直线的倾斜角与斜率(教学设计)
直线的倾斜角和斜率教学设计
直线的倾斜角和斜率教学设计教学设计：直线的倾斜角和斜率一、教学目标：1.知识目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，能够计算直线的斜率。
2.能力目标：能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣和积极参与数学学习的态度。
二、教学内容：1.直线的倾斜角和斜率的概念介绍。
2.直线的斜率的计算方法。
3.直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学过程：1.导入新知识（5分钟）让学生观察一些直线的图片，引导学生思考直线的特征和性质。
然后提出问题：“如何刻画直线的倾斜程度？”进一步引导学生思考斜率的概念。
2.概念讲解（10分钟）介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并进行示例说明。
通过几个具体图例，让学生理解倾斜角和斜率的计算方法。
3.斜率计算练习（15分钟）在黑板上给出几组直线的坐标，让学生自行计算斜率。
然后互相交流答案，老师给予必要的指导和讲解。
4.斜率的性质探究（10分钟）在黑板上给出不同的两条直线，让学生分别计算斜率并进行比较，引导学生发现两条平行线的斜率相等，两条垂直线的斜率的乘积为-15.应用实例探讨（20分钟）以实际问题为例，引导学生应用倾斜角和斜率的概念计算问题。
例如，计算两个点之间的坡度、判断两个线段的交叉情况等。
6.巩固练习（15分钟）提供一些练习题，要求学生计算直线的斜率，并在给出的坐标系中绘制这些直线。
让学生将所学知识应用到实际问题中，巩固对倾斜角和斜率的理解和计算能力。
7.拓展应用（15分钟）让学生从生活实际中寻找更多的与斜率相关的问题，并用倾斜角和斜率的概念解决这些问题。
鼓励学生讨论和分享解决思路，加深对知识的理解和应用能力。
8.知识总结（5分钟）让学生自主总结直线的倾斜角和斜率的关系，并展示自己的总结。
教师进行点评和补充说明。
四、课堂训练：借助数字资源软件或练习册等材料，布置适量的作业题目，巩固学生对直线的倾斜角和斜率的理解和应用。
五、教学反思：本教学设计通过多种方式引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念，并加以实际问题的应用，既注重了学生的思维能力培养，又培养了学生对数学的兴趣和动手能力。
直线的倾斜角与斜率教案
直线的倾斜角与斜率教案一、引言在平面几何中，直线是最基本的图形之一，而直线的倾斜角和斜率则是直线的两个重要特征。
本教案将介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法以及应用。
二、直线的倾斜角1. 概念直线的倾斜角是指直线与水平方向的夹角，通常用角度制表示，取值范围为0°~90°。
2. 计算方法设直线的倾斜角为α，则有：•当直线向右倾斜时，0°≤α≤90°，且tanα=斜率；•当直线向左倾斜时，90°<α≤180°，且tan(α-90°)=斜率。
3. 应用直线的倾斜角可以用于解决一些实际问题，如：•在建筑设计中，需要计算房屋屋顶的倾斜角度；•在地理学中，需要计算山坡的倾斜角度；•在物理学中，需要计算斜面的倾斜角度等。
三、直线的斜率1. 概念直线的斜率是指直线上任意两点之间的高度差与水平距离之比，通常用斜率公式表示，即：k=y2−y1 x2−x1其中，(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
2. 计算方法直线的斜率可以通过斜率公式进行计算，也可以通过直线的倾斜角进行计算，具体方法如下：•当直线向右倾斜时，斜率为正，且斜率等于tanα；•当直线向左倾斜时，斜率为负，且斜率等于tan(α-180°)。
3. 应用直线的斜率可以用于解决一些实际问题，如：•在数学中，可以用斜率来判断两条直线是否平行或垂直；•在物理学中，可以用斜率来计算物体的速度、加速度等；•在工程学中，可以用斜率来计算斜坡的坡度、道路的坡度等。
四、练习题1.某条直线的斜率为2，求该直线的倾斜角。
2.某条直线的倾斜角为30°，求该直线的斜率。
3.某条直线过点(1,2)和(3,6)，求该直线的斜率。
4.某条直线过点(1,2)和(3,6)，求该直线的倾斜角。
五、总结本教案介绍了直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法以及应用。
通过学习，我们可以更好地理解直线的特征和性质，为解决实际问题提供了有力的工具。
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)直线的倾斜角和斜率直线的斜率和倾斜角是数学中的重要概念，它们帮助我们理解和描述直线的特性。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
1. 斜率的定义和计算方法斜率是直线上的两个点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
用数学符号表示，斜率可以表示为：m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
例如，有一条直线上的两个点分别为A(1, 2)和B(4, 5)，我们可以计算这条直线的斜率：m = (5 - 2)/(4 - 1)= 3/3= 1所以，这条直线的斜率为1。
2. 斜率的特性斜率可以帮助我们判断直线的特性，如下所示：- 当斜率为正数时，直线是向上倾斜的。
斜率越大，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为负数时，直线是向下倾斜的。
斜率越小，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为0时，直线是水平的。
- 当斜率不存在（除数为0）时，直线是垂直的。
通过计算直线的斜率，我们可以快速了解直线的倾斜情况，并对其特性进行分析。
3. 倾斜角的定义和计算方法倾斜角是直线与水平线之间的夹角，用数学符号表示为θ。
对于任意一条直线，可以通过其斜率来计算倾斜角。
倾斜角的计算方法如下：- 当直线向上倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m)。
- 当直线向下倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m) + π。
- 当直线是水平的时，倾斜角为θ = 0。
- 当直线是垂直的时，倾斜角不存在。
4. 实例分析让我们通过几个实例来进一步理解直线的倾斜角和斜率。
实例一：有一条直线通过点A(-2, 1)和B(4, 9)。
计算直线的斜率和倾斜角。
通过斜率的计算公式，我们可以得到直线的斜率：m = (9 - 1)/(4 - (-2))= 8/6= 4/3接下来，我们可以计算直线的倾斜角：θ = arctan(4/3)实例二：有一条直线通过点C(3, 2)和D(3, 8)。
直线的倾斜角和斜率教案
直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角；（2）掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率；（3）能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察实际情境，让学生感受直线的倾斜角和斜率的概念，培养学生的观察能力和思维能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线的倾斜角的概念；（2）直线的斜率与倾斜角的关系；（3）运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
2. 教学难点：直线的斜率与倾斜角的计算。
三、教学过程1. 导入新课：通过展示实际情境，如倾斜的梯子、斜坡等，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角：（1）介绍直线的倾斜角的概念，即直线与水平线之间的夹角；（2）引导学生通过观察和思考，理解直线的倾斜角的大小与直线的斜率之间的关系。
3. 讲解直线的斜率：（1）介绍直线的斜率的概念，即直线的倾斜角的正切值；（2）引导学生通过观察和思考，掌握直线的斜率与倾斜角的关系；（3）举例说明如何计算直线的斜率。
4. 练习与巩固：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
四、课后作业1. 请描述直线的倾斜角和斜率的概念，并说明它们之间的关系。
（1）直线y = 2x + 3；（2）直线x = 4。
五、教学反思通过本节课的教学，学生应该能够理解直线的倾斜角和斜率的概念，并掌握它们之间的关系。
在教学过程中，要注意引导学生通过观察和思考，培养学生的观察能力和思维能力。
布置适量的练习题，让学生巩固所学知识。
在课后，要关注学生的学习情况，及时进行教学反思，不断提高教学质量。
六、教学拓展1. 探讨直线的倾斜角与斜率在实际应用中的例子，如建筑设计中的斜屋顶、物理学中的倾斜面等。
2. 引导学生思考直线的倾斜角和斜率在几何图形中的作用，如在三角形、四边形等图形中的运用。
直线倾斜角与斜率教案
直线倾斜角与斜率教案教案标题：直线倾斜角与斜率教案教案目标：1. 理解直线倾斜角的概念，并能够计算直线的倾斜角。
2. 理解斜率的概念，并能够计算直线的斜率。
3. 掌握使用直线倾斜角和斜率解决实际问题的能力。
教学重点：1. 直线倾斜角的计算方法。
2. 斜率的计算方法。
3. 直线倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、投影仪、计算器。
2. 学生准备：纸张、铅笔、直尺。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线倾斜角的概念，通过举例说明直线的倾斜角是如何确定的。
2. 引入斜率的概念，通过示意图解释斜率的含义。
二、直线倾斜角的计算（15分钟）1. 讲解直线倾斜角的计算方法：倾斜角 = arctan(斜率)。
2. 通过示例演示直线倾斜角的计算过程。
3. 学生进行练习，计算给定直线的倾斜角。
三、斜率的计算（15分钟）1. 讲解斜率的计算方法：斜率 = (纵坐标差)/(横坐标差)。
2. 通过示例演示斜率的计算过程。
3. 学生进行练习，计算给定直线的斜率。
四、直线倾斜角和斜率的应用（15分钟）1. 讲解直线倾斜角和斜率在实际问题中的应用，如计算物体的速度、坡度等。
2. 通过实际问题的例子，引导学生运用直线倾斜角和斜率解决问题。
3. 学生进行实际问题的解答和讨论。
五、总结与拓展（10分钟）1. 总结直线倾斜角和斜率的计算方法和应用。
2. 提出拓展问题，让学生思考更复杂的直线倾斜角和斜率问题。
3. 鼓励学生独立学习和探索更多相关知识。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和学习态度。
2. 教师提供练习题，检查学生对直线倾斜角和斜率的计算和应用的掌握程度。
3. 学生之间进行小组讨论，解决实际问题，展示对知识的理解和运用能力。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习，了解更多与直线倾斜角和斜率相关的知识。
2. 提供更多实际问题，让学生运用直线倾斜角和斜率解决更复杂的问题。
3. 引导学生进行实地观察和测量，探索直线倾斜角和斜率的实际应用。
直线的倾斜角和斜率教案
直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.掌握求直线的倾斜角和斜率的方法；3.能够应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学重点1.直线的倾斜角和斜率的概念；2.求直线的倾斜角和斜率的方法。
三、教学难点1.直线的倾斜角和斜率的关系；2.应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
四、教学内容1. 直线的倾斜角和斜率的概念直线的倾斜角是指直线与水平线之间的夹角，用α表示。
直线的斜率是指直线的倾斜程度，用k表示。
2. 求直线的倾斜角和斜率的方法（1）已知直线的解析式设直线的解析式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
直线的倾斜角可以用斜率k求得，即tanα=k。
直线的斜率可以用解析式求得，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。
（2）已知直线上两点坐标设直线上两点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)。
直线的倾斜角可以用斜率k求得，即tanα=k=(y2-y1)/(x2-x1)。
直线的斜率可以用解析式求得，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。
3. 应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题（1）求两条直线的夹角设两条直线的斜率分别为k1和k2，则两条直线的夹角为α=|tan(k2-k1)/(1+k1k2)|。
（2）求直线的方程已知直线上一点坐标为(x1,y1)和直线的斜率为k，则直线的解析式为y-y1=k(x-x1)。
（3）求直线与坐标轴的交点设直线与x轴的交点坐标为(x,0)，则x=-b/k。
设直线与y轴的交点坐标为(0,b)，则b=y1-kx1。
五、教学方法1.讲解法：通过讲解直线的倾斜角和斜率的概念、求解直线的倾斜角和斜率的方法以及应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题的步骤，让学生掌握相关知识点。
2.案例分析法：通过实际案例，让学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的实际应用能力。
3.互动探究法：通过让学生自己探究直线的倾斜角和斜率的关系，提高学生的自主学习能力。
六、教学评价1.课堂练习：通过课堂练习，检查学生对直线的倾斜角和斜率的掌握程度。
《直线的倾斜角与斜率》教学设计
《直线的倾斜角与斜率》教学设计第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率（第1课时）教学目标1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握直线的倾斜角与斜率的关系.教学重点斜率的概念、用代数方法刻画直线斜率的过程、直线的倾斜角与斜率的关系.教学难点对斜率概念的理解、直线斜率与他的倾斜角的关系教学方法启发、引导、探究教学手段多媒体课件辅助教学（几何画板绘制的图形）教学用具三角板教学设计引入新课我们知道在直角坐标系中，点是用有序实数对表示的，那么在直角坐标系中，直线怎样表示？如直线，它的本质是二元一次方程，它与直线的交点如何求？（联列方程组，解得方程组的解写成有序实数对，即坐标的形式，即为它们的交点）.那么，我们把这种建立在直角坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线（或直线），通过方程研究曲线的性质，通过方程组的解研究几何图形间的位置关系的方法叫做用代数方法研究几何问题——解析几何.而我们在初中几何中，所用的方法大都是以公理为基础，直接依据图形的中点、直线等研究图形的性质，这属于欧式几何的范畴.设计意图：回顾初中所学内容，引出本章主题，指出从本章开始将学习用解析法（代数法）解决几何问题.从本章起，我们就来学习用坐标法研究几何问题，首先我们从最简单的几何对象——直线开始.(板书课题第三章直线与方程)推进新课在初中学习直线时，知道两点确定一条直线，这两点实际上确定的是该直线的位置（图1）.图1问题1：一点能确定一条直线的位置吗？已知直线经过点，直线的位置能够确定吗（图2）？图2师生互动：学生回答，教师示范.问题2：过一点可以做无数条直线…，它们都经过点（组成一个直线束），这些直线的区别在哪里？师生互动：学生思考回答，教师点拨.问题3：容易看出它们的倾斜程度不同，那么怎样描述直线的倾斜程度呢？（用一个角度）设计意图：回忆初中相关知识，直接引出本节内容板书课题： 3.1.1 倾斜角一、倾斜角1. 定义：直线向上的方向与轴正向所夹的角叫直线的倾斜角(注：直线在轴上方的射线方向叫做向上的方向，直线在轴下方的射线方向叫做向下的方向).2. 倾斜角的范围问题4：找出图2中直线的倾斜角，观察各自角度的范围.师生互动：学生观察、思考后回答，教师点拨.观察得到，说明倾斜角可为锐角，也可为钝角.问题5：观察图3中直线与轴的位置关系图3师生互动：学生观察、思考、回答，教师点拨.(1) 直线与轴平行，或将向下平移至与轴重合，此时直线与轴不成角，所以规定：直线与轴平行或重合时，倾斜角.(2) 直线与轴垂直，倾斜角.学生活动：学生归纳倾斜角的范围综上，得倾斜角的范围：.设计意图：由学生自己观察、思考、并发现倾斜角的取值范围问题6：平面直角坐标系中，每一条直线是否都有一个确定的倾斜角？且倾斜程度相同的直线，倾斜角有什么关系？倾斜程度不同的直线倾斜角又如何？图4学生活动：观察图4，思考回答.（平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线倾斜角相同，它们是一组平行线；倾斜程度不同直线倾斜角不同.）问题7：已知直线的倾斜角，能否确定其位置？（不能）问题8：已知一点不能确定直线的位置，已知直线的倾斜角也不能确定直线的位置，那么把这两个因素结合起来，即已知直线过的一点和直线的倾斜角，能否确定该直线的位置？（能，且唯一确定一条直线）设计意图：使学生自己归纳得出确定一条直线的几何要素所以，在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：直线经过的一点和直线的倾斜角.课堂练习1：做出过点且倾斜角为的直线.师生互动：学生自己动手画图，教师巡视，必要时个别辅导.问题9：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，讨论斜面时，常遇到“坡度”（倾斜程度）问题，即如图建立平面直角坐标系，是所在直线的倾斜角，在△中，教师活动：引导学生把“坡度”这一同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来，从而引入“斜率”（在本节标题中添写“与斜率”）.设计意图：使学生联系生活实际得到刻画直线倾斜程度的另一个量：斜率二、斜率1. 定义：直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率.即问题10：倾斜角时，是否存在？师生互动：学生观察，教师演示，以教室墙角为例，说明当时，不存在.设计意图：使学生发现并不是任何一条直线都有斜率，倾斜角为900的直线没有斜率这样得到直线斜率的完整概念：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值交做这条直线的斜率.直线的斜率通常用表示，即（）课堂练习：P86练习1学生活动：给适当的时间让学生先做后答.难点突破一：对斜率的理解是本节的难点之一，学生认为倾斜角就可以刻画直线的倾斜程度，而且对每条直线的倾斜角是唯一的，二斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生来说也有一定困难，教学中通过日常生活的例子，充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。
直线的倾斜角与斜率教学设计
2.1直线的倾斜角与斜率第一课时：倾斜角与斜率教学设计教学目标：1．初步了解直线的倾斜角和斜率的概念．2．初步掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的倾斜角和斜率．3．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，经历几何问题代数化的过程，经历从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，体会数形结合和化归转化思想．教学重点：理解直线的倾斜角和斜率概念，初步掌握过两点的直线斜率的计算公式教学难点：直线的倾斜角、斜率概念的形成，两点斜率公式的建构。
教学过程：新课引入：在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法．本章我们采用一种新的方法——坐标法研究几何图形的性质．坐标法是解析几何中最基本的研究方法．解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数（有序数对）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，通过代数方法研究几何图形的性质．解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础.本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等.探究新知：我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，那么，直线如何表示呢？自主学习：阅读课本51-52页探究上方问题1确定一条直线位置的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?教师讲解：两点以及一点和一个方向可以确定一条直线，由方向向量我们可以知道，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.问题2如何表示直线的方向?教师讲解：在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向. 因此，这些直线的区别在于它们的方向不同. 如何表示这些直线的方向？我们看到，这些直线相对于x 轴的倾斜程度不同，也就是它们与x 轴所成的角不同. 因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向．新知：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角问题3 当直线l 与x 轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少?直线的倾斜角的取值范围是什么?当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.这样，平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向． 探究： (1)已知直线l 经过点O (0，0)，P (√3，1)，α与点O ，P 的坐标有什么关系? (2)类似地，如果直线l 经过点P 1(－1，1)，P 2(√2，0)，α与点P 1，P 2的坐标又有什么关系?对于问题（1），如图，向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√3，1），且直线OP 的倾斜角也为α．由正切函数的定义，有tan α=√3=√33． 对于问题（2），如图，P 2P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−√2,1−0)=(−1−√2,1)．平移向量P 2P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 到OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 的坐标为(−1−√2,1)，且直线OP 的倾斜角也是α．由正切函数的定义，有tan α=−1−√2=1−√2．1)0)一般地，如图，当向量21P P 的方向向上时，),(121221y y x x P P --=．平移向量21P P 到OP ，则点P 的坐标为，且直线OP 的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tan α=．同样，当向量12P P 的方向向上时，如图，),(212112y y x x P P --=，也有tan α==．新知：直线l 的倾斜角α与直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的坐标有如下关系：tan α=y 2−y 1x 2−x 1.我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope ），斜率常用小写字母k 表示，即k =tan α.日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=铅直高度水平宽度．问题3 当直线的倾斜角由0o 逐渐增大到180o 时，其斜率如何变化？为什么? 当倾斜角α满足0o ≤α<90o 且逐渐增大时，斜率k 逐渐增大; 当倾斜角α=90o ，斜率不存在;当倾斜角α满足90o <α<180o 且逐渐增大时，斜率k 逐渐增大.由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90o 的直线相对于x 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．由tan α=y 2−y1x 2−x 1及k =tan α知，k = y 2−y1x 2−x 1.2121（，）--x x y y 2121y y x x --1212y y x x --2121y y x x --问题4 直线的方向向量与斜率k 有什么关系？我们知道，直线P 1P 2上的向量21P P 及与它平行的向量都是直线的方向向量. 直线P 1P 2的方向向量21P P 的坐标为2121（，）--x x y y ， 当直线P 1P 2与x 轴不垂直时，12≠x x . 此时向量21121P P x x -也是直线P 1P 2的方向向量，且它的坐标为2121211（，）,---x x y y x x 即21211y y x x --（，）=（1，）,k 其中k 是直线P 1P 2的斜率．因此，若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为（x ，y ），则=y k x. 例1、 如图，已知A (3，2)，B (－4，1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB 的斜率k AB =1243---=17； 直线BC 的斜率k BC =1104----（）=24-=-12；直线CA 的斜率k CA =2-(-1)30-=33=1．由k AB >0及k CA >0可知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角； 由k BC <0可知，直线BC 的倾斜角为钝角． 随堂练习：1.已知坐标平面内三点A(－1,1)、B(1,1)、C(2，3＋1)． 求直线AB 、BC 的斜率和倾斜角；2.若A(1,0)，B(－3，m)，直线AB 的斜率为－12，则m ＝( ) A ．－8 B ．－2 C ．2D ．8CBAxyO3、若直线过点(1,3)，(4,3＋3)，则此直线的倾斜角是 ( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．2π34、已知点M(0，b)与点N(－3，1)连成直线的倾斜角为120°，则b ＝_______． 课堂小结本节课，我们在平面直角坐标系中，讨论了确定直线位置的几何要素，即两点确定一条直线以及一点和一个方向确定一条直线. 并从形和数的角度利用倾斜角和斜率来刻画直线的倾斜程度，即表示了直线的方向，并探讨了倾斜角、斜率与直线上两点坐标的关系，探讨了直线的方向向量与斜率的关系.在此过程中体会到了数形结合数学思想以及将几何问题转化为代数问题的化归转化思想.知识点回顾：（1）倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°.（2）k=tan α k=y 2−y 1x 2−x 1.（3）若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为（x ，y ），则=yk x. 作业：课本55页练习。
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2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛8.2.1 直线的倾斜角与斜率教学设计方案2014年11月《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案【授课对象】计算机网络专业二年级学生【教材】《数学》（基础模块）下册（主编：李广全李尚志高等教育出版社出版）【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率【授课类型】课堂教学【授课时间】1课时【教材分析】直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是以坐标化（解析化）的方式来研究直线的相关性质的重要基础。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要的作用。
因此，正确理解直线斜率的概念，熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。
【学情分析】教学对象是计算机网络专业二年级的学生。
他们思维活跃，勇于挑战，且具有一定的网络知识，但数学基础相对薄弱。
在教学中，我力求将数学与专业相结合，充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。
【教学目标】根据中职数学新大纲的要求，结合学生的实际情况，确立了如下的教学目标：（一）知识目标1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 掌握直线的斜率公式及应用。
（二）能力目标通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。
（三）情感目标通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力。
【教学重难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线斜率公式及其应用；难点：斜率公式的推导。
突破难点的关键：充分利用数形结合，并引导学生分类讨论问题。
【教学策略】1．教学方法：问题探究法课前下发导学提纲，学生预习提出问题，课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。
2．学习方法：小组合作、自主探究按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组，通过讨论交流共同完成学习任务。
3．评价方法：综合评价尊重学生个体差异，关注学习过程中学生的表现和变化，通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价，使合作学习更加富有成效。
【教学设备】多媒体投影仪，电脑，素描纸，展示板，自制教具。
【设计思路】首先，通过生活实例，把数学植根于生活。
教具的制作，锻炼了学生的动手能力和学习热情。
通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节，课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。
【教学过程】教学环节设计思路一、课前导学提纲【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 会求直线的斜率：（1）根据直线的倾斜角求斜率（2）根据直线上两点的坐标求斜率【课前准备】1. 举出生活中可以抽象为直线的物体：（1）上网搜集图片（2）手机拍摄图片2. 画图说明什么叫直线的倾斜角？3. 制作两条直线相交的教具，说一说直线的倾斜角的取值范围是什么？4.什么叫做直线的斜率？用什么符号表示？5. 填表：6. 已知直线上两个点的坐标，如何求直线的斜率？【问题汇总】学生将预习中存在的问题发送到班级QQ群里，大家共同探讨。
（直线的倾斜角的定义及范围可从群共享里查看微课帮助预习）二、课上教学环节（一）知识回顾（用时约5分钟）1.两点间的距离公式按照组内强弱搭配，组间能力均衡的原则将学生分为5个小组.教师根据本课的知识点和学生的计算机专业水平设计课前导学提纲，学生分小组完成任务，将搜集到的实例、制作的教具准备好，并把学习过程中存在的问题在规定时间内发至班级的qq群里.设计目的：1．让学生带着问题有目的地预习；2．提高学生的观察能力和搜集信息的能力；3．培养学生的动手实践能力；4. 通过小组合作完成任务，培养学生的团结协作的精神；5. 通过课前问题汇总，让课堂真正成为解决学生问题的平台.按照学号顺序，每次课由一名同学充当复2.线段中点的坐标公式（二）情境导入（用时约2分钟）先由各组学生展示课前搜集到的生活中可以抽象为直线的例子，然后让学生观察我市某斜拉桥的图片，说一说斜拉索的倾斜程度是否相同？（三）学习目标（用时约1分钟）学习新课之前，给出本节课的学习目标： 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2. 掌握直线的斜率公式.（四）自主探究（用时约15分钟）问题1. 画图说明什么叫直线的倾斜角？问题2. 直线的倾斜角的取值范围是什么？0180α<≤习“小老师”，带领同学们复习。
小老师根据上节课所讲的内容进行提问，让同学们解答或板演，并进行评分。
复习之后，大家对“小老师”的表现也作评价并适当加分。
最后，教师再作补充讲解。
这样设计，不仅复习了上节课的知识,而且使学生的语言组织能力和表达能力得到了很好的锻炼，为将来就业打下了良好的基础。
学生在课前分组搜集生活中跟直线有关的例子，课上与其他组同学分享交流，培养了学生的观察能力和搜集信息的能力， 同时让学生体会到数学在生活中无处不在。
教师用投影展示学生比较熟悉的我市某斜拉桥的图片，让学生观察后思考问题，由生活中反映倾斜程度的问题过渡到数学中直线的倾斜程度问题，进而引出课题。
在学习新课之前，将本节课的学习目标出示给学生，让学生做到有目标，有方向地学习。
提前准备几张白纸，要求分别画出倾斜角是锐角、直角、钝角、零角的直线并标出倾斜角，组内成员共同讨论完成并通过抽签选出一组到前面展示。
再让一名学生说出直线的倾斜角的定义，并找出关键的词，促使学生清晰地理解定义。
问题 3. 什么叫做直线的斜率？用什么符号表示？tan(90)kαα=≠问题4. 已知直线上两个点的坐标，如何求直线的斜率？学生利用课前自制的体现两条直线相交的模型，在教师指导下将其中一条线视为直角坐标系中的x轴，演示观察倾斜角的变化，并说出倾斜角的范围。
教师再利用《几何画板》进一步演示，并对倾斜角能否等于1800进行提问。
这样，学生就会更加准确地得出倾斜角的取值范围。
学生了解了直线的倾斜角的定义以及取值范围之后，教师提问：是不是只有倾斜角才能刻画直线的倾斜程度呢？自然引出下一个问题：让学生体会斜率与倾斜角之间的关系。
学生在求tan120时可能会遇到困难，这时，我让会做的一名同学在黑板上写出求解过程并讲解，如果学生都不会，我再讲解。
做此题的目的也是为后面推导斜率公式作一个铺垫。
问题4是本节课的难点，课上可以先让学生小组讨论，然后请一名同学上台结合倾斜角是锐角的图示进行讲解和推导，得出方法后，再让学生讨论倾斜角是钝角的情况，若仍然没图（1）图（2）图（3）图（4）有思路时，这时教师可以引导学生从直线倾斜角的定义入手，结合图形给出如下提示：之后教师再给出直线上两点的横坐标相等和纵坐标相等的两种特殊情况让学生探讨，得出斜率不存在和斜率为零的结论。
本环节采用“数形结合”的方法，分四种情况研究了斜率公式，环环相扣的设计起到了分散难点的作用，同时培养学生学会有条理的思考问题。
（7）已知直线上两点；(六) 拓展延伸（用时约2分钟）已知直线l 的斜率 3.5k =，求它的倾斜角？(七) 小结与评价（用时约3分钟）1. 知识要点：2.倾斜角与斜率的关系：tan k α=3.有了直线的倾斜角来刻画直线的倾斜程度，为什么还要引入斜率？(八) 布置作业（用时约2分钟）1.课本50页练习8.2.12.探究黑板的对角线相对黑板下边的倾斜角和斜率.3.按小组上网查找方法解决拓展延伸的问题，下节课演示并讲解.4.结合导学案预习8.2.2直线的点斜式方程与斜率，你都能求出它的倾斜角吗？进而将问题拓展延伸，这个问题我让学生利用专业知识课下编程解决。
课堂小结由学生完成，先让学生说一说这节课学了哪些概念和公式，在运用公式的过程中有哪些需要注意的问题，教师出示本节课知识要点，并引导学生探讨倾斜角不同时斜率相应的变化。
接着，再对倾斜角和斜率的关系作补充说明，直线的倾斜角和斜率都是刻画直线的倾斜程度的，但前者是从形的角度来刻画的，后者是从数的角度来刻画的。
而解析几何是用代数的方法来研究几何问题的，因此，我们要重点研究直线的斜率。
向学生渗透解析几何的思想和方法。
最后，再由课代表对各小组的课上表现作点评并公布本节课的优秀小组。
作业分为巩固练习、实际应用、拓展延伸和预习新知四方面，将课内成果引向课外，让学生学以致用。
【板书设计】【教学反思】1.导学提纲、教师微课、生活实例、问题设置，体现教师的 “导”；2.自制教具、小组合作与竞赛、问题探究等，突出学生的 “学”；3.通过讨论提出问题、共同探究解决问题，展示小组的“议”； 4．复习小老师、小组代表展示板演，训练学生的“讲”；5.热身、反馈、总结、评价，利用专业知识解决数学问题，强化学生的“练”。
总之，导学议讲练五环，环环相扣；再加上几何画板软件、计时器与计分器的使用，生动形象、激发学生兴趣。
信息化手段还可以多元化，这是我今后努力的方向。
我的说课到此结束，请各位评委老师多多指正。
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