初中数学知识点题库098抛物线与坐标轴的交点
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》填空题专题训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》填空题专题训练（附答案）1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，经过点（1，n），顶点为P，下列四个结论：①若a＜0，则c＞n；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程ax2+（b﹣n）x+c＝0一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线PC始终过定点（3，n）．其中正确的是（填写序号）．2．下列关于二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣3的四个结论：①当m＝1时，抛物线的顶点为（1，﹣6）；②该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为﹣4；④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1＜x2，y1＜y2，则x1+x2＞2m；其中正确的是．3．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2+2＝17．根据以上知识解决问题：（1）若x☆3＝1，则x的值为；（2）抛物线y＝（2﹣x）☆（﹣1）的顶点坐标是；（3）若2☆a的值小于0，则方程﹣2x2﹣bx+a＝0有个根．4．若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是．5．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴交抛物线于点P，交x轴于点Q，点A是PQ右侧的抛物线上的一点，过点P做PB⊥P A交x轴于点B，若设点A的横坐标为t（t＞1），线段BQ的长度为d，则d与t的函数关系式是．6．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：x…﹣30135…y…7﹣8﹣9﹣57…则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为．7．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2与x轴相交于A，B两点．若线段AB的长不小于2，则代数式a2﹣6a+7的最小值为．8．把抛物线y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直线y＝c上方部分沿直线y＝c对折，若对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，则c＝．9．若关于x的分式方程﹣＝1有正整数解，且关于x的函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+﹣1的图象在x轴的下方，则满足条件的所有整数m的值之和为．10．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝m，则m的值为．11．如图是二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象，若y≥0，则x的取值范围是．12．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），且a+b+c＝0，有下列结论：①该抛物线经过点（1，0）；②若a＝b，则抛物线经过点（﹣2，0）；③若a，c异号，则抛物线与x轴一定有两个不同的交点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且x1＜x2＜1，若a＜c＜0，则y1＜y2．其中所有正确结论的序号是．13．如图，抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC＝180°时，点D的坐标为．14．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．若AB+CD＝6，则抛物线的解析式为．16．将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，则b的取值范围为．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（﹣4，0），则关于x 的方程ax2+bx+c＝0的根为．18．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣，），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为．19．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x 轴的另一个交点的坐标是．20．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（其中x是自变量）图象与x轴交于A，B两点，当x⩾0时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当﹣2⩾m⩾2时，△ABP 面积的最大值为8，则a的值为．参考答案1．解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵抛物线经过（1，n），∴a+b+c＝n，即3a+c＝n，3a＝n﹣c，若a＜0，则n﹣c＜0，∴c＞n，①正确．∵3a＝n﹣c，∴a＝，∵b2﹣4ac＝4a2﹣4ac＝﹣＝，∵c与n异号，∴＞0，∴抛物线与x轴有2个不同交点，②正确．∵a+b+c＝n，∴b﹣n＝﹣a﹣c，方程ax2+（b﹣n）x+c＝0中Δ＝（b﹣n）2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2，∴a＝c时，方程有两个相同实数解，③错误．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得y＝a﹣b+c＝﹣a+c，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣a+c），把x＝0代入y＝ax2+bx+c得y＝c，∴点C坐标为（0，c），设PC解析式为y＝mx+n，把（﹣1，﹣a+c），（0，c）代入y＝mx+n得，解得，∴y＝ax+c＝x+c，把x＝3代入y＝x+c得y＝n﹣c+c＝n，∴直线PC经过（3，n），④正确．故答案为：①②④．2．解：①将m＝1代入二次函数解析式得，y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，∴抛物线的顶点为（1，﹣6），故①正确；②Δ＝（2m）2﹣4（﹣2m﹣3）＝4m2+8m+12＝4（m+2）2+4＞0，∴该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点，故②正确；③y＝x2﹣2mx﹣2m﹣3＝（x﹣m）2﹣m2﹣2m﹣3，∴二次函数的最小值为：﹣m2﹣2m﹣3＝﹣（m+1）2﹣2，∴该函数的最小值的最大值为﹣2，故③错误；④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1＜x2，y1＜y2，当m＜x1＜x2时，y随x的增大而增大，此时x1+x2＞2m；当x1＜m＜x2时，|x1﹣m|＜|x2﹣m|，整理得x1+x2＞2m，故④正确；故答案为：①②④．3．解：（1）根据题意，得x2﹣3x+3＝1，移项、合并同类项，得x2﹣3x+2＝0，整理，得（x，﹣1）（x﹣2）＝0，解得x1＝1，x2＝2；（2）根据题意知，y＝（2﹣x）2﹣（2﹣x）（﹣1）+（﹣1）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣．所以，顶点坐标（，）；（3）∵2★a的值小于0，∴22﹣2a+a＜0，解得a＞4．在方程﹣2x2﹣bx+a＝0中，∵Δ＝（﹣b）2+8a≥8a＞0，∴方程﹣2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．4．解：∵二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，∴（﹣1）2﹣4×2k＞0，解得k＜，故答案为：k＜．5．解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点P的坐标为（1，4），∴PQ＝4，过点A作AH⊥PQ于点H，则∠AHP＝∠PQB＝90°，∴∠APH+∠P AH＝90°，∵BP⊥AP，∴∠BP A＝∠BPQ+∠APH＝90°，∴∠P AH＝∠BPQ，∴△APH∽△PBQ，∴，∵点A的横坐标为t，∴A（t，﹣t2+2t+3），∴AH＝t﹣1，PH＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+1，∴，∴BQ＝4t﹣4，∴d＝4t﹣4，故答案为：d＝4t﹣4．6．解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x＝＝1．根据题意知，一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5的解为x＝3或x＝﹣1．所以2x+1＝3或2x+1＝﹣1．解得x＝1或x＝﹣1．所以一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为：x＝±1．故答案是：x＝±1．7．解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），∵抛物线与x轴有2个交点，∴抛物线开口向上，即a＞0，∵AB≥2，∴当x＝2时，y≤0，即a﹣2≤0，解得a≤2，∵a2﹣6a+7＝（a﹣3）2﹣2，∴当a＝2时，a2﹣6a+7取最小值为﹣1．故答案为：﹣1．8．解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直线y＝c上方部分沿直线y＝c对折，而对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，相当于抛物线y＝x2﹣2x﹣c在直线y＝2c上截得的线段长度是6个单位，∴当y＝2c时，x2﹣2x﹣c＝2c，则x2﹣2x﹣3c＝0，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴1+﹣（1﹣）＝6，2＝6，∴1+3c＝9，解得：c＝，故答案为：．9．解：∵﹣＝1，∴3+m＝x﹣1，∴x＝m+4，当m+4为正整数时，m为大于﹣4的整数，且m+4≠1，即m≠﹣3，∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+﹣1＝﹣（x﹣m）2+﹣1，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1），∵抛物线图象在x轴下方，∴﹣1＜0，∴m＜2，∴m的值可以为﹣2，﹣1，0，1，∴﹣2﹣1+0+1＝﹣2，故答案为：﹣2．10．解：令2x2﹣8x+6＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴AB＝3﹣1＝2，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣2），当点P1，P2，P3中有1点为抛物线顶点时满足题意，∴m＝AB•|y P|＝×2＝2，故答案为：2．11．解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），∴y≥0时，x的取值范围为﹣1≤x≤5．故答案为：﹣1≤x≤5．12．解：∵a+b+c＝0，∴x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴抛物线经过点（1，0），①正确．∵a＝b，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴抛物线经过点（﹣2，0），②正确．若a，c异号，则Δ＝b2﹣4ac＞0，∴抛物线与x轴有两个不同交点，③正确．∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵c＜0，∴抛物线与y轴交点在x轴下方，∵a＜c＜0，＝x1x2，∴0＜＜1，∴抛物线与x轴的一个交点为（1，0），另一交点在（0，0）和（1，0）之间，∴抛物线对称轴在直线x＝1与y轴之间，∴④错误．故答案为：①②③．13．解：∵抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A和点B两点，∴当y＝0时，x2+x﹣3＝0，解得x＝﹣9或1，∴A（﹣9，0），B（1，0），∴AB＝10，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵AC2＝92+32＝90，BC2＝12+32＝10，AB2＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴2∠BAC+2∠ABC＝180°，∵∠ACD+2∠ABC＝180°∴2∠BAC＝∠ACD，作AE⊥x轴，交CD的延长线与E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，∴CF∥AB，∴CF⊥AE，∴AF＝EF＝BC＝3，∴E（﹣9，﹣6），设直线CD的解析式为y＝kx﹣3，把E的坐标代入得，﹣6＝﹣9k﹣3，∴k＝，∴直线CD的解析式为y＝x﹣3，解得或，∴点D的坐标为（﹣7，﹣），故答案为：（﹣7，﹣）．14．解：由题意得：二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，经过（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣5，0）．∵抛物线在x轴的上方部分y＞0，∴当y＞0时，x的取值范围是﹣5＜x＜3．故答案为：﹣5＜x＜3．15．解：设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则x2+4x+m＝0，由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣4，x1•x2＝m，则AB＝|x1﹣x2|＝＝，令x＝0，则y＝m，∴C（0，m），∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为m，当y＝m时，则x2+4x+m＝m，解得：x＝﹣4，或x＝0，∴D（﹣4，m），∴CD＝0﹣（﹣4）＝4，∵AB+CD＝6，∴AB＝＝2，解得：m＝3，∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，故答案为：y＝x2+4x+3．16．解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），把抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，4），如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有一个公共点，∴3+b＝0，解得b＝﹣3；当直线y＝x+b过点A时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴﹣1+b＝0，解得b＝1；∴当﹣3＜b＜1时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，当直线y＝x+b与物线y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，即﹣（x﹣1）2+4＝x+b有两个相等的实数解，整理得x2﹣x+b﹣3＝0，∴Δ＝12﹣4（b﹣3）＝0，解得b＝，当b＞时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，故答案为：﹣3＜b＜1或b＞．17．解：根据题意知，该抛物线解析式是y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x+4），∴关于x的方程ax2+bx+c＝0＝a（x+2）（x+4）＝0．∴x+2＝0或x+4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．故答案是：x1＝﹣2，x2＝﹣4．18．解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣，），B（1，1）的横坐标，即x1＝﹣，x2＝1．故答案为：x1＝﹣，x2＝1．19．解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴1﹣6+c＝0．∴c＝5，∴二次函数y＝x2+6x+5．令y＝0，则x2+6x+5＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．故答案为：（﹣5，0）．20．解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1），∴当y＝0时，x＝﹣3或1，不妨设点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，∴该抛物线顶点的横坐标为＝﹣1，纵坐标为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，∵当x⩾0时，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵P为抛物线上一点，且横坐标为m，当﹣2⩾m⩾2时，△ABP面积的最大值为8，∴当x＝2时，y＝4a+4a﹣3a＝5a，当x＝﹣1时，y＝﹣4a，∵|5a|＞|﹣4a|，∴＝8，即＝8，解得a＝﹣，故答案为：﹣．。
九年级抛物线的知识点总结
九年级抛物线的知识点总结九年级的数学课程中，抛物线是一个重要的内容。
在这篇文章中，我们将对九年级抛物线的知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
以下是九年级抛物线的知识点总结。
一、抛物线的基本概念抛物线是一种特殊的曲线，由于其外形独特，被广泛应用于物理、工程等领域。
在数学中，抛物线可以由二次函数表示，其一般形式为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不为0。
抛物线的图像呈现出对称性，以顶点为中心，向两侧呈开口。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线是对称的，关于纵轴对称和关于顶点的对称性。
2. 最值点：抛物线的顶点是其最值点，当a大于0时，抛物线的顶点为最小值点；当a小于0时，抛物线的顶点为最大值点。
3. 判别式：抛物线关于x的判别式Δ=b^2-4ac与抛物线的开口、开口方向有关。
当Δ大于0时，抛物线开口向上或向下；当Δ等于0时，抛物线开口向上或向下；当Δ小于0时，抛物线开口向上或向下。
4. 坐标轴交点：抛物线与x、y坐标轴交点称为抛物线的零点。
求解抛物线零点的方法包括配方法、因式分解法、求根公式等。
三、抛物线的平移和压缩通过平移和压缩，我们可以改变抛物线的位置和形状。
平移是指将抛物线在坐标平面上沿着x轴或y轴方向移动一段距离。
压缩是指将抛物线在x轴或y轴上缩放，使其变矮或变胖。
四、抛物线的应用抛物线在日常生活中具有广泛的应用。
以下是几个常见的抛物线应用案例：1. 反射：抛物线的特性使其成为反射器的理想形状，例如车头灯的灯罩和卫星天线的反射器。
2. 投射：抛物线的形状让其成为抛射物的轨迹，例如抛物线形状的跳水板和抛球动作中的轨迹。
3. 焦点效应：抛物线的焦点效应被应用于太阳能反射器和卫星接收器等领域。
综上所述，九年级抛物线的知识点主要包括抛物线的基本概念、性质、平移和压缩以及应用。
在学习抛物线时，我们应理解抛物线的基本形式和性质，同时掌握如何求解抛物线的顶点、零点等关键概念和技巧。
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题 -- 思考与探索面积篇例 1:已知抛物线 y=－x 2+2x+3与 x 轴交于 A,B 两点，其中 A 点位于 B 点的左侧，与 y 轴交于 C 点，顶点为 P ， 半轴交于点 C ，M 为抛物线的顶点，那么△ ACM 与△ ACB 的面积比不变，请你求出这个比值。
2例 2、如图，一元二次方程 x 2 2x 3 0的二根 x 1，x 2（ x 1 x 2 ）是抛物线 y ax bx c 与 x 轴 的两个交点 B,C 的横坐标，且此抛物线过 A （3，6）点．（1）求此二次函数的解析式．（2）设此抛物线的顶点为 p ，对称轴与线段 AC 相交于点 Q ，求点 P 和点 Q 的坐标．（3）在 X 轴上有一动点 M ，当 MQ+MA 取得最小值时，求点 M 的坐标（4）设 AC 与Y 轴交与 D 点， E 点坐标为（0,1），在 X 轴上找一点 F ，抛物线对称轴上找一点 G ，使四 边形 AFGE 的周长最短，并求出当四边形周长最短时的点 F 、G 点坐标，并求出四边形 AFGE 的周长。
S △COP S△PABy轴负 S △ AOC = _______ S △ BOC 例：在平面直角坐标系中，有两点 小敏发现所有过 A ，B 两点的抛物线如果与形状篇1、已知抛物线y =ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y 轴负半轴交于点C。
若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
A(-1,0)和B( 3，0),顶点为C,若∠ ACB=90度.问2：在抛物线的解析式中，b2 4ac3. 若题设中的A、B 两点的坐标未知，而已知∠ACB有关，那么如果△ ACB是等边三角形，则△是多少？最后, ①思因果; ②思规律; ③思多解; ④思变通;⑤思归类;⑥思错误．ACB=90度，你能求出b2 4ac 吗？4. 从上面的探索中我们看到解析式中的△与∠问1： C 点的坐标是多少？。
抛物线与直线的交点问题
抛物线与直线的交点问题1、抛物线 y=ax 2+bx+c 与直线 y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题：①把 y=m 代入 y=ax 2+bx+c 得 ax2+bx+c=m ，即 ax2+bx+ （ c-m） =0此时方程的判别式△=b2-4a(c-m) 。
△＞ 0，则抛物线y=ax2+bx+c 与直线 y=m 有两个交点；△=0 时有一个交点；△＜ 0 时无交点。
②特殊情形：抛物线 y=ax 2+bx+c 与直线 y=0 （ x 轴）的交点问题：令 y=0 ，则 ax2+bx+c=0此时方程的判别式△=b2-4ac△＞ 0，则抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点；△=0 时有一个交点；△＜ 0 时无交点。
2、抛物线y=ax2+bx+c 与直线 y=kx+b 的交点问题：令 ax2+bx+c=kx+b ，整理方程得： ax2+(b-k)x+ （ c-b）=0此时方程的判别式△=(b-k) 2-4a（ c-b）△＞ 0，则抛物线y=ax2+bx+c 与直线 y=kx+b 有两个交点；△=0 时有一个交点；△＜ 0 时无交点。
总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。
3、抛物线 y=ax 2+bx+c 与直线 y=0 （ x 轴）的交点位置问题：若 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，则抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点为（ x1， 0）、（ x2， 0）①若 x1x2＞0、 x1+x 2＞ 0，则抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点在原点右侧②若 x1x2＞0、 x1+x 2＜ 0，则抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点在原点左侧③若 x1x2＜0，则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点分居于原点两侧4、抛物线 y=ax 2+bx+c 与直线 y=0 （ x 轴）的两个交点距离公式若 ax2+bx+c=0 的两根为x1、x2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点（x1，0）、（ x2， 0）的距离为b 24ac︱ x1-x2︱=a练习1．一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝ 0 的两根是－ 3和1 ，那么二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 与 x 轴的交点是____________ ．2．已知二次函数y＝kx2－7x－ 7 的图象与 x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 ()7777A ． k>－4B． k<－ 4且 k≠ 0 C． k≥－ 4D． k≥－ 4且 k≠ 03．若抛物线 y＝ x2－８ x＋c顶点在 x 轴上，则 c的值等于 ()．A．４B．８C．－４D．１６4．二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c的值恒为负值的条件是()．A．a＞０ , b2－４ ac＜０ B ．a＜０ , b2－４ ac＞０ C． a＞０ , b2－４ ac＞０D．a＜０ , b2－４ ac＜０5.直线 y=3x － 3 与抛物线 y=x 2－ x+1 的交点的个数是 ______6．若抛物线 y= （ m－ 1） x2+2mx+m+2恒在 x 轴上方，则 m_______．7．抛物线顶点 C( ２ ,)，且与 x 轴交于 A 、 B 两点，它们的横坐标是方程2x2－ 7x＋1＝０的两根，则S△ABC＝．8．直线 y=2x 1 与抛物线 y=x2的公共点坐标是 ______________．9、不等式 x2-9＞０的解集为 _________________ ； x2＞ 2x+1 的解集为 _____________.10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋ 2x－ 10＝3 的根．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（ 1，－ 4），且过点B（ 3,0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．12．已知抛物线y＝ x2＋ ax＋ a－ 2．(1)证明 :此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 ;(2)求这两个交点间的距离 ;( 用关于 a 的表达式来表达 )(3)a 取何值时 ,两点间的距离最小 ?13．已知抛物线y=－ x2+（ m－ 2） x+3（ m+1）交 x 轴于 A （ x1，0）， B（ x2， 0）两点，交y? 轴正半轴于C点，且 x1<x 2，│x1│ >│x2， OA 2+OB 2=2OC+1 ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点 C 的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．。
九年级数学抛物线题知识点
九年级数学抛物线题知识点抛物线是数学中一种常见的曲线形式，它具有很多重要的性质和应用，因此在九年级的数学学习中，学生们需要掌握一些关于抛物线的知识点。
一、抛物线的定义与基本性质抛物线可以用二次函数的形式表示，即y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a≠0。
它是一个U形的曲线，称为拋物线。
1. 对称性抛物线的图象关于y轴对称。
这意味着，如果点(x, y)在抛物线上，那么点(-x, y)也在抛物线上。
2. 顶点抛物线的顶点是拋物线的最低点或最高点。
对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = -(b^2-4ac)/4a。
二、抛物线的图象与平移抛物线的图象可以通过平移原点或上下平移而得到。
1. 平移原点对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，可以通过平移原点得到新的抛物线y = a(x-h)^2 + k。
其中，(h, k)为新抛物线的顶点坐标。
2. 上下平移抛物线的图象可以通过上下平移得到。
对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，上下平移h个单位可以得到新的抛物线y = ax^2 + bx + c + h。
三、抛物线的焦点与准线抛物线还有焦点与准线两个重要的定义。
1. 焦点焦点是由平面上的点P(x, y)构成的集合F，其中P到抛物线上的每一点的距离等于P到直线L上的距离。
对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，焦点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = (4ac-b^2)/4a。
2. 准线准线是与抛物线平行且与抛物线不相交的一条直线。
对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，准线方程为y = -(b^2-1)/4a。
四、抛物线的应用抛物线在现实生活中有着广泛的应用。
1. 物理学在物理学中，抛物线用于描述抛体的运动轨迹。
例如，抛出的物体在重力作用下，它的运动轨迹形状就是一个抛物线。
初中九年级抛物线知识点
初中九年级抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域也有着广泛的应用。
在初中九年级数学学习中，抛物线是一个必须要掌握的知识点。
本文将从抛物线的定义、图像特征、方程及性质等方面进行论述，帮助读者全面了解和掌握初中九年级的抛物线知识点。
一、抛物线的定义和图像特征抛物线是指平面上离一个定点距离与离一个定直线距离相等的点的轨迹。
其中，定点称为焦点，定直线称为准线。
抛物线对称轴是过焦点且垂直于准线的直线。
抛物线图像是一个开口朝上或开口朝下的弯曲线形。
抛物线有以下几个图像特征：1. 对称性：抛物线是关于对称轴对称的。
开口朝上的抛物线的对称轴是准线，开口朝下的抛物线的对称轴是准线的延长线。
2. 焦点与准线的关系：焦点与准线的距离相等，且焦点在对称轴上。
3. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，它是对称轴上的点。
4. 零点：抛物线与x轴交点的横坐标称为零点，即抛物线的根。
二、抛物线的方程及性质1. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a决定了抛物线的开口方向（正值为开口向上，负值为开口向下），b决定了抛物线在x方向上的平移，c决定了抛物线在y方向上的平移。
2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为抛物线的函数表达式。
3. 抛物线的零点抛物线的零点可以通过解一元二次方程来求得。
利用抛物线的方程，令y=0，即可得到与x轴交点的横坐标。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴方程为x = -b/2a，即对称轴的横坐标为顶点横坐标的相反数。
5. 抛物线的焦点坐标抛物线的焦点坐标为（-b/2a，f(-b/2a) - 1/4a）。
6. 抛物线的性质- 抛物线的顶点是抛物线的最值点，开口向上的抛物线的顶点是最小值点，开口向下的抛物线的顶点是最大值点。
- 关于对称轴对称的两个点距离对称轴相等。
初三抛物线旋转求交点问题
初三抛物线旋转求交点问题篇一：初三抛物线旋转求交点问题是指在平面几何中,已知抛物线$y=ax^2+bx+c$ 的顶点坐标 $(a,b)$ 和一段段抛物线的旋转角度,求其与$x$ 轴、$y$ 轴的交点的几何问题。
解决这类问题,需要运用平面几何的基本定理和公式,结合旋转的性质,逐步推导出交点的位置。
下面我们将详细介绍解决这个问题的方法。
1. 求出抛物线的顶点坐标 $(a,b)$首先,我们需要通过解方程组或使用辅助线等方法,求出抛物线的顶点坐标$(a,b)$。
对于方程组:$$begin{cases}x=ay=bend{cases}$$我们可以将第一个方程变形为 $y=ax^2+bx+c-a$,从而得到第二个方程。
解方程组可得 $a=1$,$b=2$,$c=1$,因此抛物线为 $y=x^2+2x+1$。
对于辅助线,我们可以使用向量的相关知识,将抛物线顶点 $(a,b)$ 表示为$acdot e_x+bcdot e_y=0$,其中 $e_x$ 和 $e_y$ 是 $x$ 和 $y$ 方向上的单位向量。
然后,我们可以通过向量的叉积运算,得到抛物线的旋转后的位置 $bcdote_x+ccdot e_y=0$。
2. 求出旋转后的位置 $bcdot e_x+ccdot e_y=0$接下来,我们需要通过解方程或使用辅助线等方法,求出旋转后的位置$bcdot e_x+ccdot e_y=0$。
对于方程组:$$begin{cases}costheta=b/asintheta=c/aend{cases}$$其中 $theta$ 是旋转角度。
我们可以将第一个方程变形为$y=ax^2+bx+c-a$,从而得到第二个方程。
解方程组可得$theta=frac{pi}{4}$,$b=acostheta-csintheta$,$c=asintheta+bcostheta$。
对于辅助线,我们可以使用向量的相关知识,将旋转后的位置 $bcdote_x+ccdot e_y=0$ 表示为 $bcdot e_x+ccdot e_y=acdot e_x-acdot e_y$,其中$e_x$ 和 $e_y$ 是 $x$ 和 $y$ 方向上的单位向量。
初中数学抛物线知识点总结
初中数学抛物线知识点总结《初中数学抛物线知识点总结》抛物线在初中数学里可是个很有趣的家伙呢。
抛物线的表达式有好几种形式。
最常见的就是二次函数的一般式y = ax²+bx + c（a≠0）。
这里面的a可重要啦，它决定了抛物线的开口方向和开口大小。
要是a大于0呢，抛物线开口就向上，像个开心的小嘴巴；a小于0的时候，抛物线开口向下，像个难过的小拱桥。
而且啊，|a|越大，这个抛物线就越瘦，感觉像是在减肥成功了一样。
再说说抛物线的顶点式y = a(x - h)²+ k（a≠0）。
这个(h,k)就是抛物线的顶点坐标啦。
你看，这就像是抛物线的小脑袋的位置。
通过这个顶点式，我们能很轻松地知道抛物线的顶点在哪里。
比如说，y = 2(x - 3)²+ 4，那顶点就是(3,4)，就像我们能一下子找到宝藏的位置一样。
抛物线还有对称轴呢。
对于一般式y = ax²+bx + c，对称轴的公式是x = -b/2a。
这对称轴就像是抛物线的中轴线，把抛物线分成了两边一模一样的形状，就像照镜子一样对称。
抛物线与坐标轴的交点也很有讲究。
和y轴的交点就简单啦，只要把x = 0代入表达式，就得到y = c，所以(0,c)就是和y轴的交点。
和x轴的交点呢，就是让y = 0，然后解那个一元二次方程ax²+bx + c = 0，可能有两个交点，一个交点或者没有交点，这就看判别式Δ=b² - 4ac的值啦。
当Δ大于0的时候，有两个不同的交点；Δ等于0的时候，就只有一个交点；Δ小于0的时候，就和x轴没有交点，感觉就像抛物线和x轴闹别扭，根本不碰面。
在实际解题的时候，我们经常会用到这些知识点。
比如求抛物线的最值，如果是开口向上的抛物线，顶点就是最小值点；开口向下的，顶点就是最大值点。
我觉得抛物线就像是数学世界里的一道美丽曲线。
它虽然有点小复杂，但是只要我们掌握了这些知识点，就像掌握了打开它神秘大门的钥匙。
初三抛物线知识点归纳总结图
初三抛物线知识点归纳总结图抛物线是数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程等领域。
初中阶段学习抛物线的相关知识，不仅能培养学生的数学思维能力，还能丰富他们的应用能力。
为了帮助初三学生更好地掌握抛物线的知识点，下面将对抛物线的基本性质、标准方程、顶点、焦点以及抛物线在现实生活中的应用进行归纳总结。
一、抛物线的基本性质1. 定义：抛物线是平面上一点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数的轨迹。
这个常数称为离心率，用e表示。
2. 对称性：抛物线关于该抛物线的对称轴对称。
3. 最小值/最大值：抛物线的抛物线口（开口朝上）或拋物线顶（开口朝下）为函数的最小值或最大值。
4. 零点：抛物线与x轴相交的点称为抛物线的零点。
二、抛物线的标准方程1. 零点法：已知抛物线的顶点(h, k)和抛物线上一点(x, y)，可以通过零点法得到抛物线的标准方程为y=a(x-h)²+k。
2. 顶点法：已知抛物线的顶点(h, k)和抛物线经过一点(x, y)，可以通过顶点法得到抛物线的标准方程为y=a(x-h)²+k。
3. 描述法：已知抛物线过顶点(h, k)和另一焦点的坐标(F, k)，可以通过描述法得到抛物线的标准方程为(x-h)²=4a(y-k)。
三、顶点1. 定义：抛物线的顶点是抛物线上距离对称轴最近的点。
对于抛物线y=a(x-h)²+k，顶点为(h, k)。
2. 求解：已知抛物线的标准方程，可以通过求解方程y=a(x-h)²+k=0，求得抛物线的顶点坐标。
四、焦点1. 定义：焦点是到抛物线上所有点距离定直线的距离相等的点。
焦点距离顶点的距离为|4a|。
2. 求解：已知抛物线的标准方程，可以通过计算抛物线的离心率来确定焦点坐标，离心率公式为e=1/|4a|。
五、抛物线的应用1. 物理学：抛物线在物理学中经常用于描述自由落体运动、抛体运动等。
2. 工程学：在工程学中，抛物线被广泛应用于拱桥、天桥、砲台等建筑结构的设计与计算。
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1．如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点（0，-3），请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b 的值是
答案：-
解析：把（0，-3）代入抛物线的解析式得：c=-3， ∴y=x 2+bx-3，
∵确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间， 假如过（2，0）， 代入得：0=4+2b-3， ∴b=- ．
题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两个实数根.
2．已知二次函数y=-x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+2x+m=0
的解为
答案：-1或3
解析：依题意得二次函数y=-x 2+2x+m 的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为（3，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1， ∴交点坐标为（-1，0）
∴当x=-1或x=3时，函数值y=0， 即-x 2+2x+m=0，
∴关于x 的一元二次方程-x 2+2x+m=0的解为x 1=-1或x 2=3． 故填空答案：x 1=-1或x 2=3．
题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线
c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两个实数根. 3．抛物线y=x 2-4x+ 与x 轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x 轴的另一个交
点的坐标是
答案：（3，0）
解析：把点（1，0）代入抛物线y=x 2-4x+
中，得m=6，
所以，原方程为y=x 2-4x+3，
令y=0，解方程x 2-4x+3=0，得x 1=1，x 2=3 ∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）． 题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两个实数根.
4．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点（-2，0）、（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a-2b+c=0；②a ＜b ＜0；③2a+c ＞0；④2a-b+1＞0．其中正确结论的个数是 个．
答案：4
解析：①根据题意画大致图象如图所示，由y=ax 2+bx+c 与X 轴的交点坐标为（-2，0）得a×（-2）2+b×（-2 ）+c=0，即4a-2b+c=0所以正确；
②由图象开口向下知a ＜0，由y=ax 2+bx+c 与X 轴的另一个交点坐标为（x 1，0 ）且1＜x 1＜2，则该抛物线的对称轴为 由a ＜0得b ＞a ，所以结论正确， ③由一元二次方程根与系数的关系知 ，结合a ＜0得2a+c ＞0，所以结论正
确，
④由4a-2b+c=0得
，而0＜c ＜2，∴
∴-1＜2a-b ＜0∴2a-b+1＞0，所以结论正确．故填正确结论的个数是4个．
题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两个实数根.
5．抛物线y=2x 2+8x+m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为
答案：8
解析：∵抛物线与x 轴只有一个公共点， ∴△=0，
∴b 2-4ac=82-4×2×m=0； ∴m=8．
题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线
c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：
二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两个实数根.
6．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为-1，由图
象可知关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=
答案：-3
解析：由图象可知对称轴x=-1，与x 轴的一个交点横坐标是1，它到直线x=1的距离是2个单位长度，所以另外一个交点横坐标是-3，即x=-3． 题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02
=++c bx ax 的两个实数根. 7．抛物线：y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 答案：（1，0）．
解析：由图可知点（-3，0）在抛物线上， 把（-3，0）代入y=ax 2+2ax+a 2+2中，得 9a-6a+a 2+2=0，解得a=-1或a=-2； 当a=-1时，y=-x 2-2x+3=-（x+3）（x-1）， 设y=0，则x 1=-3，x 2=1，
∴在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是（1，0）； 当a=-2时，y=-2x 2-4x+6=-2（x+3）（x-1）， 设y=0，则x 1=-3，x 2=1，
∴在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是（1，0）．
∴抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是（1，0）． 题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两个实数根.
8．抛物线y=a （x-1）2+c 的图象如图所示，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标
为B （ ，0），则A 点的坐标为
答案：（2- ，0）
解析：因为抛物线y=a （x-1）2+c 得对称轴为x=1，所以设A 点坐标为（x A ，0），又因为B 点的坐标为B （
，0），则
=1；
解得x A =2- ．则A 点的坐标为（2- ，0）．
题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两个实数根.
9．二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与坐标轴分别交于点（-1，0）和（0，-1），顶点
在第四象限，若n=a+b+c ，则n 的取值范围是 答案：-2＜n ＜0
解析：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与坐标轴分别交于点（-1，0）和（0，-1） ∴a-b+c=0，c=-1， 即b=a-1，
∵顶点在第四象限， ∴-
＞0，
＜0，
又∵a ＞0，
∴b ＜0
∴b=a-1＜0即a ＜1，
b 2-4ac=（a+
c ）2-4ac=（a-c ）2＞0 ∵a-b+c=0，
∴a+b+c=2b ＜0， ∴a+b+c=2b=2a-2， ∵0＜a ＜1，
∴a+b+c=2b=2a-2＞-2， ∴-2＜a+b+c ＜0． ∴-2＜n ＜0
题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02
=++c bx ax 的两个实数根. 10．抛物线y=ax 2+bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … -3 -2 -1 0 1 … y
…
-6
4
6
6
…
容易看出，（-2，0）是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为 答案：（3，0）．
解析：∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过（0，6）、（1，6）两点， ∴对称轴x=
= ；
点（-2，0）关于对称轴对称点为（3，0）， 因此它与x 轴的另一个交点的坐标为（3，0）． 题干评注：抛物线与坐标轴的交点
问题评注：（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数
c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两个实数根.。