线性代数计算方法
线性代数求解方法和技巧
线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。
首先，我们讨论线性方程组的求解方法。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。
对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。
它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。
在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。
2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。
3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。
除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。
我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。
2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。
对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。
我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。
另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
线性代数技巧行列式的计算方法
线性代数技巧行列式的计算方法行列式是线性代数中重要的概念，它是一个数，可以用来描述矩阵的性质。
在计算行列式时，可以使用不同的方法，如拉普拉斯展开、余子式法、矩阵分解等。
下面我将详细介绍三种常用的行列式计算方法。
1.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是计算行列式最常用的方法之一、对于一个n阶方阵A，它的行列式可以用下式计算：det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj其中，a1j、a2j、..、anj 表示第1行、第2行、..、第n行的第j 列元素，C1j、C2j、..、Cnj 表示第1行、第2行、..、第n行的第j列的余子式。
在计算过程中，我们可以选择第i行或第j列，将行列式分成两个更小的行列式，然后递归计算这两个行列式的值。
这种方法的计算复杂度为O(n!)，在计算较大的行列式时效率较低。
2.余子式法余子式法是计算行列式的另一种常用方法，它的基本思想是利用代数余子式的概念来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以用下式计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nAn其中，a11、a12、..、a1n表示第1行的各个元素，A11、A12、..、An表示对应元素所在的代数余子式。
代数余子式的计算公式如下：Ai = (-1)^(i+1) × det(Mi)其中，Mi表示去掉第1行和第i列之后的(n-1)阶方阵。
通过递归计算，可以将大的行列式转化为多个小的行列式的计算，从而提高计算效率。
3.矩阵分解法矩阵分解法是一种便捷的计算行列式的方法。
对于特殊的矩阵，如三对角矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵等，可以通过矩阵的分解来简化行列式的计算。
例如，对于上（下）三角矩阵A，它的行列式等于主对角线上的元素相乘：det(A) = a11 × a22 × ... × ann这种方法的计算复杂度为O(n)，适用于这类特殊矩阵。
考研线性代数行列式的计算方法
考研线性代数行列式的计算方法线性代数中的行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵论以及其他数学和工程学科中有着广泛的应用。
本文将介绍如何计算行列式以及相关的一些重要性质。
1.行列式的定义和表示方式：一个 n 阶方阵 A 的行列式可以表示为 det(A)，也可以用竖线括起来 A 的元素的形式表示为，A。
2.二、三阶行列式的计算：二阶行列式计算公式为：，A，=a11×a22-a12×a21三阶行列式计算公式为：，A，=a11×a22×a33+a12×a23×a31+a13×a21×a32-a13×a22×a31-a12×a21×a33-a11×a23×a323.行列式的性质：a.若A是一个n阶方阵，则，A，=，A^T，即行列式的值不受转置的影响。
b. 若 A 是一个 n 阶上三角矩阵（即主对角线以下的元素全为零），则，A，= a11 × a22 × ... × ann，即上三角矩阵的行列式等于其主对角线元素的乘积。
c. 若 A 是一个 n 阶方阵且存在一个可逆矩阵 P，使得 PA 是一个上三角矩阵，则，PA， = ，A，× ，P，= a11 × a22 × ... ×ann × ，P。
d.若A是一个对称矩阵，则，A，=λ1×λ2×...×λn，其中λ1,λ2,...,λn是A的n个特征值。
e.若A,B是两个n阶矩阵，则，AB，=，A，×，B。
4.行列式按列展开法：设 A 是一个 n 阶方阵，其行列式为，A。
对于任意一列 j，可以按第 j 列展开，A，= a1j × A1j - a2j × A2j + ... + (-1)^(n+j)× anj × Anj，其中 Akj 表示 A 的剩余元素经过剔除第 j 列和第 k行后的 (n-1) 阶方阵。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。
本文将总结一些常见的行列式计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性代数中的行列式。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常见的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n是矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法是先将对应元素所在的行和列去掉，然后计算剩下元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以对应元素的符号（正负交替）。
通过递归的方式，可以计算出整个矩阵的行列式。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，那么可以通过克拉默法则来求解它的逆矩阵。
逆矩阵的元素可以通过矩阵A的各个元素的代数余子式和行列式的比值来计算。
虽然克拉默法则在实际计算中并不常用，但它对于理解行列式的性质和逆矩阵的计算方法有一定的帮助。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是一种通过对矩阵进行一系列行变换来简化行列式计算的方法。
这些行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
通过这些行变换，可以将一个矩阵化简为上三角形矩阵或者对角矩阵，从而更容易计算它的行列式。
需要注意的是，进行行变换时要保持行列式的值不变，即每一次行变换都要乘以一个相应的系数。
4. 特征值法。
特征值法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为其特征值的乘积。
通过计算特征值和特征向量，可以得到矩阵A的行列式的值。
特征值法在实际计算中比较复杂，但它对于理解矩阵的性质和特征值分解有一定的帮助。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个重要分支，而行列式是线性代数中的一个重要概念。
行列式计算方法是线性代数的基础知识，掌握好行列式的计算方法对于深入理解线性代数具有重要的意义。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 行列式的定义。
在开始介绍行列式的计算方法之前，我们先来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为：|A| = Σ(−1)^σP1,1 P2,2 ... Pn,n。
其中，σ是1到n的一个排列，P1,1 P2,2 ... Pn,n是这个排列的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。
2. 行列式的计算方法。
接下来，我们将介绍几种常见的行列式计算方法。
2.1 余子式法。
余子式法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过递归的方式计算得到。
具体步骤如下：对于n阶方阵A，选择第i行（或第j列）展开，得到A的余子式Mij；计算Mij的行列式|Aij|，其中Aij是Mij的转置矩阵；根据公式|A| = ai1 |A1| + ai2 |A2| + ... + ain |An|，计算得到行列式|A|。
2.2 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过克拉默法则计算得到。
具体步骤如下：对于n元线性方程组Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量，如果A是非奇异矩阵（即|A| ≠ 0），则方程组有唯一解；解出方程组的每个未知数，可以得到方程组的解向量x；根据克拉默法则，方程组的解向量x的每个分量可以表示为xj = |Aj| / |A|，其中Aj是将系数矩阵A的第j列替换为常数向量b得到的矩阵的行列式。
2.3 对角线法则。
对角线法则是一种简单直观的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过对角线法则计算得到。
线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n nnnn a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a bb D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间与线性映射的代数理论。
行列式是线性代数中重要的概念之一，用于判断线性方程组的解的存在与唯一性，以及计算线性变换的特征值与特征向量等。
本文将介绍线性代数中行列式的计算方法，并总结为以下几种常见的方法。
方法一：定义法行列式的定义是一个很重要的概念，也是计算行列式的基础。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为|A|或det(A)，定义为n个行向量或列向量所组成的n维向量空间的基向量所构成的平行多面体的有向体积。
根据这个定义，我们可以通过构造平行多面体来计算行列式的值，方法即是代数余子式展开法。
方法二：对角线法则对角线法则是计算2阶或3阶方阵行列式的简易方法。
对于2阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积；对于3阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积与副对角线上元素的乘积之差。
此方法适用于小规模方阵的计算。
方法三：按行展开法按行展开法是计算n阶方阵行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，选择其中一行（通常选择第一行）展开，即将该行中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
按行展开法在计算大规模方阵的行列式时，不仅简化了计算过程，还可以通过递归的方式实现。
方法四：按列展开法按列展开法与按行展开法类似，只是选择展开的对象变为一列。
选择第j列展开，则将该列中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
方法五：性质法行列式具有一系列的性质，可以根据这些性质来简化行列式的计算过程。
这些性质包括行列对换，相同行列的元素倍加，行列式放缩等。
利用这些性质，我们可以通过对行列式进行简单的变换，使其更容易计算，例如将行列式转化为上三角形矩阵，然后直接求解主对角线上元素的乘积即可。
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（2）回代过程：
(0) (0) (0) a11 x1 b1(0) a12 ... a1 第3章 线性代数计算方法 n (1) (1) (1) x a ... a 22 2n 2 b2 . . . . ... . . . . . ( n 1) ( n 1) ann xn xi (bi
k i 1
xn1 (bn1 an1n xn ) / an1n1
aik xk ) / aii , i n, n 1, ,1
n
第3章
线性代数计算方法
《 计 算 方 法 》
a11 a12 0 a22 0 0 0 0
《 计 算 方 法 》
( n 1) ( n 1) xn bn / ann
(i 1) (i 1) aii xi aii 1 xi 1
( i 1) ain xn
(i 1) ain xn bi(i1)
( i 1) bi(i 1) aii 1 xi 1 xi ( i 1) aii
105 x1 x2 0.6 99999 x2 59999
x1=105(0.6-0.6000)=0
而方程组的解应为
x1=0.4000 x2=0.6000
第3章
线性代数计算方法
显然用上述方法求出的解 x1 与方程组的实际解相差 很大。若改变两个方程的顺序,即 x1+x2=1 10-5 x1+x2=0.6
b1 b 2 ... bn 1 b n
x1 b1 / a11
xi (bi aik xk ) / aii , k 1,3, , i 1, i 2
k 1 i 1
第3章
线性代数计算方法
《 计 算 方 法 》
《 计 算 方 法 》
例如:
电学中的网络问题， 船体数学放样中建立三次样条函数问题， 用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题等
第3章
线性代数计算方法
n 阶线性方程组：
《 计 算 方 法 》
a 11 x1 a 12 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a n1 x1 a n 2 x 2
a 1n x n b 1 a 2n x n b 2 a nn x n b n
矩阵表示记为 AX b 这里 A [a ij ]nn , X (x , 1
, xn )
T
, b (b , 1
, bn )
T
第3章
线性代数计算方法
解线性方程组的两类方法: 直接法:
《 计 算 方 法 》
(0) an 2
(0) (0) x a1 b 1 n 1 (0) (0) x a2 b2 n 2 ... ... (0) (0) x ann n bn
, xn1
(0) a21 第2行：计算比例因子 l21 (0) a11
第 n 行：消去 x1
第3章
线性代数计算方法
第k步：消去 xk
( k 1) 设 akk
且计算
《 计 算 方 法 》
( k 1) aik 0，计算因子 lik ( k 1) akk
(k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj (k ) ( k 1) ( k 1) b b l b i ik k i (i, j k 1, ..., n)
经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法 (不计舍入误差!)
迭代法：
从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列 去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确 解)
第3章
线性代数计算方法
§1 高斯消去法
一、高斯消去法
《 计 算 方 法 》
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a22 x2 a2 n xn b2 an 1n 1 xn 1 an 1n xn bn 1 ann xn bn
②-①×2 ③-①×3
《 计 算 方 法 》
x1 4 x2 7 x2 1 3 x2 6 x2 1 6 x2 10 x3 2
③- ②×2
x1 4 x2 7 x3 1 3 x2 6 x3 1 2 x3 0
的基本思想是在逐次消元时总是选绝对值最大的元素
《 计 算 方 法 》
(称之为主元)做除数，按顺序消去法的步骤消元。 这里主要介绍求解线性方程组最常用的列主元素 消去法和全主元素消去法。
第3章
线性代数计算方法
列主元消去法
所谓列主元素消去法就是在每一步消元过程中取 系数子矩阵的第一列元素中绝对值最大者作主元。对 线性方程组进行n-1次消元后，可得到上三角形方程组
1 1 T x ( , , 0) 3 3
消去法的数值计算过程：
(0) a11 (0) a21 (0) an1 (0) a12 (0) a22
第3章
线性代数计算方法
... ... ... ...
《 计（1）消去过程： 消去 x , x , 1 2 算 方 (0) 法 第一步：消 x1 ，设 a11 0 》
(0) (0) a11 a12 (1) 0 a 22 (1) 0 a n2 (0) x ... a1(0) b 1 n 1 (1) x ... a2(1) n 2 b2 ... ... ... (1) (1) ... ann xn bn
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
a11 a21 A an 11 a n1 a12 a22 ... ... ... an 12 ... an 1n 1 an 2 ... an 1n 1 a1n 1 a2 n 1 a1n a2 n an 1n ann
10 5 x1 x2 0.6 x1 x2 1
《 计 算 方 法 》
①
②
②-①×10 5
105 x1 x2 0.6 99999 x2 59999
x2=0.5999959999
第3章
线性代数计算方法
化简可得
x2=0.6000
《 计 算 方 法 》
回代求得
第3章
线性代数计算方法
消元过程总体流程：
对于
《 计 算 方 法 》
k 1, 2,
, n 1 做 ,n 做
对于
i k 1,
(k ) aik 0
( k 1) aik lik ( k 1) akk
对于
j k 1,
,n做
(k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj
第2 行 - l21 第1行，得到：
(1) (0) (0) a2 a l a j 2j 21 1 j (1) (0) (0) b b b 2 2 21 1
j 2,3, , n
第3章
线性代数计算方法
-1
-1
《 计 算 方 法 》
第3章
线性代数计算方法
第2行：
(1) (0) (0) a2 a l a j 2j 21 1 j (1) (0) (0) b b l b 2 2 21 1
第3章
线性代数计算方法
第3章 线性代数计算方法
§1 高斯消去法
《 计 算 方 法 》
§2 高斯―约当消去法
§3 解实三对角线性方程组的追赶法
§4 §5 §6 §7 §8 矩阵的三角分解 行列式和逆矩阵的计算 迭代法 迭代法的收敛性 矩阵的特征值与特征向量的计算
第3章
线性代数计算方法
在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。
B
且aii≠0,i=1,2,…,n
第3章
线性代数计算方法
《 计 算 方 法 》
a11 a21 an 11 a n1
0 a22 an 12 an 2
... ... ...
0 0
... an 1n 1 ... an 1n 1
0 x1 0 x 2 ... 0 xn 1 x ann n
( k 1) a 即使主因素 kk 0 但很小，其作除数 ，也会导 致其它元素数量级的严重增长和舍误差的扩散。
《 计 算 方 法 》
为避免这种情况的发生，可通过交换方程的次序， 选取绝对值大的元素作主元。 基于这种思想导出了主元素法
第3章
线性代数计算方法
例如：用高斯消去法求解下列方程组(用四位有效数字计算):
(i k 1, ..., n)
共进行 n 1步，得到
(0) a11 (0) a12 (1) a22
... ... ...
(0) (0) x a1 b 1 n 1 (1) (1) x a2 n 2 b2 . . . . . . . . . ( n 1) ( n 1) ann xn bn
《 计 算 方 法 》
① ②
②-①×10-5得
(1.000-1.000×10-5)x2=0.6-1.000×10-5
0.99999x2=0.59999 x2=0.5999959999 x2=0.6000 回代求得