数学归纳法及其应用举例1

数学归纳法及其应用举例【本章学习目标】人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。

以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。

这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。

不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。

随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。

一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。

这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。

本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。

（2）研究性课题：杨辉三角。

（3）数列的极限。

（4）函数的极限。

（5）极限的四则运算。

（6）函数的连续性。

本章难点内容是：（1）数学归纳法的原理及其应用。

（2）极限的概念。

【基础知识导引】1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。

2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。

3．掌握数学归纳法的一些简单应用。

【教材内容全解】 1．归纳法前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。

再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。

像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。

对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。

（1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。

（2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。

显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。

但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。

这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。

例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。

2．数学归纳法在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。

由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。

如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。

这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。

由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。

第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。

另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。

第二步是递推的根据。

仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。

例如，假设n=k 时，等式成立，就是。

那么，。

这就是说，如果n=k 时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。

但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。

因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。

这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。

只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。

因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。

在证明传递性时，应注意：（1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。

应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。

这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。

（2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。

可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。

3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。

其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。

再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。

注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。

例如：求证：。

在第2步中这样证：设n=k 时，等式成立，即，那么当n=k+1时，有1112)21(1)211/(])21(1[21212121+++-=--=+⋅⋅⋅++k k k所以当n=k+1时，命题也成立。

这种方法不是数学归纳法，因为这个证明过程中没有体现递推的思想。

例4 是用数学归纳法证明整除性问题。

由于前面我们没有学过多项式除以多项式，所以题中介绍了多项式整除的概念。

由多项式整除的定义容易得出：对多项式a ，b ，c ，p ，如果a 能被c 整除，那么pa 也能被c 整除；如果a ，b 能被c 整除，那么a+b 或a-b 也能被c 整除。

在本例证明的第二步中，为了利用归纳假设，在kky y x x 2222-中添加一项kyx 22-，为了使等式不变，同时添加一项kyx 22。

例5 是用数学归纳法证明几何问题。

证明的关键是弄清增加一条直线增加多少个不同的交点。

【难题巧解点拨】例1 试判断下面的证明过程是否正确： 用数学归纳法证明：3+7+11+…+（4n-1）=n （2n+1）证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，所以当n=1时命题成立。

（2）假设当n=k 时命题成立，即3+7+…+（4k-1）=k （2k+1）。

当n=k+1时，)32)(1(++k k ，所n=k+1时，命题也成立。

根据（1）（2）可知，等式对一切n ∈N*成立。

分析 看用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是在第二步证明中归纳假设是否被应用。

如果没有用到归纳假设，那就不正确。

解 以上用数学归纳法证明的过程是错误的。

在证明当n=k+1时等式成立时，没有用到当n=k 时命题成立的归纳假设，所以不符合数学归纳法证题的要求。

第二步正确的证明方法是：假设n=k 时命题成立，即3+7+11+（4k-1）=k （2k+1）成立，则当n=k+1时，，即当n=k+1时命题也成立。

点拨 用数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，尽管有的与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的。

例2 证明，其中n ∈N*。

分析 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n=k+1时，等式两边的式子与n=k 时等式两边的式子的联系，或增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决。

证明 （1）当n=1时，左边=1+1=2，右边2121=⋅=，等式成立。

（2）假设当n=k 时，等式成立，即。

则当n=k+1时，即当n=k+1时，等式也成立。

由（1）、（2）可知，对一切n ∈N*，等式成立。

点拨 解题过程中，当n=k+1时，等式的左边若错写为（k+1）（k+2）…（k+k ）（k+k+1），时导致证明错误或无法进行。

例3 平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点。

求证：这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分。

分析 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n=k 时，分点增加了多少，区域增加了几块。

本题中第k+1个圆被原来的k 个圆分成2k 条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k 个部分，问题就容易得到解决。

证明 用（1）当n=1时，一个圆把平面分成两部分，22112=+-，命题成立。

（2）假设当n=k 时命题成立（n ∈N*），k 个圆把平面分成22+-k k 个部分。

当n=k+1时，这k+1个圆中的k 个圆把平面分成22+-k k 个部分，第k+1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k 个部分，即k+1个圆把平面分成2)1()1(2)2(22++-+=++-k k k k k 个部分，即命题也成立。

由（1）、（2）可知，对任意n ∈N*命题都成立。

点拨 不能错误地认为第k+1个圆被前k 个圆分成k 段弧。

例4 若不等式对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。

分析 这是一个探索性问题，先用归纳法探求a 的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n ，不等式成立。

解 当n=1时，24131211111a >+++++，即242426a >， ∴a<26，又a ∈N ，∴取a=25，下面用数学归纳法证明：。

（1）当n=1时，已证。

（2）假设当n=k 时，成立。

则当n=k+1时，有1)1(31++k)1(32431+-+k k ，∵0)43)(23)(1(32)1(32431231>+++=+-+++k k k k k k ，∴也成立。

由（1）、（2）可知，对一切n ∈N*，都有不等式成立。

∴a 的最大值为25。

点拨 用数学归纳法证明不等式，推导n=k+1时不等式也成立，可以适当运用比较法、分析法、放缩法等，但前提必须是在假设的基础上使用。

【课本习题解答】 练习（P64页）1．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是，那么，]1)1)[(1(21)2)(1(21+++=++=k k k k 。

这就是说，当n=k+1时，等式也成立。

2．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是。

那么，。

这就是说，当n=k+1时，等式也成立。

3．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是11-=k k q a a ，那么，k k k k q a q q a q a a 1111)(=⋅=⋅=-+，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。

练习（P66页）1．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是。

那么，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。

2．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是。

那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立。

3．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是。

那么，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。