浅谈数学归纳法在高考中的应用
高考数学复习第七章数列与数学归纳法专题探究课三高考中数列不等式证明的热点题型理市赛课公开课一等奖省名
≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an| ≤13232n－2＋232n－3＋…＋23n－1 ＝23n－1－232n－1 ≤23－233＝1207. 综上，|a2n－an|≤1207.15 分(得分点 4)
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❶得步骤分：抓住得分点步骤，“步步为营”，求得满分.如(1)中，归纳猜测得2分； 用数学归纳法证实得3分，第(2)放缩法证实结论得5分等.
殊到普通结论成立问题.所以，能够在数列不等式证实中大显身手.
【例 1】 (满分 15 分)(2018·绍兴检测)已知数列{an}满足，a1＝1，an＝an1＋1－12. (1)求证：23≤an≤1； (2)求证：|an＋1－an|≤13； (3)求证：|a2n－an|≤1207.
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满分解答 证明 (1)由已知得 an＋1＝an＋1 12， 又 a1＝1，则 a2＝23，a3＝67，a4＝1149， 猜想23≤an≤1.2 分(得分点 1) 下面用数学归纳法证明. ①当 n＝1 时，命题显然成立； ②假设 n＝k 时，有23≤ak≤1 成立，
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(2)证明 因为 a1>2，可用数学归纳法证明：an>2 对任意 n∈N*恒成立. 于是 an＋1－an＝a2n－1<0，即{an}是递减数列. 在 Sn≥na1－13(n－1)中，令 n＝2， 得 2a1＋a21－1＝S2≥2a1－13，解得 a1≤3，故 2<a1≤3. 下证：①当 2<a1≤73时， Sn≥na1－13(n－1)恒成立. 事实上，当 2<a1≤73时，由于 an＝a1＋(an－a1)≥a1＋2－73＝a1－13，
(3)证明 由(2)可得 an＝32n1＋1≥32n＋132n－1＝2523n－1. 所以 Sn≥25＋25·231＋…＋25·23n－1 ＝651－23n， 故 Sn≥651－23n成立．
数学归纳法及应用列举
2k 1
(B)
k 1
(D) 2k 3 k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 12 23 34 ..... n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
1 2
1 3
...
..
1 2n
1ຫໍສະໝຸດ n(n*且n
1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
（B）1
1 2
1 3
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
； https:///xuxiaoming/ 徐小明新浪博客
圾扔下来，可是有一天，它改变了对垃圾的态度。它每天都把垃圾踩到自己的脚下，并从垃圾中找到残羹来维持自己的生命，而不是被垃圾所淹没。终于有一天它重新回到了地面上。 ? 训练要求： ? 1.这则材料应该给出的话题是： ? 3.你的作文题目是： ? 4.你的论点或主旨是： ? 5.请写 出能体现你的中心主旨的一句名言、歌词等或自编一句有哲理的话，不超过30字。 ? 6.请你联系所学过的课文，写出一二则相关课内论据。语言要简洁。 ? 7.请你联系并提炼你的现实生活，或亲身经历或耳闻目睹的社会现象，写出一二则生活论据。 ? 8.请你联系所读过的各类课外书报，提 炼整理出一二则论据。 ? 9.请为你的论点写出一段说理性文字。100字以内。 ? 10.你认为在立意上需要提醒大家注意的问题： ? 考前高考作文审题立意强化训练参考答案 ? 一、“坚持，便要在精神上压倒对方（困难或敌人）”，“振作精神便能顽强坚持”，这两种立意便有点不简单了； 而主要从弗雷泽的角度立意：“本是旗鼓相当，但一念之间的放弃意味着失败”，就或许有些与众不同；结合两个人的角度立意恐怕更少了吧？殊不知新意也便在此了：“胜利与失败原来是近邻，就在于坚持还是放弃”。然而不管怎样立意，总不能绕开“坚持”。 ? 二、本则材料中最后三句 话当是理解文意的关键，三次提到“大石头”，成了理解文意的关键。可以提出这样的问题：“你们工作，生活和学习中最重要的'大石头'是什麽呢？”思考之后就会得出这样一个结论：“大石头”就是生活，工作和学习中的最重要东西。 ? 可谈自己生活中最重要的'大石头'是自信心，有了 自信心，自己就有了进取的动力，就有了腾飞的马达；可谈“爱”是生活中最重要的“大石头”，有了爱，就有了温暖，有了关怀，有了理解，有了支撑，这个世界便充满了温馨；可谈学习是人生中最重要的“大石头”，进入知识经济时代，学习是生存的保障也是人类进一步发展的需要，更 是人的精神支柱…… ? 这个题目要“谈谈你的看法”，那就只有写成议。 ? 三、不要抱怨你的学校不好，不要抱怨你的专业不好，不要抱怨你住在破宿舍里，不要抱怨你的男人穷，你的女人丑，不要抱怨你没有一个好的爸爸，不要抱怨你的工作差，工资少，不要抱怨你空怀一身绝技没有人 赏识…… ? 现实有太多的不如意，就算生活给你的是垃圾，你同样能把垃圾踩在脚下，登上理想之巅。 ? 高考作文审题强化训练（二） ? （一）命题作文 1．请以“坚守信念”为题，写一篇不少于800字的文章。 要求：①立意自定。②除诗歌外，文体不限。③不得抄袭。 【写作指引】 这 是属于哲理类的写作命题。题目是一个四字短语，它包含了两个要素，即“坚守”和“信念”。但以“坚守”为主,写作的重心应当定位在如何“坚守”之上。而且必须明确要表现的是“坚守”，不是一般的“呵护”、“守护”，更不是“树立”、“拥有”等。既是“坚守”，肯定遭遇了一些 对“信念”的冲击波，可能还是比较严重的挫折和打击等。没有这些因素的烘衬，“坚守”之“坚”未能凸现出来。特别要注意的还有，不能绕开“坚守”而大谈“信念”，不然就导致重心移位了。依据考生自身的写作能力，无论是选择记叙类文体，运用具体事例来表现“坚守”之精彩，还 是选择议论类文体，通过分析、推理来论“坚守”之重要，均可写出佳作。 2．白雪覆盖，大地一片沉寂，忽而春风涌起，一片灰黑的土地转眼间绿意盎然，让人不能相信，那冬天里，这些种子曾怎样在黑暗的地下舞蹈过呢？平静的湖面如镜般明澈，也会一瞬即风生水起，巨浪滔天，这种力 量它如何孕育？世界上许多静止的事物从未停止过运动。 请以“静止就是舞蹈”为题，体裁不限，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 （1）这个话题具有思辨色彩，以写议为佳。首先我们从“静止”可联想到生命的一个停顿、一种安静，人为什么要安静，想和尚面壁是为了什么，一 是反省，一是破禅。那么我们人生安静也是为了求得自己的更新，道德的进步；是为了在寂寞中苦心而求孤诣，为了学术的成果，为了事业的前进，多少人在喧嚣红尘中默然孤坐，而这样的安静其实是为了等待一个惊世的爆发，一个绝世的舞蹈。而“舞蹈”是生命更新的动力，是美的韵律的 呈现。再读材料联想，这世界运动是永恒的，万物静止是个假象，其实都在生生不息，如蛹化蝶，如沙砾变成珍珠，如种子在黑暗的地下怒涨的生命，这样就可联系科学家、思想家等人来论论题。还可联想到静止的文字与涌动的思想，多少哲人伟人已逝，而透过发黄的纸张，我们依稀可见他 们铮铮的铁骨，他们的谆谆善诱，他们的悲天悯人，他们的积极入世，他们的舍我其谁等。 （2）立意：“静止”可以理解为长期的积累、平凡努力、勤奋付出等，“舞蹈”可以理解为惊世爆发、一鸣惊人、成就人生、取得成功等。 3．《艺术人生》在盘点2004年文艺人物时使用了一个关键 词——“守望”。这是个令人心动的字眼：它是老师期待的眼神，是父母新添的白发，更是你孜孜以求的脚步。我们守望亲情，守望责任，守望未来……守望是信念，是坚守，是期盼。有些东西甚至需要用一辈子去守望。也许不是每一道江流都能入海，不是每一个守望都能圆满。但有了守望， 生活变得深刻，心灵变得充实。守望中，我们拒绝诱惑；守望中，我们执着追求；守望中，我们走向成熟…… 请以“在守望中……”为题，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 守望有不同的对象、不同的意义、不同的过程。可以运用比喻的修辞使“守望”由抽象变为具体可感的形象， 用引用的方式来具体阐释“守望”的内涵，用排比的形式来为“守望”论，也可以综合运用比喻、引用、排比等修辞，展开论述。写成议要有对“守望”的形象化理解，可以在选择材料和论的时候，对材料采用形象化的叙述，可以设置一种情境，烘托出“守望”的价值和意义，以使文字获得 色彩、造型和构图等方面的效果。同时，要充分调动自己的思想感情，自我“激情”，使自己进入到事件中去，同所写的人一起喜、怒、哀、乐、忧、思，让语言充满感情。 4．请以“与……对话”为题写一篇文章，体裁不限，不少于800字。 【写作指引】 这虽是一篇命题作文，其实寻找思
对数学归纳法教学的几点认识
对数学归纳法教学的几点认识数学归纳法是证明数学命题的一种方法，是中学数学的重要内容，又是会考、高考的热点问题，同时也是学生学习的难点。
数学归纳法呈现固定的程式，学生一般只会简单的模仿，而在具体问题的应用中往往感到力不从心。
究其原因，一是没有领会数学归纳法的实质。
二是对与自然数有关的一些命题的具体内容理解不清，缺乏对策。
许多学生只是借助于像多米诺骨牌这样的事例作类比来认识这种方法的可靠性，但没有认识到方法在逻辑推理上的严格性。
不少学生则是在没有比较好地理解基础上机械地运用数学归纳法的两个步骤去证明数学结论，从而导致证明过程中出现表述上的种种错误。
目前，数学归纳法的教学常常借助于多米诺骨牌游戏让学生对数学归纳法有一个直观的认识。
多米诺骨牌是理解数学归纳法的最好模型．我们用第一块骨牌表示a1，它若倒下，相应地，表示a1是正确的；第二块骨牌表示a2，它若倒下，相应地，表示a2是正确的；…，用第k块骨牌表示ak，它若倒下，表示ak是正确的……只要能保证所有多米诺骨牌都倒下，相应地，就能保证通项公式对一切正整数都成立．那么，所有多米诺骨牌都倒下的条件是什么呢？通过观察可以发现，只要满足以下两个条件，所有骨牌就都能倒下：①第一块骨牌倒下；②相邻的两块，前一块倒下一定导致后一块倒下．“为什么满足这些条件多米诺骨牌会全部倒下呢？”一定要让学生来解释其中的道理，并解释每一个条件的作用分别是什么，这是教学过程中的一个不可或缺的重要环节．通过这个解释学生才能够领会数学归纳法的实质，掌握使用这个方法的要领，理解这个方法．需要指出的是，弄清所有骨牌都倒下的条件是必要的，但更需要明确的是，我们要做什么事？——“保证”，保证这些条件都已经满足．数学归纳法本质上是一种演绎法，是在推理过程、叙述形式上被约缩了的演绎法。
实际上，在数学归纳法中隐含着一连串的三段论，其第一个三段论如下：大前提：如果命题P(n)对n=k成立，那么命题P(n)对n=k+1也成立；小前提：命题P(n)对n=1成立；结论：命题P(n)对n=2成立。
高考数学一轮总复习中的重难点梳理
高考数学一轮总复习中的重难点梳理为了帮助同学们更好地备战高考数学，本文将对高考数学一轮总复习中的重难点进行梳理。
通过对这些难点的深入理解与掌握，可以提高解题能力，增加应试成功的机会。
一、函数与方程1. 一元二次函数及其图像特征一元二次函数是高考数学中的重点和难点之一。
要熟练掌握一元二次函数的标准形式、顶点形式、因式分解形式等表示方法，并能根据给定的函数图像，恢复出函数的相关特征参数。
2. 不等式与绝对值在解不等式和绝对值方程时，需要注意不等式的符号方向和绝对值的取值范围。
另外，还需了解常用不等式的性质和简化方法，例如柯西不等式和均值不等式。
二、解析几何1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要部分。
要熟悉直线方程和圆方程的不同表示形式，能够准确判断直线与圆的位置关系，并灵活应用到求解相关问题中。
2. 二次曲线的图像特征二次曲线的图像特征包括焦点、顶点、对称轴等，这些特征对于解析几何的问题求解非常关键。
需要掌握二次曲线的标准方程及其图像特性，能够根据给定的方程确定其图像的基本特征。
三、概率与统计1. 排列组合与概率排列组合是概率与统计中的基础知识点，也是高考中的常考题型。
要熟悉排列组合的基本概念和计算方法，并能够将其灵活应用到解决实际问题中。
此外，还需掌握概率的计算方法和常用定理，如乘法原理和加法原理。
2. 统计图表的分析与应用在解决实际问题时，常常需要通过统计图表来获取相关信息。
因此，需要掌握各种统计图表的绘制方法和数据分析技巧，能够准确解读统计图表，并运用到解题过程中。
四、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列等差数列和等比数列是数列的常见形式，在高考中经常出现。
需要熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式、前n项和与求和公式，并能够根据题目给出的条件进行推导和计算。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法是解决数列问题的常用方法，要掌握数学归纳法的基本思想和步骤，并能够通过数学归纳法证明数列相关的性质和结论。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用摘要：数学归纳法是建立在最小数原理基础上的一种用于证明和自然数有关的命题的常用方法，分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。
本文介绍了数学归纳法基于最小数原理的理论背景，同时以例题的形式阐述了两种数学归纳法的使用方式，分析了其各自的特点，同时通过特殊例题浅要比较了两种归纳法本质的区别。
在文章的最后，浅要给出了数学归纳法在中学阶段教法和学法的建议。
一．绪论1.研究背景在高中数学中，像数列，不等式，以及一些求和公式，很多题目都会要求你证明和自然数有关的命题，而数学归纳法主要就是争对有关自然数的命题的一种高效简便的方法，如果能够熟练的掌握数学归纳法的概念及使用方法，并能够巧妙地应用在实际的问题当中，那很多时候一些很复杂的问题都可以得到一个很巧妙的解法。
在近几年的高考数学大题中，出现了很多以数列不等式为背景的证明题，数列本是一种定义在自然数集中的特殊函数，所以很多这种类型的题目都可以用数学归纳法巧妙解决。
同时，数学归纳法可以锻炼学生的归纳总结能力，类比推理能力，对高中生增加适当的数学归纳法的教学可以增加其数学修养。
数学归纳法是一套解决一大类问题的完美工具。
2.研究意义在大学四年数学专业课的学习中，像高等代数，初等数论，图论这样的课程中，在证明一些结论的时候都会用到数学归纳法，由此可见，数学归纳法的应用面非常的广泛。
同时，数学归纳法的解题步骤和里面的原理是很容易让高中阶段的学生理解的。
所以在教学过程中，对于一些合适的题讲述出用数学归纳法的解法是很有必要的。
数学是一门锻炼学生思维能力的学科，所以一味的让学生死记硬背的教学方法是不可取的，数学归纳法，主要是对相关数学知识进行合理地证明，以具体的命题为解题基础，能够使其在自然数的范围中成立，把有关于数学基础知识正确地应用在解题的过程中，从而对数学习题的求证。
二．数学归纳法的理论背景及使用方法1.数学归纳法的证明设 M 是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。
高考数学中的数学归纳法及应用
高考数学中的数学归纳法及应用在高考数学中，数学归纳法是一个重要的概念，它被广泛应用于各种数学问题的解决和证明，特别是那些与自然数和整数相关的问题。
在本文中，我们将主要讨论高考数学中的数学归纳法及其应用。
1. 数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种数学推理方法，通过一个已知的命题的真实性，证明其对于所有的自然数都成立。
数学归纳法的基本步骤包括以下三个部分：第一步，证明基本情况，即证明所要证明的命题在某个整数上成立。
这个整数一般是0或1，有时也可以是其他的整数。
第二步，证明归纳步骤，即证明如果命题在某个整数上成立，那么它在下一个整数上也会成立。
第三步，结论，即由前两步推出所要证明的命题对所有的自然数都成立。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用：2.1. 计算等差数列的和等差数列的和问题，就可以用数学归纳法来推导出通用公式。
具体步骤如下：首先，我们用初中阶段所学的方法，求出等差数列前n项和的通式Sn。
S1 = a1 (n=1时，Sn=a1)S2 = a1 + a2 (n=2时，Sn=a1+a2)S3 = a1 + a2 + a3 (n=3时，Sn=a1+a2+a3)……Sn = a1 + a2 + …… + an我们通过数学归纳法来推导出通用公式：证明基本情况，当n=1 时，Sn=a1 成立。
证明归纳步骤：假设当n = k（k≥1）时，Sn = a1 + a2 + …… + ak 成立。
即证明当n=k+1 时，Sn=a1+a2+……+ak+ak+1 成立。
即结论：对于所有的自然数n，等差数列的前n项和为Sn = n[a1 + an] / 2。
2.2. 证明不等式数学归纳法也可以用于证明不等式的真实性。
如果某个命题的成立可以从另一个命题的成立推导出来，而这两个命题都可以用数学归纳法进行证明，那么我们可以通过这两个命题的联合证明，来证明原来的不等式。
例如，我们可以用数学归纳法证明n ≥ 3 时，2^n > n^2。
数学归纳法及应用列举
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些，都是典型的事例。 再综观当代文坛，哪个成功的作家没有被逼过？他被报社、出版社的人逼，也被他自己逼。读者逼主编；主编逼作家；作家逼自己，逼得想睡也不能睡，不想写也得写。问题是，多少惊人的作品就这样诞生了。 从某种
意义上说，逼学生的老师，何尝没有逼自己？“教学相长”不也是“教学相逼”吗？ 常言道：“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候，你的学识、才干等将会有很大的长进。因此，你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。 作文题三十八 阅读下面的材料，根据要求作文。
23
n
题3：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被 x+y整除（对于多项式A，B，如果
A=BC，C也是多项式，那么A能被B整 除）
题4：平面内有n（n≧2）条直线，其中 任何两条不平行，任何三条不过同一点，
证明交点的个数f(n)等于 n(n 1)
2
已知数列｛an｝的通项公式
an
4 (2n 1)2
泪”只是你作文的导入或由头，如果单纯地写“杨振宁流泪”，那么就难以切题。 ? ?作文题三十三 阅读下面的材料，根据要求作文。 登山的人，有的目不旁视，奋力攀登，他执著于到达峰顶的瞬间风光；有的则流连沿途风景，且走且赏，山顶不过是他歇脚的地方。不只登山，
生活也是这样：两种心态，两种行为，两种价值观。你怎么看待这个问题呢？ 请以“进取心与平常心”为话题，联系现实生活，写一篇文章。自定立意，自拟标题，自选文体，不少于800字。 [写作提示]情感、态度、价值观，是新课标提出的课程理念之一。要关注生活、关注
高下相倾，音声相和，前后相随学说讲的就是这个道理。 “结合社会生活实际”是作文的关键。如果就寓言谈寓言，就庄子谈庄子，就匠石谈匠石，那么就“答非所问”了。 作文题三十 ? 阅读下面的材料，根据要求作文。
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1），由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k )101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k 这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立． 三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3．已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ； （Ⅱ）证明.332<n S 证明：解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。
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1、数学归纳法的理论基础数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。
它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。
它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。
1.1数学归纳法的发展历史自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。
在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。
还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。
安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。
但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。
伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。
接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。
他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。
到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++=其中1231,2k a k =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。
17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发现的帕斯卡三角形。
数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。
帕斯卡、毛罗利科、伊本穆思依姆等都很自觉地使用归纳推理，传承运用数学归纳法，但一直没有明确的名称，而是英国数学家德摩根在其命名上迈出了重要的一步，他曾在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，建议将“归纳法（数学）”改为“逐次归纳法”，有意思的是在后来的一次无意中他无意中使用了“数学归纳法”这便成为了最早的名称。
之后，英国数学家托德亨特的《代数》（1866年出版）中也采用了“数学归纳法”这一名称，从此这一名称在英国传播开了。
1.2数学归纳法的逻辑基础数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。
归纳公理：由自然数组成的集合为N ，1N ∈,若N 中任意自然数的后继也属于N ，则N 包含了全部自然数。
2、数学归纳法的步骤及其类型2.1 第一数学归纳法设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:(1) (1)p 成立；(2) 假设当n k =时,命题()p k 成立；可以推出(1)p k +也成立，则命题()p n 对一切自然数n 都成立。
证明:设M 是由满足命题()p n 的自然数组成的集合即M 是自然数集N 的子集,由于(1)p 成立1M ∴∈,又由(2)知k M ∈ 1k M +∈即k 的后继'k M ∈，由皮亚诺公理的归纳公理5得M N =因此对于一切自然数n ，()p n 都成立。
第一数学归纳法的应用例1 用数学归纳法证明22333(1)124n n n n N ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∈证明: （1）当1n =时，左边=1=右边命题成立（2）假设n k =时命题成立，即22333(k 1)124k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 那么当1n k =+时，223333(k 1)12(1)(1)4k k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++22(1)(k 2)4k ++= 即当1n k =+时命题也成立，所以原命题成立。
2.2 第二数学归纳法假设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:(1) (1)p 成立；(2)假设()p n 对于所有满足a k <的自然数a 成立，则()p k 也成立；那么,命题()p n 对一切自然数n 都成立。
证明:设{n |()M p n =∈成立，n N},又设A N M =-(差集)假设A 不空,由自然数的最小数原理, A 有最小数0a由条件(1)知1M ∈,故01a ≠因此01,21a M -∈,又由条件(2)知01a M -∈,必有0a M ∈这与0a A ∈矛盾,所以A 为空集从而M N =,则命题()p n 对一切自然数n 都成立。
第二数学归纳法是第一数学归纳法的加强，在高考数学中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以开拓一个学生的思维，体会其中的思想奥妙，在一定程度上可以激发学生学习数学的兴趣，促使学生去创新，与此同时可以发现数学的美。
2.3 数学归纳法其他类型（1）跳跃数学归纳法①当时，成立，l n ,,3,2,1 =)(,),3(),2(),1(l P P P P②假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果a) 对无限多个正整数成立；b) 假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立．（3）跷跷板数学归纳法针对两个与自然数有关命题,n n A Ba) 证明1A 成立；b) 假设k A 成立，递推证明k B 成立，即k A 成立推出k B 成立；又假设k B 成立，由此递推证明出1k A +也成立，即k B 成立推出1k A +。
于是，对于任意自然数，结论,n n A B 都成立3、结合高考试题体现数学归纳法3.1 高考中数学归纳法题型的分析在高考数学中，运用数学归纳法的证明一般不单独命题，考查常常渗透到数列综合题中，既考查推理论证能力，又考查探究思维能力。
近年江西高考压轴题的数列不等式，常常会用到数学归纳法，且常与放缩法有关。
其他省的高考题趋势也差不多，数学归纳法在高考中出现的几种题型主要是与数列、不等式、整除相结合考察，难度不是很大，但能体现出解题的效率大大增加，化复杂为容易、抽象为具体，是一个非常值得考察的知识点。
3.2 数学归纳法在代数中的应用在高考中数学归纳法知识的考察往往是结合代数一起进行的，而代数方面主要体现在数列、整除、不等式方面，但是在几何方面也是一个命题点，这样在一定程度上考察了学生的创新能力与想象能力，符合现代数学的教学目标。
下面就这两大方面进行分析阐述。
3.2.1数学归纳法在数列中的应用高考数学中结合数列来体现数学归纳法是非常常见的题，有些数列的通项不k n =)(k P l k n +=)(n P 1≥n )(n P )(n P )(n P n k n =)(k P 1-=k n )1(-k P 1≥n )(n P好求，我们可以先对前面几项发现规律，进而进行猜想，继而用数学归纳法进行证明，这不失一种很好解决问题的方法。
在生活上可以将此精髓应用，可以达到很好的效果。
例2 [2014·重庆卷] 设11a =，1(n N )n a b ++=∈(1)若1b =，求2a ，3a 及数列{}n a 的通项公式．(2)若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有n N +∈成立？证明你的结论．解：(1) 22a = 31a =变下形式有11a = 21a = 31a =根据这个规律进行猜想有1n a下面用数学归纳法证明以上结论：证明：1、（1）当1n =时，结论显然成立．（2）假设n k =时命题成立 即1k a =则1111k a +===当1n k =+时命题也成立所以1n a n N +=∈2、设()1f x =则1()n n a f a +=令()c f c = 即1c =解得14c = 下面用数学归纳法证明命题2211n n a c a +<<<（1）当1n =时，2(1)0a f == 3(0)1a f =23114a a <<<结论成立 （2）假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<易知(x)f 在(－∞，1]上为减函数，从而212()(1)(1)k c f c f a f a +=>+>=即2221k c a a +>>>再由(x)f 在(－∞，1]上为减函数，得2223()(2)()1k c f c f a f a a +=<+<=<故231k c a +<<因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<当1n k =+时命题也成立 综上，存在14c =使221n n a c a +<<对所有n N +∈成立3.2.2数学归纳法在不等式中的应用用数学归纳法证明不等式可以有效提高解题效率，解题过程得到优化甚至可以使避免一些具体问题或简化。
直接使用数学归纳法进行不等式的证明时，在归纳和过渡往往存在一定的困难，如果能灵活地使用不等式的传递性和可加性，在恰当的时候使用过渡不等式和假设不等式与目标不等式的特征关系，通过放缩常数和强化命题等技巧,可以顺利完成归纳和过渡。
同时，在利用它来解决不等式问题时首先要细心地观察，然后大胆地进行联想，发现一些内在的联系从而为解决问题提供了方法和途径。
例3 [2014·安徽卷] 设实数0c >，整数1p >，n N +∈。
(1)证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+ ；(2)数列{}n a 满足11p a c >，111p n n n p c a a a p p -+-=+，证明：11p n n a a c +>>。
证明：(1)用数学归纳法证明如下① 当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+原不等式成立．② 假设(2,)p k k k N +=≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立．当1p k =+时，1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++21(1)1(1)k x kx k x =+++>++ 所以当1p k =+时，原不等式也成立。