直线的倾斜角与斜率

y2 y1 tan . x2 x1
22 22 2013-9-10
例2
在平面直角坐标系中画出过（3，2）且斜率为-3的直线 l . 解：设 P( x, y) 是直线 l 上一点，根据公式有
y
y2 k 3 x3
可取
x 2, y 5,即P(2,5)是l上一点 .
作过(3,2)(2,5)的直线即可.
l O
P
x
5 2013-9-10
5
问题引入
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述 直线的倾斜程度呢？
y
l O
P
x
6 2013-9-10
6
直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
锐角还是钝角. 解：直线 的斜率 AB O
y
3 5
x
∵
4 ( 3) 1 k 53 2 1 k 0 2
的倾斜角是钝角. ∴直线 AB
-3 -4
(3,-3)
(5,-4)
20 20 2013-9-10
两点的斜率公式
1．已知直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，运用 1 上述公式计算直线 AB• 斜率时，与 P , P2两点坐标的顺 1 序有关吗？
无关
2．当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜 率公式还适用吗？为什么？
不适用
21 21 2013-9-10
两点的斜率公式
当直线 P2 P1 与 x 轴平行或重合时，上述式子还成 立吗？为什么？ 成立
经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )(x1 x2 ) 的直线的 1 斜率公式为：
13 13 2013-9-10
如：倾斜角 45 时，直线的斜率 k tan 45 1.
k tan 135 tan 45 1 即这条直线的斜率为 1.
如：倾斜角为 135 时，由

倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾 斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜 率表示直线的倾斜程度．
2013-9-10
( ) ( ) ( )
16 16
两点的斜率公式
已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且 x1 ≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k．
17 17 2013-9-10
y
P2 ( x2 , y 2 )
P ( x1 , y1 ) 1
3.经过两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 )的直线的斜率公式: y 2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
25 25 2013-9-10
思考：
1．已知 A(2,5), B(4,0)过点P(1,1) 的直线 l 与线段AB有公共点，求直线 l 的斜率 k 的范围；
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x1
，判断直线的倾斜角是 已知点 A(5,4), B(3,3)求直线AB的斜率
1 2013-9-10
1
问题引入
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何 表示呢？ 为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索 确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方 法把这些几何要素表示出来． y P（x，y） l
O x
2 2013-9-10 2
问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的 位置由哪些条件确定？
14 14 2013-9-10
例2、如图，直线 l1 的倾斜角 1 =300，直线 l2⊥l1，求l1，l2 的斜率。
y
l2
l1
1
O
2
x
15 15 2013-9-10
4. 判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 ②直线的斜率的范围是(,)
tan
（ ） （√ ）
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有 斜率. （ ） ④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π
2013-9-10
l
y
l
l
O
x
9
9
确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是： 直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者 缺一不可．
y
l O P x
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直线的斜率
坡高 坡度 i 坡底

设想:
坡 高 坡底
i tan
是否可以用直线倾斜角的正切来描述直线的倾斜程度呢?
2．已知 A(2,3), B(3,2)过点P(1,1)的直线 l 的范围. 与线段AB有公共点，求直线 l 的斜率 k
26 26 2013-9-10
27 27 2013-9-10
y
l O x
3 2013-9-10
3
问题引入
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定 一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够确定吗？ 答：不能
y
l
O P
x
4 2013-9-10
4
问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，… 它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线 区别在哪里呢？ y
y l
O
x
7 2013-9-10
7
y
y
y
y
a
锐角
a
x
8 8
零度角
直角
0， 的范围：
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的 倾斜角为 0 。
2013-9-10
x

x
x
o
o
o
o
钝角
直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角， 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同． 已知直线上的一个点不能 确定一条直线的位置；同样已 知直线的倾斜角α．也不能确定 一条直线的位置． 但是，直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线．
5
(2,5) (3,2)
2 O 2
x
3
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例3
m为何值时, 经过两点A(m,6), B(1, m)的直线斜率是12？
24 24 2013-9-10
反思提高
1.直线倾斜角和斜率的概念
2.由平面上一点和这条直线的倾斜角(或这条直线 的斜率)可以唯一确定这条直线且这两个条件缺一不可;
11 11 2013-9-10
结论:
1.可以用倾斜角的正切来刻画直线的倾斜程度.
2.如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
定义:
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 k 表示,即
k tan
倾斜角是直角的直线没有斜率.


O
P( x1 , y2 )
x

y1 y 2 k tan tan x1 x2
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斜率公式
经过两点P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式: 1 y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
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• • • • •
注意： 1、斜率可看成关于倾斜角的函数 k=tanα 2、直线的斜率可取一切实数 3、任何直线都有倾斜角,但是不一定有斜率! 所以要注意垂直于x轴和不垂直于x轴两种情况讨 论. • 4、倾斜角侧重于几何直观来刻画直线的方向; • 而斜率侧重于代数表示来刻画直线的方向.