第4章整群抽样

具有某特征的次级单元的总体比例： 1 N 1 N P Ai Pi NM i 1 N i 1 具有某特征的次级单元的样本比例：
1 p nM 1 n ai pi n i 1 i 1
n
1 并令： A N

A
i 1
N
i
1 n a ai n i 1
定理4.2.2 在整群抽样中，若群的大小相等， 且对群进行简单随机抽样，则：
yij , i 1, 2,, n; j 1, 2,, M
总体第i个群的指标总值（简称群和）：
Yi Yij , i 1, 2,, N
j 1 M
样本第i个群的指标总值（简称群和）：
yi yij , i 1, 2,, n
j 1 M
总体第i个群的指标均值（简称群均值）：

记：
总体第i个群中具有某特征的次级单元数： Ai , i 1, 2,, N 样本第i个群中具有某特征的次级单元数： ai , i 1, 2,, n
总体第i个群中具有某特征的次级单元所占比例： Ai Pi , i 1, 2,, N Mi
样本第i个群中具有某特征的次级单元所占比例： ai pi , i 1, 2,, n mi

书上P118例4-1
例 某厂近两年来积压了某种零件100箱，每箱20 只。最近有用户要货，急需估计100箱中有多少报 废零件，以尽快安排生产及时供应用户。现随机抽 取5箱，对箱中的零件全部检查，结果如下表。 （1）对零件的废品率作点估计，并估计其标准差； （2）对100箱中的废品数作点估计，并估计其标准 差。
m0 mi 样本中的次级单元数：
i 1 N
n
1 总体的平均群大小： M N
M
i 1
i
1 n 样本的平均群大小：m mi n i 1

对指标Y：
Yij , i 1, 2,, N; j 1, 2,, Mi
总体第i个群中第j个次级单元的指标值：
样本第i个群中第j个次级单元的指标值：
a ˆ P ˆ p 是P的无偏估计量 M 1 1 f 1 N 1 f 1 N 2 2 V ( p) 2 ( A A ) ( P P ) i i M n N 1 i 1 n N 1 i 1
n n 1 1 f 1 1 f 1 2 2 ˆ ( p) V ( a a ) ( p p ) i i M 2 n n 1 i 1 n n 1 i 1 是V ( p)的无偏估计量

记：
总体第i个群中具有某特征的次级单元数： Ai , i 1, 2,, N 样本第i个群中具有某特征的次级单元数： ai , i 1, 2,, n
总体第i个群中具有某特征的次级单元所占比例： Ai Pi , i 1, 2, , N M
样本第i个群中具有某特征的次级单元所占比例： ai pi , i 1, 2, , n M
显然有：
Y MY
Y NY NMY
y My
y ny nMy
Yi MYi , i 1,2,, N
yi Myi , i 1, 2,, n

定理4.2.1 在整群抽样中，若群大小相等， 且对群进行简单随机抽样，则：
ˆ y Y ˆ y 是Y 的无偏估计量 M
N Y Y Y M0 M
Y NY M 0Y
y ny


按简单随机抽样抽取n个群
在群大小不等的情形，如果对群的抽取仍是 简单随机的，介绍下面两种处理方法：
（1）简单估计
（2）用群大小作辅助变量的比估计

定理4.3.1 在整群抽样中，若对群进行简单 随机抽样，且 M 0 已知，则：
ˆ N y Y y 是Y 的无偏估计量 ˆ M0 M ˆ ˆ Y ˆ M 0Y Ny是Y的无偏估计量 ˆ 1 1 f 1 N 2 V (Y ) 2 ( Y Y ) i M n N 1 i 1

定理4.3.4 在整群抽样中，若对群进行简单 随机抽样，且 M 0已知，则当n足够大时：
ˆ y ˆ YR ˆ M 0YR M 0 是Y的近似无偏估计量 m
N 1 f 1 2 ˆ )N V (Y ( Y YM ) R i i n N 1 i 1 N 1 f 1 2 2 N2 M ( Y Y ) i i n N 1 i 1 2
n f 设总体含有N个群，样本中有n个群， N
为抽样比
总体第i个群的大小，即总体第i个群中的次级 Mi , i 1, 2,, N 单元数： 样本第i个群的大小，即样本第i个群中的次级 mi , i 1, 2,, n 单元数：
总体中的次级单元数：M 0 M i
i 1
N

定理4.2.1 在整群抽样中，若群大小相等， 且对群进行简单随机抽样，则：
n 1 1 f 1 2 ˆ( y) V ( y y ) i M 2 n n 1 i 1 1 f 1 n 2 ( y y ) 是V ( y )的无偏估计量 i n n 1 i 1 n 1 f 1 2 ˆ (Y ˆ) N 2 V ( y y ) i n n 1 i 1 1 n 2 1 f 2 ˆ )的无偏估计量 ( NM ) ( y y ) 是V (Y i n n 1 i 1
yij , i 1, 2,, n; j 1, 2,, mi
总体第i个群的指标总值（简称群和）：
Yi Yij , i 1, 2,, N
j 1 Mi
样本第i个群的指标总值（简称群和）：
yi yij , i 1, 2,, n
j 1 mi
总体第i个群的指标均值（简称群均值）：
1 Yi M
Y , i 1, 2,, N
j 1 ij
M
样本第i个群的指标均值（简称群均值）：
1 yi M
y , i 1, 2,, n
j 1 ij
M
群和的总体均值（总体的平均群和）：
1 N 1 N M Y Yi Yij N i 1 N i 1 j 1
1 Yi Mi
Y , i 1, 2,, N
j 1 ij
Mi
样本第i个群的指标均值（简称群均值）：
1 yi mi
y , i 1, 2,, n
j 1 ij
mi
群和的总体均值：
1 N 1 N Mi Y Yi Yij N i 1 N i 1 j 1
群和的样本均值：
1 n 1 n mi y yi yij n i 1 n i 1 j 1
次级单元的总体均值：
N 1 N Mi Y Yij Yi M 0 i 1 j 1 i 1
M
i 1
N
i
群均值的样本均值：
1 n 1 n 1 y yi n i 1 n i 1 mi
定理4.3.2 在整群抽样中，若对群进行简单 随机抽样，且 M 0已知，则：
N a ˆ P a 是P的无偏估计量 ˆ M0 M
N 1 1 f 1 2 ˆ) V (P ( A A ) i M 2 n N 1 i 1
n 1 1 f 1 2 ˆ (P ˆ) ˆ )的无偏估计量 V ( a a ) 是V ( P i 2 M n n 1 i 1
y
j 1
mi
ij
总体总值：
Y Yi Yij
i 1 i 1 j 1 N N Mi
样本总值：
y yi yij
i 1 i 1 j 1 n n mi
显然有：
M0 M N m0 m n
Yi Yi , i 1, 2,, N Mi yi yi , i 1, 2,, n mi
ˆ Y ˆ Ny NMy是Y的无偏估计量
1 1 f 1 N 1 f 1 N 2 2 V ( y) 2 ( Y Y ) ( Y Y ) i i M n N 1 i 1 n N 1 i 1
N N 1 f 1 1 f 1 2 2 2 ˆ) N 2 V (Y ( Y Y ) ( NM ) ( Y Y ) i i n N 1 i 1 n N 1 i 1
y
i 1 j 1
n
M
ij
总体总值：
Y Yi Yij
i 1 i 1 j 1
N
N
M
样本总值：
y yi yij
i 1 i 1 j 1 n n M
注：在群大小相等的情形下，y 也是次级单元 的样本均值，但在群大小不等的情形，y 不 是次级单元的样本均值
群和的样本均值（样本的平均群和）：
1 n 1 n M y yi yij n i 1 n i 1 j 1
次级单元的总体均值：
1 N 1 Y Yi N i 1 NM
Y
i 1 j 1
N
M
ij
群均值的样本均值：
1 n 1 y yi n i 1 nM
抽中的箱号 箱内废品数 14 4 20 4 50 3 89 3 95 3Fra bibliotek作
业
习题4.1
4.3 群大小不等的情形
在大多数实际问题中，整群抽样时群的大小 是不相等的，有如下几种处理方法：

1 （1）用 M N
M 代替M i，按群相等的情形处理，
i 1 i
N
一般用于群大小相差不多的情况 （2）将总体中的群按照大小进行分层，使每一层内 的群大小基本相等，在各层中进行的整群抽样可 以按照群大小相等的情形处理，再结合分层抽样 的知识就可对总体情况作出推断

定理4.3.3 在整群抽样中，若对群进行简单 随机抽样，则当n足够大时：