数学归纳法应用举例课件人教B版选修
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选修4-5《数学归纳法》课件
05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。
《2.3.2 数学归纳法应用举例》课件1-优质公开课-人教B版选修2-2精品
2.3 数学归纳法
目标导航 预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
预习交流
(1)思考:①在数学归纳法的第一步“归纳奠基”中,第一个值 n0 是否 一定为 1?
提示:不一定,n0 还可以取其他值,如证明“2n>n2”中,n0=5,而证明“凸 n 边形内角和为(n-2)·180°”中,n0=3.
式子左边增加的项是什么?共多少项? 提示:(k2+1)+(k2+2)+…+(k2+2k+1),共 2k+1 项. 2.若在证明 n=k+1 时没用到 n=k 时的结论,而是借助其他知识证明
了 n=k+1 时也成立,这样证可以吗? 提示:不可以,用数学归纳法证明 n=k+1 时必需用 n=k 时成立的结
2.3 数学归纳法
《2.3.2 数学归纳法应用举例》课件1
2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法
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课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
学习目标 重点难点
1.能说出数学归纳法的原理及特点,掌握数学归纳法的证题步骤; 2.学会用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 重点:数学归纳法及其应用; 难点:对数学归纳法原理的理解.
答案:D
解析:f(n+1)=������+1 2
+
������+1 3+…+21������
+
1 2������+1
数学归纳法应用 课件人教B版选修.ppt
∴当n＝k＋1时，等式成立． 由①和②知，等式对任何n∈N＋都成立．
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RB . 数学 . 选修2-2
数学归纳法证题的三个关键点： (1)验证是基础：
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定 是1.
(2)递推是关键： 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过 程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构 成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少 项、增加怎样的项．
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RB . 数学 . 选修2-2
在本例(1)中，等式不变，试用数学归纳法证明此等式成 立．
【证明】 (1)n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×(2×1 －1)＝2，
∴等式成立． (2)假设n＝k时，等式成立． 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1×3×…×(2k－1)．
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猜想 an＝22n－ n－11. 下面证明猜想正确： (1)当 n＝1 时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当 n＝k 时猜想成立，则有 ak＝22k－k－11，当 n ＝k＋1 时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ∴ak＋1＝12[2(k＋1)－Sk]
的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这
个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
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RB . 数学 . 选修2-2 数学归纳法证明步骤的框图展示
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数学归纳法证题的三个关键点： (1)验证是基础：
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定 是1.
(2)递推是关键： 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过 程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构 成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少 项、增加怎样的项．
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在本例(1)中，等式不变，试用数学归纳法证明此等式成 立．
【证明】 (1)n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×(2×1 －1)＝2，
∴等式成立． (2)假设n＝k时，等式成立． 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1×3×…×(2k－1)．
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猜想 an＝22n－ n－11. 下面证明猜想正确： (1)当 n＝1 时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当 n＝k 时猜想成立，则有 ak＝22k－k－11，当 n ＝k＋1 时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ∴ak＋1＝12[2(k＋1)－Sk]
的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这
个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
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选修4-5数学归纳法PPT
应用
双数学归纳法在证明一些与两个自然数集有 关的定理时非常有用，例如排列组合中的一 些问题。
反向数学归纳法
定义
反向数学归纳法是一种从特殊到一般的归纳推理方法 ，它从给定的特殊情况出发，逐步推导出一般情况。
应用
反向数学归纳法在证明一些与自然数有关的定理时非 常有用，例如一些与自然数有关的数学问题。
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05 数学归纳法的扩展与推广
超数学归纳法
定义
超数学归纳法是一种对自然数和集合进行归纳推理的方法，它不仅考虑自然数的性质， 还考虑集合的性质。
应用
超数学归纳法在证明集合论中的一些定理时非常有用，例如集合的基数、集合的运算性 质等。
双数学归纳法
定义
双数学归纳法是一种对两个自然数集进行归 纳推理的方法，它需要同时考虑两个自然数 集的性质。
然后根据已知条件或已知事实，推导出当$n=k+1$ 时命题与当$n=k$时命题之间的关系。
结论
通过初始状态和递推关系，得出对于所有正整 数$n$，命题都成立的结论。
04 数学归纳法的应用实例
等差数列求和公式
要点一
等差数列求和公式
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项， $d$是公差，$n$是项数。
反向证明法
反证假设
首先假设数学命题不成立，即假设存在某个正整数 $n$使得命题不成立。
导出矛盾
然后根据这个假设，推导出与已知条件或已知事实相 矛盾的结论。
结论
通过反证假设和导出矛盾，得出原命题成立的结论。
递推证明法
初始状态
首先验证数学命题在初始状态下的成立情况 ，即当$n=1$时，命题成立。
数学归纳法应用举例 课件 人教B版选修.ppt
n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1>2254.
(1)n＝1 时，已证结论正确．
课堂讲练互动
课后智能提升
(2)假设 n＝k (k∈N*)时， k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k＋1 1>2254， 则当 n＝k＋1 时，有k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k＋1 1＋ 3k＋1 2＋3k＋1 3＋3k＋11＋1 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k＋1 1＋ 3k＋1 2＋3k＋1 3＋3k＋1 4－k＋1 1
(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假 设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．
(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利 用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的 关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程 要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．
课堂讲练互动
课堂讲练互动
课后智能提升
知识点2 探索问题
【例 2】若不等式n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋3n1＋1>2a4对一切
正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论． 解 取 n＝1，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＝2264，
令2264>2a4⇒a<26，而 a∈N*，∴取 a＝25. 下面用数学归纳法证明：
课堂讲练互动
课后智能提升
知识点3 用数学归纳法证明几何问题
【例3】 平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一 点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分．
证明 (1)当n＝1时，n2－n＋2＝1－1＋2＝2， 而一圆把平面分成两部分，所以n＝1命题成立． (2)设n＝k时，k个圆分平面为k2－k＋2个部分， 则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点， 这2k个交点分第k＋1个圆为2k段，
人教版选修2数学归纳法及其应用举例说课稿PPT课件
板书设计 教学程序 方法手段 教学目标 学生学情 教材分析
数学归纳法及其应用举例
知识准学 二备生项对式定等差理等（比知）识数有列较全、数面列的求把和握、
和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归 纳能力，但对归纳的概念是模糊的．
能力储学 有备生一经定的过中推理学五能年力的，数数学学学思习维，也已逐具步
数学归纳法及其应用举例
知识与技能 了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实 质．掌握两个步骤；会证明简单的与自 然数有关的命题．培养学生观察,分析,思考,论证的能力, 发展 抽象思维能力和创新能力．培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力．
过程与方法 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积 极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学 习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过程, 体会类比的 数学思想．
＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝ 131，f（10）＝151，… ， f（39）＝1 601． 但是 f（40）＝1 681＝
412，是合数．
第一阶段:输入阶段
借助数学史料, 促使学生思辨
地位作在 法用高 推一 导， 等学 差生 数已 列经 、学 等了 比用 数不列完的全通归项纳公
式，数学归纳法是数列知识的深入与扩展.纵观高中数学, 数学归纳法是一个重难点内容,也是一种重要的数学方法, 可以使学生学会一种研究数学的科学方法．
重点难点
重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解．
(2) 完全归纳法实例
证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及 一边上三种情况．
设计意图:
人教B版选修2-2高中数学2.3.2《数学归纳法应用举例》ppt课件
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
f (k) k(k 3) , (k ≥ 4) 2
当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,
该顶点与原k边形中的(k－2)个顶点可连
成(k－2)条对角线，而原来的一条边也变成
对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k－1)
条对角线,
所以 f (k 1) k(k 3) (k 1)
在此基础上，为使区域最多，应使新增 加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k 个交点，
这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧 将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区 域，这样k+1个圆最多把平面分成
(k2－k+2) +2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域，
这就是说，当n=k+1时，结论也正确，
2.3.2 数学归纳法应用举例
例1．用数学归纳法证明：
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1， 等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1)2 k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
f (k) k(k 3) , (k ≥ 4) 2
当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,
该顶点与原k边形中的(k－2)个顶点可连
成(k－2)条对角线，而原来的一条边也变成
对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k－1)
条对角线,
所以 f (k 1) k(k 3) (k 1)
在此基础上，为使区域最多，应使新增 加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k 个交点，
这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧 将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区 域，这样k+1个圆最多把平面分成
(k2－k+2) +2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域，
这就是说，当n=k+1时，结论也正确，
2.3.2 数学归纳法应用举例
例1．用数学归纳法证明：
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1， 等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1)2 k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
高中数学 3.1 第2课时数学归纳法应用举例课件 新人教B版选修22
第三十四页，共38页。
学法归纳总结
第三十五页，共38页。
1．每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的一点(或 一个向量)；反过来，平面直角坐标系中每一个点(或者一个向 量)，也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们可以通过有 序实数对，建立复数z＝a＋bi(a，b∈R)和点Z(a，b)(或向量O→Z ) 之间的一一对应关系，点Z(a，b)或向量 O→Z 是复数z的几何表 示．如图．
第十六页，共38页。
当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面(píngmiàn)中的对应点
(1)位于第四象限； (2)位于x轴的负半轴上．
第十七页，共38页。
[解析] (1)由已知mm22＋－38mm－＋2185＜＞00
∴m－＜7＜3或mm＜＞4 5 ，∴－7＜m＜3.
第二十八页，共38页。
[说明] 对于复数的模，可以从以下两个方面进行(jìnxíng) 理解：一是任何复数的模都表示一个非负的实数；二是复数的 模表示该复数在复平面内对应点与原点的距离．所以复数的模 是绝对值概念由实数的一维空间向二维空间的一种推广．
第二十九页，共38页。
设z∈C，满足(mǎnzú)下列条件的点的集合是什么图形？ (1)|z|＝4；(2)2<|z|<4.
第二十四页，共38页。
[说明(shuōmíng)] 解这类题的关键是将复数设成z＝a＋ bi(a，b∈R)的代数形式，然后根据复数相等，实现复数问题向 实数问题的转化，使问题得以解决．
第二十五页，共38页。
已知复数(fùshù)z1＝x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是复数
(fùshù)z2＝4－20i的共轭复数(fùshù)，求x的值．
学法归纳总结
第三十五页，共38页。
1．每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的一点(或 一个向量)；反过来，平面直角坐标系中每一个点(或者一个向 量)，也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们可以通过有 序实数对，建立复数z＝a＋bi(a，b∈R)和点Z(a，b)(或向量O→Z ) 之间的一一对应关系，点Z(a，b)或向量 O→Z 是复数z的几何表 示．如图．
第十六页，共38页。
当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面(píngmiàn)中的对应点
(1)位于第四象限； (2)位于x轴的负半轴上．
第十七页，共38页。
[解析] (1)由已知mm22＋－38mm－＋2185＜＞00
∴m－＜7＜3或mm＜＞4 5 ，∴－7＜m＜3.
第二十八页，共38页。
[说明] 对于复数的模，可以从以下两个方面进行(jìnxíng) 理解：一是任何复数的模都表示一个非负的实数；二是复数的 模表示该复数在复平面内对应点与原点的距离．所以复数的模 是绝对值概念由实数的一维空间向二维空间的一种推广．
第二十九页，共38页。
设z∈C，满足(mǎnzú)下列条件的点的集合是什么图形？ (1)|z|＝4；(2)2<|z|<4.
第二十四页，共38页。
[说明(shuōmíng)] 解这类题的关键是将复数设成z＝a＋ bi(a，b∈R)的代数形式，然后根据复数相等，实现复数问题向 实数问题的转化，使问题得以解决．
第二十五页，共38页。
已知复数(fùshù)z1＝x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是复数
(fùshù)z2＝4－20i的共轭复数(fùshù)，求x的值．