1.1直线的倾斜角和斜率讲义.doc
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握计算方法，并能应用于解决实际问题。
通过本教案的学习，学生应能理解直线的倾斜角与斜率之间的关系，并能运用斜率计算直线的倾斜角，反之亦然。
教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念。
2. 掌握计算直线的斜率的方法。
3. 理解直线的斜率与倾斜角之间的关系。
4. 能运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题。
教学内容：一、直线的倾斜角1. 直线的倾斜角的定义。
2. 直线的倾斜角的计算方法。
二、直线的斜率1. 直线的斜率的定义。
2. 直线的斜率的计算方法。
三、直线的斜率与倾斜角之间的关系1. 斜率与倾斜角的定义及关系。
2. 斜率与倾斜角的计算方法。
四、运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题1. 运用斜率和倾斜角计算直线的长度。
2. 运用斜率和倾斜角计算直线的交点。
五、巩固练习1. 计算给定直线的斜率和倾斜角。
2. 解决实际问题，运用直线的斜率和倾斜角。
教学方法：1. 采用直观演示法，通过图形和实例引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法。
3. 采用实践法，让学生通过实际问题解决来运用直线的斜率和倾斜角。
教学评估：1. 课堂练习：学生在课堂上完成给定的练习题，检验对直线的倾斜角和斜率的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对直线的倾斜角和斜率的掌握。
3. 考试：设置有关直线的倾斜角和斜率的考试题目，全面评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT：提供直观的图形和实例，帮助学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 练习题库：提供丰富的练习题，供学生课堂练习和课后作业。
3. 实际问题案例：提供实际问题，供学生解决，运用直线的斜率和倾斜角。
教学步骤：一、直线的倾斜角1. 引入直线的倾斜角的概念，引导学生理解直线的倾斜角的意义。
2. 讲解直线的倾斜角的计算方法，引导学生掌握计算直线的倾斜角的方法。
直线的倾斜角和斜率 课件
【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P，且倾斜角为 α，∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°. 综上：00°°<≤αα<＋18405°°，<180°，解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求． 【解析】 (1)kPQ＝－－21－－11＝32. (2)∵x1＝x2，∴斜率不存在． (3)当 m＝2 时，斜率不存在； 当 m≠2 时，kPQ＝m2－－12＝m－1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图，已知 A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：①已知三点 A、 B、C 的坐标；②通过斜率判断直线 AB，BC，CA 的倾斜角．
解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．
(2)数形结合是一种常用的方法． (3)直线逆时针旋转，k 变大，顺时针旋转，k 变小．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，
1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值 范围．
【解析】 连接 PA，PB，kPA＝1－2（－－01）＝1，α1＝45°， kPB＝－3－2－ （0－1）＝－1，α2＝135°，
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时，斜率是非负的；当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．
高中数学-直线的方程基础讲义
2.1.1直线的倾斜角与斜率一、知识点1.直线倾斜角的定义：①当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 与直线l 之间所成的角叫直线l 的倾斜角②当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定直线l 的倾斜角为注：（1）直线的倾斜角的取值范围为（2）从运动变化的观点来看，当直线l 与x 轴相交时，将x 轴绕直线l 与x 轴的 按 方向旋转到与直线重合时所转的 叫直线的倾斜角（3）直线的倾斜角的几何意义：从“形”上直观地描述了直线对x 轴正方向的2.直线斜率的定义：①倾斜角不为090的直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写的字母k 表示，即=k②倾斜角为900的直线的斜率注：（1）直线的倾斜角α与斜率k 的关系：①当00=α时，=k ，此时直线与x 轴②当00900<<α时，k ，且k 随α的增大而③当090=α时，k ，此时直线与x 轴④当0018090<<α时，k ，且k 随α的增大而3.过两点的直线的斜率公式：过两点),(),,(222111y x P y x P )(21x x ≠的直线的斜率=k 例1.判断（1）任何一条直线都有倾斜角 （ ）（2）任何一条直线都有斜率 （ ）（3）若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （ ）（4）若直线的斜率为αtan ，则直线的倾斜角为α （ ）（5）倾斜角相等的直线，斜率也相等 （ ）（6）斜率相等的直线，倾斜角也相等 （ ）（7）倾斜角越大的直线，斜率也越大 （ ）（8）斜率越大的直线，倾斜角也越大 （ ）例2.已知直线的倾斜角为α，斜率为k ，则 ⑴若)3,6(ππα∈，则∈k ； ⑵若)65,3(ππα∈，则∈k ； ⑶若)33,3(--∈k ，则∈α ； ⑷若)1,1(-∈k ，则∈α 例3.已知点)2,3(),3,4(B A -，过点)10(-，P 的直线l 与线段AB 有公共点，求（1）直线l 的斜率k 的取值范围；（2）直线l 的倾斜角α的取值范围例4.已知实数y x ,满足82+-=x y ，且32≤≤x ，求x y 的最大值与最小值例5.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，求23++x y 的最大值与最小值例6.求函数)1(213≥+-=x x x y 的值域例7.已知函数)1ln()(+=x x f ，比较45ln ,34ln ,23ln 的大小例8.一束光线从点)32(，-A 射入经x 轴上点P 反射后，通过点)75(，B ，求点P 的坐标例9.已知点)14(),52(-，，B A ，在y 轴上求一点P ，使PB PA +最小，求点P 的坐标例10.证明不等式)0,0(>>>>++m a b ba mb m a例12.已知点)21(),13(),04(),32(，，，，---Q P B A ，判断直线AB 与PQ 的位置关系例13.已知)32(),24(),12(),00(D C B A -，判断四边形ABCD 的形状2.1.2 两直线的平行与垂直的判定一、知识点1.两直线的平行的判定：设两不重合的直线21,l l 的斜率分别是21,k k ，则1l ∥2l ⇔ 注：（1）1l ∥2l ⇔21k k =成立的前提：①21,l l 不重合；②斜率21,k k 都存在（2）1l ∥2l ⇒（3）21k k =⇒例1.判断直线AB 与PQ 是否平行？并说明理由.（1）)2,1(),1,3(),0,4(),3,2(---Q P B A（2）)1,1(),4,3(),1,2(),2,1(----Q P B A（3）)5,5(),2,5(),10,3(),2,3(Q P B A ---（4）)3,2(),4,3(),1,2(),1,0(Q P B A --例2.已知四边形ABCD 四个顶点分别为)0,0(A ，)1,2(-B ，)2,4(C ，)3,2(D ，试判断四边形ABCD 形状，并给出证明例3.已知平行四边形ABCD 中，)3,4(),0,1(),1,0(C B A ，求点D 的坐标2.两直线的垂直的判定：设两直线21,l l 的斜率分别是21,k k ，则⇔⊥21l l 注：（1）⇔⊥21l l 121-=k k 的前提是（2）⇒⊥21l l（3）121-=k k ⇒例4.判断直线AB 与PQ 是否垂直？并说明理由.（1）)6,6(),3,0(),6,3(),0,6(--Q P B A（2）)1,2(),1,2(),2,1(),2,1(Q P B A ----（3）)40,10(),40,10(),100,3(),4,3(Q P B A -例5.已知点)3,2(),1,1(),1,5(C B A -，试判断ABC ∆的形状例6.已知点)3,2(),2,3(),0,1(),1,0(D C B A ，试判断四边形ABCD 的形状作业：（1）已知)0,3(),2,2(),1,1(C B A -三点，求点D 的坐标，使AB CD ⊥，CB ∥AD（2）已知点)23,3(),,(),4,42(),2,3(+-----m D m m C m B m A ，若直线CD AB ⊥，求m 的值2.2 直线的方程一、知识点1.直线的方程的概念：一般地，如果一条直线l 与一个方程满足：①以这个方程的解为坐标的点都②直线上任何一点的坐标都那么这个方程称为 的方程，这条直线称为 的直线2.直线的点斜式方程：过点),(00y x P 且斜率为k 的直线方程为： ， 特别的，当直线l 的斜率0=k 时，直线l 的方程为当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程为注：（1）直线的点斜式方程只适合于 的直线（2）过点),(00y x P 的直线有 条，可以分为两类：第一类：斜率存在的直线，方程为第二类：斜率不存在的直线，方程为例1.直线1+=x y 绕其上一点)4,3(P 逆时针旋转090后得到直线l ，求直线l 的点斜式方程例2.已知直线l 过点)0,1(，且与直线)1(33-=x y 的夹角为030，求直线l 的方程3.直线的斜截式方程（1）截距的定义：我们把直线l 与x 轴的焦点)0,(a 的 称为直线l 在x 轴上的截距，又叫 ；把直线l 与y 轴的焦点),0(b 的 称为直线l 在y 轴上的截距，又叫注：由截距的定义知截距不是距离，它是直线与x 轴，y 轴交点的 和 ，距离是非负的，而截距有正有负，也可以为0，当直线与坐标轴正半轴相交时，截距为 ，当直线与坐标轴的负半轴相交时，截距是 ，当直线过原点时，截距为（2）直线的斜截式方程：斜率为k ，纵截距为b 的直线l 的方程为 注：（1）直线的截距式方程只适合于 的直线（2）斜截式方程b kx y +=中，x 的系数为直线的 ，常数项b 为直线的4.斜截式下两直线位置关系的判定：设直线1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则（1）21,l l 重合⇔（2）1l ∥2l ⇔（3）21,l l 相交⇔（4）21l l ⊥⇔例3.（1）过点)1,1(且与直线72+=x y 平行的直线方程为（2）过点)1,1(且与直线72+=x y 垂直的直线方程为例4.（1）当a 为何值时，直线1l :a x y 2+-=与直线2l ：2)2(2+-=x a y 平行？（2）当a 为何值时， 直线1l : 3)12(+-=x a y 与直线2l ：34-=x y 垂直？2.2.2直线的两点式方程一、知识点1.直线的两点式方程：过点),(),,(222111y x P y x P ),(2121y y x x ≠≠的直线方程为 注：（1）两点式方程只适合于 的直线（2）当21x x =时,直线的斜率 ，方程是 当21y y =时,直线的斜率为 ，方程是例1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程.（1）)3,0(),1,2(-Q P（2）)0,5(),5,0(B A（3）)0,0(),5,4(D C --例2.已知三角形的顶点是)2,0(),3,3(),0,5(C B A --（1）求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程（2）求BC 边上垂直平分线所在直线的方程（3）求BC 边上高所在直线的方程2.直线的截距式方程：过点)0)(,0(),0,( ab b B a A 的直线方程为注：（1）直线的截距式方程适用于 的直线，即直线的截距式方程不能表示 的直线例3.根据下列条件求直线方程（1）在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距是3；（2）在x 轴上的截距为-5，在y 轴上的截距是6；例4.已知直线l 经过点P(1,2)，并且点A(-2,3)和点B(4,-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程例5.求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条？它们的方程是什么？变式：（1）过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距互为相反数的直线有几条？（2）过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?（3）过(1,2)并且在y 轴上的截距是x 轴上的截距的2倍的直线有几条?注：不过原点且截距相等的直线的斜率为不过原点且截距互为相反数的直线的斜率为例6.已知直线l经过点P(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成三角形面积是4，求直线l的方程例7.直线l过点P(1,2)且与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点，求使三角形AOB面积最小时直线l的方程例8.已知直线l过点P(3,2)且与x轴,y轴正半轴交于A,B两点，（1）求使△AOB面积最小时直线l的方程.PA⋅的值最小时直线l的方程.（2）求PBOA+的值最小时直线l的方程.（3）求OB（4）求△AOB周长最小时直线l的方程作业：1.已知△ABC 的顶点A(5，1),AB 边上的中线CM 所在的中线方程为2x-y-5=0,AC 边上的高BH 所在的直线方程为x-2y-5=0(1)求AC 所在的直线方程；(2)求点B 的坐标2.已知两直线1l :ax-by+4=0,2l :(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b 的值(1)21l l 且1l 过点（-3,-1)(2)1l //2l 且坐标原点到这两条直线的距离相等3.直线过点)2,34(P 且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A,B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12；(2)△AOB 的面积为6，若存在，求出方程，若不存在，说明理由2.2.3直线的一般式方程一、知识点1.直线的一般式方程：注：（1）直线的一般式方程适合于 的直线（2）平面上任一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程表示；关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线（3）对直线的一般式方程B A C By Ax ,(0=++不同时为0)①当0≠B 时，方程可化为可化为 ，其斜率为 ，纵截距为 ②当0=B 时，方程可化为 ，表示一条 的直线（4）对于直线方程的一般式，一般作如下约定：①一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；②x 项的系数为正③x ，y 的系数和常数项一般不出现分数例1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a=0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围例2.设直线l 的方程为62)12()32(22-=-++--m y m m x m m ，根据下列条件分别确定m 的值（1）l 在x 轴上的截距是-3；（2）l 的斜率是-1例3.直线0=++c by ax ，当0<ab ，0<bc 时，此直线不通过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例4.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.平行或重合例5.若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是例6.直线Ax+By+C=0通过第一、二、四象限，则（ ）(A)A ·B>0,A ·C>0 (B)A ·B>0,A ·C<0(C)A ·B<0,A ·C>0 (D)A ·B<0,A ·C<02.一般式下两直线的位置关系：设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A（1）21,l l 重合⇔（2）1l ∥2l ⇔（3）21,l l 相交⇔（4）21l l ⊥⇔例7.已知直线1l ：x+(a+1)y-2+a=0和2l ：2ax+4y+16=0，若1l ∥2l ，求a 的值例8.已知直线1l ：x-ay-1=0和2l ：a2x+y+2=0，若1l ⊥2l ，求a 的值2.3.1两条直线的交点坐标一、知识点1.两条直线的交点坐标：用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A （1）若方程组有且只有一个解, 则两条直线（2）若方程组无解, 则两条直线（3）若方程组有无数解, 则两条直线例1.求直线1l ：0243=-+y x 和2l ：022=++y x 的交点坐标例2.判断下列各对直线的位置关系，如果相交,求出交点坐标.（1）1l ：0=-y x 和2l ：01033=-+y x（2）1l ：043=+-y x 和2l ：026=-y x（3）1l ：0543=-+y x 和2l ：01086=-+y x例3.若三条直线1l ：044=++y x ，2l ：01=++y mx ，3l ：01=+-y x 不能围成一个三角形，求m 的值例 4.若三条直线1l ：01=++y ax ，2l ：01=++ay x ，3l ：0=++a y x 能围成一个三角形，求m 的取值范围例5.若直线1l ：12++=k kx y ，2l ：042=-+y x 的交点在第四象限，求k 的取值范围2.3.2两点间的距离一、知识点1.平面上任意两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式：=AB 注：（1）当AB ⊥x 轴时，=AB ；当AB ⊥y 轴时，=AB（2）任意一点P(x,y)到坐标原点的距离为2.斜率为k 的直线上两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式：=AB == =例1.已知点)7,2(),2,1(B A -，在x 轴上求一点P ，使PB PA =，并求PA 的值例2.在直线l:3x-y+1=0上求一点P ，使点P 与两点A(1,-1),B(2,0)的距离相等例3.已知点A(7,-4) ,B(-5,6), 求线段AB 的垂直平分线的方程例4.证明：平行四边形ABCD 四条边的平方和等于两条对角线的平方和例5.证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等例6.已知 8422)(22+-++-=x x x x x f ，问x 取何值时)(x f 最小，最小值为多少？例7.已知8422)(22+--+-=x x x x x f ，问x 取何值时)(x f 最小，最小值为多少？例8.已知10,10<<<<y x ，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-++-+-+++y x y x y x y x2.3.3点到直线的距离一、知识点1.点到直线的距离的定义：过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q 点， 的长度叫做点P 到直线l 的距离2.点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线l ：0=++C By Ax 的距离=d 注：（1）用此公式时直线要先化成一般式（2）当0=A 时，点),(00y x P 到直线l 的距离=d 当0=B 时，点),(00y x P 到直线l 的距离=d例1.求点P(-1,2)到直线l ：3x=2的距离注：（1）点),(00y x P 到x 轴的距离=d（2）点),(00y x P 到x 轴的距离=d（3）点),(00y x P 到直线x=a 的距离=d（4）点),(00y x P 到直线y=b 的距离=d例2.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0)，求△ABC 的面积例3.已知直线l 经过点P(1,2),并且点A(-2,3)和点B(4,-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.例4.△ABC 中，A(3,3)，B(2,-2)，C(-7,1)，求∠A 的平分线AD 所在的直线方程注：角平分线定理：设AD 为△ABC 的∠A 的平分线(内角平分线或外角平分线)，则例5.直线l 过点P(2,-5)且与点A(3,-2)，B(-1,6)距离之比为1:2，求直线l 的方程例6.在抛物线4 y 2x 上求一点P ，使P 到直线l : y=4x-5的距离最短,并求出这个最短距离.例7.直线l 经过点 P(－2，1), 且A(-1，3)到l 的距离等于1, 求直线l 的方程2.3.4两条平行直线间的距离一、知识点1.两平行线间的距离的定义：指夹在两平行线间的 的长度2. 两条平行线间的距离公式：两平行线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax 间的距离=d注：（1）使用两条平行直线间的距离公式的前提条件： ①把直线方程化为一般式方程．②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．（2）斜截式下两直线1l ：1b kx y +=,2l ：2b kx y +=间的距离=d 例1.已知直线1l ：0872=--y x ,2l ：01216=--y x ，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离例2.求与两平行线1l ：2x-3y+4=0，2l ：2x-3y-2=0距离相等的直线l 的方程注：与两平行线1l ：01=++C By Ax ,2l ：02=++C By Ax 距离相等的直线l 的方程为21 例3.已知直线1l 过点A(0,1)，2l 过点B(5,0)，若1l //2l ，且21,l l 距离为5，求直线21,l l 的方程例4.求与直线2x-y-1=0平行且距离为5的直线l 的方程例5.两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1)，且各自绕着点A,B 旋转，设两平行线间的距离为d ，（1）求d 的取值范围（2）求当d 取最大值时两直线的方程例6.l 过点P(-2,1)，点A(-1,3)到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程。
直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和 斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存 在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情 况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率 的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形 式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的 方程，特别是当已知直线上的一 点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式， 它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的 直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否 在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时， 直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下 倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情 况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时， 另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中 的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。
2-1-1 直线的倾斜角和斜率 课件(北师大版必修二)
且直线 AB，BC 有共同的点 B，所以 A，B，C 三点共线．
题型三
直线的倾斜角和斜率的范围问题
【例 3】 (12 分)已知直线 l 过 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)、 B(3,0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围． 审题指导 当直线绕定点由与 x 轴平行(或重合)位置按逆时针方 向旋转到与 y 轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐增大到＋∞(即 斜率不存在)，按顺时针方向旋转到与 y 轴平行(或重合)时，斜 率由零逐渐减小至－∞(斜率不存在)． 【解题流程】 画出草图 → 求出斜率的边界值kPA、kPB → 结合倾斜角的变化，分析l斜率的变化 → 下结论
1 ②当 m＜1 时，k＝ ＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是 m－1 (90° ，180° )． 直线的斜率是指其倾斜角 α 的正切值， α＝90° 当 时， 其正切值 tan α 是没有意义的， 这时， 我们认为直线的斜率不存 在，在解题时，切莫忽视这一点．
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[规范解答] 如图，直线 l 在 PA 与 PB 之间变动．若设 PA 与 PB 的倾斜角分别是 α 和 β，则直线 l 的倾斜角由 α 增至 β，可以由 PA 与 PB 的斜率求出 l 的斜率的取值范围． 1 直线 PA 的斜率是 kPA＝5，直线 PB 的斜率是 kPB＝－2.(4 分) 当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 α 增至 90° ，斜率的取值范围为[5，＋∞)．(7 分) 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90° 增至 β，
题型二
共线与斜率的关系
【例 2】 已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线 上，求实数 a 的值． [思路探索] 由于三点共线，其中任意两点都可表示出这条直线 的斜率，故可以按照求 kAB，求 kBC，再由 kAB＝kBC，求 a 的顺 序求解．
第1章1.1 直线的斜率与倾斜角-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
知识点 1 直线的斜率 对于直线 l 上的任意两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2). (1)如果 x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，xy22－－xy11是一个定 值，我们将其称为直线 l 的斜率． k＝yx22－－yx11(x1≠x2).
1.1 直线的斜率与倾斜角
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1.1 直线的斜率与倾斜角
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类型 3 直线的倾斜角和斜率的综合 [探究问题] 1．在斜率公式 k＝yx22－ －yx11中，分子与分母的顺序是否可以互换？ y1 与 y2，x1 与 x2 的顺序呢？ [提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但 y1 与 y2 和 x1 与 x2 可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为 k＝yx11－ －yx22.
[解] (1)如图①，可知∠OAB 为直线 l1 的倾斜角．易知∠ABO＝ 30°，∴∠OAB＝60°，即直线 l1 的倾斜角为 60°.
(2)如图②，可知∠xAB 为直线 l2 的倾斜角，易知∠OBA＝45°， ∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线 l2 的倾斜角为 135°.
1.1 直线的斜率与倾斜角
(2)如果 x1＝x2，那么直线 l 的斜率不存在． (3)对于与 x 轴不垂直的直线 l，它的斜率也可以看作 k＝yx22－－yx11＝ 纵横坐坐标标的的增增量量＝ΔΔyx.
1.1 直线的斜率与倾斜角
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直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
直线和方程讲义
直线与方程讲义教学过程（内容）备注一．直线的倾斜角与斜率1.当直线与轴相交时，我们把轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.则直线的倾斜角的范围是.2.倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即.特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率不存在；当，时，直线与轴垂直，斜率注意：当直线与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°，斜率当直线与y轴平行或者重合时，.直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，当时， 斜率，随着α的增大，斜率也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率也增大.如果知道直线上两点，则有斜率公式.三点共线的充要条件是练习1．直线的倾斜角和斜率分别是（）A． B． C．，不存在 D．，不存在1．若三点共线 则的值为_____________2．如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，那么直线 的斜率是_____________________3．已知点，若直线过点与线段相交，求直线的斜率的取值范围3．若过点的直线与过点的直线平行，则= .两点式：截距式：一般式：，注意A、B不同时为0.直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.例：在方程中，A,B,C为何值时，方程表示的直线：（1）过原点（2）与轴重合？（3）平行于轴？练习1．已知点，则线段的垂直平分线的方程是______________2．已知，则直线通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（）A． B． C． D．3．已知直线过点，求过点P且与直线所夹的锐角为的直线的方程。
4．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积．四．两条直线的平行与垂直1．对于两条直线：（1）（2）2.对于两条直线：（1）（2）3.与直线平行的直线可设为。
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直线的倾斜角和斜率讲义复习引入：在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下问顾：1.一次函数的图象特点：一次函数形如y = kx + b,它的图象是一条直线.2.对于一给定函数y = 2x + l,作出它的图象的方法：由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.3.这两点与函数式的关系：这两点就是满足函数式的两对值.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y = /a + b的图象是一条直线，它是以满足y = kx + b的每一对的值为坐标的点构成的.由于函数式y =奴+。
也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念，知识要点：一、直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线，在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率，二、直线的倾斜角与斜率：1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于-•条与x轴相交的直线，如果把工轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为Q ,那么Q就叫做直线的倾斜角.2、倾斜角的范围：当直线和尤轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° . 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0° WQV180。
，3、斜率的定义：倾斜角不是90。
的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用化表示.倾斜角是90。
的直线没有斜率.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于尤轴的直线的倾斜角是0或兀；D.两直线的倾斜角和等，它们的斜率也和等.E.直线斜率的范围是（一8, +8）.辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：A.与x轴垂直的直线倾斜角为兰，但斜2率不存在；B.举反例说明，120。
>30°，但tanl20（,=-V3<tan30°= —； C.平行于x轴的直线的倾斜角为。
；D.如果两直线的倾斜角都亳，但斜率不存在，也就谈不上相等.说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0。
；②直线倾斜角的取值范围是0°<6Z<1800；③倾斜角是90°的直线没有斜率.4.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率的变化情况:(1)0°<a<90°作出y = tanQ在［0°,90°)区间内的函数图象；由图象观察可知：当a《［0°,90°), y = tant>0,并且随着。
的增大，y不断增大。
(2)90° < a <180°作出y = tana在(90°,180°)区间内的函数图象,由图象观察可知:当a e (90°,180°), y = tanoV0,并且随着。
的增大，y = tan a不断增大。
针对以上结论，虽然有当。
£［0°,90。
)，随着a增大直线斜率不断增大；当。
仁(90。
,180°), 随着。
增大直线斜率不断增大.但是当 a &［0°,90°) U (90°,180°)日寸，随着。
的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y = tana在区间［0°,90°)内为单调增函数，在区间(90°,180°)内也是单调增函数，但在［0°,90°) U (90°,180°)区间内，却不具有单调性，三、斜率公式：1、斜率公式：经过两点6O［，V］)，4(DS)的直线的斜率公式：k=一—(尤1壬"■»・・尤2一玉・2、斜率公式的形式特点及适用范围：%1斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒;%1斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；%1斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用；%1当玉=也5/力时，直线的倾斜角。
=90。
，没有斜率. | 题型讲解：喝例1 如图，直线的倾斜角%=30。
,直线Zj ± /2,求4、A的斜率.分析：对于直线4的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线匕的斜率则需要先求出倾斜角％,而根据平面儿何知识，％=名+90°,然后再求tan%即可.解: /1的斜率A】=tan a x =tan30° ・.W的倾斜角% =90° +30°，的斜率=tanl20° =tan (180° -60° ) =-tan60° = — JL评述：此题要求学生掌握己知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.例2 巳知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)。
=0°； (2)。
=60°； (3)。
=90°； (4) a = —4分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(l)・.・tanO。
=0..・倾斜角为0。
的直线斜率为0；(2)Vtan60°=际二倾斜角为60°的直线斜率为占；(3)Vtan90°不存在.L倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)V tan—= tan(^- —) = —tan—= —1,.••倾斜角为兰兀的直线斜率为一1.4 4 4 4例3求经过A (-2, 0)、B (-5, 3)两点的直线的斜率和倾斜角.3-()解：k= =-\ ,就是tano = —l v 0° < 6Z < 180°,.・.。
=135。
-5 - (-2)因此，这条直线的斜率是一1,倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角.例4求过下列两点的直线的斜率&及倾斜角。
%1匕(-2,3)、乙(-2,8); 斜率不存在，。
=90。
%1R (5,-2)、P2 (-2,-2) ; * = 0 ,。
= 0。
3 3%1Py (—1,2) > 己(3,-4) k ——— , oc ~ 7t — arctun —点评：结合反三角的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表达式：①当上>0 时，a = arctan k；②当上=0 时，a = 0°；③当RvO时，a = 7r-arctan|Z:|.例5若三点A(2,3), B(3,-2), C(-,m)共线，求m的值2An J J -2 — 3 727 — 3 21解：K AH = k AC => -------- =------ n m = —土3 + 2 1 + 2 22例6己知三角形的顶点0(0,5), fi(l,-2), C(-6,冷，BC中点为D,当A。
的斜率为1时，求m的值及|AD|的长,m-2 5 ___________ 解：。
点坐标为。
［一°, —- ， k AD =—— = 1 => m = 7* \AD\ = J(—)2 +(5-—)2=冬度》I 2 2 J 40 5 V 2 2 2A. a 二4, b 二0B. a 二—4, b 二—3C. a=4, b=—36. 己知两点M(2, —3)、N( — 3, -2),直线1过点P(l, 的取值范围是(A ) .A.k^-或 kW —4B. —4WkW°C. &kW4 4 4 47. 直线/经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是(A. —B. — C-—或一 4 4 4 48. 过点P(-2, in)和Q(m, 4)的直线的斜率等于1,则m 的值为(A. 1B.4C. 1 或 3D. a=—4, b=3 D 且与线段MN 相交，则直线/的斜率k D. — &kW4 4 D." 4 A ) D. 1 或4 12.随堂演练：1. 若直线/过(-2, 3)和(6, —5)两点，则直线/的斜率为-1，倾斜角为_135°2. 已知直线＜ 的倾斜角为。
】，贝"关于尤轴对称的直线4的倾斜角。
2：为当=0时，。
2 = 0, 当 0。
V 。
]V180。
时，。
2=180° —。
i.3. 已知直线/过A(-2,代+写2)、B (2, (t--)2)两点，则此直线斜率为_一 1 ,倾斜角为_135° _。
t t4. 己知两点人(、，-海(3,。
)，并且直林的斜率为!，则—5. 斜率为2的直线经过(3, 5)、(a, 7)、(一l,b)三点，则a 、b 的值是(C )9. 已知A(2, 3)、B(-l, 4),则直线AB 的斜率是 一土3 10. 己知M(a, b)、N(a, c) (b#c)，则直线MN 的倾斜角是 90°11. 己知 0(0, 0)、P(a,b)(aU0),直线 0P 的斜率是- .己知6W ，M ),Rg ，y2)，当玉壬约时，直线4R 的斜率R =—业二21x 2 - x x y, = y 2时，直线VR 的斜率为 0 ，倾斜角为 0° .13. 已知两点A( —3,4)、B(3, 2),过点P(2, 一1)的直线/与线段AB 有公共点.求直线/的斜率 k 的取值范围.(答案：kW — 1或kN3)14. 如果直线/沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位 置，求直线/的斜率.(答案：一」)315. 过P(—1,2)的直线/与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线的 斜率。
(答案：2)16. 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) a =30° ； (2) a =45° ； (3) a = -—； (4) a ———； 63 解：⑴・.・tan30° = —, A 直线斜率为土；(2) Vtan45° =1, A 直线的斜率为1；3 3⑶Atan—= , A直线斜率为一曳6 3 3 (4) V tan --- =— V3 , 直线斜率为—。