 1,B 2C 1=2B 1C 1,C 2A 1=2C 1A 1,顺次连接A 2,B 2,C 2,得到△A 2B 2C 2,记其面积为S 2……,按此规律继续下去,可得到△A 5B 5C 5,则其面积为S 5=_________. 第n 次操作得到△A n B n C n ,则△A n B n C n 的面积S n = .答案：195 19n37、在∠A 0°＜∠A ＜90°的内部画线段,并使线段的两端点分别落在角的两边AB 、AC 上,如图所示,从点A 1开始,依次向右画线段,使线段与线段在两端点处互相垂直,A 1A 2为第1条线段．设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1,则∠A = ；若记线段A 2n-1A 2n 的长度为a n n 为正整数,如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,则此时a 2= ,a n = 用含n 的式子表示．答案：22．5；12+1(12)n -+38. 下图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,若按此规律继续下去,则第5个五角形数是 ．答案：35第38题 5 12 1 22第39题 D 2D 3E 2E 3E 1D 1A BC 39.如图,已知Rt △ABC ,D 1是斜边AB 的中点,过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1,连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2,连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3,…,如此继续,可以依次得到点E 4、E 5、…、E n ,分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3···△BCE n 的面积为S 1、S 2、S 3、…S n . 则S n ＝ S △ABC 用含n 的代数式表示．答案：40. 一组按规律排列的数：2,0,4,0,6,0,…,其中第7个数是 ,第n 个数是 .用含字母n 的代数式表示,n 为正整数．答案：8,())1(2111+-++n n41、人们经常利用图形的规律来计算一些数的和、如在边长为1的网格图1中,从左下角开始,相邻的黑折线围成的面积分别是1,3,5,7,9,11,13,15,17…,它们有下面的规律：1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52；…第1题1请你按照上述规律,计算1+3+5+7+9+11+13的值,并在图1中画出能表示该算式的图形；2请你按照上述规律,计算第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积；3请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形1+8=32；1+8+16=52；1+8+16+24=72；1+8+16+24+32=92．解答：解：11+3+5+7+9+11+13=72．算式表示的意义如图1．2第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积为2n﹣1．3算式表示的意义如图2,3等．。
人教版七年级数学上图形的规律和线段及角度的计算专题训练含答案
专题训练(一) 图形的规律探索——教材P70T10的变式与应用教材母题：(教材P70T10)如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)有n(n>1)个点，每个图形总的点数S是多少？当n＝5，7，11时，S是多少？【思路点拨】观察图形，可得到点的总数S与n之间的关系，用含n的式子表示S，便可分别求出当n＝5，7，11时，S的值．【解答】观察图形，当n＝2时，有两排点，总的点数为1＋2＝3(个)；当n＝3时，有三排点，总的点数为1＋2＋3＝6(个)；当n＝4时，有四排点，总的点数为1＋2＋2＋4＝9(个)；当n＝5时，有五排点，总的点数为1＋2＋2＋2＋5＝12(个)．根据此规律，可知点的总数S＝1＋2(n－2)＋n＝3n－3，当n＝7时，S＝3×7－3＝18；当n＝11时，S＝3×11－3＝30.故当n＝5，7，11时，S的值分别是12，18，30.【方法归纳】解决图形规律探索问题，首先从简单的基本图形入手，随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上的变化情况或图形变化情况，找出变化规律，从而推出一般性结论．1．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，其中图1需要4根小棒，图2需要10根小棒，…，按此规律摆下去，则第11个图案所需小棒的根数为(C)A．70 B．68 C．64 D．582．(荆州中考)如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有2 017个白色纸片，则n的值为(B)A．671 B．672 C．673 D．6743．(益阳中考)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是13枚．4．如图是用棋子摆成的图案：根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图中有22枚棋子，第5个图中有32枚棋子；(2)写出你猜想的第n 个图中棋子的枚数(用含n 的式子表示)是n ＋2＋n 2．5．下面是用棋子摆成的“小房子”．摆第10个这样的“小房子”需要多少枚棋子？摆第n 个这样的“小房子”呢？你是如何得到的？解：第1个“小房子”，下边正方形棋子4×2－4＝4(枚)，上边1枚，共4＋1＝5(枚)； 第2个“小房子”，下边正方形棋子4×3－4＝8(枚)，上边3枚，共8＋3＝11(枚)； 第3个“小房子”，下边正方形棋子4×4－4＝12(枚)，上边5枚，共12＋5＝17(枚)； 第4个“小房子”，下边正方形棋子4×5－4＝16(枚)，上边7枚，共16＋7＝23(枚)； …第n 个“小房子”，下边正方形棋子4×(n＋1)－4＝4n(枚)，上边(2n －1)枚，共4n ＋2n －1＝(6n －1)(枚)．当n ＝10时，6n －1＝6×10－1＝59(枚)．专题训练(二) 线段的计算——教材P128练习T3的变式与应用教材母题：(教材P 128练习T 3)如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4 cm ，求线段CD 的长度．【解答】 因为点D 是线段AB 的中点，AB ＝4 cm ， 所以AD ＝12AB ＝12×4＝2(c m )．因为C 是线段AD 的中点， 所以CD ＝12AD ＝12×2＝1(cm )．【方法归纳】 结合图形，将待求线段长转化为已知线段的和、差形式．若题目中出现线段的中点，常利用线段中点的性质，结合线段的和、差、倍、分关系求解．同时应注意题目中若没有图形，或点的位置关系不确定时，常需要分类讨论，确保答案的完整性．1．如图，线段AB ＝22 cm ，C 是线段AB 上一点，且AC ＝14 cm ，O 是AB 的中点，求线段OC 的长度．解：因为点O 是线段AB 的中点，AB ＝22 cm ， 所以AO ＝12AB ＝11 cm .所以OC ＝AC －AO ＝14－11＝3(cm )．2．如图，已知C 是AB 的中点，D 是AC 的中点，E 是BC 的中点．(1)若DE ＝9 cm ，求AB 的长； (2)若CE ＝5 cm ，求DB 的长．解：(1)因为D 是AC 的中点，E 是BC 的中点， 所以AC ＝2CD ，BC ＝2CE.所以AB ＝AC ＋BC ＝2DE ＝18 cm . (2)因为E 是BC 的中点， 所以BC ＝2CE ＝10 cm .因为C 是AB 的中点，D 是AC 的中点， 所以DC ＝12AC ＝12BC ＝5 cm .所以DB ＝DC ＋BC ＝5＋10＝15(cm )．3．如图，B ，C 两点把线段AD 分成2∶5∶3三部分，M 为AD 的中点，BM ＝6 cm ，求CM 和AD 的长．解：设AB ＝2x cm ，BC ＝5x cm ，CD ＝3x cm ， 所以AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝10x cm . 因为M 是AD 的中点， 所以AM ＝MD ＝12AD ＝5x cm .所以BM ＝AM －AB ＝5x －2x ＝3x(cm )． 因为BM ＝6 cm ， 所以3x ＝6，x ＝2.故CM ＝MD －CD ＝5x －3x ＝2x ＝2×2＝4(cm )， AD ＝10x ＝10×2＝20(cm )．4．如图，线段AB ＝1 cm ，延长AB 到C ，使得BC ＝32AB ，反向延长AB 到D ，使得BD ＝2BC ，在线段CD 上有一点P ，且AP ＝2 cm .(1)请按题目要求画出线段CD ，并在图中标出点P 的位置；(2)求出线段CP 的长度．解：(1)线段CD 和点P 的位置如图1、2所示．(2)因为AB ＝1 cm ， 所以BC ＝32AB ＝32 cm .所以BD ＝2BC ＝3 cm .当点P 在点A 的右边时，CP ＝AB ＋BC －AP ＝12cm ；当点P 在点A 的左边时，点P 与点D 重合，CP ＝BD ＋BC ＝92 cm .专题训练(三) 角的计算类型1 利用角度的和、差关系找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算． 1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC ＝30°，求∠AOD 的度数．解：因为∠AOC＝75°，∠BOC ＝30°，所以∠AO B ＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°. 又因为∠BOD＝75°，所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°. 2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°)(1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD 时，求∠CAE 的度数； (2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD 时，求∠ACD 的度数．解：(1)因为∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC ＝4∠B AD ， 所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°. 所以∠DAC＝4×18°＝72°. 因为∠DAE ＝90°，所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°.(2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE ＝3∠BCD， 所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°. 解得∠BCD＝15°.所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.类型2 利用角平分线的性质角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．3．如图，点A ，O ，E 在同一直线上，∠AOB ＝40°，∠EOD ＝28°46′，OD 平分∠COE，求∠COB 的度数．解：因为∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE， 所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′. 又因为∠AOB＝40°，所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.4．已知∠AOB＝40°，OD 是∠BOC 的平分线．(1)如图1，当∠AOB 与∠BOC 互补时，求∠COD 的度数； (2)如图2，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数． 解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补， 所以∠AOB＋∠BOC ＝180°. 又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°. 因为OD 是∠BOC 的平分线， 所以∠COD＝12∠BOC＝70°.(2)因为∠AOB 与∠BOC 互余， 所以∠AOB＋∠BOC＝90°. 又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝90°－40°＝50°. 因为OD 是∠BOC 的平分线， 所以∠COD＝12∠BOC＝25°.类型3 利用方程思想求解在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决． 5．一个角的余角比它的补角的23还少40°，求这个角的度数．解：设这个角的度数为x °，根据题意，得 90－x ＝23(180－x)－40.解得x ＝30.所以这个角的度数是30°. 6．如图，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC 的度数．解：设∠COD＝2x °，则∠BOC＝3x °. 因为OB 平分∠AOC， 所以∠AOB＝3x °.所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180. 解得x ＝20.所以∠BOC＝3×20°＝60°.7．如图，已知∠AOB＝12∠BOC，∠COD ＝∠AOD＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠C OD 的度数．解：设∠AOB＝x °，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x °. 因为∠AOB＝12∠BOC，所以∠BOC＝2x °.所以3x ＋3x ＋2x ＋x ＝360. 解得x ＝40.所以∠AOB＝40°，∠COD ＝120°.类型4 利用分类讨论思想求解在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性． 8．已知∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小．解：因为∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB，所以∠AOC＝23×75°＝50°.因为O D 平分∠AOC，所以∠AOD＝∠COD＝25°.如图1，∠BOD ＝75°＋25°＝100°； 如图2，∠BOD ＝75°－25°＝50°.9．已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线．(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数；(2)在(1)的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；(3)当∠AOB＝α时，∠EOC ＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含α的代数式表示)解：(1)因为OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝12∠AOB.因为∠AOB＝60°， 所以∠AOC＝30°.(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；如图2，∠AOE ＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°. (3)90°＋α2 或90°－α2.。
公务员图形规则题目及答案
公务员图形规则题目及答案题目一：图形序列推理给出以下图形序列，找出下一个图形应该是什么。
图形序列：△，○，□，△，○，□，△，○，□，？答案：根据序列的规律，图形是按照三角形、圆形、正方形的顺序循环出现的。
所以下一个图形应该是正方形。
题目二：图形变换规律观察以下图形，找出它们之间的变换规律，并应用这个规律完成最后一个图形。
图形序列：○ → □ → △ → ？答案：观察图形，可以发现每个图形都是由前一个图形的外轮廓变为内轮廓，并且形状改变。
圆形变为正方形，正方形变为三角形。
根据这个规律，下一个图形应该是一个由三角形内轮廓变为外轮廓的图形，形状应为圆形。
题目三：图形数量变化以下图形序列中，每个图形中的元素数量是如何变化的？图形序列：A. △△△△B. ○○○C. □□□D. ○○○○E. △△△F. □□答案：观察图形序列，可以发现每个图形中的元素数量是按照增加一个的规律变化的。
A有4个三角形，B有3个圆形，C有3个正方形，D 有4个圆形，E有3个三角形，F有2个正方形。
按照这个规律，下一个图形应该有5个元素。
题目四：图形对称性下列图形中，哪一个图形是轴对称的？图形序列：A. △，B. ○，C. □，D. △△答案：轴对称图形是指图形沿一条直线折叠后，两侧能够完全重合的图形。
在给出的图形中，B. ○（圆形）是轴对称的，因为它可以沿任意直径折叠后两侧重合。
题目五：图形组合规律观察以下图形组合，找出它们之间的组合规律，并完成最后一个图形组合。
图形组合：A. △ + ○ = □B. ○ + □ = △C. □ + △ =？答案：观察图形组合，可以发现每个组合都是由两个不同的图形通过某种方式合成一个新图形。
A中三角形和圆形合成正方形，B中圆形和正方形合成三角形。
根据这个规律，C中正方形和三角形应该合成圆形。
七年级数学探索规律——图形规律(人教版)(专题)(含答案)
试题难度：三颗星知识点：略
4.有一长条型链子，其外型由边长为1的正六边形排列而成．如图是此链子的任意一段示意图，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若此链子上共有35个黑色六边形，则共有( )个白色六边形．
A.140 B.142
C.210 D.212
答案：B
解题思路：
分析：按照分类的思想来考虑，第1个黑色六边形周围的6个白色六边形可以分成两类，左边的2个白色六边形是一类，剩余的4个白色六边形是一类．黑色六边形每增加1个，白色六边形就增加4个．
第3个图中三角形个数为 ；
将上述规律标序号，如下：
① ；
② ；
③ ；
…
所以第 个图中三角形个数为 ；
当 时， ，
所以第20个图中三角形个数为77．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：略
7.下列图形是由同样大小的五角星按一定的规律排列组成，其中第1个图形共有2个五角星，第2个图形共有8个五角星，第3个图形共有18个五角星，…，则第10个图形中五角星的个数为( )
当 时， ，
即此链子上共有35个黑色六边形时，共有142个白色六边形．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：略
5.一块瓷砖的图案如图1所示，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图2的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图3的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图4的图案，其中完整的圆一共有25个，依此规律，第10个图中，完整的圆一共有( )
A.100个B.101个
C.181个D.221个
答案：C
解题思路：
分析：按照分类的思想来考虑，可以分为一块瓷砖自带的圆和多块瓷砖拼成的完整的圆；
第1个图案，自带的圆1个，拼成的圆0个，共 个；
探索规律题之数图形题
探索规律题——图形题图形探索规律题方法:①观察。
每个图形的共同组成（点、线、面、图形）②比较。
不同图形之间的异同：相同的地方（每个图都有的），不同的地方（各个图形之间多了什么或少了什么）③归纳。
可能具有的规律：后面图形比前面多的数字与它们的序号之间有什么联系。
④提出猜想。
第n个图形时，数字与序号之间的关系。
（注意一定要合并同类项）。
⑤验证。
得出猜想关系式之后，一定要将简单图形的序号代入自己列出的式子中验证结果是否跟图形中的一样。
例（衡阳市）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成……，第5个图案中由个基础图形组成．第n个图案中由个基础图形组成．……(1) (2) (3)方案：4+3(x-1) 4x-(x-1) 1+3x x+(x+1)+x练习（2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有个小圆. （用含 n 的代数式表示）第1个图形第 2 个图形第3个图形第 4 个图形练习（青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形重要总结:可先固定出每个图形中固定出现的部分，再找后一个图形比前一个图形多出的部分的数量与序号之间的关系例（2011年北京四中中考模拟19）（本小题满分6分）观察下面的点阵图，探究其中的规律。
摆第1个“小屋子”需要5个点，摆第2个“小屋子”需要 个点， 摆第3个“小屋子”需要 个点？（1）、摆第10个这样的“小屋子”需要多少个点？（2）、写出摆第n 个这样的“小屋子”需要的总点数，S 与n 的关系式。
练习（2011年黄冈市浠水县）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是（ ）A ．140B ．120C ．99D ．86例（2011杭州模拟20）希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
探索图形规律（含解析）
探索图形规律（含解析）备战中考数学专题练习（2019全国通⽤版）-探索图形规律（含解析）⼀、单选题1.观察下列⼀组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑦中星星的颗数是（）A.24B.32C.41D.512.如图，是⽤⽕柴棒摆出的⼀系列三⾓形图案（当r=1时，⽕柴棒为3根）按这种⽅法摆下去，当每边上摆10根（即r﹦10）时，需要⽕柴棒总数为（）A.55B.110C.165D.2203.观察下列⼀组图形，其中图1中共有6个⼩⿊点，图2中共有16个⼩⿊点，图3中共有31个⼩⿊点，…，按此规律，图5中⼩⿊点的个数是（）A.46B.51C.61D.764.如图，⼩桥⽤⿊⽩棋⼦组成的⼀组图案，第1个图案由1个⿊⼦组成，第2个图案由1个⿊⼦和6个⽩⼦组成，第3个图案由13个⿊⼦和6个⽩⼦组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（）和⿊⼦．A.37B.42C.73D.1215.如图，下⾯是按照⼀定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2⽐图A1多出2个“树枝”，图A3⽐图A2多出4个“树枝”，图A4⽐图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6⽐图A2多出“树枝”（）A.28个B.56个C.60个D.124个6.如图图形是不同⼤⼩的三⾓形按⼀定的规律所组成的，其中第①个图形中⼀共有5个三⾓形，第②个图形中⼀共有17个三⾓形，第③个图形中⼀共有53，…，按此规律排列下去，第④图形中三⾓形个数为（）A.121B.131C.151D.1617.如图①，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD 运动，到点D时停⽌，已知△PAD的⾯积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所⽰，则点P从开始到停⽌运动的总路程为（）A.4B.2+C.5D.4+8.如图，观察图形，找出规律，确定第四个图形是（）A. B. C. D.9.⽤同样⼤⼩的⿊⾊棋⼦按如图所⽰的⽅式摆图形，按照这样的规律摆下去．则第n个图形需要棋⼦（）A.4n枚B.4n﹣1枚C.3n+1枚D.3n﹣1枚10.如图是⼀个沿3×3正⽅形⽅格纸的对⾓线AB剪下的图形，⼀质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（）A.4条B.5条C.6条D.7条11.下列图形都是由圆和⼏个⿊⾊围棋⼦按⼀定规律组成，图①中有4个⿊⾊棋⼦，图②中有7个⿊⾊棋⼦，图③中有10个⿊⾊棋⼦，…，依次规律，图⑨中⿊⾊棋⼦的个数是（）A.23B.25C.26D.2812.观察图中正⽅形四个顶点所标的数字规律，可知数1007应标在（）A.第252个正⽅形的左上⾓B.第252个正⽅形的右下⾓C.第251个正⽅形的左上⾓D.第521个正⽅形的右下⾓⼆、填空题13.如图，是⽤⽕柴棍摆出的⼀系列三⾓形图案，按这种⽅式摆下去，摆第5个图形时，需要的⽕柴棍为________根．14.探索规律：⽤棋⼦按如图所⽰的⽅式摆正⽅形．按照这种⽅式摆下去，摆第20个正⽅形需要________个棋⼦．15.如图，在平⾯直⾓坐标系中，.把⼀条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的⼀端固定在A处，并按A→B→C→D→A 的规律紧绕在四边ABCD的边上，则细线另⼀端所在位置的点的坐标是________.16.“⽪克定理”是⽤来计算顶点在整点的多边形⾯积的公式，公式表达式为S=a+﹣1，孔明只记得公式中的S表⽰多边形的⾯积，a和b中有⼀个表⽰多边形边上（含顶点）的整点个数，另⼀个表⽰多边形部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表⽰多边形部的整点个数，请你选择⼀些特殊的多边形（如图1）进⾏验证，得到公式中表⽰多边形部的整点个数的字母是 a ，并运⽤这个公式求得图2中多边形的⾯积是________．17.如图，在图1中，互不重叠的三⾓形共有4个，在图2中，互不重叠的三⾓形共有7个，在图3中，互不重叠的三⾓形共有10个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三⾓形共有个________（⽤含n的代数式表⽰）18.图为⼿的⽰意图，在各个⼿指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指⽅向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C →…的⽅式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到时，对应的字母是________；当字母C第次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第次出现时（为正整数），恰好数到的数是________（⽤含的代数式表⽰）.三、解答题19.如图所⽰，已知前两个天平两端保持平衡.要使第三个天平两端保持平衡，天平的右边应放⼏个圆形？请写出你的思路.20.两条平⾏线上共有k个点，⽤这k个点恰可以连接1309个三⾓形，那么k是多少？四、综合题21.观察下⾯的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）认真观察，并在④后⾯的横线上写出相应的等式．①1=1 ②1+2= =3 ③1+2+3= =6 ④________（2）结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后⾯的横线上写出相应的等式．1=12②1+3=22③3+6=32④6+10=42⑤________（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式________．22.将图1中的菱形剪开得到图2，则图2中共有4个菱形；将图2中的⼀个菱形剪开得到图3，则图3中共有7个菱形，…如此剪下去，请结合图形解决问题（1）按图⽰规律填写下表：图 1 2 3 4 5 …菱形个数 1 4 7 ________ ________ …（2）按照这种⽅式剪下去，则第n个图中共有________个菱形．（3）按照这种⽅式剪下去，则第2017个图中共有________个菱形．答案解析部分⼀、单选题1.观察下列⼀组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑦中星星的颗数是（）A.24B.32C.41D.51【答案】C【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为正整数），∵a1=2=1+1，a2=6=（1+2）+3，a3=11=（1+2+3）+5，a4=17=（1+2+3+4）+7，∴a n=1+2+…+n+（2n﹣1）= +（2n﹣1）= + n﹣1，∴a7= ×72+ ×7﹣1=41．故选C．【分析】设图形n中星星的颗数是a n（n为正整数），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“+ n﹣1”，依此规律即可得出结论．2.如图，是⽤⽕柴棒摆出的⼀系列三⾓形图案（当r=1时，⽕柴棒为3根）按这种⽅法摆下去，当每边上摆10根（即r﹦10）时，需要⽕柴棒总数为（）A.55B.110C.165【答案】C【考点】探索图形规律【解析】【分析】图形从上到下可以分成⼏⾏，第n⾏中，斜放的⽕柴有2n根，下⾯横放的有n根，因⽽图形中有n排三⾓形时，⽕柴的根数是：斜放的是2+4+…+2n=2（1+2+…+n)，横放的是：1+2+3+…+n，则每排放n根时总计有⽕柴数是：3（1+2+…+n)=．把n=10代⼊就可以求出．【解答】根据题意得出规律每排放n根时总计有⽕柴数是：3（1+2+…+n)=，当每边摆10根（即n=10)时，需要的⽕柴棒总数为．故选C．3.观察下列⼀组图形，其中图1中共有6个⼩⿊点，图2中共有16个⼩⿊点，图3中共有31个⼩⿊点，…，按此规律，图5中⼩⿊点的个数是（）A.46B.51C.61D.76【答案】D【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：由图形1、2、3可以看出，第1个图形⼩⿊点的个数：5×1+1=6；第2个图形⼩⿊点的个数：5×（1+2）+1=16；第3个图形⼩⿊点的个数：5×（1+2+3）+1=31；所以第5个图形⼩⿊点的个数：5×（1+2+3+4+5）+1=76．故选：D．【分析】第1个图形⼩⿊点的个数：5×1+1=6；第2个图形⼩⿊点的个数：5×（1+2）+1=16；第3个图形⼩⿊点的个数：5×（1+2+3）+1=31；找出规律即可得到图5中⼩⿊点的个数．4.如图，⼩桥⽤⿊⽩棋⼦组成的⼀组图案，第1个图案由1个⿊⼦组成，第2个图案由1个⿊⼦和6个⽩⼦组成，第3个图案由13个⿊⼦和6个⽩⼦组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（）和⿊⼦．A.37C.73D.121【答案】C【考点】探索图形规律。
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针对演练
1. 有一串彩色的珠子，按白黄蓝的顺序重复排列，其中有一部分放在盒子
里，如图所示，则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是
（B）
A. 2010
B. 2011
C. 2012
D. 2013
第1题图
2. (2017连云港)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线
A0O方向运动到⊙O上的点A1处；再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运
置，依次类推．这样连续旋转99次后顶点A在整个旋转过程中所经过的路程
之和是 A. 288π
（ C）
B. 294π C. 300π D. 396π
在矩形ABCD中，AB=8，BC=6， ∴AC=BD=10，
转动一次A的路线长是：90 8
180
=4π，
转动第二次的路线长是：90 10 =5π，
180
A0A1=4， A0A2=2√3， A0A3=2， A0A4=2√3， A0A5=2， A0A6=0， A0A7=4，… ∵2017÷6=336…1，
∴按此规律运动到点A2017处，A2017与A1重合， ∴A0A2017=2R=4． 故选A． 点评 本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形
动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的
点A3处；再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…；
按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是
（ A）
A. 4
B. 2 C. 2 3
D. 0
解：如图，∵⊙O的半径=2， 由题意得，
第4题图
5. (2018赤峰)观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵” 中★的个数是 n2+n+2 ．
4
8
14
22
【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有 2+1 ×2=4 个★，第二个图形中有 2+2×3=8 个★，第三个图 形中有 2+3×4=14 个★，…，继而可求出第 n 个图形中★ 的个数．
值为
（C ）
A. 33
B. 301
C. 386
D. 571
三角形数
I. 每两个数字之间的差以1为单位递增：1，3，6，10，15，21，28，…，
M=190 n=196
正方形数
nn 1
2
(n≥1)．
4. (2018青海省卷)如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第(1)个 图案中有2个正方形，第(2)个图案中有5个正方形，第(3)个图案中有8个正 方形，…，则第(5)个图案中有 14 个正方形，第(n)个图案中有 3n－1 个 正方形．
所以第2018个图形共有3×2018＋1＝6055个．
【方法指导】 1．写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”(如题图中的图分别标 为图①，图②，图③，…)； 2．数图形个数：在图形数量变化时，要记录每组图形个数(图①，图②， 图③，…，分别是由几个图形组成)； 3．寻找图形数量与序数n的关系： ①观察所给图形和上一个图(基础图)，找出增加的部分； ②将增加的图形个数用含序数的式子表示出来； ③归纳出含有序数n的关系式．
个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正
方形纸片的张数为
（B）
A. 11
B. 13
C. 15
D. 17
第2题图
3. (2018随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形
数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)，在小于200
的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的
转动第三次的路线长是： 90 6 =3π，
180
转动第四次的路线长是： 0，
以类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：4π+5π+3π=12π， 99÷4=24余3， 顶点A转动四次经过的路线长为：12π×25=300π． 故选C
5. 根据以下图形变化的规律，第2019个图形中黑色正方形的数量是 3029．
第2019次运动后点P的横坐标为2019， 纵坐标以1、0、2、0每4次为一个循环组循环， ∵2019÷4=504…3， ∴第2019次运动后动点P的纵坐标是第505个循环组的第3次运动，与第3次运动的点的纵坐 标相同，为2， ∴点P（2019，2）． 故选C．
典例精讲
类型四 图形成倍递变规律
例 (2018齐齐哈尔改编)在平面直角坐标系中，点A( ，1)在射线OM上， 点B( 3，3)在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，3以BA1为直角边作第 二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2， …，依此规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的 纵坐标为( A )
分两组：第一组正方形：6，11，16，22…… 第二组三角形：6，10，14，18……
类型三 图形周期变化规律
典例精讲
(遵义2014.16)
例1 观察下列图形的排列顺序，已知第一个图形是正方形，则第2019个
图形是_三__角__形___.
例 1 题图
【解析】观察题图可知，图形的排列顺序为7个图形一组循环排列，所以 2019÷7＝288……3，第2019个图形是第288组余3个，也就是第289组的第 三个图形，是三角形．
【解答】解：∵第一个图形有 2+1×2=4 个， 第二个图形有 2+2×3=8 个， 第三个图形有 2+3×4=14 个， 第四个图形有 2+4×5=22 个， … ∴第 n 个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2． 故答案为：n2+n+2．
6. (2017潍坊)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个 等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形 组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…； 按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 9n+3 个．
解：根据题意得：第2019个图形中正方形的个数为 2×2019=4038（个），
空白正方形的规律为：0，1，1，2，2，3，3，…， ∵（2019-1）÷2=2018÷2=1009， ∴空白正方形个数为1009， 则第2019个图形中黑色正方形的数量是4038-1009=3029， 故答案为：3024．
【方法指导】图形周期变换规律题的一般解题思路为： 1.先观察点坐标(图形)变化的规律找出循环一周的变换次数，记为n； 2.用M÷n＝W……q (0≤q＜n)，则第M次变换后的点坐标(图形)就是第一 个循环变换中第q次变化对应的点坐标(图形)，或存在一定的倍分关系； 3.根据题意找出第一个循环变换中，第q次变换后对应的点坐标(图形)，即 可推断出第M次变换后对应的点坐标(图形)．
例2 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时
针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( B ) A. (1，－1)
B. (－1，－1)
C. ( 2 ，0) D. (0，－ 2 )
例 2 题图
【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°， ∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB的中点，∴点D 的坐标 是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8， ∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝ 7……4，∴第 60 秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后， 又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象 限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线 交点D的坐标为(－1，－1)．
2
C. 1011 m2 2
（ A）
D. 1009 m2
解：依题可得：
A2（1,1），A4（2，0），A8（4,0），A12（6,0）……
∴A4n（2n，0），
∴A2016=A4×504（1008,0），
∴A2018（1009,1），
∴A2A2018=1009-1=1008,
∴S△
= ×1×1008=504（m2）.
例题解图
【方法指导】图形成倍递变规律题常考的有两种类型： 1．点坐标成倍递变： (1)根据图形的变换规律分别求出前几个点的坐标，归纳出后一个点的坐标 与前一个点的坐标之间存在的倍分关系； (2)根据(1)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标． 2．线段(面积)成倍递变： 已知一个几何图形的边长(周长或面积)，通过一定变换确定第M次变换后 的图形的边长(周长或面积)，
OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且
OA＝1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等
A. 32019
B. 32017
C. ( 3 )2019
D. ( 3 )2017
例题图
【解析】如解图，延长BA交x轴于点C，∵A( 3，1)， ∴tan∠AOC＝ AC 1 3 ，∴∠AOC＝30°，
OC 3 3
∴OA＝2，同理，由B( 3 ，3)得∠BOC＝60°， ∠OBC＝30°，∴∠AOB＝∠BOC－∠AOC＝
是解题的关键．
3. (2018广州)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点
O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1 m，
其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到
An，则△OA2A2018的面积是
A. 504 m2