【0302数学课】1.2应用举例1
3.1.2 数学归纳法应用举例 教学案 1
3.1.2 数学归纳法应用举例 教学案 1教学内容探索某些数列问题的结论，并用数学归纳法给出证明．教学目标1．使学生初步掌握运用归纳、猜想等合情推理方法，并结合数学归纳法，探索、发现某些数列问题的结论；2．通过问题结论的探求，培养学生的探索发现能力、逻辑思维能力和抽象概括能力；3．通过既教猜想又教证明，培养学生思维的灵活性、批判性和科学性．教学过程习题1．已知数列211⋅，321⋅，431⋅，…，()11+n n ，…．计算S1，S2，S3由此推测计算Sn 的公式，然后用数学归纳法证明这个公式．2．已知数列｛an ｝中，a1=2，an ＞0，且满足2a 21+n －a 2n －1=0（n N ∈），求an ．参考答案 1．S1=21，S2=32，S3=43．由此猜想Sn=1+n n．用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，1+n n =21111=+，又S1=21，故猜想正确．（2）假设n=k （k ≥1，k N ∈）时猜想正确，即Sk=1+k k正确．则当n=k ＋1时，Sk ＋1= Sk ＋()()211++k k()()2111++++=k k k k=()()21122++++k k k k21++=k k即n=k ＋1时猜想也正确．综合⑴，⑵知，Sn=1+n n对一切k N ∈都成立．2．由已知式及an ＞0，得an ＋1=2121+a （n N ∈）． 由于a1=2， 故a2=2121+a =2122+25= a3=2122+a 2125+=47= a4=2123+a 2147+=由此猜想an=11232--+n n （n N ∈）．证明如下： （1）当n= 1时，左边a1=2，右边=223200=+，猜想正确．（2）假设n= k （k ≥1，k N ∈）时猜想正确，即ak=11232--+k k 成立，则当n= k ＋1时，ak ＋1=212+k a 2123211++=--k k 11122232---⋅++=k k k =()()1111232232-+-++=+k k k k ．即当n= k ＋1时，猜想也成立．综合（1），（2）知，an=11232--+n n 对一切n N ∈都成立．引申与提高根据个别试验所呈现的规律，进而猜想它的一般结果，这是归纳思想在解决问题中的典型运用．事实上，人们在认识客观事物的过程中，往往是通过对特殊事物共性的分析和寻求中，逐步发现一般规律的．例如，我们考察12－1=0=8×0， 32－1=8=8×1，52－1=24=8×3， 72－1=48=8×6，92－1=80=8×10， 112－1=120=8×15．根据这些特殊的事例所呈现的规律，我们不难猜想：任何一个奇数的平方减去1后所得的差必能被8整除（猜想1），又如，一个平面把空间分成2个部分，两个平面最多把空间分4个部分，三个平面最多把空间分成8个部分．据此，你可能作出如下猜想：n 个平面最多把空间分成2n 个部分（猜想2）．这样的例子还可以举出很多，这种猜想虽然值得称道，然而它们的正确与否是需要用科学的方法来证明的（事实上，猜想1是正确的，猜想2是错误的，n 个平面最多把空间分成()65613++n n 个部分）．因此，试验、归纳、猜想，再加上证明才构成一个完整的思维过程．在这个过程中，试验是基础，猜想是关键，而证明是保证．这个过程，一方面充分体现了归纳的思想，另一方面，体现了我们对思维批判性和科学性的坚持与追求．思考题是否存在这样的函数f （x ），f (n)＞0（n N ∈），且f （n1＋n2）= f （n1）· f （n2），f (2)=4．若存在，求出f （x ）的解析式；若不存在，说明理由．解：假设符合条件的函数f （x ）存在，令n1= n2=1，则f （1＋1）= f (1) · f (1)=[ f (1)]2= f (2)=4．由于f (n)＞0，因此f (1)=2．令n1=2，n2=1，则f (3)= f （2＋1）= f (2) · f (1)= 4 · 2=23．而f (4) = f （2＋2）= f (2) · f (2)= 4 · 4=24，由此猜想：f (n)=2 n ．用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，2n=21=1，又f (1)=2，因此猜想也成立．∈）时猜想成立，即f (k) =2k成立．(2)假设n= k（k≥1，k N则当n = k＋1时，f (k＋1)= f (k) × f (1)=2 k×2=22 k＋1．即为n= k＋1时，猜想也成立．∈，f (n)=2n都成立．综合(1)，(2)知，对一切n N∈）．∴符合条件的函数f (x)存在，其解析式为f (x)=2x（x N。
1.2应用举例(3课时)
分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角 CAB。
解：在 ABC中， ABC=180 - 75 + 32 =137 ，根据余弦定理，
AC= = ≈113.15
根据正弦定理, = sin CAB = = ≈0.3255,
3．情感、态度与价值观
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。
重难点
教学重点：
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。
教学难点：
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。
教法方法
观察、思考、交流、讨论、概括
课时安排
共4课时
教学准备
多媒体、彩色粉笔、
教学过程
个性化设计
第3课时
授课时间：
一、复习旧知、创设情景：
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
备课教案
课题1.2Leabharlann 用举例主备人宋升贇
参与教师
何东亮、姚志远、赵斌斌、孟文杰
课型
新授课
汇课地点
高中数学办公室
汇课时间
三维目标
（法制渗透）
1．知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题。
2．过程与方法
通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
课件10：§1.2 应用举例
在△ABC 中，
由正弦定理得sin∠BCCAB＝sin1A2B0°，
所以
sin∠CAB＝BCsinAB120°＝1100×
3
2 3
＝12.
所以∠CAB＝30°，
所以舰艇航行的方位角为 75°.
反思提升 解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意， 分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图， 这是最关键最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后， 要正确使用正、余弦定理解决问题．
2．解三角形的实际应用举例
(1)测距离的应用
背景
可测元 图形
素
两点均 可到达
a、b、α
目标及解法
求 AB AB＝ __a2_＋__b_2－__2_a_bc_o_s_α_
背景Βιβλιοθήκη 可测 图形元素只有一 点可到 达
b、α、β
目标及解法
求 AB ①测量 b，α，β ②AB＝
bsin β
__si_n_（_α_＋__β_）_
解：由正弦定理得 AC＝sin[180°20－sin（（3405°°＋＋4650°°＋）60°）] ＝20ssiinn4150°5°＝20sisnin4755°° ＝10(1＋ 3)(米)， BC＝sin[180°－（206s0i°n 4＋5°30°＋45°）] ＝20sisnin4545°°＝20(米)．
在△ABC 中，由余弦定理得 AB＝ AC2＋BC2－2AC×BCcos∠BCA ＝10 6(米)． 所以 A、B 两点间的距离为 10 6米．
探究点 2 测量高度问题 例 2 地平面上有一旗杆设为 OP，已知地平面上的一 基线 AB，AB＝200 m，在 A 处测得 P 点的仰角为∠OAP ＝30°，在 B 处测得 P 点的仰角为∠OBP＝45°，又 测得∠AOB＝60°，求旗杆的高 h.
高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例aa高二数学
层 作
疑
业
难 运用．
·
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·
[跟进训练]
自
课
主
2．某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m).如图所示， 堂
预
小
习
结
·
探 竖直放置的标杆 BC 的高度 h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小 提
新
素
知 组已测得一组 α，β 的值，算出了 tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算 养
课 时
究
分
层
释 30 3)m.]
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疑
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自 主
测量距离问题
课 堂
预
小
习 探
【例 1】
海上 A，B 两个小岛相距 10
海里，从 A 岛望 C 岛和 B
·
结 提
·
测量高度问题
自
课
主 预
【例 2】
(1)如图所示，从山顶望地面上 C，D 两点，测得它们
堂 小
习
结
·
探 的俯角分别为 45°和 30°，已知 CD＝100 米，点 C 位于 BD 上，则 提
1.2应用举例(二) 公开课一等奖课件
主讲老师：陈震
课题导入
现实生活中，人们是怎样测量底部 不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水 平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海 拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方 面的问题.
A C B
讲授新课
例1. AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
湖南省长沙市一中卫星远程学校
湖南省长沙市一中卫星远程学校
青 春 风 采
湖南省长沙市一中卫星远程学校
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩 --何旋 湖南省长沙市一中卫星远程学校
1.2应用举例第二课时PPT课件
-2-
设计问题，创设情境
• 塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大 数学家.他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当 财富后，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行.他游历埃及时， 曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王 阿美西斯钦羡不已.塞乐斯的方法既巧妙又简单：选一个天 气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然后观察木 棍阴影的长度变化，等到阴影长度恰好等于木棍长度时， 赶紧测量金字塔影的长度，因为在这一时刻，金字塔的高 度也恰好与塔影长度相等。
• 设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物 高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的 海拔高度呢？
-3-
信息交流，揭示规律
解决实际测量问题的过程一般要充分认 真理解题意，正确做出图形，把实际问题 里的条件和所求转换成三角形中的已知和 未知的边、角，通过建立数学模型来求解
-4-
运用规律，解决问题
例1．AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物 高度AB的方法．
-5-
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点 在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪 器测得A的仰角分别是α、β，CD = A，测角 仪器的高是h， 那么，在△ACD中，根据正弦定理可得
AC asin
sin( ) , asin sin AB=AE+h=acsinα+h= sin( ) +h.
-6-
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一 点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角 =50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山 高CD(精确到1 m)
-7-
-8-
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行 驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏 南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶 在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度 CD.Fra bibliotek-9-
1.2应用举例
题型分类·深度剖析
题型一 测量高度问题
跟踪训练2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C 点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°， 并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，求电视塔的高 度。
题型分类·深度剖析
题型二 测量距离问题
例2：如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），测量者 在河岸边选定两点C、D，测得CD=40m，并且在C、D两点 分别测得∠ACB=60°，∠ADB=60°∠BCD=30°，∠ADC=45°， 求河的对岸的两点A、B间的距离．
α(α<β)，则可以求出A点距地面的高度AB.( √ )
知识梳理
×
题型分类·深度剖析
题型一 测量高度问题
例1 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处
时测的公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后
到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则
此山的高度CD=
题型分类·深度剖析
题型三 测量角度问题
例3：某渔船在航行中不行遇险，发出呼救信号，我海军舰 艇在海岸A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离 A处10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向， 以10 海里/时的速度向小岛B靠拢． 我海军舰艇立即以10 海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时 间．
题型分类·深度剖析 题型三 测量角度问题
解析
思维升华
求角度问题的注意事项
1.测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义． 2．根据题意正确画出示意图，确定所求的角在哪个 三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量， 然后采用正弦定理或余弦定理解决．
题型分类·深度剖析
1[1]2应用举例教学案例
正弦定理：一边两角或两边与对角；
余弦定理：两边与夹角或三边.
3.在平面几何中，两点间的距离就是连
接这两点的线段长.对于不可以直接度量
的两点间的距离，通常用什么办法进行
计算？
构造三角形
探究（一）：一个不可到达点的距离测量
思考1：如图，设A、B两点在河的两岸，
测量者在点A的同侧，在点A所在河岸边
选定一点C，若测出A、C的距离是55m，
∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°，
∠ABD＝30°，且AB＝ 3 ，你能求出CD
边的长吗？
5
C
D
75°45°
A
45°
30°
B
3
思考2：设A、B两点都在河的对岸（不
可到达），你能设计一个测量方案计算
A、B两点间的距离吗？ A
B
选定两个可到达点C、D；D
C
→测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、
1.2 应用举例 第一课时
问题提出
t
p
1 2
5730
1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什
么？ a
b
c 2R
sinA sinB sinC
c2 a 2 b2 2 a bc o sC
a 2 b 2 c 2 2 b cc o sA
b 2 a 2 c 2 2 a cc o sB
2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些 类型的三角形？
∠BDC、∠ADB的大小；
→利用正弦定理求AC和BC；
→利用余弦定理求AB.
思考3：在上=β，∠BDC=γ，
∠ADB=δ，那么AC和BC的计算公式是什
么？
A
B
AC
asin( sin(
1.2应用举例
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
分析：要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件，可以 计算出BC的长。
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
解：在⊿ABC中， ∠A=15°,
∠C=25°-15°=10°.
根据正弦定理，
BC AB sin A sin C
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AC sin ACB 55 sin ACB AB sin ABC sin ABC 55 sin 75 55 sin 75 65.7(m) sin(180 51 75 ) sin 54
AB sin A 5 sin 15 BC 7.4524(km). sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答：山的高度约为1047米。
我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后， 立即测出该渔船在方位角（指由正北方向顺时针 旋转到目标方向的水平角）为 45°，距离A为10 海里的C处，并测得渔船正沿方位角 105° 的方 向以9海里/时速度向某岛P靠拢，我海军舰艇立即 以21海里/时的速度前去营救，试问舰艇应按照怎 样的航向前进？并求出靠近渔船所用时间 。 45
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
0307-B02--1.2 应用举例(4课时)
高中数学新课标必修⑤课时计划 教学后记： 板书设计： 第一课时 1.2 应用举例（一） 1. 教学距离测量问题： ① 出示例1：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75. 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 分析：实际问题中已知的边与角？ 选用什么定理比较合适？ → 师生共同完成解答.→讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法. 分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =.
讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下： 在ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC=sin()sin[180()]a =sin()sin()a， BC =sinsin[180()]a=sinsin()a.
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB = 222cosACBCACBC ④ 练习：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60. （答案：AB=206）. 2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.