2019年上海市延安中学高一(下)期末数学试卷(含答案)
2019高一下数学期末考试题及答案
第二学期期末教学质量监测高一数学一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．sin 600o的值等于（ * ）.A ．12B ．12-C．D2．已知角α的终边经过点(1,2)P -),则tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是（ * ）. A ．3 B ．3- C ．13 D ．13-3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，已知,1,3,3===b a A π则B ＝（ * ） A ．3π B ．6π C ．5π D ．6π或65π4. 已知0<<b a , ）A ．ab a <2B ．b a < b1D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21215. 已知向量a 与b 的夹角为120o，且1==a b ，则－a b 等于（ * ）A ．3BC ．2D ．1 6．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a +=（ * ）. A. 100 B. 40 C. 20 D. 12 7. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ * ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 98. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为（ * ）A . 1 B.53C. 2D. 3 9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图像如图1所示，则函数)(x f 的解析式是（ * ）A ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AB 上，且30AOC ∠=o，设OC =u u u r (,)mOA nOB m n R +∈u u u r u u u r ，则mn等于( * )A.13B.3C.3D.3二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11. 已知向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，则实数x 的值为 * ． 12. 已知关于x 的一元二次不等式220ax bx ++>的解集为}21|{<<-x x ，则=+b a ___*___.13. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30o ，灯塔B 在观察站C 南偏东30o 处，则两灯塔A 、B 间的距离为___*_______. 14. 定义等积数列}{n a ：若p a a n n =-1（p 为非零常数，2n ≥），则称}{n a 为等积数列，p 称为公积.若}{n a 为等积数列，公积为1，首项为a ，前n 项和为n S ，则2015a =_____*____，2015S =_____*____.三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）15. （本小题满分12分）已知向量(4,3),(1,2)==-a b .（1）求a 与b 的夹角的余弦值；（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值.1 Oxy 1112π 图116．（本小题满分12分）已知函数22()cos )2sin cos f x x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期； （2）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．17. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=u u ur u u u r .（1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值.18. （本小题满分14分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且5n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分14分）围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m 的进出口，如图2所示.已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为/m 180元.设利用旧墙的长度为x (单位：m )，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元). (1)将y 表示为x 的函数，并写出此函数的定义域；(2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.图220．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L*()n N ∈．（1）求23a a ，的值；（2）求证：数列{}2n S +是等比数列； （3）设8142n n n b S -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足0n T >的最小自然数n 的值．高一数学试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知向量(4,3),(1,2).==-a b（1）求a 与b 的夹角的余弦值；（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值. 解：（1）(4,3),(1,2)==-Q a b4(1)322,5,∴⋅=⨯-+⨯=====a b a b ………………3分∴cos ,25⋅<>===a b a b a b ……………………6分 （2） ∵(4,3),(1,2).==-a b∴(4,32)2(7,8)λλλ-=+-+=，a b a b …………………………8分 ∵向量λ-a b 与2+a b 平行，∴43278λλ+-=…………………………10分 解得：12λ=- …………………………12分16．（本小题满分12分）已知函数22()cos )2sin cos f x x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期； （2）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．解： （1）∵x x x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22---=2sin 2x x=+2sin(2)3x π=-…………………… 4分)(x f ∴的最小正周期为π． ………… 5分（2）∵[,]33x ππ∈-，233x πππ∴-≤-≤，∴1sin(2)3x π-≤-≤． )(x f ∴的值域为]3,2[-． ……………… 9分 Θ当)32sin(π+=x y 递增时，()f x 递增．由2233x πππ-≤-≤，得123x ππ-≤≤．故()f x 的递增区间为,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……………………12分17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=u u u r u u u r .（1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值.解：（1）∵cos 25A = ∴234cos 2cos1,sin 255A A A =-== ……………………4分 ∵3AB AC ⋅=u u u r u u u r∴cos 3bc A =………………………6分 ∴5bc = ………………………7分 ∴ABC ∆的面积1sin 22ABC S bc A ∆==……………………8分 （2）∵5bc =，6b c +=∴5,1b c ==或1,5b c ==…………………………………11分 由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-= ………………………13分∴a =分 18．（本小题满分14分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且5n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .解：（1）在等差数列{}n a 中，由5n S S ≤得50a ≥，60a ≤， ……………………2分 又113a =， ∴13401350d d +≥⎧⎨+≤⎩，解得131345d -≤≤-， …………………5分∵2a 为整数，∴3d =-， ……………………6分∴{}n a 的通项公式为163n a n =-． ……………………7分 （2）∵1111)(163)(133)163n n n b a a n n n+==---，……………………9分 ∴12n n T b b b =+++L 111111111[()()()()]3101371047133163n n=-+-+-++---L …………12分 111()31331313(133)n n n =-=--……………………14分19. （本小题满分14分）围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m 的进出口，如图2所示.已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为/m 180元.设利用旧墙的长度为x (单位：m )，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数，并写出此函数的定义域；(2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)设矩形场地的宽为am ，则45180(2)1802225360360y x x a x a =+-+⨯=+-……………2分∵360ax = ∴360a x=……………4分 ∴2360225360y x x=+- (2)x ≥ ……………6分 (2) ∵0x ≥∴236022536036010440y x x =+-≥= ……………9分 当且仅当2360225x x=，即24x =时，等号成立. ……………11分当24x =时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元.∵1080<1566 ……………13分 ∴当24x m =时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.…………14分 20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L*()n N ∈．（1）求23a a ，的值；（2）求证：数列{}2n S +是等比数列； （3）设8142n n n b S -=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，并求满足0n T >的最小自然数n 的值．解：（1）∵ 12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L *()n N ∈∴ 12,a =12122()4a a a a +=++123123232()6a a a a a a ++=+++ ……………………………………2分∴ 234,8a a == ……………………………………3分(2)证明：∵ 12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L *()n N ∈ ①∴当2n ≥时，123123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n -++++-=-+-L ② ……………………4分由①-②得1[(1)2][(2)2(1)]n n n na n S n n S n -=-+--+- 11()22n n n n n S S S S --=--++122n n n na S S -=-++ ……………………6分∴1220n n S S --++=，即122n n S S -=+ ∴122(2)n n S S -+=+ ∵1240S +=≠ ∴120n S -+≠ ∴1222n n S S -+=+∴数列{}2n S +是以4为首项，2为公比的等比数列。
2019级高一下学期数学期末考试试卷答案
a1q 2
1 2
，
3 2
，解得 q
1 2
， a1
2.
综上所述：
a1
1 2
或
a1
2
.
16.【答案】5.设 m (2x y)2 , n (x 2 y)2 , 则 4 9 1 ，且 m n 5x2 5 y2 , mn
∴
x2
y2
m
n
m
n
(
4
9)
13 （4n m
9m ） n
3.【答案】D.利用赋值法:令 a 1, b 0 排除 A,B,C,选 D.
合 肥六中卫星 联 校 专用A
4.【答案】C .
m 1
n 3
,
m n
1. 3
5.【答案】B.根据几何概型概率计算公式，即可求出结果.
6.【答案】B.根据茎叶图中数据的分布可得， A 班学生的分数多集中在 70,80 之间， B 班
2
BC
1
BA
AB ， AB
，所以选项
CE 0 ，所以选项
B 错误；
A
错误;
33
以 E 为原点，EA，EC 分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，
如图所示， E(0, 0), A(1, 0), B(1, 0),C(0, 3), D(1 , 2 3 ) ，
33
设 O(0, y), y (0,
综上所述，当 a 3时，不等式解集为 R ； 当 a 3时，不等式的解集为 (,3] [a, ) ； 当 a 3 时，不等式的解集为 (, a] [3, ) .…………………………………………12 分
3),
BO
(1,
y),
DO
2018-2019学年上海中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 7的值为( )A. 11B. 12C. 13D. 142. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=( )A. 13B. −13C. 19D. −193. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m−1=−2，S m =0，S m+1=3，则m =( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 设0<α<π2，若x 1=sinα，x n+1=(sinα)x n (n =1,2，3…)，则数列{x n }是( )A. 递增数列B. 递减数列C. 奇数项递增，偶数项递减的数列D. 偶数项递增，奇数项递减的数列二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 计算n →∞lim(1−1n)的结果是______．6. 已知等差数列a 1=3，a n =21，d =2，则n =______．7. 数列{a n }中，已知a n =4n −13⋅2n +2，n ∈N ∗，50为第______项． 8. {a n }为等比数列，若a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52，则a n =______．9. 用数学归纳法证明结论：(n +1)(n +2)…(n +n)=2n ×1×2×…×(2n −1)(n ∈N ∗)时，从“k 到k +1”左边需增乘的代数式为______ ．10. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+1=(2n −λ)a n (n =1,2，…)，则a 3等于______． 11. 数列{x n }满足x n+1=x n −x n−1，n ≥2，n ∈N ∗，x 1=a ，x 2=b ，则x 2019=______． 12. 数列{a n }满足下列条件：a 1=1，且对于任意正整数n ，恒有a 2n =a n +n ，则a512=______．13. 数列{a n }定义为a 1=cosθ，a n +a n+1=nsinθ+cosθ，n ≥1，则S 2n+1=______ 14. 已知数列{a n }是正项数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n =12(a n +1a n)，若b n =a n+1Sn S n+1，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T 99=______15. 已知三角形的三条边长构成等比数列，他们的公比为q ，则q 的取值范围是______ ． 16. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，a 5=5，当n ≥5时，a n+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a n −1，则是否存在不小于2的正整数m ，使a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立？若存在，则在横线处直接填写m 的值；若不存在，就填写“不存在”______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.等差数列{a n}的前n项和为S n，S4=−62，S6=−75设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−2n+1(n∈N∗)．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：a n+1+log3n=log3b n(n∈N∗)，求{b n}的前n项和T n(结果需化简)19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费件，(n∈N∗).为(n−1)千元时多卖出b2n(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？20. 设数列{a n }的前n 项和S n ，已知a 1=1，2S n n=a n+1−13n 2−n −23，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1？说明理由．21. 设集合S n ={(x 1,x 2,…,x n )|x i ∈{0，1}(i =1,2，…，n)}，其中n ∈N ∗，n ≥2．(1)写出集合S 2中的所有元素；(2)设(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，证明：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”； (3)设集合S ={(x 1,x 2,…x n ,…)|x i ∈{0，1}(i =1,2…,n …)}设(a 1,a 2,…,a n ,…)，(b 1,b 2,…b n ,…)∈S ，使得a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，且b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，试判断“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…)”的什么条件并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由S 10=100及公差为2． ∴10a 1+10×92×2=100，联立解得a 1=1． ∴a n =2n −1， 故a 7=13． 故选：C ．由S 10=100及公差为2.利用求和公式可得a 1=1.再利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等比数列的前n 项和的概念，熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 设等比数列{a n }的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解出即可． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3=a 2+10a 1，a 5=9，∴{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解得{q 2=9a 1=19．∴a 1=19． 故选C ．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项a n 与S n 的关系，考查学生的计算能力．由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m−S m−1=2，a m+1=S m+1−S m=3，所以公差d=a m+1−a m=1，=0，S m=m(a1+a m)2m−1>0，m>1，因此m不能为0，得a1=−2，所以a m=−2+(m−1)⋅1=2，解得m=5，故选：C．4.【答案】C，则0<sinα<1，【解析】解：根据题意，0<α<π2指数函数y=(sinα)x为减函数，∴(sinα)1<(sinα)sinα<(sinα)0=1，即0<x1<(sinα)x1<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x4<x2<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x4<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x5<x4<x2<1，…，0<x1<x3<x5<x7<⋯<x8<x6<x4<x2<1．∴数列{x n}是奇数项递增，偶数项递减的数列故选：C．根据题意，由三角函数的性质分析可得0<sinα<1，进而可得函数y=(sinα)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案．本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题．5.【答案】1【解析】解：当n →+∞，1n →0，∴n →∞lim(1−1n )=1，故答案为：1．由n →+∞，1n →0，即可求得n →∞lim(1−1n)=1．本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．6.【答案】10【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 1=3，a n =21，d =2，得 21=3+2(n −1)，解得：n =10． 故答案为：10．直接把已知代入等差数列的通项公式求得n 值． 本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．7.【答案】4【解析】解：令a n =4n −13⋅2n +2=50， 可得：(2n −16)(2n +3)=0， ∴2n =16， 解得n =4． 故答案为：4．令a n =4n −13⋅2n +2=50，可得：(2n −16)(2n +3)=0，解出n 即可得出． 本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】2⋅3n−1【解析】解：∵{a n }为等比数列，a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52， ∴{a 1+a 1q +a 1q 2=26a 1q 3−a 1=52， ∴a 1(1+q+q 2)a 1(q 3−1)=1q−1=12，解得q =3，a 1=2， ∴a n =2⋅3n−1． 故答案为：2⋅3n−1．利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】2(2k+1)【解析】解：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k)，当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)，=2(2k+1)，故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为(2k+1)(2k+2)k+1故答案为：2(2k+1)．分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n=k时左端的表达式和n=k+1时左端的表达式，是解题的关键．10.【答案】15【解析】解：∵a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n∴a2=(2−λ)a1即3=(2−λ)∴λ=−1，a n+1=(2n+1)a n∴a3=5a2=15故答案为：15先由a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n，可求出λ，然后由n=2时，代入已知递推公式即可求解本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数λ11.【答案】b−a【解析】解：由题中递推公式，可得：x1=a，x2=b，x3=x2−x1=b−a，x4=x3−x2=b−a−b=−a，x5=x4−x3=−a−(b−a)=−b，x6=x5−x4=−b−(−a)=a−b，x7=x6−x5=a−b−(−b)=a，x8=x7−x6=a−(a−b)=b，x9=x8−x7=b−a，⋅⋅⋅∴数列{x n}是以6为最小正周期的周期数列．∵2019÷6=336…3．∴x2019=x3=b−a．故答案为：b−a．本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列{x n}是一个周期数列．然后根据周期数列的性质特点可得出x2019的值．本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值．本题属中档题．12.【答案】512【解析】解：由题意，可知：=a256+256a512=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+⋯+28=2+2×(1+2+22+⋯+27)=2+2×1−28 1−2=29=512．故答案为：512．本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果．本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式．本题属基础题．13.【答案】(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ【解析】解：数列{a n}定义为a1=cosθ，a n+a n+1=nsinθ+cosθ，n≥1，可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)=cosθ+(cosθ+2sinθ)+(cosθ+4sinθ)+⋯+(cosθ+2nsinθ)=(n+1)cosθ+(2+4+⋯+2n)sinθ=(n+1)cosθ+12n(2+2n)sinθ=(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．故答案为：(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．由题意可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)，运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题．14.【答案】910【解析】解：数列{a n}是正项数列，S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n=12(a n+1an)，可得a1=S1=12(a1+1a1)，可得a1=1；a1+a2=12(a2+1a2)，解得a2=√2−1，同样求得a3=√3−√2，…，猜想a n=√n−√n−1，S n=√n，代入S n=12(a n+1an)，成立，则b n=a n+1S n S n+1=√n+1−√n√n√n+1=√n√n+1，即有T 99=1−√2√2−√3⋯√99110=1−110=910． 故答案为：910．求得数列的前几项，归纳a n =√n −√n −1，S n =√n ，求得b n =√n+1−√n√n √n+1=√n √n+1，再由裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．15.【答案】(−1+√52,1+√52)【解析】解：设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边可得 (1)当q ≥1时，aq 2为最大边，a +aq >aq 2，等价于：q 2−q −1<0，由于方程q 2−q −1=0两根为：1−√52和1+√52，故得解：1−√52<q <1+√52∵q ≥1，∴1≤q <1+√52(2)当0<q <1时，a 为最大边，aq +aq 2>a ，即得q 2+q −1>0，解之得q >−1+√52或q <−1+√52∵0<q <1 ∴1>q >−1+√52综合(1)(2)，得：q ∈(−1+√52,1+√52)故答案为：(−1+√52,1+√52) 设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边，分q ≥1和q <1两种情况分别求得q 的范围，最后综合可得答案．本题以三角形为载体，考查等比数列，考查解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想．16.【答案】70【解析】解：设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2， 由已知，b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52=1×2×3×4×5−(12+22+32+42+52) =120−55 =65当m ≥5时，由a m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m −1，移向得出a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a m+1+1 ①∵b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2，② ∴b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12 ③ ③−②得 b m+1−b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m a m+1−a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a m+12=a 1⋅a 2⋅…⋅a m (a m+1−1)−a m+12 (将①式代入) =(a m+1+1)(a m+1−1)−a m+12=a m+12−1−a m+12=−1∴当n ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列，∴b m =b 5+(m −5)×(−1)=65−(m −5)=70−m ．若a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立， ∴b m =0，即m =70 故答案为：70．设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2中，令n =5代入数据计算即可求出b 5.由b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52中构造出b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列．利用等差数列通项公式求解即可．本题考查等差关系的判定、通项公式．考查转化、变形构造、计算能力．17.【答案】解：∵S 4=−62，S 6=−75，∴{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75，解得d =3，a 1=−20，∴a n =3n −23， 设从第n +1项开始大于零，则{a n =−20+3(n −1)≤0a n+1=−20+3n ≥0，∴203≤n ≤233， ∴n =7，即a 7<0，a 8>0 当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．综上有，T n ={43n−3n 22,(1≤n ≤7)32n 2−432n +154．(n ≥8)．【解析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项，由此能求出a n =3n −23，且a 7<0，a 8>0.当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．本题考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18.【答案】解：(1)S n =n 2−2n +1，可得a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−2n +1−(n −1)2+2(n −1)−1=2n −3， 则a n ={0,n =12n −3,n ≥2；(2)数列{b n }满足：a n+1+log 3n =log 3b n (n ∈N ∗)， 可得2n −1+log 3n =log 3b n ，即b n =n ⋅32n−1， 前n 项和T n =1⋅3+2⋅33+⋯+n ⋅32n−1， 9T n =1⋅33+2⋅34+⋯+n ⋅32n+1，两式相减可得−8T n =3+33+35+⋯+32n−1−n ⋅32n+1 =3(1−9n )1−9−n ⋅32n+1，化简可得T n =3(8n⋅9n −9n +1)64．【解析】(1)运用数列的递推式得n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简计算可得所求通项公式；(2)求得b n =n ⋅32n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)解法一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )(广告费为1千元时，s =b +b2；2千元时，s =b +b2+b22；…n 千元时s =b +b2+b22+b23+⋯+b 2n)解法二、(累差叠加法)设s 0表示广告费为0千元时的销售量， 由题：{s 1−s 0=b2s 2−s 1=b 22…s n −s n−1=b 2n ，相加得S n −S 0=b 2+b 22+b 23+⋯+b 2n ， 即S n =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n ).(2)b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为t ，则有t =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n欲使T n 最大，则{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，得{n ≥5n ≤5，故n =5，此时s =7875．即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．【解析】对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ，则s n−1表示广告费为(n −1)元时的销量，由题意，s n−−s n−1=b2n ，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差b2n 构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )解法二、利用累差叠加法：S 1−S 0=b2，S 2−S 1=b22，…S n −S n−1=b2n ，累加结合等比数列的求和公式可求S n(2))b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为T n ，则有T n =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n ，欲使T n 最大，根据数列的单调性可得{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，代入结合n 为正整数解不等式可求n ，进而可求S 的最大值本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．20.【答案】解：(1)∵2S n n=a n+1−13n 2−n −23，∴2S n =na n+1−13n 3−n 2−23n =na n+1−n(n+1)(n+2)3，①∴当n ≥2时，2S n−1=(n −1)a n −(n−1)n(n+1)3，②由①−②，得2S n −2S n−1=na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∵2a n =2S n −2S n−1，∴2a n =na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∴a n+1a n −a n n=1，∴数列{an n}是以首项为1，公差为1的等差数列．∴a n n=1+1×(n −1)=n ，∴a n =n 2(n ≥2)，当n =1时，上式显然成立．∴a n =n 2，n ∈N ∗． (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．证明：当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，可得1a 1+1a 2+⋯+1a n=1+14+12(12−14+13−15+⋯+1n−2−1n +1n−1−1n+1)=54+512−12(1n +1n+1)=53−12(1n +1n+1)， 由12(1n +1n+1)−1n+1=12(1n −1n+1)=12n(n+1)>0， 可得12(1n +1n+1)>1n+1， 即有53−12(1n +1n+1)<53−1n+1， 则当n ≥3时，不等式成立； 检验n =1，2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．【解析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1.考虑当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．21.【答案】解：(1)S 2中的元素有(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)．(2)充分性，当a i =b i (i =1,2，…，n)，显然a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1成立，必要性，因为a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+⋅21+⋯+b n ⋅2n−1， 所以(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=0， 因为(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，所以a n −b n ∈{1,0，−1}，若a n −b n =1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=20+21+⋯+2n−1=2n −1≠0，当a n −b n =−1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=−(20+21+⋯+2n−1)=−(2n −1)≠0，若a n −b n 的值有m 个1和n 个−1，不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1，则2r −2r −1−2r−1−⋯…−1=2r−1−2r 1−2=2r −(2r −1)=1>0，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能为，就是a n −b n =0，即a i =b i ，综上可知：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”；(3)由a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，等价于a 1⋅2n−1+a 2⋅2n−2+⋯+a n ⋅20+⋯=2n ⋅A ，b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，等价于b 1⋅2n−1+b 2⋅2n−2+⋯+b n ⋅20+⋯=2n ⋅B ，由(2)得“2n ⋅A =2n ⋅B “的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”； 即“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…，n)”充要条件．【解析】(1)由题意求得S 2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论； (3)将原始的式子同乘以2n ，然后利用(2)即可求得答案．本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分类讨论思想，属于难题．。
上海西延安中学数学高一下期末经典练习题(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：12724]已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2B ．7C ．2D ．12．(0分)[ID ：12720]如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．(0分)[ID ：12713]若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ） A ．725B ．15C ．−15D ．−7254．(0分)[ID ：12709]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 6．(0分)[ID ：12702]已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．(0分)[ID ：12679]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9．(0分)[ID ：12672]若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C 3D 310．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 11．(0分)[ID ：12665]设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．(0分)[ID ：12654]已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-13．(0分)[ID ：12645]如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线14．(0分)[ID ：12640]在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9015．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题16．(0分)[ID ：12814]已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.17．(0分)[ID ：12800]若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________．18．(0分)[ID ：12788]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 19．(0分)[ID ：12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.20．(0分)[ID ：12733]若a 10=12，a m =22，则m =______． 21．(0分)[ID ：12769]设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．22．(0分)[ID ：12766]函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________.23．(0分)[ID ：12752]已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________．24．(0分)[ID ：12751]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12924]已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．27．(0分)[ID ：12910]为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑ ，^^y x a b=- 28．(0分)[ID ：12902]ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长. 29．(0分)[ID ：12881]已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.30．(0分)[ID ：12875]已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．D4．B5．A6．D7．A8．C9．B10．D11．D12．C13．B14．A15．C二、填空题16．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值17．【解析】【分析】由题意得到关于m的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信19．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；20．5【解析】21．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则22．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……23．【解析】【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：24．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ．本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．D解析：D 【解析】试题分析：cos[2(π4−α)]=2cos 2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725， 且cos[2(π4−α)]=cos[π2−2α]=sin2α，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π 结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =.当3,88x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列9．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,2OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 22222322m OA nOB OAm OA mnOA OB n OB OA+⋅=+⋅+1OA =，3OB =，0OA OB ⋅== 229m n ∴=又C 在AB 上 0m ∴>，0n > 3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．10．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.11．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.12．C解析：C 【解析】【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()366216221rr n rr rr r r n T C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．13．B解析：B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．14．A解析：A 【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．15．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．二、填空题16．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值解析：3π【解析】 【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值．【详解】由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．17．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件解析：32- 【解析】 【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果. 【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=， 解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=， 两直线不重合，据此可知：32m =-. 【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134-【解析】 【分析】利用换元法，令sin x t =，[]1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】令sin x t =，[]1,1t ∈-，则2113324y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12t =-时，函数有最小值134-，故答案为134-.【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 20．5【解析】解析：5 【解析】5,52a m ====21．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则解析：2n+1由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．22．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：…… 解析：112π【解析】 【分析】 由2x k πωπ=+可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】由2x k πωπ=+，k Z ∈得：()212k x πω+=，k Z ∈1,12A πω⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππωωω⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2πω=，即12πω=同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅= 232πω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110A A A A ⋅= 352πω∴= 以此类推，可得：()212n n πω-= 6112πω∴=故答案为：112π本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.23．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：【解析】 【分析】根据复数z 的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y -+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即yx3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.24．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面解析：①②④ 【解析】 【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可． 【详解】①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面1BED F ，故②正确；③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1. ∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变.∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确. 故答案为①②④. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可解析：3. 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos 2A =，进一步求得3bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =， 所以A为锐角，且cos A =，从而求得bc =， 所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题26．（12）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=， 故直线1l 与2l的距离d === ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 27．(1) 8.69 1.ˆ23yx =- (2) 2.72x =，年利润z 最大 【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；（2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，5115i i x ==∑，5125i i y ==∑，5162.7i i i x y ==∑，52155i x ==∑，52155i i x ==∑， 解得：^ 1.23b =-，^8.69a =，所以：8.69 1.ˆ23yx =-， （2）年利润()28.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+ 所以 2.72x =，年利润z 最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性． 28．（1）3C π=（2）5【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.29．（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π. 【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b ，a c ⊥，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b 和c 的坐标；（2）求出m 、n 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m 与向量n 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】（1）()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =，()4,3c =-； （2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()(35m ∴=-+-=，271n =+=设m 与n 的夹角为θ，25cos ,55m nm n m n ⋅-∴===⨯⋅，0θπ≤≤，则34πθ=. 因此，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 30．（1）45t =2）35. 【解析】【分析】(1)利用向量的模长公式计算出||a tb +的表达式然后求最值.(2)先求出a mb -的坐标，利用向量平行的公式得到关于m 的方程，可解得答案.【详解】（1）∵(23,2)a tb t t +=-+，∴||(2a tb t +=-==当45t =时，||a tb +. （2）(32,2)a mb m m -=---. ∵a mb -与c 共线，∴32630m m +-+=，则35m =. 【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题.。
高一数学下学期期末考试试题(含解析) (3).doc
2019高一年期末考试数学试卷选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知角的终边经过点P(4，－3)，则2sin＋c os的值等于( )A. －B.C. －D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边过点，利用任意角三角函数的定义，求出和的值，然后求出的值.【详解】因为角的终边过点，所以利用三角函数的定义，求得，，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.2.若扇形的面积为,半径为1，则扇形的圆心角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，∴故选B3.如果点P (sin2 θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】根据所给的点在第三象限，得出出这个点的横坐标和纵坐标都小于零，得到角的正弦值大于零，余弦值都小于零，从而可得角是第二象限的角.【详解】点位于第三象限，，，是第二象限的角，故选B.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、三角函数的定义以及三角函数在象限内的符号，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.4.由x与y的观测数据求得样本平均数＝5，＝8.8，并且当x＝8时，预测y＝14.8，则由这组观测数据求得的线性回归方程可能是( )A. ＝x＋3.8B. ＝2x－1.2C. ＝x＋10.8D. ＝－x＋11.3【答案】B【解析】【分析】设回归直线的方程为，将点与点代入回归方程即可的结果.【详解】可设回归直线的方程为，因为样本中心点在回归直线上，即在回归直线上，结合在回归直线上可得，解得，故回归方程为，故选B.【点睛】本题主要考查回归方程的性质，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.5.已知曲线C1：y=sin x，C2：y=sin (2x+)，把C1上各点的横坐标变为原来的k倍，纵坐标不变，再向左平移m个单位长度为了得到曲线C2，则k，m的值可以是（）A. k=2，m=B. k=2，m=C. k=，m=D. k=，m=【解析】【分析】函数的图象变换规律，利用放缩变换可得的值，利用平移变换可得的值. 【详解】把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，所以，故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A. 7B. 12C. 17D. 34【答案】C【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得结论.【详解】输入的，当输入的为2时，，不满足退出循环的条件；当再次输入的为2时，，不满足退出循环的条件；当输入的为5时，，满足退出循环的条件；故输出的值为，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.在三角形ABC中，点M，N满足.若，则（）A. x＝，y＝－B. x＝－，y＝－C. x＝，y＝D. x＝－，y＝【答案】A【解析】【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到的值.【详解】因为，所以得到，由平面向量基本定理，得到，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理的应用，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．8.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的范围求出的范围，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，原式角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可得结果.【详解】，，，则，故选A.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦、余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确即可.【详解】函数的最小正周期为，不满足①，排除A；函数的最小正周期为，满足①，时，取得最大值，是的一条对称轴，满足②；又时，单调递增，满足③，满足题意；函数在，即时单调递减，不满足③，排除C；时，不是最值，不是的一条对称轴，不满足②，排除D，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.10.甲、乙两人各自投一枚质地均匀的骰子，甲得的点数记为a，乙得的点数记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】试验包含的所有事件共有，其中其中满足的有种，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】试验包含的所有事件甲、乙两人各自投一枚质地均匀的骰子，共有种结果，其中满足的有如下情形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则，总共种，的概率为，故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.11.已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A. （0，]B. （0，2]C. [，]D. [，]【答案】C【解析】【分析】由，可得，令是减区间的子集，即可的结果.【详解】，，函数在上单调递减，周期，解得，的减区间满足：，取，得，解之得，即的取值范围是[，]，故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题. 函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.12.已知平面上有四点O，A，B，C，向量满足：，则△ABC的周长是( )A. 3B. 9C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由可得是正三角形，先利用平面向量数量积公式求出外接圆半径，再由正弦定理可得正三角形边长，从而可得结果.【详解】平面上有四点，满足，是的重心，，，即，同理可得：，即是垂心，故是正三角形，，设外接圆半径为，则，即，即，即，故周长，故选A.【点睛】本题主要考查向量垂直及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.已知向量的夹角为60°，|，则 ____________ ．【答案】12【解析】【分析】先利用平面向量数量积公式求出的数量积，然后将展开后，把代入即可的结果.【详解】，向量与的夹角为，，由此可得，故答案为12.【点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14.若，则的值为_________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系，将原式化为，将代入即可得结果.【详解】化简故答案为.【点睛】本题主要考查诱导公式以及同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15.已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是．【答案】【解析】试题分析：以为邻边作平行四边形，则因为，即，所以,由此可得是边上的中线的中点，点到的距离等于到距离的，所以，由几何概型可知将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是.考点：平面向量的线性运算与几何概型.16.在中，，则的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】设，利用余弦定理，列出关于的方程，由判别式不小于零可得结果.【详解】设，由余弦定理，，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在四边形ABCD中，＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.(1)求x与y的关系式；(2)若⊥，求x、y的值．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出与，根据向量平行的充要条件可得结果；（2）利用向量的坐标运算求出与，根据向量垂直的充要条件列方程，结合（1）的结论可得结果.【详解】(1)因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)，所以＝－＝(－x－4，2－y)．又因为∥，＝(x，y)，所以x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．因为⊥，所以·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，所以y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1当y＝3时，x＝－6，当y＝－1时，x＝2，综上可知或【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.18.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出的值，确定出的度数，即可求出的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将与的值代入求出的值，再由的值，利用三角形面积公式即可求出三角形的面积.【详解】(1)∵cos B cos C－sin B sin C＝，∴cos(B＋C)＝.∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝.∴cos A＝－.又∵0<A<π，∴A＝.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A.则(2)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos.∴12＝16－2bc－2bc·(－)．∴bc＝4.∴S△ABC＝bc·sin A＝×4×＝.【点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19.设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值；(3)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝，f ()＝－，且C为锐角，求sin A.【答案】（1）（2）（3） 3【解析】【分析】(1)利用两角和的余弦公式以及二倍角的余弦公式化简函数为，可得最大值为，最小正周期；（2）由，求得，由，求得的值，再利用，计算求得结果.【详解】(1)f(x)＝cos2x cos－sin2x sin＋＝cos2x－sin2x＋－cos2x＝－sin2x.f(x)的最小正周期T＝＝π(2)当2x＝－＋2kπ，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)最大值＝，(3)由f()＝－，即－sin C＝－，解得sin C＝，又C为锐角，所以C＝.由cos B＝，求得sin B＝.由此sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×＋×＝.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数性质及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.20.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得；(2)利用题意结合正弦定理可得：.试题解析：（I）在中，由余弦定理得(II)设在中，由正弦定理，故点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.21.已知函数.（1）当=1时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数，使得该函数在闭区间上的最大值为1 ？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当=1时，，结合三角函数的有界性可得结果；（2），，根据二次函数对称轴的位置，分类讨论，结合函数的单调性可得结果.【详解】（1）当=1时，由于，所以当时，函数的最大值为..（2），.当时，则取时，有最大值，解得，但不合题意，舍去；当时，则取时，有最大值，解得（舍去）；当时，则取时，有最大值，解得，但不合题意，舍去。
2019年延安市高一数学下期末模拟试题含答案
2019年延安市高一数学下期末模拟试题含答案一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．ABC V 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC V 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 5．若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B 25C 25或25 D ．256．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 9．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4511．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B =o B ．6b =，52c =，45B =o C ．10a =，15b =，120A =o D ．6b =，63c =，60C =o二、填空题13．()sin1013tan 70+=oo_____14．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．15．已知2a b ==r r ，()()22a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r的夹角为 .16．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.17．()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45︒︒︒︒︒+++++L =__________．18．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝02的点共有________个．19．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．20．若两个向量a v 与b v 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯v v”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=v v v v .若已知1a =v ，5b =v ，4a b ⋅=-v v ，则a b ⨯=v v .三、解答题21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 22．已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．24．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小. 25．已知数列{}n a 满足()*112112n n n n na a a n Nb a a +==∈=+，，，． ()1证明数列{}n b 为等差数列；()2求数列{}n a 的通项公式．26．ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC V 为等腰直角三角形.故选：B .3．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．B解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.5．B解析：B【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】∵α为锐角，sin 52α= s ，∴α＞45°且5cos α= ，∵()3sin 5αβ+=，且13252＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4355=-+= 故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.7．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.9．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
陕西省延安市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
陕西省延安市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（ ）A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦ D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】由222+,,4()a b c abc f a b c ++=，则(,,2()4)12ab c a bc f c a a b b --++=，再根据三角形边长可以证得()1,,2f a b c <，再利用不等式和已知可得22(1)()24a b c ab +-≤=，进而得到3211(,,)22f a b c c c ≥-+，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．【详解】由题意，记222+,,4()a b c abc f a b c ++=，又由1a b c ++=，则222122()42()22(1,))(,ab c a b abc c ab a b f a b ab c c =--++=+--++2221111112[]24()()()222222c ab a b c a b =+--+=---+，又,,a b c 为△ABC 的三边长，所以120,120,120a b c ->->->，所以()1,,2f a b c <， 另一方面(),,12(12)2(1)f a b c ab c c c =----，由于0,0a b >>，所以22(1)()24a b c ab +-≤=， 又120c ->，所以232(1)11(,,)12(12)2(1)422c f a b c c c c c c -≥-⨯---=-+，不妨设a b c ≥≥，且,,a b c 为ABC ∆的三边长，所以103c <≤． 令321122y c c =-+，则23(31)0y c c c c '=-=-≤， 当13c =时，可得2min 111113()2723227y =-+=，从而()131,,272f a b c ≤<，当且仅当13a b c ===时取等号． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题． 2．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，方差是2，则xy 的值为（ ） A ．88 B ．96 C ．108 D ．110【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式列方程组，得出x y +和22xy +的值，再由()()2222x y x y xy +-+=可求得xy 的值．【详解】由于样本的平均数为10，则有91011105x y++++=，得20x y +=，由于样本的方差为2，有()()22101101025x y +++-+-=，得()()2210108x y -+-=， 即()22202008x y x y +-++=，22208x y ∴+=，因此，()()222962x y x y xy +-+==，故选B ． 【点睛】本题考查利用平均数与方差公式求参数，解题的关键在于平均数与方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题．3．把函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=【答案】A 【解析】 【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程. 【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-， 令52,,32212k x k k Z x πππππ-=+∈∴=+， 令k=-1,所以12x π=-.故选A 【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．153C ．52D ．6【答案】D 【解析】 【分析】在三角形BCD 中，利用正弦定理求得BC ，然后在三角形ABC 中求得AB . 【详解】在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得sin 30BC ︒＝30sin135︒，所以BC ＝152在Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝236. 故选：D 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题. 5．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减【答案】B 【解析】 【分析】把函数()f x 化简后再判断． 【详解】21cos 22sin ()tan sin 22sin cos x x f x x x x x-===，由正切函数的性质知，A 、C 、D 都错误，只有B 正确．【点睛】本题考查二倍角公式和正切函数的性质．三角函数的性质问题，一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合相应的三角函数得出结论．6．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．6或6-D ．2或2-【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由，两边平方，得，所以，则为等腰直角三角形， 而圆的半径， 则原点到直线的距离为，所以，解得的值为2或-2 ．故选D ．7．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】 【分析】根据分层抽样的规律，计算和的关系为：，将选项代入判断不符合的得到答案.【详解】某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人, 样本中的中年人为6人，则老年人为：青年人为：代入选项计算，B 不符合 故答案为B 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.8．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C ．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．9．设偶函数()f x 定义在0022ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 上，其导数为()f x ' ，当02x π<< 时，()cos ()sin 0f x x f x x '+< ，则不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．0233πππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，B ．0332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， C ．0033，，ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2332ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【答案】C 【解析】 构造函数()()cos f x g x x=，则()()()2'cos sin 'cos f x x f x xg x x+=，所以当02x π<<时，()'0g x <，()g x 单调递减，又()g x 在定义域内为偶函数，所以()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，又()2cos 3f x f x π⎛⎫>⎪⎝⎭等价于()3g x g π⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以解集为,00,33ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选C ． 点睛：本题考查导数的构造法应用．本题中，由条件构造函数()()cos f x g x x=，结合函数性质，可得抽象函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，结合函数草图，即可解得不等式解集． 10．直线:10m x y +-=被圆22:240M x y x y +--=截得的弦长为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先由圆的一般方程写出圆心坐标()1,2，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线m 的距离d ，则弦长等于【详解】∵22240x y x y +--=，∴()()22125x y -+-=，∴圆M 的圆心坐标为()1,2，，又点()1,2到直线10x y +-=的距离d ==∴直线m 被圆M 截得的弦长等于=【点睛】本题主要考查圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于基础题型.11．某船从A 处向东偏北30方向航行B 处，然后朝西偏南60的方向航行6千米到达C 处，则A 处与C 处之间的距离为（ ） AB．C ．3千米D ．6千米【答案】B 【解析】 【分析】通过余弦定理可得答案. 【详解】设A 处与C 处之间的距离为x 千米，由余弦定理可得()222626cos 603012x ︒︒=+-⨯-=，则x =【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.12．在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）A ．25B ．12C ．35D ．34【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型长度型直接求解即可. 【详解】根据几何概型可知，所求概率为：523514p -==- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______. 【答案】1 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出22a b 的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1. 【考点】等差数列和等比数列 【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 14． 两等差数列{a n }和{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且723n n S n T n +=+，则220715a a b b ++=__________． 【答案】14924【解析】数列{a n }和{b n }为等差数列，所以()()1212201212112171512121217212149221213242a a a a a a Sb b b b b b T +⨯++⨯+=====+⨯+++. 点睛：等差数列的常考性质：{a n }是等差数列，若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+.15．若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____． 【答案】8-,682 【解析】试题分析：由m n m n a a a +=⋅得2113214,8,a a a a a a =⋅==⋅=-由m n m n a a a +=⋅得112n n n a a a a +=⋅=-，所以数列{}n a 为等比数列，因此10102[1(2)]682.1(2)S ---==--- 考点：等比数列通项与和项16．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】【解析】 【分析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值. 【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， 设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=， 同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)6xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高一第二学期期末数学试卷含答案(上海市)
高一第二学期期终考试试卷数 学一、填空题(每题3分，共36分) 1、求值：=-)23arcsin(___________ 2、在等差数列}{n a 中，若304321=+++a a a a ，则32a a +=___________3、若413)2(lim2=+++-∞→n bn n a n ，则b a +=________ 4、各项均不为零的数列}{n a 满足n n a a 21=+(*N n ∈)，设其前n 项和为n S ，则24a S =___________ 5、设无穷等比数列}{n a 的公比为q ，若)(lim 431n n a a a a +++=∞→ ，则q =__________6、已知函数],[,sin )(ππ-∈=x x x f ，则不等式21)(-≤x f 的解集为__________ 7、已知函数)sin()(θ+=x x f 是奇函数，则满足条件的所有θ组成的集合为_________8、已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和k S n n +=-13(*N n ∈)，则常数=k ___________9、已知数列}{n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+(*N n ∈)，则na n的最小值为___________ 10、函数x x y arcsin sin +=的值域是___________ 11、关于x 的方程0sin cos 2=++a x x 在20π≤<x 上有解，则a 的取值范围是________12、已知xx f +=11)(，各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+，若012210a a =，则1120a a +的值是___________二、选择题(每题3分，共12分)13、方程2tan =x 的解集是 （ ）(A)},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=π (B) },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=π (C) },2arctan |{Z k k x x ∈+=π (D) },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π14、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足“当2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”。