(全国通用)高考数学 二轮 专题九 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义与标准方程 理
1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B．x52－2y02 ＝1
C.8x02－2y02 ＝1
D．2x02 － 8y20＝1
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专题九 解析几何
解析：∵xa22－yb22＝1 的焦距为 10， ∴c＝5＝ a2＋b2.① 又双曲线渐近线方程为 y＝±bax， 且 P(2，1)在渐近线上， ∴2ab＝1，即 a＝2b.② 由①②解得 a＝2 5，b＝ 5， ∴双曲线方程为2x02－y52＝1，故选 A.
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专题九 解析几何
直线 l 的倾斜角为 θ，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC| ＝|BF|＝m，
∴cos θ＝AAEB＝13， ∴tan θ＝2 2.
∴过抛物线的焦点 F(1，0)的直线 l 的方程为 y＝2 2(x－1)， 代入 y2＝4x 得 2x2－5x＋2＝0， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝52＋2＝92.
A．2
B．2 2
C．2 3
D．4
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专题九 解析几何
[解析] 设 P(x0，y0)， 则|PF|＝x0＋ 2＝4 2， ∴x0＝3 2， ∴y20＝4 2x0＝4 2×3 2＝24， ∴|y0|＝2 6. ∵F( 2，0)，∴S△POF＝12|OF|·|y0| ＝12× 2×2 6＝2 3.
专题九 解析几何
第2讲 圆锥曲线的定义与标准方程
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专题九 解析几何
名称
圆锥曲线的定义、标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝ 2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝ 2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F 不在直线l上，
PM⊥l于M
标准方程
x2 a2
(3)渐近线xa±yb＝0⇔双曲线方程为xa22－yb22＝λ.
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专题九 解析几何
已知 F1、F2 是双曲线 C：x2－my2＝3m(m>0)的两个焦点，无 论 m 取什么正数时有下列 4 个结论： ①离心率恒为常数；②焦点到渐近线的距离恒为常数；③P 是 C 上任意一点，||PF1|－|PF2||恒为常数；④虚轴长恒为常数． 则结论正确的是__②__④____．(只填序号)
A．(－2，0)
B．(0，1)
C．(2，0)
D．(0，1)或(0，－1)
解析：由椭圆定义得|PF1|＋|PF2| ＝2a＝4，
∴|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2， 即 P(0，－1)或(0，1)时，取“＝”．
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专题九 解析几何
3．若抛物线 y2＝2px 的焦点与椭圆x62＋y22＝1 的右焦点重合，
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专题九 解析几何
8．P 是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)上一点，F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，则P→F1·P→F2的范围为__[2_b_2_－__a_2_，__b_2_] __．
解析：设 P 点的坐标为 P(x0，y0)． 因为焦点 F1(－c，0)，F2(c，0)， ∴P→F1·P→F2＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0) ＝x20＋y20－c2，c2＝a2－b2， 又ax022＋by202＝1，
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专题九 解析几何
由已知条件可得
ab1a＝62 －12， b32＝1，解得ab22＝ ＝41， ，
∴ 双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
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专题九 解析几何
[名师点评] 根据圆锥曲线的类型，设出相应的标准方程，再 利用给出的代数条件或几何条件求出相关的待定系数．
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专题九 解析几何
F( 3m＋3，0)到其中一条渐近线 x－ my＝0 的距离求解，
得 d＝ 3m＋3＝ 3.故选 A. 1＋m
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专题九 解析几何
[名师点评] 渐近线是双曲线独有的重要元素，对于双曲线ax22 －by22＝1，有下列三个常用性质： (1)焦点 F 到渐近线的距离为 b；
(2)离心率 e＝ 1＋ba2；
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专题九 解析几何
6．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两
点，若|AF|＝2|FB|，则|AB|等于( B )
A．4
B．92
C．5
D．6
解析：由对称性不妨设点 A 在 x 轴的 上方，如图设 A、B 在准线上的射影 分别为 D，C，BE⊥AD 于 E， 设|BF|＝m， 则|AB|＝3m，
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
xa22－yb22＝1 (a>0，b>0)
y2＝2px (p>0)
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名称
椭圆
双曲线
抛物线
图形
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专题九 解析几何
考点 圆锥曲线的定义与标准方程
(经典考题)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝4 2x 的
焦点，P 为 C 上一点，若|PF|＝4 2，则△POF 的面积为( C )
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专题九 解析几何
∴y20＝b2－ba22x20， ∴P→F1·P→F2＝a2－a2 b2x20＋2b2－a2. ∵0≤x20≤a2. ∴2b2－a2≤P→F1·P→F2≤b2.
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A. 30
B． 34
C. 42
D．2 13
解析：抛物线 C 的焦点为 F(p2，0)， 所以|FP|＝4|OF|＝2p. 设 P 的坐标为 P(x0，y0)， 则 x0＋p2＝2p.
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专题九 解析几何
∴x0＝32p，y20＝2p·32p＝3p2. 又 S△PFO＝2 3， ∴12·p2· 3p＝2 3，p＝2 2. ∴x0＝3 2，y20＝24， ∴|OP|＝ x20＋y20＝ 42.
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专题九 解析几何
7．已知 F1、F2 分别为双曲线 C：x92－2y27＝1 的左、右焦点， 点 A∈C，点 M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F1AF2 的平分线， 则|AF2|＝____6______． 解析：由题意，知 F1(－6，0)、F2(6，0)，|F1M|＝8>4＝|F2M|. 由角平分线性质得||FF21AA||＝||FF12MM||＝2，所以点 A 在双曲线的右 支上． 由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝6， 所以|AF2|＝6.
则 p 的值为( D ) A．－2
B．2
C．－4
D．4
解析：椭圆x62＋y22＝1 的右焦点为(2，0)，所以抛物线 y2＝2px
的焦点为(2，0)，故 p＝4.
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专题九 解析几何
4．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线与圆 x2＋y2－6x－7＝0 相
切，则 p 的值为( C )
A.12
m＋1 ③||PF1|－|PF2||＝2a＝2 3m，故③不正确． ④虚轴长 2b＝2 3，故④正确．
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专题九 解析几何
1．椭圆ax22＋y32＝1(a>0)的离心率为12，则 a 的值为( D )
A．2
B．3
C．2 或 1 解析：当 a2>3 时，c＝ a2－3，
D．2 或32
所以 a2a－3＝12，∴a＝2，
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专题九 解析几何
解析：x2－my2＝3m(m>0)变为3xm2 －y32 ＝1(m>0)． a2＝3m，b2＝3，c2＝3(m＋1)， 则①e＝ m＋m 1，故 e 是与 m 有关的变数，①不正确． ②一个焦点 F( 3m＋3，0)到一条渐近线 x－ my＝0 的距离 d＝ 3m＋3＝ 3，故②正确．
[名师点评] 根据圆锥曲线的类型，设出相应的标准方程，再 利用给出的代数条件或几何条件求出相关的待定系数．
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专题九 解析几何
(经典考题)设椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的左、右焦点分 别为 F1，F2，P 是 C 上的点， PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°， 则 C 的离心率为( D )
当 0<a2<3 时，c＝ 3－a2，
所以 3－3a2＝12，
∴a＝32，故选 D.
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专题九 解析几何
2．已知 F1、F2 是椭圆x42＋y2＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一
动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点 P 为( D )
A．(－2，0)
B．(0，1)
C．(2，0)
D．(0，1)或(0，－1)
B．1
C．2
D．4
解析：圆 x2＋y2－6x－7＝0 的圆心坐标为(3，0)，半径为 4. y2＝2px(p>0)的准线方程为 x＝－p2， ∴3＋p2＝4，∴p＝2.故选 C.
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专题九 解析几何
5. 已知双曲线 C：xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的焦距为 10 ，点 P (2，
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专题九 解析几何
设椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2，P 是
C 上的一点，PF2⊥F1F2，C 的离心率为 33，则|PF1|∶|PF2| 的值为____2____． 解析：半通径|PF2|＝ba2， ∴|PF1|＝2a－ba2.
由 e＝ca＝ 33，得 2a2＝3b2， |PF1|∶|PF2|＝2a2b－2 b2＝2.
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专题九 解析几何
[名师点评] 利用圆锥曲线的定义，可使复杂的问题简单化， 如果圆锥曲线上有点到焦点的距离，先考虑用定义解决．
高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质
高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，与其相关的知识点在高考中也是经常出现的考点。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念以及其相关性质，希望能对正在备考高考数学的同学有所帮助。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由圆锥面和一个平面相交而形成的曲线。
根据平面与圆锥面相交的位置和方向不同，可以分为四种圆锥曲线，分别是椭圆、抛物线、双曲线和圆。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中比较常见的一种曲线。
它可以由一个平面沿着圆锥面的两个平行直母线截取而成。
椭圆有两个焦点和一条长轴和短轴，其特点是离焦点的距离之和等于常数，即椭圆的离心率小于1。
2. 抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线。
它可以由一个平面沿着圆锥面的一条直母线截取而成。
抛物线有一个焦点和一条准轴，其特点是离焦点的距离等于离准轴的距离。
3. 双曲线双曲线和椭圆和抛物线不同，它可以由一个平面沿着圆锥面的两个非平行直母线截取而成。
双曲线有两个焦点和两条渐近线，其特点是离焦点的距离之差等于常数，即双曲线的离心率大于1。
4. 圆圆是圆锥曲线中最简单的一种曲线，它可以由一个平面与圆锥面的一个直母线相交而得到。
圆是只有一个焦点的特殊情况，它的离心率等于0。
二、圆锥曲线的相关性质除了基本概念之外，圆锥曲线还有一些重要的性质，在高考中也是需要掌握的知识点。
1. 椭圆的性质（1）椭圆的两个焦点与中心三点共线；（2）椭圆的长轴与短轴的长度之比等于焦距之和与焦距之差的比；（3）椭圆的离心率等于焦距之长除以长轴的长度。
2. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴垂直于准轴；（2）抛物线的焦点在准轴上的中点。
3. 双曲线的性质（1）双曲线的两条渐近线一定是不相交的；（2）双曲线的离心率等于距离两个焦点最远的点与焦点之间的距离之比。
4. 圆的性质（1）圆的任何直径经过圆心；（2）圆的内切和外切线垂直于半径并且相切于切点。
总结圆锥曲线作为高中数学中的一个重要概念，其基本概念和相关性质都需要仔细掌握。
高考数学二轮学习精品讲义学生版】第三部分_重点板块_专题五解析几何：第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义与标准方程[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1(2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0B.x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D.2x ±y ＝01．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.4552．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝13．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．考点二 圆锥曲线的性质[例2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→， F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝________．1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2x B.y ＝±3x C ．y ＝±22x D.y ＝±32x2．(2019·济南市模拟考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1―→·AF 2―→＝0，AF 2―→＝2F 2B ―→，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.743．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.2＋1B.3＋1C.5＋1D.2＋24．已知F1，F2是双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．考点三直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系[例3]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p ＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH| |ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP ―→＝3PB ―→，求|AB |.1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围．2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·济南模拟)已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点F 的坐标为(－5，0)，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±43xB.y ＝±34xC ．y ＝±53xD.y ＝±35x2．已知抛物线x 2＝4y 上一动点P 到x 轴的距离为d 1，到直线l ：x ＋y ＋4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.552＋2B.522＋1C.522－2D.522－13．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B.322C.22D.324．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D.55．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D.36．(2019·广州调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF ―→＝3FB ―→，则k ＝( )A.1B.2C.3D.2二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．8．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF ―→＝3FB ―→，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________．三、解答题10．(2019·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为5 5.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．11．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m，9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围．12．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知DF 1＝52. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.2．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2，1)，且右焦点F (3，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1，0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA ―→·MB ―→，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．3.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．4．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离．记P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍．。
高三数学二轮复习微专题：圆锥曲线的定义、标准方程
x2 y2
例 3．[双曲线的标准方程 ]已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 4 5，渐近线
a b
方程为 2x±y＝0，则双曲线的方程为(
)
x2 y 2
A． － ＝1
4 16
x2 y 2
B． － ＝1
16 4
x2 y2
C． － ＝1
16 64
x2 y 2
D． － ＝1
64 16
1定型：就是确定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准
方程.
2计算：即利用待定系数法求出方程中的 a2 ，b2 或 p.另外，当焦点位置无
法确定时，抛物线方程常设为 y2＝2ax 或 x2＝2aya≠0，椭圆方程常设为 mx2＋
ny2＝1m＞0，n＞0，且 m≠n，双曲线方程常设为 mx2－ny2＝1mn＞0.
m
－ x
n
圆锥曲线的定义、方程
考点一 圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝________(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝________(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°
，
在 Rt△ACE 中， ∵|AE|＝|AF|＝3，
|AC|＝3＋3a，∴2|AE|＝|AC|，即 3＋3a＝6，从而得 a＝1，|FC|＝3a＝3.
1
3
∴p＝|FG|＝ |FC|＝ ，因此抛物线方程为 y2＝3x，故选 C.
高考数学二轮复习第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质考点一 圆锥曲线的定义与标准方程[学生用书P73][典型例题](1)(2020·高考天津卷)设双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x24－y24＝1 B ．x 2－y24＝1 C.x24－y 2＝1D ．x 2－y 2＝1(2)(多选)(2020·山东潍坊期末)已知P 是椭圆E ：x28＋y24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( )A ．P 点的纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)【解析】 (1)由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b )的直线方程为x ＋y b ＝1，而x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l 与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.(2)由已知条件得a ＝22，b ＝2，c ＝2.不妨设P (m ，n )，m >0，n >0，则S △F 1PF 2＝12×2c ×n ＝3，解得n ＝32，所以A 错误．由n ＝32，得m28＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3224＝1，解得m ＝142(负值已舍去)，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫142，32. 所以|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋22＋94＝394＋214，|PF 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142－22＋94＝394－214，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－(2c )2＝394×2－16＝72>0，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－（2c ）22|PF1|·|PF2|>0，所以∠F 1PF 2<π2，所以B 错误．由椭圆的定义，得△F 1PF 2的周长为2a ＋2c ＝42＋4＝4(2＋1)，所以C 正确．设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，则S △F 1PF 2＝12r ·(42＋4)＝3，所以r ＝32(2－1)，所以D 正确．故选CD.【答案】 (1)D (2)CD(1)圆锥曲线的定义①椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)． ②双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)．③抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M . (2)求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[对点训练]1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选B.设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B.2．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝± －mn xD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线解析：选ACD.对于选项A ，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x21m ＋y21n ＝1，所以该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，因为m＝n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n 的圆，错误；对于选项C ，因为mn ＜0，所以该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝±－mn x ，正确；对于选项D ，因为m ＝0，n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD. 3．(2020·广州市调研检测)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝1，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线2y －1＝0相切．若存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，14 B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12解析：选C.依题意可知|OA |＝|OB |＝12.设M (x ，y )，圆M 的半径为r .由于以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线y ＝12相切，根据圆的几何性质可知|OA |2＋|OM |2＝r 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －122，化简得x 2＝－y ，即点M 在以⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14为焦点，y ＝14为准线的抛物线上．M 到焦点的距离等于M 到准线的距离．存在定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，使得|MA |－|MP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y －⎝ ⎛⎭⎪⎫14－y ＝14，为定值．故选C.考点二圆锥曲线的性质[学生用书P74][典型例题](1)(多选)已知双曲线C ：x 2－y2b2＝1(b >0)虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为32，则下列说法正确的是( )A ．b 的值为3B ．C 的离心率为2C ．抛物线y 2＝8x 与C 有一个相同的焦点D ．C 的两条渐近线均与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1相交 (2)(2020·东北三校第一次联考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (c ，0)，上顶点为A (0，b )，直线x ＝a2c 上存在一点P 满足(FP →＋F A →)·AP →＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，1D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 【解析】 (1)双曲线x 2－y2b2＝1的一条渐近线的方程为bx ＋y ＝0，易知其虚轴的一个端点为(0，b )，由题意可得b b2＋1＝32，得b ＝3，A 正确；又a ＝1，所以c ＝2，故离心率e ＝ca ＝2，B 正确；抛物线的焦点为(2，0)，故C 正确；双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，圆的圆心坐标为(2，3)，半径为1，根据点到直线的距离可判断，渐近线y ＝3x 与圆相交，y ＝－3x 与圆相离，故D 错误，选ABC.(2)取AP 的中点Q ，连接FQ ，则FQ →＝12(FP →＋F A →)，所以(FP →＋F A →)·AP →＝2FQ →·AP→＝0，所以FQ ⊥AP ，所以△AFP 为等腰三角形，即|F A |＝|FP |，且|F A |＝b2＋c2＝a .因为点P 在直线x ＝a2c 上，所以|FP |≥a2c －c ，即a ≥a2c －c ，所以a c ≥a2c2－1，所以e 2＋e －1≥0，解得e ≥5－12或e ≤－5－12.又0＜e ＜1，故5－12≤e ＜1，故选C.【答案】 (1)ABC (2)C(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca 的值．(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． ②用法：(i)可得b a 或ab 的值．(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0C ．(1，0)D ．(2，0)解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE→＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，0.2．(多选)(2020·山东烟台期末)已知F 1，F 2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( )A ．双曲线的离心率为3B ．双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC ．∠P AF 2＝45°D ．直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点解析：选ABD.因为|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，因为2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2＝30°，所以cos ∠PF 1F 2＝16a2＋4c2－4a22×4a·2c ＝32，所以c ＝3a ，所以离心率e ＝3，故A 正确；e 2＝c2a2＝a2＋b2a2＝3，所以b2a2＝2，所以ba ＝2，所以渐近线方程为y ＝±2x ，故B 正确；因为|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，所以∠PF 2F 1＝90°，又因为|AF 2|＝c ＋a ＝(3＋1)a ，|PF 2|＝2a ，所以|AF 2|≠|PF 2|，所以∠P AF 2≠45°，故C 不正确；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x2a2－y22a2＝1，得7y 2－16y ＋8－2a 2＝0，Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a 2)＝32＋56a 2>0，所以直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，故D 正确．故选ABD.3．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．解析：设B (c ，y B )，因为B 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1上的点，所以c2a2－y2B b 2＝1，所以y 2B ＝b4a2.因为AB 的斜率为3，所以y B ＝b2a ，b2a c －a ＝3，所以b 2＝3ac －3a 2，所以c 2－a 2＝3ac －3a 2，所以c 2－3ac ＋2a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或c ＝2a ，所以C 的离心率e ＝ca ＝2.答案：2考点三 直线与圆锥曲线[学生用书P75][典型例题]命题角度1 弦长问题(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 【解】 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13. 故|AB |＝4133.直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k2·|x 1－x 2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.命题角度2 中点弦问题(2020·高考天津卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(1)求椭圆的方程； (2)已知点C 满足3OC→＝OF→，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解】 (1)由已知可得b ＝3.记半焦距为c ，由|OF |＝|OA | 可得c ＝b ＝3.又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18.所以，椭圆的方程为x218＋y29＝1.(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x218＋y29＝1，消去y ，可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝12k2k2＋1.依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k2＋1，6k2－32k2＋1.因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6k 2k2＋1，－32k2＋1.由3OC →＝OF →，得点C 的坐标为(1，0)，故直线CP 的斜率为－32k2＋1－06k 2k2＋1－1，即32k2－6k ＋1.又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k2－6k ＋1＝－1，整理得2k 2－3k＋1＝0，解得k ＝12或k ＝1.所以直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3.弦中点问题的解决方法(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．[对点训练]1．(2020·合肥第一次教学检测)直线l 过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，若弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于________．解析：抛物线C ：y 2＝12x 的焦点为(3，0)，当直线l 的斜率不存在时，弦长为12，不合题意，故直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l ：y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y2＝12x ，y ＝k （x －3），得k 2x 2－(6k 2＋12)x ＋9k 2＝0，Δ＝(6k 2＋12)2－4k 2×9k 2＝144×(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k2＋12k2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6k2＋12k2＋6＝16.所以k 2＝3，k ＝±3，所以直线l 的倾斜角等于π3或2π3.答案：π3或2π32．若斜率为1的直线l 与椭圆G ：x212＋y24＝1交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积．解：设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x212＋y24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x1＋x22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4. 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1， 解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322， 所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.[学生用书(单独成册)P147][A 组 夯基保分]1．(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )A.x24－y22＝1 B.x24－y28＝1或y24－x28＝1 C.x24－y28＝1D.x24－y22＝1或y24－x28＝1解析：选 D.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，a ＝2，所以当焦点在x 轴上时，b a ＝22，所以b ＝2，所以双曲线的方程为x24－y22＝1；当焦点在y 轴上时，a b ＝22，所以b ＝22，所以双曲线的方程为y24－x28＝1.综上所述，该双曲线的方程为x24－y22＝1或y24－x28＝1，故选D.2．(一题多解)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选C.通解：因为点A 到y 轴的距离为9，所以可设点A (9，y A )，所以y 2A ＝18p .又点A 到焦点(p2，0)的距离为12，所以（9－p 2）2＋y2A ＝12，所以(9－p 2)2＋18p＝122，即p 2＋36p －252＝0，解得p ＝－42(舍去)或p ＝6.故选C.光速解：根据抛物线的定义及题意得，点A 到C 的准线x ＝－p2的距离为12，因为点A 到y 轴的距离为9，所以p2＝12－9，解得p ＝6.故选C.3．(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2D ． 5解析：选A.依题意，如图，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y2＝c24，将圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|PQ|22＝a 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，即c24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2c2＝a2b2c2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A.4．(2020·河北石家庄二中期中)若过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是抛物线的顶点，则△ABO 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能解析：选 C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y2＝2px （p>0），得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2.又2px 1·2px 2＝y 21y 2＝p 4，所以x 1x 2＝p24.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p24－p 2＝－34p 2<0，所以∠AOB 是钝角，所以△AOB 为钝角三角形．故选C.5．(多选)已知抛物线C ：x 2＝3y 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A在第一象限，若弦AB 的长为4，则( )A ．直线l 的倾斜角为30°或150°B ．|AF |－|BF |＝4 C.|AF||BF|＝13或3 D ．S △AOB ＝92解析：选AC.由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋34，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝3y ，y ＝kx ＋34，消去y ，得4x 2－12kx －9＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝3k ，x1x2＝－94，所以|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|＝3(1＋k 2)＝4， 所以k ＝±33.设直线l 的倾斜角为θ，则θ＝30°或θ＝150°.设|AF||BF|＝λ，则当θ＝30°时，|AF |＋|BF |＝(λ＋1)|BF |＝4，又由抛物线的定义易知|AF |－|BF |＝(λ－1)|BF |＝2，所以（λ＋1）|BF|（λ－1）|BF|＝42＝2，所以λ＋1λ－1＝2，所以λ＝3，即|AF||BF|＝3.由抛物线的对称性知，当θ＝150°时，λ＝13，即|AF||BF|＝13.S △AOB ＝12×|OF |×|x 1－x 2|＝12×34×[（x1＋x2）2－4x1x2]＝12×34× ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝334.故选AC. 6．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)已知椭圆C 1：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF1→·MF2→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2＝π3，则下列结论正确的是( )A.e2e1＝2 B ．e 1e 2＝32 C ．e 21＋e 2＝52D ．e 2－e 21＝1解析：选BD.因为MF1→·MF2→＝0，且|MF1→|＝|MF2→|，所以△MF 1F 2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c ，则c ＝b ＝22a ，所以e 1＝22.在焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝π3，设双曲线C 2的实半轴长为a ′，|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎨⎧x2＋y2－xy ＝4c2，x ＋y ＝22c ，|x －y|＝2a′，所以xy ＝43c 2，所以(x －y )2＝x 2＋y 2－xy －xy ＝8c23，所以(a ′)2＝2c23.又e 2>1，所以e 2＝62，所以e2e1＝3，e 2e 1＝32，e 21＋e 2＝2，e 2－e 21＝1.故选BD. 7．(2020·福建省质量检测)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F (5，0)，一条渐近线的斜率为34，则a ＝________．解析：因为双曲线的一个焦点为F (5，0)，所以c ＝5.注意到该双曲线的焦点在x 轴上，且一条渐近线的斜率为34，得b a ＝34，即b 2＝9a216，又a 2＋b 2＝25，所以a ＝4.答案：48．(2020·成都市诊断性检测)已知直线y ＝kx 与双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF |＝3|BF |，|OA |＝b (O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：设双曲线C 的右焦点为F 2，如图，连接AF 2，则|AF |＝3|BF |＝3|AF 2|.根据双曲线的定义得|AF |－|AF 2|＝2|AF 2|＝2a ，所以|AF 2|＝a ，|AF |＝3a ，又|OA |＝b ，所以|OF 2|2＝|OA |2＋|AF 2|2，所以OA ⊥AF 2，在Rt △AOF 2中，cos ∠AOF 2＝bc .在△AOF 中，(3a )2＝c 2＋b 2－2bc cos(π－∠AOF 2)，所以9a 2＝c 2＋3b 2，所以9a 2＝c 2＋3(c 2－a 2)，3a 2＝c 2，所以e ＝ 3.答案： 39．已知点F 1，F 2分别是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P .若椭圆C 的离心率为23，且S △PF 1F 2＝15，则椭圆C 的方程为________．解析：依题意知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c (c 为椭圆C 的半焦距)，由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －2c .又e ＝c a ＝23，所以cos ∠PF 2F 1＝|PF2|2|F1F2|＝a －c 2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1＝14，从而sin ∠PF 2F 1＝154.所以S △PF 1F 2＝12·|PF 2|·|F 1F 2|sin ∠PF 2F 1＝ 152c (a －c )＝154c 2，又S △PF 1F 2＝15，所以154c 2＝15，解得c 2＝4， 所以a 2＝9，b 2＝a 2－c 2＝5. 所以椭圆C 的方程为x29＋y25＝1. 答案：x29＋y25＝1 10．(2020·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C 1：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程． 解：(1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝ a2－b2.不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b2a ，－b2a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b2a ，|CD |＝4c .由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b23a ，即3×c a ＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2.解得c a ＝－2(舍去)，c a ＝12. 所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x24c2＋y23c2＝1. 设M (x 0，y 0)，则x204c 2＋y203c 2＝1，y 20＝4cx 0， 故x204c2＋4x03c ＝1. ① 由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得（5－c ）24c2＋4（5－c ）3c＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3. 所以C 1的标准方程为x236＋y227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x .11．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解：(1)设椭圆C 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)， 由题意得b ＝3，c a ＝12， 解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x24＋y23＝1.(2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得96(2k ＋1)＝0， 解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得点M 的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.12．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x225＋y2m2＝1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积． 解：(1)由题设可得25－m25＝154，得m 2＝2516，所以C 的方程为x225＋y22516＝1.(2)设P (x P ，y P )，Q (6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0. 由已知可得B (5，0)，直线BP 的方程为y ＝－1yQ (x －5)， 所以|BP |＝y P 1＋y2Q ，|BQ |＝1＋y2Q . 因为|BP |＝|BQ |，所以y P ＝1，将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3. 由直线BP 的方程得y Q ＝2或8.所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3，1)，Q 1(6，2)；P 2(－3，1)，Q 2(6，8)． |P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ，点A (－5，0)到直线P 1Q 1的距离为102，故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52.|P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103，点A 到直线P 2Q 2的距离为13026， 故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52. 综上，△APQ 的面积为52.[B 组 提能增分]1．(2020·福州市适应性考试)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，以椭圆C 的短轴为直径的圆与直线l ：3x ＋4y －5＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线y ＝x ＋m 交椭圆C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1＞x 2，已知l 上存在点P ，使得△PMN 是以∠PMN 为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值．解：(1)依题意，b ＝|0＋0－5|32＋42＝1，因为离心率e ＝c a ＝a2－b2a ＝63， 所以a2－1a ＝63，解得a ＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x23＋y 2＝1.(2)因为直线y ＝x ＋m 的倾斜角为45°，且△PMN 是以∠PMN 为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以NP ∥x 轴，如图，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点， 所以Q (x 1，y 2)，故P (2x 1－x 2，y 2)，所以3(2x 1－x 2)＋4y 2－5＝0，即3(2x 1－x 2)＋4(x 2＋m )－5＝0， 整理得6x 1＋x 2＋4m －5＝0.①由⎩⎨⎧x2＋3y2＝3，y ＝x ＋m ，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0. 所以Δ＝36m 2－48m 2＋48＞0，解得－2＜m ＜2， 所以x 1＋x 2＝－32m ，② x 1x 2＝34(m 2－1)，③ ①－②得，x 1＝1－m2，④ 将④代入②得x 2＝－1－m ，⑤将④⑤代入③得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1(m ＋1)＝34(m －1)(m ＋1)，解得m ＝－1.所以m 的值为－1.2．(2020·郑州市第一次质量预测)已知椭圆E ：y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点C (1，0)．(1)求椭圆E 的方程； (2)若过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证：恒有|AB |＝2|CM |.解：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2， 所以椭圆E 的方程为y22＋x 2＝1.(2)证明：当直线的斜率为0时，易知M 为坐标原点O ，则|AB |＝2|CM |恒成立． 当直线的斜率不存在或存在且不为0时，设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0的直线为x ＝ty －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －13，y22＋x2＝1，得(9＋18t 2)y 2－12ty －16＝0，且Δ>0.则⎩⎪⎨⎪⎧y1＋y2＝12t 9＋18t2，y1y2＝－169＋18t2.又CA →＝(x 1－1，y 1)，CB →＝(x 2－1，y 2)，所以CA →·CB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ty1－43⎝ ⎛⎭⎪⎫ty2－43＋y 1y 2＝(1＋t 2)y 1y 2－43t (y 1＋y 2)＋169＝(1＋t 2)·－169＋18t2－4t 3·12t 9＋18t2＋169＝0，所以CA→⊥CB →.因为线段AB 的中点为M ，所以|AB |＝2|CM |. 综上，恒有|AB |＝2|CM |. 3．(2020·湖北重点中学期末联考)定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x24＋y 2＝1，椭圆C 2与C 1是“相似椭圆”，且椭圆C 2的短半轴长为b .(1)写出椭圆C 2的方程；(2)若在椭圆C 2上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围． 解：(1)依题意，设椭圆C 2的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)， 由椭圆C 2与C 1是“相似椭圆”，可得4a2＝1b2，即a 2＝4b 2. 所以椭圆C 2的方程为x24b2＋y2b2＝1(b >0)．(2)设直线MN 的方程为y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋t ，x24b2＋y2b2＝1，消去y 并整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0， 易知Δ＝64t 2－80(t 2－b 2)＝16(5b 2－t 2)>0，①则x 0＝x1＋x22＝4t 5，y 0＝t 5.由题意知线段MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，所以有t 5＝4t 5＋1，解得t ＝－53，即直线MN 的方程为y ＝－x －53. 将t ＝－53代入①式，解得b >53⎝ ⎛⎭⎪⎫b<－53舍去. 所以实数b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 4．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题意知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x24＋y2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km 4k2＋1，x 1x 2＝4m2－44k2＋1， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y1y2x1x2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4（m2－1）4k2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k2＋1＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m|1＋k2， 所以d 2＝m21＋k2＝54－k21＋k2＝－1＋94（1＋k2）， 又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，解得0≤d <2147，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.。
圆锥曲线课件
圆锥曲线的分类和特点
椭圆是所有与两个焦点距离之和为常数的点的集合，拥有一对对称轴和两个 焦点。
抛物线是所有与一个焦点距离等于到直线的距离的点的集合，拥有对称轴和 焦点。
双曲线是所有与两个焦点距离之差为常数的点的集合，拥有两个分离的极限 以及一对对称轴。
椭圆的性质和方程
焦点定理
椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长度。
2
Hale Waihona Puke 中心和极限双曲线有两个分离的极限和一个中心。
3
方程表达
双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴的长度。
圆锥曲线在实际应用中的应用
天体轨道
行星和卫星的轨道通常是 圆锥曲线。椭圆轨道用于 行星运行，而抛物线轨道 用于发射卫星。
天体旅行
太空探索任务中，航天器 的轨迹也遵循圆锥曲线的 某种形式，以实现特定的 目标和任务。
圆锥曲线ppt课件
本课件将带您深入了解圆锥曲线，包括定义、概念、分类和特点。我们还会 探讨椭圆、抛物线和双曲线的性质、方程以及实际应用。
圆锥曲线的定义和概念
圆锥曲线是平面解析几何学中的重要概念，是指在平面上由一个动点P和两个 定点F1、F2（称为焦点）决定的点集。
根据动点P到焦点F1、F2的距离之和的大小关系，可以分为椭圆、抛物线和双 曲线。
通信天线
圆锥曲线形状的抛物面天 线可实现定向和增强信号 接收和传输。
总结和重点系统回顾
在本课程中，我们全面了解了圆锥曲线的定义、分类和特点。我们还探索了椭圆、抛物线和双曲线的性 质和方程，以及它们在不同领域的应用。
方程表达
椭圆的标准方程为(x/a)²+ (y/b)²= 1，其中a和 b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
(统考版)2023高考数学二轮专题复习：圆锥曲线的定义、方程与性质课件
3 6
4
答案：
x2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆6 Nhomakorabeay2
+ ＝1在第一象限交于A，
3
B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，
x＋ 2y－2 2＝0
则l的方程为______________．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
18
16
2
x
y2
C． + ＝1
3
2
答案：B
x2
y2
B． + ＝1
9
8
2
x
D． ＋y2＝1
2
(2)[2022·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西
安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作
的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可
以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在
使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆
x2
a2
y2
+ 2
b
＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，
b2 x0
则直线的斜率为－ 2 .
a y0
x2
c
a
2c
2a
＝ 7m，所以C的离心率e＝ ＝ ＝
F1 F2
PF1 − PF2
＝
7m
7
圆锥曲线的定义及应用
l
F1
o
F2
d
定点F的距离和一条定直线 定点F的距离和一条定直线l（点F不 的距离相等的点的轨迹。 在直线l上）的距离相等的点的轨迹。
.P .
F
椭圆,双曲线, 复习 椭圆,双曲线,抛物线的定义
4、圆锥曲线统一定义:平面内到一个定点和 圆锥曲线统一定义:
y A
A1 M1 B1 B
M F x
小结： 小结：
1、本课的重点是掌握圆锥曲线的定义在解题 中的应用，要注意两个定义的区别和联系。 中的应用，要注意两个定义的区别和联系。 利用圆锥曲线的定义解题时， 2、利用圆锥曲线的定义解题时，要注意曲线 之间的共性和个性。 之间的共性和个性。 利用圆锥曲线的定义解题时， 3、利用圆锥曲线的定义解题时，涉及圆锥曲 线上的点与两个焦点的问题，常用第一定义； 线上的点与两个焦点的问题，常用第一定义； 涉及与焦点、准线的问题，常用统一定义。 涉及与焦点、准线的问题，常用统一定义。要 加强数形结合、化归思想的应用， 加强数形结合、化归思想的应用，以便得到解 题的最佳途径。 题的最佳途径。
湖南卷 第5题； 重庆卷 第14题；江西卷理第15题； 14题 江西卷理第15题 15
江西卷理第21题 上海卷文第8 江西卷理第21题；上海卷文第8题。 21
O1 : ( x + 3)2 + y 2 = 4 外切，且与 外切， 例1：一动圆与圆 O2 : ( x − 3)2 + y 2 = 100 内切，求动圆圆心 的 内切，求动圆圆心P的 圆
3 5 | BF1 |= | BC | ∴| BC |= | BF1 | 3 5 5 19 A + B 1的 小 为 B + B = A = B F 最 值 A C C 3 3 此时B 此时B的坐标为 − 5 3 ,2 2
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M ；一定点F （即焦点）；一定直线l （即准线）；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比1）② 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。
若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线 ③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当10<<e 时，表示椭圆；当1>e 时，表示双曲线；当1=e 时，表示抛物线。
④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
二、抛物线标准方程1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。
抛物线标准方程的四种形式为：()022>±=p px y ，()022>±=p py x ，其中：① 参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2p等于焦点到抛物线顶点的距离。
②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若x 的一次项前符号为正，则开口向右，若x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。
在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。
本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。
二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。
其中，p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。
双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。
2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。
此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。
3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。
四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。
2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。
例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。
3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。
综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。
在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。
高考二轮复习数学课件(新高考新教材)第2讲圆锥曲线的定义方程与性质
答案 A
解析 如图所示,抛物线C:y2=4x的焦点坐标为F(1,0),过C上一点M作其准线
的垂线,垂足为N,若∠NMF=120°,可得|MF|=|MN|,∠NFO=∠FNM=30°.
4 3
又由|DF|=2,所以|NF|= 3 ,在等腰三角形
MNF 中,可
4
得|MF|= .
3
设
4
M(x0,y0),根据抛物线的定义,可得|MF|=x0+1=3,解
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形
π
AF1BF 为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
由直线 y=
π
3x 可知∠AOF=3,则|AF|=|OF|=|OA|=2
||
p=3.
P 在 x 轴的
突破点二 圆锥曲线的几何性质
命题角度1 圆锥曲线的几何性质
x2 y2
x2 y2
[例 2—1]已知双曲线 C1: 2 − 2 =1(a>0,b>0)以椭圆 C2: + =1 的焦点为顶
4
3
a
b
点,左、右顶点为焦点,则双曲线 C1 的渐近线方程为(
A. 3x±y=0
B.x± 3y=0
.
答案 (1)ACD
(2)4
解析 (1)由题意知,m>0 且 m2-1>0.由已知可得 2 --1=1,解得 m=2 或 m=1(舍去负值),故椭圆
2
C 的方程为 3
2
+ 2 =1.