2019-2020学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试题(解析版)
4
，
所以数列{ an an1 }是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，
所以 an1 an 4n ，所以选项 D 正确，
易得 a3 21，显然选项 C 不正确.
故选：BD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项 的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
则 CA CB 的最小值是________.
【答案】 2 【解析】延长 BC，作圆 M 的切线，设切点为 A1，切线与 BD 的交点 D，结合数量积的
2019-2020 学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试题
一、单选题
1． sin10 cos 35 cos10 sin 35 （ ）
A． 2 2
B． 2 2
【答案】A
【解析】利用两角和的正弦公式得解.
【详解】
C． 3 2
1 D．
2
sin10 cos 35 cos10 sin 35 sin(10 35 ) sin 45 2 2
解：如图，
分别取 BC、CC1、CA1、A1B1 的中点 E、F、G、H，连 EF、FG、GH、BH，则
EF∥BC1，FG∥CA1， EG
/
/
BH，易得
EF= 1 2
BC1
5 2
，FG=
1 2
CA1
5， 2
EG BH
3
，在△EFG
中， cos
EFG
EF 2 FG2 EG2 2EF FG
5 5 3 44
故选：A 【点睛】
本题考查两角和的正弦公式 sin( ) sin cos cos sin ，属于基础题.
2．已知向量
a
x，2
，
b
2
x
1，3
，若
a
b
，则
x
（
）
1 A．
2
B． 2
C．1
D．2
【答案】B
【解析】
a
b
等价于
a
//b
，利用向量共线坐标公式计算即可．
【详解】
a
b
a //b
x
2x
1
x
2
23
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．
3．若等差数列an 满足 a7 a9 2 ， a10 5 ，则数列an 的首项 a1 （ ）
A．20
B．-3
C．22
D．-23
【答案】C
【解析】利用等差中项得到 a8 ，然后由 a10 a8 =2d 得到公差，再利用通项公式求得首
和性质定理是解答的关键，属于基础题.
10．在△ABC 中，点 E，F 分别是边 BC 和 AC 上的中点，P 是 AE 与 BF 的交点，则
有（ ）
A．
AE
1
AB
1
AC
22
C．
CP
1
CA
1
CB
33
【答案】AC
B．
AB
2
EF
D． CP
2
CA
2
CB
33
【解析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.
2an1
BA
1
t an1
3an
BC
，
所以
1 t
an
2an1
1 3
，
1
t an1
3an
2 3
，
所以 an1 3an 2 an 2an1 ，
易得 an1 an 4 an an1 ，
显然 an an1 不是同一常数，所以选项 A 错误；
因为 a2 - a1 =4，
an1 an an an1
a 3.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了两条直线的位置的判定及应用，其中解答中熟记两直线平行的条件是解
答的关键，着重考查运算能力.
6．已知点 A 2， 3 和点 B 1，0 是平面直角坐标系中的定点，直线 y kx 1与线
2
段 AB 始终相交，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．[1，2]
B．[-2，1]
列说法中，正确的是（ ）
A．若 m ， n ，则 m//n
B．若 m// ，m∥ ，则 / /
C．若 , m / / ，则 m
D．若 / / , m ，则 m
【答案】AD 【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】 根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以 A 正确；
项. 【详解】
a7
a9
2a8
2
a8
1
d
a10 a8 2
3，a1
a8
7d
22 .
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式和性质.
4．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b，c，已知 cos A 3 ， a 8 ， 5
b 5 ，则 B （ ）
A．
4
B．
6
C．
3
5 D．
6
【答案】B
【解析】由 cos A 0 得 A 为钝角， B 只能为锐角，由正弦定理可得．
【详解】
解：
因为 cos A 3 ，所以 A 为钝角， sin A 4 ， B 为锐角．
5
5
由
a sin Ab sຫໍສະໝຸດ n B得 sinB
b sin a
A
5 4 5
8
1 2
，所以
B
6
．
故选：B．
【点睛】
本题考查正弦定理，在用正弦定理求角时需确定角的范围，确定解的个数．
【详解】
如图：
5
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
AE
AB
BE
AB
1
BC
AB
1
( AC
AB)
1
( AC
AB)
,
A
是正确的；
2
2
2
因为 EF 是中位线，所以 B 是正确的；
根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以
CP
2 3
CG
2 3
1 2
CA
CB
1 3
CA
CB
，
所以 C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键， 属于中档题.
1
易得长方体外接球半径 r=
22 32 12 = 1
14，所以外接球表面积= 4 r2 14，故
2
2
B 正确；
VA1 BDC
1 3
S△BDC
AA1
1 3
1 2
3
2
1
1
，所以
C
正确；
S 显然 △B1BC1
1 13 2
3 2
，S△AA1B
1 2
2
1
1
，
S△B1BC1
S△AA1B ，又
S△BDC1 S△BDC S△BDA ，同理 S△A1DC1 S△A1DD1 S△A1DA ，所以三棱锥 A1-BDC1 的表
5．若直线 3x ay 1 0 与直线 x y 1 0 平行，则 a=（ ）
A．-3 或-1
B．-1
C．-3
3
D．
2
【答案】C
【解析】根据两直线平行，得到 3
a
1
，即可求解.
1 1 1
【详解】
由题意，直线 3x ay 1 0 与直线 x y 1 0 平行，则 3
a
1
，解答
1 1 1
B
正确；设
BD
t BE
（
t
0
），易得
an1 an 4 an an1 ，显然 an an1 不是同一常数，所以选项 A 错误；数列{ an an1 }
是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，所以 an1 an 4n ，所以选项 D 正确，易得 a3 21，
选项 C 不正确.
【详解】
【解析】由 A1C1 // BD 判断 A，由长方体的对角线是外接球的直径可判断 B，根据体积
公式计算三棱锥的体积判断 C，计算出三棱锥 A1-BDC1 与三棱锥 A1-ABD 的表面积，可 判断 D． 【详解】
解：显然 AC 不垂直于 BD， A1C1 // BD ，所以 BD A1C1 不成立，A 错误；
3
由余弦定理得 a b2 c2 2bc cos A 48 4 2 4 3 2 3 2 7 . 2
故选：D 【点睛】 本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，属于基础题.
8．如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为矩形，侧面 AA1B1B 为菱形，且平
8
又由 0„ ，则 ； 3
故答案为：
3
【点睛】
本题考查直线的倾斜角，注意直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
14．已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 4 ， a52 a8 ，则 S3 _______.
21 【答案】
4
【解析】设等比数列an 的公比为 q，根据 a52 a8 ，求得 q，再结合求和公式，即可
11．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AA1=1，AB=2，AD=3，下列选项正确的有（ ）
A． BD A1C1
B．长方体 ABCD A1B1C1D1 的外接球的
表面积为 14π C．三棱锥 A1-BDC 的体积为 1 表面积相等 【答案】BC
D．三棱锥 A1-BDC1 与三棱锥 A1-ABD 的
2019-2020学年湖北省高一下学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．设全集U =R ，已知集合{3A x x =<或}9x ≥，集合{}B x x a =≥.若()U C A B ≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a ≤C ．9a <D ．9a ≤【答案】C【解析】求出A 的补集，根据()U C A B ≠∅，求出a 的范围即可．【详解】∵{3A x x =<或}9x ≥，∴{}9|3U C A x x =≤<， 若()U C A B ≠∅，则9a <，故选：C ． 【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题．2．已知复数z 满足()14i z +=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先求出复数z ，再求出z 【详解】 因为()()()41422111i z i i i i -===-++-，所以(22z i -，所以复数z ()22-所在的象限为第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．已知1sin()3πα+=，则3sin(2)2πα+=（ ）A ．79-B ．79C ．D 【答案】A【解析】利用诱导公式及倍角公式变形求解即可． 【详解】解：1sin()sin 3παα+=-=，则1sin 3α=-， 2327sin(2)cos 22sin 11299πααα∴+=-=-=-=-．故选：A ． 【点睛】本题考查诱导公式及倍角公式的应用计算，是基础题．4．有四个幂函数：①()1f x x -=；②()2f x x -=；③()3f x x =；④()13f x x =.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y y R ∈，且}0y ≠；（3）在(),0-∞上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】B【解析】根据幂函数的单调性、值域和奇偶性，结合三个性质两个正确一个错误，对四个幂函数逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】①()1f x x -=只满足值域是{y y R ∈，且}0y ≠；③()3f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；④()13f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；②()2f x x -=是偶函数，在(),0-∞上是增函数，但其值域是{}0yy >.故选：B. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性、值域和奇偶性，考查分析与推理的能力，属于基础题. 5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】A【解析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率. 【详解】分别用A ，B ，C 表示齐王的上、中、下等马，用a ，b ，c 表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba ，Ca ，Cb 共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.6．设锐角ABC 的三个内角分别为角A 、B 、C ，那么“2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由诱导公式推导出“2A B π+>” ⇔ “sin cos B A >”，从而“2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的充分必要条件． 【详解】解：设锐角ABC 的三个内角分别为角A ，B ，C ， “2A B π+>” ⇒ “2B A π>-” ⇒ “sin sin 2B A π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ ”⇒“sin cos B A >”，“sin cos B A > ”⇒ “sin sin()2B A π>- ”⇒ “2B A π>- ”⇒“2A B π+>”， ∴ “2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的充分必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查诱导公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.7．根据食物中维C的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C含量在50~100毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C含量在30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C的量（单位：mg）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（）A．猕猴桃的极差为32 B．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数C．猕猴桃的方差小于柚子的方差D．柚子的中位数为121【答案】C【解析】根据所给数据求出极差即可判断A，分别求出猕猴桃和柚子的平均数，比较即可判断B，分别求出其方差判断C，结合数据求出柚子的中位数判断D即可．【详解】解：对于A，猕猴桃的极差为：13410232-=，故A正确；对于B，猕猴桃的平均数是1(104102113121122134)1166x=+++++=，柚子的平均数是1(113114121121131132)1226y=+++++=，故B正确；对于C，猕猴桃的方差是：2111 (19614492536324)122 63s=+++++=，柚子的方差是：221(81641181100)54.67 6s=+++++=，故猕猴桃的方差大于柚子的方差，故C错误；对于D，柚子的中位数是121，故D正确；故选：C．【点睛】本题考查了极差，方差，中位数，平均数问题，属于基础题． 8．设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ） A ．42()3ab a b ab >+> B ．42()3ab a b ab <+< C ．23()4ab a b ab <+< D ．23()4ab a b ab >+>【答案】B【解析】由对数的换底公式可以得出113,22a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，通分再结合不等式的性质ab<0,求出a b +的不等关系. 【详解】因为0.1log 2a =，30log 2b =， 所以0ab <，222113log 0.1log 30log 3,22a b ⎛⎫+=+=∈ ⎪⎝⎭所以31122a b<+<，所以()423ab a b ab <+<，所以选B. 【点睛】本题考查了对数的换底公式和不等式的性质，解题的关键在于得出ab<0,属于中档题. 9．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是（ ）A ．BCD 【答案】B【解析】设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则由题设条件可得,x y 的关系为()()()()12120x x y y --+--=即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可求2c x =+最大值. 【详解】因为a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量， 故可设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =， 则()1,a c x y -=--，()22,12b c x y -=--，因为()()20a c b c -⋅-=，所以()()()()12120x x y y --+--=，整理得到22102x y x y +--=，即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2c x y =+， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的数量积以及向量模长的计算，注意根据问题的特点将向量问题坐标化，从而降低问题的思维难度和计算难度，本题属于中档题.10．在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的体积是（ ）A ．B ．60πC ．D ．48π【答案】A【解析】取AC 的中点P ，连接BP ，PS ，根据线面垂直的判定定理，证明AC ⊥平面BSP ，推出SA ，SB ，SC 两两垂直，将正三棱锥S ABC -补成正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥S ABC -的外接球，设外接球半径为R ，根据题中数据求出半径，再由球的体积公式，即可求出结果. 【详解】取AC 的中点P ，连接BP ，PS ，因为在正三棱锥S ABC -中，底面为正三角形，各棱长都相等， 记AB AC BC ==，SA SB SC ==， 所以BP AC ⊥，SP AC ⊥， 又SPBP P =，BP ⊂平面BSP ，SP ⊂平面BSP ，所以AC ⊥平面BSP ， 因此AC SB ⊥，因为AM MN ⊥，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点， 所以AM SB ⊥， 又AMAC A =，AM ⊂平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，所以SB ⊥平面SAC ， 因此SB SC ⊥，SB SA ⊥，又正三棱锥各侧面三角形都全等，所以SA SC ⊥，即SA ，SB ，SC 两两垂直，将正三棱锥S ABC -补成如图所示的正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥S ABC -的外接球，设外接球半径为R ，又25SA =，所以2222202020215R SA SB SC =++=++=，即15R =， 因此，正三棱锥S ABC -外接球的体积是3420153V R ππ==. 故选：A.【点睛】本题主要考查求几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，以及几何体结构特征即可，属于常考题型.11．设点D 为ABC 的边AB 上一点，点P 为ABC 内一点，且分别满足关系212AD AB λλ+=+，1AP AD BC λλ=++，0λ>，则APD ABCS S 的最大值为（ ）A ．2B ．24C ．22D ．23【答案】B【解析】根据向量关系得到:1DP BC λλ=+，212AD AB λλ+=+，从而得到两个三角形的面积之比，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】1AP AD BC λλ=++，1DP BC λλ∴=+，所以:1DP BC λλ=+，又212AD AB λλ+=+， 所以ADP △的高：ABC 的高21:2AD AB λλ+==+，22112122APD ABCS Sλλλλλλλλ+∴=⨯==++++，0λ>，222λλ∴+≥，当且仅当2λ=.∴当2λ=APD ABCS S取得最大值2. 故选：B. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及利用基本不等式求最值，此题关键是根据要求解的面积之比去化简向量关系，从而得到所需的线段长度的比值，本题属于中档题. 12．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654-B ．65-C ．1314-D ．1312-【答案】C【解析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5x f f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果． 【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数，1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题．二、填空题13．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是__________． 【答案】(π2)rad -【解析】试题分析：设扇形的半径R ，弧长l ，根据题意2R l R π+=，解得2lRπ=-，而圆心角2lRαπ==-.故答案填2π-. 【考点】扇形的弧长、圆心角．14．E F 、分别是三棱锥P ABC -的棱AP BC 、的中点，10,6PC AB ==，7EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为_____.【答案】60︒【解析】根据题意，取AC 中点为M ，连接,ME MF ，通过余弦定理即可容易求得. 【详解】根据题意，取AC 中点为M ，连接,ME MF ，如下图所示：因为,,E M F 分别为,,PA AC BC 中点， 故可得EM //PC ，MF //AB ，故可得EMF ∠即为AB 与PC 所成的角或其补角.在EMF 中，222122EM MF EF cos EMF EM MF +-∠==-⨯.故120EMF ∠=︒，故AB 与PC 所成的角为60︒. 故答案为：60︒. 【点睛】将异面直线的夹角转化为三角形中的角度求解问题，涉及余弦定理解三角形，属基础题. 15．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________. 【答案】23【解析】求出23154a M a a =-++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立），求出M 的最小值即可． 【详解】 解：2ab =，0a >，0b >，2b a∴=， 21111114311411211414541a a M a b a a a a a a a a∴=+=+=+=+-=-++++++++++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立）， 1109N ∴<，1303N--<，23113N -<， 11112M a b ∴=+++的最小值为23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．16．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 【答案】6【解析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值． 【详解】 解：a b >，A B ∴>，31cos()32A B-=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==， 由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴=，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B∴=-+=---⨯-=，可得sin A =，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯+=，∴由余弦定理可得6c =．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．三、解答题17．已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由存在实数x ∈R ，使210x ax -+成立得0∆，得实数a 的取值范围；（2）由对勾函数单调性得1522x x+，得54a ，由已知得p 假q 假，两范围的补集取交集即可． 【详解】解：（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥， 由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、对勾函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式△的关系，考查了推理能力，属于基础题．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos23cos 10C C +-=. （1）求角C 的大小；（2）若3b a =，ABC sin A B ，求c 的值.【答案】（1）13C π=；（2）c =. 【解析】（1）由已知结合二倍角公式可求cos C ，进而可求C ；（2）由已知结合余弦定理可得a ，c 的关系，然后结合正弦定理可求sin A ，sin B ，结合已知及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）cos23cos 10C C +-=，22cos 3cos 20C C ∴+-=，解得，1cos 2C =或cos 2C =-（舍）而()0,C π∈所以13C π=.（2）因为3b a =，由余弦定理可得，2219223a a ca a +-⋅⋅=，整理可得，c =.由正弦定理可得，sin sin c aC A=si n aA=，所以sin 14A =，sin sin 314B A ==，故ABC 128s 2in sin A ab B C ==，2132228a ⨯⨯=，所以217a =，73c a ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的综合应用，属于中档题．19．如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形.4AB BC ==，2CD SD ==.（1）求证：SD AB ⊥；（2）求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】（1）取AB 的中点E ，连接DE ，SE ，通过证明AB ⊥面SDE ，可得SD AB ⊥； （2）作SF DE ⊥，垂足为F ﹐求出点F 到平面的距离d ，则AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为dBE. 【详解】（1）取AB 的中点E ，连接DE ，SE ，因为CD BE =且//CD BE ，所以四边形BCDE 为平行四边形，又BC CD ⊥，所以四边形BCDE 为矩形，所以AB DE ⊥，又三角形SAB 为等边三角形，所以AB SE ⊥，又SE DE E =，所以AB ⊥面SDE ，故SD AB ⊥.（2）由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE ，作SF DE ⊥，垂足为F ﹐则SF ⊥平面ABCD ，所以SF BC ⊥，作FG BC ⊥，垂足为G ，连结SG ， 因为SFFG F =，则BC ⊥平面SFG ，所以平面SBC ⊥平面SFG ，作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC ， 因为三角形SAB 为等边三角形，4AB =，所以3342322SE AB === 因为2,4SD DE ==，所以222SD SE DE +=，所以SD SE ⊥， 所以2233SD SF DE SE ⨯===⨯ 因为2FG DC ==，所以22347SG SF FG =++= 所以322177SF FH SG FG ==⨯=， 即F 到平面SBC 的距离为217，由于//ED BC ，所以//ED 平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d 也为2217， 设AB 与平面SBC 所成的角为α，则221217sin 27d EB α===.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定与性质，考查了平面与平面垂直的判定与性质，考查了求直线与平面所成角，属于中档题.20．某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加、根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示： 年份序号x12 3 4 5 维修费用y （万元） 1.1 1.622.52.8（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y bx a =+. （2）根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车.参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）0.430.71y x =+；（2）预计一般第8年后可以申请报备更换新车. 【解析】（1）根据最小二乘法，先求回归直线的中心，再代入公式求斜率和截距；（2）利用回归直线解不等式，即可得答案； 【详解】 （1）由题可得()11234535x =⨯++++=，()1 1.1 1.62 2.5 2.825y =⨯++++=，511 1.12 1.6324 2.55 2.834.3i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii x==++++=∑，所以，1222134.35320.435553ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，20.4330.71a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.430.71y x =+. （2）由题329280.430.714784343x x x ⇒>=⇒+≥>，所以预计一般第8年后可以申请报备更换新车. 【点睛】本题考查回归直线方程的求解、及回归直线方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题.21．某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表.规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（2）在选取的样本中，从A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率. 【答案】（1）中位数为73.9；（2）914. 【解析】（1）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；（2）由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】解：（1）根据频率分布直方图，所以10.040.10.120.560.01810y ----==由()0.010.018100.28+⨯=，()0.010.0180.056100.840.5++⨯=> 所以中位数位于[)70,80内， 所以中位数为0.50.28701073.90.56-+⨯=；（2）由茎叶图知，A 等级的学生有3人，D 等级的学生有0.1505⨯=人， 记A 等级的学生为A 、B 、C ，D 等级的学生为d 、e 、f 、g 、h ， 从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch 、de 、df 、dg 、dh 、ef 、eg 、eh 、fg 、fh 、gh 共28个；至少有一名是A 等级的基本事件是：概率．AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch 共18个；故所求的概率为1892814P ==． 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于基础题．22．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值. 试题解析： 解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ， ∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆=∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值.。
2019-2020学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖北省黄冈市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．sin10°cos35°+cos10°sin35°＝（）A．B．﹣C．D．2．已知向量＝（x，2），＝（2x+1，3），若＝λ，则x＝（）A．B．﹣2C．1D．23．若等差数列{a n}满足a7+a9＝2，a10＝﹣5，则数列{a n}的首项a1＝（）A．20B．﹣3C．22D．﹣234．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝﹣，a＝8，b＝5，则B＝（）A．B．C．D．5．若直线3x+ay﹣1＝0与直线x﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．﹣3或﹣1B．﹣1C．﹣3D．6．已知点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣1，0）是平面直角坐标系中的定点，直线y＝kx+1与线段AB始终相交，则实数k的取值范围是（）A．[1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1]D．[，1]7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b＝2c，△ABC 的面积为2，则a＝（）A．2B．4C．D．28．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，侧面AA1B1B为菱形，且平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1＝60°，AB＝2BC＝2，则异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥β，m∥β，则m⊥αD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β10．在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点．则有（）A．＝+B．＝2C．＝+D．＝+11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝2，AD＝3，下列选项正确的有（）A．BD⊥A1C1B．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为14πC．三棱锥A1﹣BDC的体积为1D．三棱锥A1﹣BDC1与三棱锥A1﹣ABD的表面积相等12．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝5，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且＝2，当n≥2时，恒有＝（a n﹣2a n﹣1）+（a n+1﹣3a n），则（）A．数列{a n}为等差数列B．＝+C．数列{a n}为等比数列D．a n+1﹣a n＝4n三、填空题（共4小题）.13．直线3x﹣y﹣2＝0的倾斜角为．14．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，a52＝a8，则S3＝．15．已知平面向量＝（1，2），＝（1，x），①若|﹣|＝•，则实数x的值是；②若+2与﹣2的夹角为锐角，则实数x的取值范围是．16．如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则•的最小值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量与向量的夹角为，且||＝1，||＝3，•（﹣）＝0．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）记向量与向量3﹣的夹角为θ，求cos2θ．18．已知函数f（x）＝2sin x+cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）当f（x）＝0时，求的值．19．在△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且＝．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b＝2，＝（+），且||＝1，求△ABC的面积．20．已知直线l1：x+2y﹣4＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0的交点为A，直线l经过点A，点P（1，﹣1）到直线l的距离为2．直线l3与直线l1关于直线l2对称．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l3的方程．21．已知数列{a n}满足a2＝4，a n＝a n﹣1+2（n≥2），已知数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n＝1﹣b n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和．22．在三棱锥D﹣ABC中，底面△ABC为等边三角形，DB⊥DC，且DB＝DC，E为BC 的中点．（Ⅰ）证明：AD⊥BC；（Ⅱ）若平面DBC⊥底面ABC，求AE与平面ADB所成角的正弦值．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．sin10°cos35°+cos10°sin35°＝（）A．B．﹣C．D．【分析】直接利用两角和的正弦化简求值．解：sin10°cos35°+cos10°sin35°＝sin（10°+35°）＝sin45°＝．故选：A．2．已知向量＝（x，2），＝（2x+1，3），若＝λ，则x＝（）A．B．﹣2C．1D．2【分析】利用向量平行的性质直接求解．解：∵向量＝（x，2），＝（2x+1，3），＝λ，∴，解得x＝﹣2．故选：B．3．若等差数列{a n}满足a7+a9＝2，a10＝﹣5，则数列{a n}的首项a1＝（）A．20B．﹣3C．22D．﹣23【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出数列{a n}的首项a1．解：∵等差数列{a n}满足a7+a9＝2，a10＝﹣5，∴，解得a1＝22，d＝﹣3．∴数列{a n}的首项a1＝22．故选：C．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝﹣，a＝8，b＝5，则B＝（）A．B．C．D．【分析】根据同角的三角函数关系和正弦定理，即可求出sin B和B的值．解：△ABC中，cos A＝﹣，所以A∈（，π），所以sin A＝＝；又a＝8，b＝5，由正弦定理得＝，解得sin B＝＝＝，又B∈（0，），所以B＝．故选：B．5．若直线3x+ay﹣1＝0与直线x﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．﹣3或﹣1B．﹣1C．﹣3D．【分析】根据直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．解：∵直线3x+ay﹣1＝0与直线x﹣y+1＝0平行，∴＝≠，求得a＝﹣3，故选：C．6．已知点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣1，0）是平面直角坐标系中的定点，直线y＝kx+1与线段AB始终相交，则实数k的取值范围是（）A．[1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1]D．[，1]【分析】根据题意，分析可得点A、B分别在直线y＝kx+1的两侧或直线上，由一元二次不等式的几何意义可得（﹣2k+3+1）（﹣k+1）≤0，解可得k的取值范围，即可得答案．解：根据题意，直线y＝kx+1与线段AB始终相交，则点A、B分别在直线y＝kx+1的两侧或直线上，则有（﹣2k+3+1）（﹣k+1）≤0，解可得：1≤k≤2，即k的取值范围为[1，2]；故选：A．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b＝2c，△ABC 的面积为2，则a＝（）A．2B．4C．D．2【分析】利用三角形的面积公式求出b，c，然后利用余弦定理求解a即可．解：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b＝2c，△ABC的面积为2，可得2＝bc sin＝，解得c＝2，则b＝4，所以a＝＝＝2．故选：D．8．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，侧面AA1B1B为菱形，且平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1＝60°，AB＝2BC＝2，则异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】取AA1中点D，连结BD，推导出CB⊥平面ABB1A1，BD⊥BB1，以B为原点，BD为x轴，BB1为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线CA1与BC1所成角的余弦值．解：取AA1中点D，连结BD，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，侧面AA1B1B为菱形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1＝60°，AB＝2BC＝2，∴CB⊥平面ABB1A1，BD⊥BB1，以B为原点，BD为x轴，BB1为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，C（0，0，1），A1（，1，0），B（0，0，0），C1（0，2，1），＝（，1，﹣1），＝（0，2，1），设异面直线CA1与BC1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，9．已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥β，m∥β，则m⊥αD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β【分析】由直线与平面垂直的性质判断A；由直线与平面平行及平面与平面平行的定义判断B；由平面与平面垂直、直线与平面平行的定义判断C；由直线与平面垂直、平面与平面平行的定义判断D．解：对于A，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故A正确；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误；对于C，若α⊥β，m∥β，则m∥α或m⊂α或m与α相交，故C错误；对于D，若m⊥α，则m垂直α内的所有直线，又α∥β，则m垂直β内的所有直线，则m⊥β，故D正确．故选：AD．10．在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点．则有（）A．＝+B．＝2C．＝+D．＝+【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可．解：由题意可得，＝＝＝，A正确；由中位线性质可得，AB＝2EF，故，B错误，由题意可得P为三角形的重心，则＝，C正确；D错误．故选：AC．11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝2，AD＝3，下列选项正确的有（）A．BD⊥A1C1B．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为14πC．三棱锥A1﹣BDC的体积为1D．三棱锥A1﹣BDC1与三棱锥A1﹣ABD的表面积相等【分析】根据长方体的性质结合AA1＝1，AB＝2，AD＝3，依次判断各选项即可；解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝2，AD＝3，对于A：根据AB＝2，AD＝3，可知底面不是正方形，所以BD与A1C1不垂直，故A不对；对于B：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的直径2R＝，可得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π，故B正确；对于C：三棱锥A1﹣BDC的体积V＝×S CBD•AA1＝＝1，故C正确；对于D：根据长方体的性质，AA1＝1，AB＝2，AD＝3，三棱锥A1﹣BDC1与三棱锥A1﹣ABD的表面积不相等，故D不对．故选：BC．12．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝5，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且＝2，当n≥2时，恒有＝（a n﹣2a n﹣1）+（a n+1﹣3a n），则（）A．数列{a n}为等差数列B．＝+C．数列{a n}为等比数列D．a n+1﹣a n＝4n【分析】由题意根据平面向量的线性运算可得，进而判断B选项，再结合B，E，D三点共线，可得到a n+1＝5a n﹣4a n﹣1，进而求出数列{a n}的通项公式，从而判断ACD的正误．解：对角线AC与BD交于点E，且＝2，作图如下，，，，故B正确；∵B，E，D三点共线，则有，∴，于是，⇒a n+1＝5a n﹣4a n﹣1，对于求数列{a n}的通项公式下面写两种解法：解法1：所以a n+1﹣a n＝4（a n﹣a n﹣1），故数列{a n+1﹣a n}是以a2﹣a1＝4为首项，以4为公比的等比数列，即，于是有a n﹣a1＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）＝4n﹣1+4n﹣2+…+42+41＝＝，于是，解法2：由特征根知：x2＝5x﹣4⇒x2﹣5x+4＝0，∴，∵a1＝1，a2＝5，∴，，∴，根据等差数列等比数列的定义可知，A，B错误；a n+1﹣a n＝，故D正确；故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡上，13．直线3x﹣y﹣2＝0的倾斜角为．【分析】根据题意，设直线3x﹣y﹣2＝0的倾斜角为θ，求出直线的斜率，则有tanθ＝，进而分析可得答案．解：根据题意，设直线3x﹣y﹣2＝0的倾斜角为θ，直线的斜率k＝，则有tanθ＝，又由0≤θ＜π，则θ＝；故答案为：14．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，a52＝a8，则S3＝．【分析】利用等比数列{a n}的前n项和通项公式求出q＝，由此能求出S3．解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，a52＝a8，∴（4q4）2＝4q7，解得q＝，∴S3＝＝．故答案为：．15．已知平面向量＝（1，2），＝（1，x），①若|﹣|＝•，则实数x的值是；②若+2与﹣2的夹角为锐角，则实数x的取值范围是．【分析】可以求出，然后根据，从而可得出|2﹣x|＝1+2x，解出x即可；根据与的夹角为锐角即可得出，然后解出x的范围即可．解：，∵，∴|2﹣x|＝1+2x，∴（2﹣x）2＝（1+2x）2，整理得，3x2+8x﹣3＝0，解得x＝﹣3或，∵x＝﹣3时，1+2x＝﹣5＜0，∴x＝﹣3应舍去，∴；，∵与的夹角为锐角，∴，且与不共线，∴，解得，∴x的取值范围是．故答案为：．16．如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则•的最小值是﹣2．【分析】因为等于在上的投影与之积，又当A运动到A1时，在上的投影最小，于是有，设CP＝x，则可以把表示成关于x的函数，再根据二次函数图象与性质求出最小值即可．解：如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点为D，其中∠A1DB ＝90°，由数量积的几何意义，等于在上的投影与之积，当点A运动到A1时，在上的投影最小，于是有，设BC中点P，连接MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形设CP＝x，则CD＝2﹣x，CB＝2x，于是，所以当x＝1时，最小，最小值为﹣2．故答案为：﹣2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知向量与向量的夹角为，且||＝1，||＝3，•（﹣）＝0．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）记向量与向量3﹣的夹角为θ，求cos2θ．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积列出方程，转化求λ的值；（Ⅱ）记向量与向量3﹣的夹角为θ，利用是数量积公式，求出角的余弦函数值，然后利用二倍角公式求cos2θ．解：（Ⅰ）向量与向量的夹角为，且||＝1，||＝3，•（﹣）＝0，可得：＝0，所以1﹣3×1××λ＝0，所以λ＝；（Ⅱ）记向量与向量3﹣的夹角为θ，cosθ＝＝＝＝＝．所以cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×﹣1＝﹣．18．已知函数f（x）＝2sin x+cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）当f（x）＝0时，求的值．【分析】（Ⅰ）把已知函数解析式利用辅助角公式化积，则函数的值域可求；（Ⅱ）由f（x）＝0求得tan x，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解的值．解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x+cos x＝＝，tan，∴函数f（x）的值域为[﹣，]；（Ⅱ）由f（x）＝2sin x+cos x＝0，得tan x＝﹣．则＝＝．19．在△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且＝．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b＝2，＝（+），且||＝1，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理，即可求得cos A和A的值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积求得c的值，再计算△ABC的面积．解：（Ⅰ）△ABC中，＝，由正弦定理得＝，化简得b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理得cos A＝＝＝﹣；又A∈（0，π），所以A＝；（Ⅱ）由b＝2，＝（+），且||＝1，所以4＝+2•+，即4＝c2+2cb cos A+b2，整理得c2﹣2c＝0，解得c＝2；所以△ABC的面积为S△ABC＝bc sin A＝×2×2×＝．20．已知直线l1：x+2y﹣4＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0的交点为A，直线l经过点A，点P（1，﹣1）到直线l的距离为2．直线l3与直线l1关于直线l2对称．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l3的方程．【分析】（Ⅰ）联立l1与l2的方程，解得A坐标（2，1），分两种情况斜率存在与不存在，分析点P到直线l的距离是否能为2，进而写出直线的方程．（Ⅱ）取直线l1上的点B（4，0），设点B关于直线l2的对称点为B0（x0，y0），由对称性可得BB0⊥l2，点B与点B0的中点为C，则C（，）∈l2，解得B0（1，3），再由两点式方程可知直线l3的方程．解：（Ⅰ）由，解得，所以A（2，1）∈l，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，此时点P（1，﹣1）到直线l的距离d＝1≠2，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣2），则点P（1，﹣1）到直线l的距离为d＝＝2，解得k＝0或k＝﹣，故直线l的方程为y＝1，或4x+3y﹣11＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点A（2，1），由4+2×0﹣4＝0，得点B（4，0）∈l1，设点B关于直线l2的对称点为B0（x0，y0），则B0（x0，y0）∈l1且BB0⊥l2，设点B与点B0的中点为C，则C（，）∈l2，故，解得，所以B0（1，3），由A∈l3，B∈l3，由两点式方程可知直线l3的方程为：，化简得2x+y﹣5＝0．21．已知数列{a n}满足a2＝4，a n＝a n﹣1+2（n≥2），已知数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n＝1﹣b n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．解：（Ⅰ）数列{a n}满足a2＝4，a n＝a n﹣1+2（n≥2），所以a n﹣a n﹣1＝2（常数），当n＝2时，解得a1＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列．所以a n＝2n．数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n＝1﹣b n①当n＝1时，解得．当n≥2时，S n﹣1＝1﹣b n﹣1②①﹣②得b n＝b n﹣1﹣b n，整理得（常数），所以数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列．所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以③，④，③﹣④得：，整理得．22．在三棱锥D﹣ABC中，底面△ABC为等边三角形，DB⊥DC，且DB＝DC，E为BC 的中点．（Ⅰ）证明：AD⊥BC；（Ⅱ）若平面DBC⊥底面ABC，求AE与平面ADB所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知可得DE⊥BC，AE⊥BC，由直线与平面垂直的判定，可得BC⊥平面AED，从而得到AD⊥BC；（Ⅱ）设AE与平面ADB所成角为θ，点E到平面ADB的距离为h，设AB＝2，由已知求得AE，再由V E﹣ADB＝V D﹣AEB求得h，则AE与平面ADB所成角的正弦值可求．解：（Ⅰ）证明：连接DE，∵DB＝DC，且E为BC的中点，∴DE⊥BC，又△ABC为等边三角形，∴AE⊥BC．∵DE∩AE＝E，∴BC⊥平面AED，则AD⊥BC．（Ⅱ）解：设AB＝2，∵DB⊥DC，且DB＝DC，∴DB＝DC＝，，DE＝1．∵DE⊥BC，平面BDC⊥平面ABC，且平面BDC∩平面ABC＝BC，∴DE⊥平面ABC，得DE⊥AE，在Rt△AED中，∵，DE＝1，∴．设AE与平面ADB所成角为θ，点E到平面ADB的距离为h，则sinθ＝．由V E﹣ADB＝V D﹣AEB，得，∵，由AD＝AB＝2，DB＝，得．则h＝．∴sin．。
湖北省2019-2020学年高一下学期期末联考数学答案
sin d 21 .…………………………12 分 EB 7
20.（1）由题可得 x 1 (1 2 3 4 5) 3 ， y 1 (1.11.6 2 2.5 2.8) 2 ，……2 分
2020
2020
2020
2020
4
二、填空题
13． π 2 14. (或600 ) 15. 2 16. 6
3
3
16．如右图，在 ABC 中，过顶点 C 作底边 AB 的垂线交 AB 于 D.由于 a 5 b 4 ,故作顶点 A 关于高线 CD 的对称点A1 ，则A1 落在线段
BD
内.由图可以知道 BCA1
1， 4
且 f ( 4) 1 f (1) 1 , （f 4 ） 1 （f 4） 1 ，
5
5 2 25 2 5 4
1 ＜ 190 ＜ 320 4 ， 25 2020 2020 25
∵对任意的 x1，x2∈[-1，1]，均有（x2-x1）（f（x2）-f（x1））≥0 （f 190 ） 1 ， 2020 4
2 ab
11.试题分析：
AP
AD
1
BC
, DP
1
BC
,所以
DP :
BC
1
，又
AD
2
1 2
AB
,所以 ADP
的高： ABC
的高
AD
:
AB
2
1 2
SAPD SABC
1
2
1 2
2 2
1 2
, 0,
2 2
2 ,当且仅当
2 ，取等号.∴当
2
时，
SAPD SABC
5 4
7
；另一直角边
湖北省部分省重点中学2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题解析版
π A． (0, )
4
ππ B． ( , )
42
ππ C． ( , )
43
D．（ ， ）
【答案】D
【 解 答 】 解 ： ∵ b=2 c2 + ac ∴ co= s B a2 + c2 −= b2 a2 −= ac a= − c sin A − sin C ，
2ac
2ac 2C
2sin C
2sin C co= s B sin A − sin C ，所以 sin B cos C − sin C cos B = sin C
23
12．在△ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，O 为△ABC 的外心，且有 AB+BC＝ AC，
3
sinC（cosA﹣ 3 ）+cosCsinA＝0，若 AO = xAB + yAC, x, y ∈ R ，则 x﹣y＝（ ）
A．﹣2
B．2
C．
D．
【答案】A
【解答】解：设三角形的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
A． 6a
B． 6 a 2
C． ( 3 +1)a
D． 3a
【答案】B 【解答】解：由图形知，在⊿ACD 中， ∠ACD=900，∠ADC=450，所以 AC=a，在⊿BCD 中，∠BCD=300，
∠CDB=1050，所以∠CBD=450，由正弦定理得
BC sin1050
=
sina45= 0 ，所以 BC
2
3x + 3 x + 2y 2 2
3) − 3 = 1 + 22
3
，所以
2x
+
y
的最小值为
湖北省2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题
2020年7月湖北省高一年级统一联合测试数学试题本试题卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★预祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷纸和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，已知集合{}39A x x x =<≥或，集合{}B x x a =≥．若()UA B ≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a ≤C ．9a <D ．9a ≤2．已知复数z 满足()1i 4z +=（i 为虚数单位），则复数z （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知()1sin 3πα+=，则3sin 22πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．D 4．有四个幂函数：①()2f x x -=；②()1f x x -=；③()3f x x =；④()13f x x =．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{},0y R y y ∈≠且；（3）在(),0-∞上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．④ B ．③ C ．② D ．①5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，但劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，但劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ） A ．16 B ．15 C ．14 D ．136．设锐角ABC 的三个内角分别为角A 、B 、C ，那么“2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量在50~100毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量在30~50毫克．现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的极差为32B ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数C ．猕猴桃的方差小于柚子的方差D ．柚子的中位数为121 8．设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ） A ．()423ab a b ab >+>B ．()234ab a b ab >+> C ．()234ab a b ab <+<D ．()423ab a b ab <+<9．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是（ ）A B ．2 C ．2 D ．510．在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的体积是（ ）A ． B.60π C ． D ．48π11．设点D 为ABC 的边AB 上一点，点P 为ABC 内一点，且分别满足关系212AD AB λλ+=+，1AP AD BC λλ=++，0λ>，则APD ABCS S的最大值为（ ）A． B．4 C．2 D．312．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+．且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654-B ．65-C ．1314-D ．1312-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是________弧度．14．如图，E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点，10PC =，6AB =，7EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为________．15．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________． 16．在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知命题:p 存在实数x R ∈，使210x ax -+≤成立． （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立．如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos23cos 10C C +-=． （1）求角C 的大小；（2）若3b a =，ABCsin A B ，求c 的值． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面S AB 为等边三角形．4AB BC ==，2CD SD ==．（1）求证：AB SD ⊥；（2）求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值． 20．（本小题满分12分）某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加、根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示：（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y bx a =+．（2）根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车．参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．21．（本小题满分12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（2）在选取的样本中，从A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率．22．（本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，3DE =，1AF =（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将多面体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置：若不存在，请说明理由．湖北省2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题参考答案一、填空题．二、填空题 13．2π- 14．3π（或60︒) 15．23 16．6三、解答题17．（1）:p 存在实数x R ∈，使210x ax +≤-成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞.（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥，由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．（1）cos23cos 10C C +-=，22cos 3cos 20C C ∴+-=，解得，cos 12C =或cos 2C =-（舍）而()0,C π∈所以3C π=．（2）因为3b a =，由余弦定理可得，2219223a a c aa +-⋅⋅=，整理可得，c =．由正弦定理可得，sin sin c aC A =si 2n a A=，所以in s A =，sin sin 3B A ==，故ABC 的面积为128s 2in sin A ab B C ==，2132a ⨯=，所以7a =，c ==19．（1）取AB 的中点E ，连接DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，那么AB DE ⊥，而又三角形SAB 为等边三角形，所以AB SE ⊥，且SEDE E =，所以AB ⊥面SDE ，故AB SD ⊥.（2）由AB ⊥平面S DE 知，平面ABCD ⊥平面SDE ，作SF DE ⊥，垂足为F ﹐则SF ⊥平面ABCD，SESD SF DE==⨯FG BC ⊥，垂足为G ，则2FG DC ==． 连结SG ，则SG BC ⊥，又BC FG ⊥，SG FG G =，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC，7FG SF FH SG ==⨯，即F 到平面SBC的距离为7， 由于//ED BC ，所以//ED 平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d也为7，设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin 7d EB α==． 20．（1）由题可得()11234535x =⨯++++=，()11.1 1.622.5 2.825y =⨯++++=， 511 1.12 1.6324 2.55 2.834.3i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555i i x ==++++=∑，所以1222134.35320.435553ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，20.4330.71a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为0.430.71y x =+．（2）由题329280.430.714784343x x x ⇒>=⇒+≥>，所以预计一般第8年后可以申请报备更换新车． 21．（1）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为0.22701073.90.56+⨯=.（2）由茎叶图知，A 等级的学生有3人，D 等级的学生有0.1505⨯=人， 记A 等级的学生为A 、B 、C 、D 等级的学生为d 、e 、f 、g 、h ，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、A h 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、CF 、Cg 、Ch 、de 、df 、dg 、dh 、ef 、eg 、eh 、fg 、fh 、gh ，共28个； 至少有一名是A 等级的基本事件是：AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch ，共18个； 故所求的概率为1892814P ==． 22．（1）证明：DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，//DE AF ∴，//AF ∴平面DCE ，ABCD 是正方形，//AB CD ，//AB ∴平面DCE ，AB AF A =，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）解：假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接BG ，BM ， 由()()()1333311213332322ABCDEF B ADEF B CDEV V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=. 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=. 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，即32h t =， 则2133224EGMt St t ⨯=⨯=，21113933332344GFBME B EFG B EGM V V V t t --=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯， 即2230t t +-=解得1t =，或3t =-（舍），则存在点G ，满足1EG =，即G 为ED 的一个靠近E 点的三等分点时满足条件．。
2019-2020学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试题一、单选题1．sin10cos35cos10sin 35+=（ ）A ．2B ．2-C ．2D ．12【答案】A【解析】利用两角和的正弦公式得解. 【详解】2sin10cos35cos10sin 35sin(1035)sin 45+=+==故选：A 【点睛】本题考查两角和的正弦公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，属于基础题.2．已知向量()2a x =，，()213b x =+，，若a b λ=，则x =（ ）A ．12B ．2-C ．1D ．2【答案】B【解析】a b λ=等价于//a b ，利用向量共线坐标公式计算即可． 【详解】//21223x x a b a b x λ+=⇒⇒=⇒=- 故选：B 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．3．若等差数列{}n a 满足792a a +=，105a =-，则数列{}n a 的首项1a =（ ） A ．20 B ．-3C ．22D ．-23【答案】C【解析】利用等差中项得到8a ，然后由108=2a a d -得到公差，再利用通项公式求得首项. 【详解】10879881822137222a a a a a a d a a d -+==⇒=⇒==-=-=，. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和性质.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 5A =-，8a =，5b =，则B =（ ） A ．4π B ． 6πC ．3π D ．56π 【答案】B【解析】由cos 0A <得A 为钝角，B 只能为锐角，由正弦定理可得． 【详解】 解：因为3cos 5A =-，所以A 为钝角，4sin 5A =，B 为锐角．由sin sin a b A B =得45sin 15sin 82b A B a ⨯===，所以6B π=． 故选：B ． 【点睛】本题考查正弦定理，在用正弦定理求角时需确定角的范围，确定解的个数． 5．若直线310x ay +-=与直线10x y -+=平行，则a =（ ） A ．-3或-1 B ．-1C ．-3D ．32【答案】C【解析】根据两直线平行，得到31111a -=≠-，即可求解. 【详解】由题意，直线310x ay +-=与直线10x y -+=平行，则31111a -=≠-，解答3a =-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置的判定及应用，其中解答中熟记两直线平行的条件是解答的关键，着重考查运算能力.6．已知点A ()23--，和点B ()10-，是平面直角坐标系中的定点，直线1y kx =+与线段AB 始终相交，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1，2]B ．[-2，1]C ．[-2，-1]D ．[12，1] 【答案】A【解析】先得到直线1y kx =+过定点(0,1)N ，根据斜率公式求得,NA NB k k ，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，直线1y kx =+过定点(0,1)N ， 又由31012,12010NA NB k k ---====----,要使得直线1y kx =+与线段AB 始终相交， 结合图象，可得实数k 的取值范围是[]1,2. 故选：A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，根据直线与线段有交点求参数的取值范围问题，其中解答中熟记直线的斜率公式，结合图象求解是解答的关键，属于基础题. 7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A =6π，b =23c ，ABC 的面积为3a =（ ） A ．3B ．4C 14D ．7【答案】D【解析】利用三角形的面积公式列方程，由此求得,b c ，利用余弦定理求得a . 【详解】 依题意11sin 238324ABCSbc A bc bc ===⇒=， 因为23b c =，所以223832,3bc c c b ==⇒==由余弦定理得2232cos4842432272a b c bc A=+-=+-⨯⨯⨯=.故选：D【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，属于基础题.8．如图，在三棱柱ABC-111A B C中，侧面BB1C1C为矩形，侧面AA1B1B为菱形，且平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1=600，AB=2BC=2，则异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为（）A．13B．19C．25D．15【答案】D【解析】分别取BC、CC1、CA1、A1B1的中点E、F、G、H，连EF、FG、GH、BH，可证得EFG是异面直线CA1与BC1所成角或补角，再用余弦定理可求解．【详解】解：如图，分别取BC、CC1、CA1、A1B1的中点E、F、G、H，连EF、FG、GH、BH，则EF∥BC1，FG∥CA1，EG//BH，易得EF=1152BC=FG=1152CA=3EG BH==在△EFG中，22255314452524EF FG EGcos EFGEF FG∠+-+-===-⋅⨯，所以由等角定理知，异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为15.故选：D．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，求异面直线所成的角，可根据定义作出异面直线所成的角，然后证明所作图形为异面直线所成的角，最后解三角形．二、多选题9．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（ ） A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n B ．若//m α，m ∥β，则//αβ C ．若,//m αββ⊥，则m α⊥ D ．若//,m αβα⊥，则m β⊥【答案】AD【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A 正确； 若l αβ=，当//m α，m ∥β时，平面α与β不一定平行，所以B 不正确；由,//m αββ⊥，则m 可能在平面α内，所以C 不正确；由两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以D 也是正确的. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，属于基础题.10．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+【答案】AC【解析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误.故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.11．在长方体1111ABCD A B C D -中AA 1=1，AB =2，AD =3，下列选项正确的有（ ） A ．11BD A C ⊥ B ．长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为14πC ．三棱锥A 1-BDC 的体积为1D ．三棱锥A 1-BDC 1与三棱锥A 1-ABD 的表面积相等 【答案】BC【解析】由11//A C BD 判断A ，由长方体的对角线是外接球的直径可判断B ，根据体积公式计算三棱锥的体积判断C ，计算出三棱锥A 1-BDC 1与三棱锥A 1-ABD 的表面积，可判断D ． 【详解】解：显然AC 不垂直于BD ，11//A C BD ，所以11BD A C ⊥不成立，A 错误；易得长方体外接球半径r 所以外接球表面积=2414r ππ=，故B 正确；1A BDC V -=11113211332BDC S AA ⎛⎫⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，所以C 正确； 显然11113113211222B BC AA B S S =⨯⨯==⨯⨯=△△，，111B BC AA B S S >△△，又1BDC BDC BDA S S S >=△△△，同理11111A DC A DD A DA S S S >=△△△，所以三棱锥A 1-BDC 1的表面积大于三菱锥A 1-ABD 的表面积，故D 错误. 故选：BC ．【点睛】本题考查长方体的性质，考查直线垂直的判断，长方体的外接球，三棱锥的体积与表面积等知识，掌握长方体中的线面位置关系是解题关键．12．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【解析】证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确. 【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =， 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t -+=-+-， 所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=，所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误； 因为2a -1a =4，114n nn n a a a a +--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题13．直线320--=x 的倾斜角为_________. 【答案】3π 【解析】根据题意，设直线320--=x 的倾斜角为θ，求出直线的斜率，则有tan θ=【详解】根据题意，设直线320-=x 的倾斜角为θ，直线的斜率k =则有tan θ=，又由0θπ<，则3πθ=；故答案为：3π 【点睛】本题考查直线的倾斜角，注意直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，258a a =，则3S =_______.【答案】214【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据258a a =，求得q ，再结合求和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为258a a =，所以()24744q q =，所以14q =， 又由14a =，所以3123214s a a a =++=. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查运算能力.15．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.【答案】2-【解析】延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，结合数量积的几何意义可得点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小，设CP x =，将结果表示为关于x 的二次函数，求出最值即可. 【详解】 如图，延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，由数量积的几何意义，CA CB ⋅等于CA 在CB 上的投影与CB 之积，当点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小； 设BC 中点P ，连MP ，MA 1，则四边形MPDA 1为矩形； 设CP =x ，则CD =2-x ，CB =2x ，CA CB ⋅=()()222224212x x x x x --⋅=-=--，[]02x ∈，， 所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.四、双空题16．已知平面向量12()a ，=，(1)b x =，.①若a b a b -=⋅，则实数x 的值是_____；②若2a b +与2a b -的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是_____. 【答案】1311()22-，【解析】①由向量坐标运算得()02a b x -=-，，再利用向量模长及数量积坐标运算得解.②因为2a b +与2a b -的夹角为锐角，得到(2)(2)0a b a b +->,列不等式得解. 【详解】 ①()12a =，，(1)b x =，()022a b x a b x ∴-=--=-，，，12a b x ⋅=+， 212a b a b x x -=⋅∴-=+，，13x ∴=②因为2a b +与2a b -的夹角为锐角， 所以(2)(2)0a b a b +->, 2240a b ∴-> 22541x >+（）, 1122x ∴-<< 故答案为：13；11()22-，【点睛】本题考查向量坐标运算、向量模长、数量积坐标运算及夹角公式，属于基础题.五、解答题17．已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）23λ=；（2）12-. 【解析】（1）先建立方程131cos03πλ-⨯⨯⨯=，再求解出23λ=即可. （2）先求出()332n n m ⋅-=，再求出33n m -=，接着求出1cos 2θ=，最后求cos2θ. 【详解】解：（1）由()2131cos03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求参数、平面向量的夹角公式、差向量的模的求法、二倍角的余弦公式，是中档题. 18．已知函数()2sin cos f x x x =+. （1）求函数()f x 的值域；（2）当()0f x =时，求22sin sin 2cos 21xx x -+的值.【答案】（1）⎡⎣；（2）1-. 【解析】（1）由辅助角公式化简可求值域； （2）由()0f x =可得1tan 2x =-，根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】（1）因为()()12sin cos tan 2f x x x x φφ=+=+=，，所以函数()f x 的值域为⎡⎣.（2）()2sin cos 0f x x x =+=， 所以1tan 2x =-， 所以2222sin 2sin sin tan 1sin 2cos 212sin cos 2sin cos sin 1tan x x x xx x x x x x x x====--++++， 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题.19．在△ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin sin sin sin B C a bA B c+-=+.（1）求A ；（2）若2b = ，1()2AD AB AC =+，且1AD =，求△ABC 的面积.【答案】（1）23A π=；（2【解析】（1）正弦定理齐次式化角为边，再利用余弦定理得解.（2）由1()2AD AB AC =+；两边平方得2221(2)4AD AB AB AC AC =+⋅+,代值化简得2c =，从而求得面积. 【详解】 （1）222222sin sin sin sin B C b c a ba b c bc c b a b a cc A B b ++-==⇒-=+⇒+-=-++所以2221cos 22C b a A bC +-==-，0A π<< 所以23A π=（2）1()2AD AB AC =+ 2221(2)4AD AB AB AC AC =+⋅+∴,1AD = 22111(22()2)42c c ∴=+⨯⨯⨯-+,所以2c=；11sin 2222ABC S bc A ∆==⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式及向量模长公式，属于基础题.20．已知直线1240l x y +-=：与直线210l x y --=：的交点为A ，直线l 经过点A ，点P (1，1-)到直线l 的距离为2，直线3l 与直线1l 关于直线2l 对称. （1）求直线l 的方程； （2）求直线3l 的方程.【答案】（1）1y =或43110x y +-=；（2）250x y +-=.【解析】（1）利用过两直线交点的直线系方程求解，即设过点A 的直线l ：()2410x y x y λ+-+--=，由点到直线距离公式求得参数λ，得直线方程；（2）设直线3l 上任一点(,)M x y 关于直线2l 对称的点为N ()x y ''，，则2MN l l ⊥，MN 连线中点在2l 上，且N 在1l 上，用,x y 表示出,x y ''，()x y ''，代入1l 方程即得3l 方程． 【详解】 解：（1）设过点A 的直线l ：()2410x y x y λ+-+--=，即()()1240x y λλλ++---=.点P 到直线l 距离2d ===解得517λ=-或，分别代入直线l 方程中，所以直线143110l y x y =+-=：或（2）设直线3l 上任一点(,)M x y 关于直线2l 对称的点为N ()x y ''，，则2MN l l ⊥，MN连线中点在2l 上，且N 在1l 上.所以11022y y x x x x y y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--='''⎩'⎪解得11x y y x =+⎧⎨=-''⎩，点N （11y x +-，）代入直线1l ：240x y +-=中，得()12140y x ++--=，整理得250x y +-=，即为所求直线3l 的方程. 【点睛】本题考查求直线方程，考查过两直线交点的直线系方程．过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（不含直线2l ），与1l 平行的直线系方程为110A x B y m ++=，与1l 垂直的直线系方程为110B x A y m -+=．21．已知数列{}n a 满足24a =，12n n a a -=+（n ≥2），已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足1n n S b =-.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n =；12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()11422n n -⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由12n n a a -=+（n ≥2）得数列{}n a 是公差为2的等差数列；由1n n S b =-得-1-11n n S b =-，两式作差得1n n n b S S -=-（n ≥2），化简得112n n b b -=，知{}n b 是公比为12的等比数列； （2）12·2n nn a b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出． 【详解】（1）在数列{}n a 满足12n n a a -=+（n ≥2），所以1-=2n n a a -（n ≥2），且24a =，所以12+2a a =，即1=2a ， 所以数列{}n a 是以2为首项，以公差为2的等差数列，即()2+212n a n n =-=；已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足1n n S b =-. 当n =1时，111112b b b =-=，， 当n ≥2时，()()1111112n n n n n n n b b S S b b b ---=-=---⇒=， 所以数列{}n b 是以12为首项，以公比为12的等比数列， 即1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=. 综上：2n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）在数列{}n n a b 中，由（1）得111222n n n n a b n n -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设{}n n a b ⋅的前n 项和为T n ，211111123()()222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①,23111111112()3()(1)()()222222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯②,由①-②得2111111122222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()111122212212nn nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()11422n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用等差数列的定义求通项公式，等比数列的前n 项和公式求通项公式、“错位相减法”求数列的和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．在三棱锥D -ABC 中，底面ABC 为等边三角形，DB ⊥DC ，且DB =DC ，E 为BC 的中点.（1）证明：AD ⊥BC ；（2）若平面DBC ⊥底面ABC ，求AE 与平面ADB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）77. 【解析】（1）通过证明,DE BC AE BC ⊥⊥，证得BC ⊥平面ADE ，由此证得AD BC ⊥.（2）作出直线AE 与平面ADB 所成的角，解直角三角形求得该线面角的正弦值. 【详解】（1）连接DE ，因为DB =DC ，E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ； 又因为ABC 为等边三角形，所以AE ⊥BC ；而DE AE =E ；所以BC ⊥平面ADE ，所以AD ⊥BC.（2）取BD 中点F ，连EF ，AF ，则EF ∥CD ，因为DB ⊥DC ，所以EF ⊥DB ；因为平面DBC ⊥底面ABC ，平面DBC 底面ABC =BC ，AE ⊂平面ABC ，AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面DBC ，所以AE ⊥DB ；而AE EF =E ；所以DB ⊥平面AEF .所以AF ⊥DB 令底面等边ABC 边长为a ，则AE 3；又BCD为等腰直角三角形，所以1sin4524EF a a=⋅︒=；而AF===；显然有222AE EF AF+=，所以AEF为直角三角形，EF⊥AE，∠EAF为AE与平面ADB所成角；所以EFsin EAFAF∠===.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，属于中档题.。
湖北省名校2019-2020学年高一下期末教学质量检测数学试题含解析
湖北省名校2019-2020学年高一下期末教学质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．设12log 3a =,0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,132c =,则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】根据与特殊点的比较可得因为1230a log =<,01b <<,1c >,从而得到c b a >>,得出答案.【详解】 解:因为11223log 10a log =<=,0.2110331b <=⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1133212c =>=,所以c b a >>. 故选:B 【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题,要熟记一些特殊点,如1a log a =,log 10a =,01a =.3．圆22(3)(2)4x y -++=与圆22(7)(1)36x y -+-=的位置关系是( ) A ．相切 B ．内含C ．相离D ．相交【答案】D 【解析】 【分析】写出两圆的圆心，根据两点间距离公式求得两圆心的距离||AB ，发现R r |AB|R r -<<+，所以两圆相交。
比较三者之间大小 R r,|AB|,R r -+判断位置关系。
【详解】两圆的圆心分别为：(3,2)A -，(7,1)B ， 半径分别为：2r，6R =，两圆心距为：||5AB ==R r |AB|R r -<<+，所以，两圆相交，选D 。
2020-2021学年湖北省黄冈市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（3+i）＝2﹣i，则下列说法正确的是（）A．复数z的模为B．复数z的共轭复数为C．复数z的虚部为D．复数z在复平面内对应的点在第二象限2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝45°，则cos B＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．α∩γ＝n，β∩γ＝m，n∥m B．α⊥γ，β⊥γC．n∥m，n⊥α，m⊥βD．n∥α，m∥β，n∥m4．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）A．2B．4C．D．5．一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．如图，正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝20°，侧棱长为2，过点C的平面与侧棱AB、AD相交于B1、D1，则△CB1D1的周长的最小值为（）A．B．C．4D．27．如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D是BC的中点，，则＝（）A．B．C．D．8．欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点．其中第Ⅰ命题47是著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），书中给出了一种证明思路：如图，Rt △ABC中，∠BAC＝90°，四边形ABHL、ACFG、BCDE都是正方形，AN⊥DE于点N，交BC于点M．先证明△ABE与△HBC全等，继而得到矩形BENM与正方形ABHL面积相等；同理可得到矩形CDNM与正方形ACFG面积相等；进一步推理得证．在该图中，若，则sin∠BEA＝（）A．B．C．D．二、多项选择题．本大题共4个小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．＝（0，2），＝（，0）B．＝（0，0），＝（1，﹣2）C．＝（1，3），＝（﹣2，﹣6）D．＝（3，5），＝（5，3）10．下列关于复数z的四个命题中假命题为（）A．若，则z为纯虚数B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若|z﹣i|＝1，则|z|的最大值为2D．若z3﹣1＝0，则z＝111．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB上的动点，则下列结论正确的是（）A．BC⊥AC1B．当D为AB的中点时，平面CDB1⊥平面AA1B1BC．当D为AB中点时，AC1∥平面CDB1D．三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（）A．c＝a cos B+b cos AB．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形C．若a2tan B＝b2tan A，则a＝bD．若a3+b3＝c3，则△ABC为锐角三角形三、填空题(本题共4个小题,每题5分,共20分)13．一个口袋中装有2个红球，3个绿球，采用不放回的方式从中依次取出2个球，则第一次取到绿球第二次取到红球的概率为．14．在△ABC中，D是BC的中点，AB＝1，AC＝2，AD＝，则△ABC的面积为．15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点，直线B1O与平面ACD1所成角的正弦值为．16．如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，O是梯形ABCD的外接圆的圆心，M是边BC上的中点，则的值为．三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤．17．复数z满足|z|＝，z2为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限．（1）求复数z；（2）复数z，，z2所对应的向量为，，，已知（λ+）⊥（λ+），求λ的值．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求角A；（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．黄冈市一中学高一年级统计学生本学期20次数学周测成绩（满分150），抽取了甲乙两位同学的20次成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150（1）根据以上记录数据求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？（2）将同学乙的成绩分成[100，110），[120，130）[130，140）[140，150），完成下列频率分布表，并画出频率分布直方图；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意取出2个成绩，求取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率．分组频数频率[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]合计20120．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD且BC＝2AD，平面PAC⊥平面ABCD，PA＝PC，PA⊥AB．（1）证明：AB⊥PC；（2）若PA⊥PC，PB＝2PC＝4，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．如图，四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD⊥CD，设∠ACD＝θ．（1）若△ABC面积是△ACD面积的4倍，求sin2θ；（2）若tan∠ADB＝，求tanθ．22．如图①梯形ABCD中AD∥BC，AB＝，BC＝1，，BE⊥AD且BE＝1，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面ABE⊥平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且AP＝2PB，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．（1）证明：Q是的中点；（2）证明：AD⊥平面BEQ；（3）M是AB上一点，已知二面角M﹣EC﹣B为45°，求的值．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（3+i）＝2﹣i，则下列说法正确的是（）A．复数z的模为B．复数z的共轭复数为C．复数z的虚部为D．复数z在复平面内对应的点在第二象限【分析】直接利用复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义的应用判断A、B、C、D的结论．解：复数z满足z（3+i）＝2﹣i，整理得：，对于A：，故A正确；对于B：复数z的共轭复数为，故B错误；对于C：复数z的虚部为，故C错误；对于D：复数z在复平面内对应的点在第四象限，故D错误．故选：A．2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝45°，则cos B＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据正弦定理可得：sin B＝＝，由a＝15＞b＝10，由大边对大角可得：0＜B＜A＝45°，故可求cos B的值．解：根据正弦定理可得：sin B＝＝＝，∵a＝15＞b＝10，∴由大边对大角可得：0＜B＜A＝45°，∴cos B＝＝．故选：C．3．不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．α∩γ＝n，β∩γ＝m，n∥m B．α⊥γ，β⊥γC．n∥m，n⊥α，m⊥βD．n∥α，m∥β，n∥m【分析】利用平面平行的判定定理，对四个选项分别进行判断，能够得到正确答案．解：由不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，知：若α∩γ＝n，β∩γ＝m，n∥m，则α与β相交或平行，故A不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B不正确；若n∥m，n⊥α，m⊥β，则由平面平行的判定定理知α∥β，故C正确；若n∥α，m∥β，n∥m，则α与β相交或平行，故D不正确．故选：C．4．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）A．2B．4C．D．【分析】利用体积公式求出圆锥底面圆半径r与高h的关系，再通过球与圆锥相切，利用等面积法列出r与h的另一组关系，通过解方程组求解．解：如图，圆锥的轴截面为等腰△SAB，且内切圆为球的大圆．设圆锥底面圆周的半径为r，高为h，球的半径为R，R＝1．则由条件有，整理得r2h＝8①在△SAB中，，所以②，联立①②，解得．故选：B．5．一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，可得两个正方体朝上的面颜色相同的概率，再求其对立事件的概率，即可求解．解：第一个正方体出现红色，绿色，黄色的概率分别为，第二个正方体出现红色，绿色，黄色的概率分别为，∵两个正方体朝上的面颜色相同的概率为，∴两个正方体朝上的面颜色不同的概率为1﹣＝．故选：C．6．如图，正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝20°，侧棱长为2，过点C的平面与侧棱AB、AD相交于B1、D1，则△CB1D1的周长的最小值为（）A．B．C．4D．2【分析】首先，展开三棱锥，然后，两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值，然后，求解其距离即可．解：把正三棱锥A﹣BCD的侧面展开，两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值．正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝20°，所以，∠CAC′＝60°，AC＝2，∴CC′＝2，∴截面周长最小值是CC′＝2．故选：D．7．如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D是BC的中点，，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件代入化简，通过向量的数量积的定义求解即可．解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D是BC的中点，，∴＝（）•（﹣）＝（）•（﹣（））＝（）•（﹣﹣）＝﹣﹣﹣＝﹣×32﹣×22﹣×3×2×＝﹣．故选：B．8．欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点．其中第Ⅰ命题47是著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），书中给出了一种证明思路：如图，Rt △ABC中，∠BAC＝90°，四边形ABHL、ACFG、BCDE都是正方形，AN⊥DE于点N，交BC于点M．先证明△ABE与△HBC全等，继而得到矩形BENM与正方形ABHL面积相等；同理可得到矩形CDNM与正方形ACFG面积相等；进一步推理得证．在该图中，若，则sin∠BEA＝（）A．B．C．D．【分析】设AB＝k，AC＝m，BC＝n，由勾股定理可得k2+m2＝n2，由同角的基本关系式求得sin∠BAE，cos∠BAE，在△ABE中，求得AE，分别运用余弦定理和正弦定理，计算可得所求值．解：设AB＝k，AC＝m，BC＝n，可得k2+m2＝n2，∵BH∥CL，∴∠BHC＝∠HCL，又△ABE≅△HBC，可得∠BHC＝∠BAE，∴∠HCL＝∠BAE，∴，即，∴m＝k，∴，在△ABE中，，得，在△ABE中，，即，可得．故选：D．二、多项选择题．本大题共4个小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．＝（0，2），＝（，0）B．＝（0，0），＝（1，﹣2）C．＝（1，3），＝（﹣2，﹣6）D．＝（3，5），＝（5，3）【分析】利用基底的定义，判断两个向量是否共线，即可得到结果．解：∵0×，∴与不共线，∴A正确，∵0×（﹣2）＝0×1，∴与共线，∴B错误，∵1×（﹣6）＝3×（﹣2），∴与共线，∴C错误，∵3×3≠5×5，∴与不共线，∴D正确，故选：AD．10．下列关于复数z的四个命题中假命题为（）A．若，则z为纯虚数B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若|z﹣i|＝1，则|z|的最大值为2D．若z3﹣1＝0，则z＝1【分析】选项A：设z＝a+bi，（a，b为实数），然后求出共轭复数，进而可以判断；选项B：举出反例即可判断，选项C：根据复数的几何意义即可判断，选项D：举出反例即可判断．解：选项A：设z＝a+bi，（a，b为实数），因为，所以z+＝2a＝0，则a＝0，所以z＝bi，因为b可能为0，故A错误，选项B：当z1＝1+i，z2＝1﹣i时，|z1|＝|z2|，故B错误，选项C：当|z﹣i|＝1时，复数z对应的点在以（0，1）为圆心，1为半径的圆上，故|z|的最大值为1+1＝2，故C正确，选项D：当z＝﹣时，z3＝1，故D错误，故选：ABD．11．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB上的动点，则下列结论正确的是（）A．BC⊥AC1B．当D为AB的中点时，平面CDB1⊥平面AA1B1BC．当D为AB中点时，AC1∥平面CDB1D．三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值【分析】对于A，推导出BC⊥CC1，AC⊥CB，从而BC⊥平面ACC1A1，进而BC⊥AC1；对于B，当CD⊥AB时，存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B，此时D不一定为中点；对于C，设BC1∩B1C＝O，连结OD，D是AB中点时，OD∥AC1，得AC1∥平面CDB1；对于D，△A1B1C的面积是定值，由AB∥A1B1，知AB∥平面A1B1C，D到平面A1B1C的距离是定值，进而三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值．解：对于A，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴BC⊥CC1，又AC⊥CB，CC1∩CA＝C，CC1⊂平面ACC1A1，CB⊂平面ACC1A1，∴BC ⊥平面ACC1A1，又AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1，故A正确；对于B，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AA1⊥CD，∴当CD⊥AB时，由AA1，AB是平面AA1B1B中的相交线，得到CD⊥平面AA1B1B，平面CDB1⊥平面AA1B1B，此时D不一定为中点，故B错误；对于C，设BC1∩B1C＝O，则O是BC1中点，连结OD，则D是AB中点时，OD∥AC1，∵AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1，故C正确；对于D，∵△A1B1C的面积是定值，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C，∴D到平面A1B1C的距离是定值，∴三棱锥A1﹣CDB1的体积是定值，故D正确．故选：ACD．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（）A．c＝a cos B+b cos AB．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形C．若a2tan B＝b2tan A，则a＝bD．若a3+b3＝c3，则△ABC为锐角三角形【分析】由正弦定理以及三角恒等变换可得sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，即可判断A；由正弦定理可将条件转换为sin2A＝sin2B，进而得到A＝B或A+B＝，即可判断B；由正弦定理把a2tan B＝b2tan A转化为：sin2A tan B＝sin2B tan A，化简后可判断C；由a3+b3＝c3变形得：（）3+（）3＝1＜（）2+（）²，可判断D；解：对A：∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，∴c＝a cos B+b cos A，所以A正确；对B：∵a cos A＝b cos B，∴sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，∵△ABC的内角A，B，C，∴2A＝2B或2A+2B＝π即A＝B或A+B＝，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对C：∵a2tan B＝b2tan A，∴由正弦定理得：sin2A tan B＝sin2B tan A，得：，整理得：sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B或A+B＝，故C错误；对D：由题意知：a、b、c中c是最大的正数，∴由a3+b3＝c3变形得：（）3+（）3＝1＜（）2+（）²，∴a2+b2＞c2，∴C为锐角，又知C为最大角，∴△ABC为锐角三角形，故D正确；故选：AD．三、填空题(本题共4个小题,每题5分,共20分)13．一个口袋中装有2个红球，3个绿球，采用不放回的方式从中依次取出2个球，则第一次取到绿球第二次取到红球的概率为0.3．【分析】根据已知条件，分别求出样本空间的个数和第一次取到绿球第二次取到红球的样本数，再结合古典概型的概率计算公式，即可求解．解：由题意可得，样本空间的总数为5×4＝20，第一次取到绿球第二次取到红球的样本数为3×2＝6，故所求的概率P＝．故答案为：0.3．14．在△ABC中，D是BC的中点，AB＝1，AC＝2，AD＝，则△ABC的面积为．【分析】根据题意＝（），两边平方即可求出＝﹣1，从而可求出cos ∠BAC＝﹣，进而求出sin∠BAC＝，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积；解：∵D是BC中点，且AB＝1，AC＝2，AD＝，∴＝（），则＝（）²，即＝（1+4+2），∴＝﹣1，∴cos∠BAC＝＝＝﹣，∴sin∠BAC＝，∴S△ABC＝AB•AC sin∠BAC＝＝．故答案为：．15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点，直线B1O与平面ACD1所成角的正弦值为．【分析】首先建立空间直角坐标系且不妨设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，于是写出各点的坐标，然后求出平面ACD1的一个法向量为，进而由sinθ＝即可得出所求的答案．解：以AB、AD、AA1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），O（，，0），所以＝（﹣，，﹣1），，．设平面ACD1的一个法向量为，则，即，令y＝﹣1，则x＝1＝z，则．于是，＝＝＝，所以sinθ＝|cos＜＞|＝．其中θ为直线B1O与平面ACD1所成角．所以直线B1O与平面ACD1所成角的正弦值为．故答案为：．16．如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，O是梯形ABCD的外接圆的圆心，M是边BC上的中点，则的值为16．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，即可求解结论．解：设，∵M是边BC上的中点，∴λ＝，则，又∵，∴，∵O是△ABC的外心，∴，∴＝＝＝，即，故答案为：16．三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤．17．复数z满足|z|＝，z2为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限．（1）求复数z；（2）复数z，，z2所对应的向量为，，，已知（λ+）⊥（λ+），求λ的值．【分析】（1）设z＝a+bi（a＞0，b＞0），由已知可得a与b的关系，列方程组求解a 与b的最值，则z可求；（2）由（1）中求得z可得，z2，得到，，，进一步得到（λ+）与（λ+）的坐标，再由数量积为0列式求解λ值．解：（1）设z＝a+bi（a＞0，b＞0），则，即a2+b2，①∵z2＝a2﹣b2+2abi为纯虚数，∴a2﹣b2＝0且2ab≠0，②由①②解得a＝1，b＝1，∴z＝1+i；（2）∵z＝1+i∴，z2＝2i，∴，∴，由，得，即，∴4λ﹣2＝0，得．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求角A；（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由正弦定理可知sin A cos C+sin C＝sin B，，结合sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，整理即可得到cos A，进而可求出A；（2）由余弦定理可求得（b+c）2﹣3bc＝7，结合面积公式得到bc，进而可知b+c，即可求出周长．解：（1）∵，由正弦定理得sin A cos C+sin C＝sin B，又∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴，∵sin C＞0，∴，∴；（2）由余弦定理得：7＝b2+c2﹣2bc cos60°即b2+c2﹣bc＝7，∴（b+c）2﹣3bc＝7，又，∴bc＝6，∴（b+c）2﹣18＝7，∴b+c＝5，∴△ABC的周长为．19．黄冈市一中学高一年级统计学生本学期20次数学周测成绩（满分150），抽取了甲乙两位同学的20次成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150（1）根据以上记录数据求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？（2）将同学乙的成绩分成[100，110），[120，130）[130，140）[140，150），完成下列频率分布表，并画出频率分布直方图；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意取出2个成绩，求取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率．分组频数频率[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]合计201【分析】（1）分别求出甲、乙的中位数，从而得到乙的成绩更好．（2）完成频率分布表，作出乙的频率分布直方图．（3）甲乙两位同学的不低于140分的成绩共5个，甲两个成绩记作A1、A2，乙3个成绩记作B1、B2、B3（其中B3表示150分），任意选出2个成绩，利用列举法，求出取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率．解：（1）甲的中位数是＝119，乙的中位数是＝128＞119，∴乙的成绩更好．（2）完成频率分布表如下：分组频数频率[100，110）20.1[110，120）40.2[120，130）50.25[130，140）60.3[140，150）30.15合计201乙的频率分布直方图如下图所示：（3）甲乙两位同学的不低于140（分）的成绩共5个，甲两个成绩记作A1、A2，乙3个成绩记作B1、B2、B3（其中B3表示150分），任意选出2个成绩所有的取法为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10种取法，其中两个成绩不是同一个人的且没有满分的是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），共4种取法，∴取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率P＝．20．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD且BC＝2AD，平面PAC⊥平面ABCD，PA＝PC，PA⊥AB．（1）证明：AB⊥PC；（2）若PA⊥PC，PB＝2PC＝4，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（1）取AC的中点O，连接PO，得出PO⊥AC，根据平面PAC⊥平面ABCD 得出PO⊥平面ABCD，证明PO⊥AB；再由AB⊥PA证明AB⊥平面PAC，即可证明AB ⊥PC．（2）根据题意利用分割补形法计算四棱锥P﹣ABCD的体积，另一种解法是直接计算四棱锥的体积即可．【解答】（1）证明：取AC的中点O，连接PO，如图所示；因为AP＝PC，所以PO⊥AC，又因为平面PAC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，又因为AB⊂平面ABCD，所以PO⊥AB；......①又因为AB⊥PA，......②由①②可得AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC．（2）解：因为PB＝2PC＝4，所以PA＝PC＝2，又AB⊥PA，所以AB2＝PB2﹣PA2，所以；又因为PA⊥PC，PA＝PC＝2，所以，；由（1）知AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，所以；所以；又因为BC//AD，BC＝2AD，所以S△ABC＝2S△ACD，所以；所以四棱锥P﹣ABCD的体积是．另解：因为，所以，所以，计算四棱锥P﹣ABCD的体积是．21．如图，四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD⊥CD，设∠ACD＝θ．（1）若△ABC面积是△ACD面积的4倍，求sin2θ；（2）若tan∠ADB＝，求tanθ．【分析】（1）直接利用三角形的面积公式的应用求出结果；（2）利用正弦定理建立方程组，进一步建立三角函数式，最后解方程组求出结果．解：（1）设AB＝a，则，，，由题意S△ABC＝4S△ACD，则，所以．（2）由正弦定理，△ABD中，，即①在△BCD中，，即②②÷①得：，∴，化简得，所以．22．如图①梯形ABCD中AD∥BC，AB＝，BC＝1，，BE⊥AD且BE＝1，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面ABE⊥平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且AP＝2PB，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．（1）证明：Q是的中点；（2）证明：AD⊥平面BEQ；（3）M是AB上一点，已知二面角M﹣EC﹣B为45°，求的值．【分析】（1）在图①中过C作CF⊥AD，证明PQ∥AD，结合R是CD的中点，推出Q 是AC的中点．（2）证明CD⊥CE，推出AE⊥CD，得到CD⊥平面ACE，推出CD⊥EQ，EQ⊥AC，即可证明EQ⊥平面ACD，得到EQ⊥AD，推出BE⊥AD然后证明AD⊥平面BEQ．（3）过M作MH⊥BE，过H作HG⊥CE，连结MG，说明∠MGH为二面角M﹣CE﹣B 的平面角，设，然后转化求解即可．【解答】证明：（1）在图①中过C作CF⊥AD，则EF＝BC＝1，CF＝BE＝1，又∵，∴DF＝1，∴DE＝2，∴DE∥BC，且DE＝2BC，∴DO＝2OB，又∵AP＝2PB，∴OP∥AD，∴OP∥平面ACD，又∵平面OPQR∩平面ACD＝RQ，∴OP∥RQ，∴PQ∥AD，又∵R是CD的中点，∴Q是AC的中点．（2）在直角梯形BCDE中，BC＝BE＝1，∴，∴∠CED＝∠BCE＝45°．又，∴∠ECD＝90°，DE＝2，∴CD⊥CE，①又∵平面ABE⊥平面BCDE，AE⊥BE，∴AE⊥平面BCDE，∴AE⊥CD，②由①②得CD⊥平面ACE，∴CD⊥EQ，③∵，∴，∴AE＝CE，∴EQ⊥AC，④由③④可得EQ⊥平面ACD，∴EQ⊥AD，⑤又∵BE⊥AE，BE⊥DE，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥AD，⑥由⑤⑥可得AD⊥平面BEQ．（3）过M作MH⊥BE，则MH⊥平面BCDE，过H作HG⊥CE，连结MG，则∠MGH为二面角M﹣CE﹣B的平面角，∴∠MGH＝45°，设，∴，又，∴HE＝λ，∵∠BEC＝45°，∴，由∠MGH＝45°得HG＝MH，∴，∴．。
湖北省黄冈市2019-2020学年高一年级下学期期末考试数学试题(解析版)
黄冈市2020年春季高一年级期末考试数学试题黄冈市教育科学研究院启光考试与评价研究院联合命制2020年7月27日上午8:00—10:00考生注意：1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写。
字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin100cos350+cos100sin350=A. √22B. −√22C. √32D.122.已知向量a⃗=(x,2)，b⃗⃗=(2x+1，3)，若a⃗=λb⃗⃗，则x=A. 12B. −2C. 1D. 23.若等差数列{a n}满足a7+a9=2，a10=−5，则数列{a n}的首项a1=A. 20B. -3C. 22D. -234.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知cos A=−35，a=8，b=5，则B=A. π4B.π6C. π3D.5π65. 若直线3x+ay−1=0与直线x−y+1=0平行，则a=A. -3或-1B. -1C. -3D. 326.已知点A(−2,−3)和点B(−1,0)是平面直角坐标系中的定点，直线y=kx+1与线段AB始终相交，则实数k的取值范围是A. [1，2]B. [-2，1]C. [-2，-1]D. [12，1]7. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知A=π6，b=2√3c，△ABC的面积为2√3，则a=A.2√3B. 4C.√14D.2√78.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为矩形，侧面AA 1B1B 为菱形，且平面BB 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ，∠BAA 1=600，AB=2BC=2，则异面直线CA 1与BC 1所成角的余弦值为A. 13B. 19C. 25D.15二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是A. 若m ⊥α，n ⊥α，则m||nB. 若m||α，m ∥β，则α∥βC. 若α⊥β，m ∥β，则m ⊥αD.若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β10. 在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有 A. AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中AA 1=1，AB=2，AD=3，下列选项正确的有A.BD ⊥A 1C 1B. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为14πC. 三棱锥A 1-BDC 的体积为1D.三棱锥A 1-BDC 1与三菱锥A 1-ABD 的表面积相等12.已知数列{a n }，a 1=1，a 2=5，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，当n ≥2时，恒有BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a n −2a n−1)BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(a n+1−3a n )BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 A.数列{a n }为等差数列 B. BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 数列{a n }为等比数列 D. a n+1−a n =4n第Π卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡上.13.直线3x −√3y −2=0的倾斜角为_________.14. 已知等比数列{a n }的前n 项和为s n ，a 1=4，a 52=a 8，则 s 3=_______.15.已知平面向量a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(1,x ).①若|a ⃗−b ⃗⃗|=a ⃗⋅b ⃗⃗，则实数x 的值是_____；②若a ⃗+2b ⃗⃗与a ⃗−2b ⃗⃗的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是_____.(本题第一空2分，第二空3分)16.如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是________.四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知向量n ⃗⃗与向量m ⃗⃗⃗的夹角为π3，且|n ⃗⃗|=1，|m ⃗⃗⃗|=3，n ⃗⃗⋅(n ⃗⃗−λm ⃗⃗⃗)=0.(I )求λ的值 (Π)记向量n ⃗⃗与向量3n ⃗⃗−m ⃗⃗⃗的夹角为θ ，求cos 2θ.18. （本小题满分12分）已知函数f (x )=2sin x +cos x . (I )求函数f (x )的值域； (Π)当f (x )=0时，求2sin 2x sin 2x−cos 2x+1的值.19. （本小题满分12分）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B+sin Csin A+sin B =a−b C.(I )求A ；(Π)若b=2，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，求△ABC 的面积.20. （本小题满分12分）已知直线l 1:x +2y −4=0与直线l 2:x −y −1=0的交点为A ，直线l 经过点A ， 点P(1,-1)到直线l 的距离为2，直线l 3与直线l 1关于直线l 2对称. (I )求直线l 的方程； (Π)求直线l 3的方程.21. （本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 2=4，a n =a n−1+2（n ≥2），已知数列{b n }的前n 项和为s n ，且满足S n =1−b n .(I )求数列{a n }和{b n }的通项公式； (Π)求数列{a n ·b n }的前n 项和.22. （本小题满分12分）在三棱锥D-ABC 中，底面△ABC 为等边三角形，DB ⊥DC ，且DB=DC ，E 为BC 的中点. (I )证明：AD ⊥BC ；(Π)若平面DBC ⊥底面ABC ，求AE 与平面ADB 所成角的正弦值.EDCBA黄冈市2020年春季高一年级期末考试数学试题详解一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin100cos350+cos100sin350=(A)A. √22B. −√22C. √32D.12解：sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=√222.已知向量a⃗=(x,2)，b⃗⃗=(2x+1，3)，若a⃗=λb⃗⃗，则x=(B)A. 12B. −2C. 1D. 2解：a⃗=λb⃗⃗⇒a⃗∥b⃗⃗⇒x2=2x+13⇒x=−23.若等差数列{a n}满足a7+a9=2，a10=−5，则数列{a n}的首项a1=(C)A. 20B. -3C. 22D. -23解：a7+a9=2a8=2⇒a8=1⇒公差d=a10−a82=−3，a1=a8−7d=224.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知cos A=−35，a=8，b=5，则B=(B)A. π4B.π6C. π3D.5π6解：因为cos A=−35，所以A为钝角且sin A=45；由asin A=bsin B得sin B=12，所以B=π65. 若直线3x+ay−1=0与直线x−y+1=0平行，则a=(C)A. -3或-1B. -1C. -3D. 32解：由31=a−1≠−11得a=−36.已知点A(−2,−3)和点B(−1,0)是平面直角坐标系中的定点，直线y=kx+1与线段AB始终相交，则实数k的取值范围是(A)A. [1，2]B. [-2，1]C. [-2，-1]D. [12，1]解：y=kx+1过定点N(0,1)，k NA=−3−1−2−0=2，k NB=0−1−1−0=1，要使直线y=kx+1与线段AB始终相交，由数形结合知k的取值范围是[1，2]7. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知A=π6，b=2√3c，△ABC的面积为2√3，则a=(D)A.2√3B. 4C.√14D.2√7解：S ΔABC =12bC sin A =14bC =2√3⇒bc =8√3，又因为b =2√3c ，所以b =4√3，c =2，所以a =√b 2+c 2−2bc cos A =2√78.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为矩形，侧面AA 1B 1B 为菱形，且平面BB 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ，∠BAA 1=600，AB=2BC=2，则异面直线CA 1与BC 1所成角的余弦值为(D )A. 13B. 19C. 25D.15解：如图，分别取BC 、CC 1 、CA 1、A 1B 1的中点E 、F 、G 、H ，连EF 、FG 、GH 、BH ，则EF ∥BC 1，FG ∥CA 1，EG ∥ BH ，易得EF=12BC 1=√52，FG=12CA 1=√52，EG =BH =√3，在△EFG 中，cos ∠EFG =EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG=54+54−32×54=−15，所以由等角定理知，异面直线CA 1与BC 1所成角的余弦值为15.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是(AD )A. 若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nB. 若m||α，m ∥β，则α∥βC. 若α⊥β，m ∥β，则m ⊥αD.若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β解：因为垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A 正确；显然，两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以D 也是正确的。
湖北省黄冈市第五高级中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试题
湖北省黄冈市第五高级中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若向量与向量共线，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：A略2. 设函数是定义在R上的函数，下列函数①②③④中是奇函数的个数（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案：B①不能判定奇偶性，②是奇函数，③不能判定奇偶性，④是奇函数.即奇函数的个数是2个.本题选择B选项.3. 设，向量，，且，则（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．4. 函数是( )A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数参考答案：D略5. 已知向量，，，设是直线上任意一点（为坐标原点），则的最小值是（）．A．－8 B．－12 C．－3 D．－5参考答案：A∵是直线上任意一点，∴设，，则，，∴，∴的最小值为．故选．6. 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是A. B. C.D.参考答案：D7. 过点的切线有两条，则a 的取值范围（）参考答案：D略8. 如果函数在区间上是单调减函数，那么实数的取值范围是（）A B CD参考答案：A9. （4分）已知=（x，3），=（3，1），且⊥，则x等于（）A．﹣1 B．﹣9 C．9 D．1参考答案：A考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由已知中，=（x，3），=（3，1），且⊥，根据向量垂直的坐标表示，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．解答：∵=（x，3），=（3，1），又∵⊥，∴?=3x+3=0解得x=﹣1故选A点评：判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．10. 设集合，,则下列关系正确的是: （）A． B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等腰直角三角形的直角顶点对应的向量为，重心对应的向量为，则三角形另二个顶点、对应的向量为。