2019-2020学年四川省成都市郫都区高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年四川省成都市郫都区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设A ={a}，则下列关系中正确的是( )A. 0∈AB. a ∉AC. a ∈AD. a =A 2. 已知集合A ={1,2，5}，B ={x|x ≤2}，则A ∩B =( )A. {1}B. {5}C. {1,2}D. {2,5} 3. 已知函数f(x +2)=x 2+3x +2，则f(4)=( )A. 30B. 6C. 12D. 94. 下列函数中，f(x)与g(x)相等的是( )A. f(x)=x,g(x)=(√x)2B. f(x)=x,g(x)=√x 2C. f(x)=x +2,g(x)=x 2−4x−2D. f(x)=|x |,g(x)=√x 25. 若幂函数的图象经过点(3,√33)，则该函数的解析式为( )A. y =x 3B. y =x 13 C. y =x −3D. y =x −16. 下列函数中，定义域与值域相同的是( )A. y =√x −1B. y =|x|C. y =13x −1D. y =x+1x−17. 设a >0，将2√a⋅√a 23表示成分数指数幂，其结果是( )A. a 12B. a 56 C. a 76D. a 328. 已知函数y =ax 2−bx +c 的图象如图所示，则函数y =a −x 与y =log b x 在同一坐标系中的图象是( )A.B.C.D.9.已知a=21.2,b=0.50.8,c=log23，则()A. a>b>cB. c<b<aC. c>a>bD. a>c>b10.已知函数f(x)=4x−3ln|x|，则f(x)的图象大致为()A. B.C. D.11.若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，f(2)=0，则f(3−x)>0的解集是()A. (−2,2)B. (−∞,1)∪(5,+∞)C. (1,5)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)12.已知函数f(x)=1+2x+sinx，若f(x)的最大值和最小值分别为M和N，则M+N等于()x+1A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合A={0,1}，集合B={1,2，3}，定义A∗B={z|z=xy+1,x∈A,y∈B}，则A∗B集合中真子集的个数是______________．14.函数f(x)=(|x|−1)(x+a)为奇函数，则f(x)的增区间为______________．15.已知函数f(x)是定义在[a−1,2a]上的偶函数，且当x>0时，f(x)单调递增，则关于x的不等式f(x−1)>f(a)的解集为______ ．16. 若函数f(x)={a x (x >1)(4−a 2)x +2(x ≤1)对于R 上的任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 计算下列各式：(1)(0.027)23+(27125)−13−(279)0.5；(2)lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18. 已知集合A ={x|x 2−5x +m =0}，集合B ={x|x 2+nx +2=0}，且A ∩B ={2}，求A ∪B ．19. 已知集合A ={x|3≤x ≤7}，B ={x|3<2x −1<19}，求：(1)A ∪B (2)(∁R A)∩B ．20. 已知奇函数f(x)=a⋅2x −12x +1的定义域为[−a −2,b]．(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，若实数m 满足f(m −1)<f(1−2m)，求m 的取值范围．21.已知函数f(x)=x3+e x−e−x．(1)判断此函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断此函数的单调性(不需要证明)；(3)求不等式f(2x−1)+f(−3)<0的解集．22.设函数f(x)=x2−(3a−1)x+a2在区间(1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：a是元素，A是集合；所以a∈A,0∉A;所以选C．2.答案：C解析：【分析】本题考查集合的交集的求法，属于基础题．根据集合的交集的定义直接求解即可．【解答】解：集合A={1,2，5}，B={x|x≤2}，则A∩B={1,2}．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．利用函数的解析式直接求解函数值即可．【解答】解：函数f(x+2)=x2+3x+2，则f(4)=f(2+2)=22+3×2+2=12．故选C．4.答案：D解析：对于A，f(x)=x的定义域为R，g(x)=(√x)2的定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不相同，所以不是相等函数；对于B，g(x)=√x2=|x|与f(x)=x的对应关系不相同，所以不是相等函数；=x+2(x≠2)，与f(x)=x+2的定义域不同，所以不是相等函数；对于D，对于C，g(x)=x2−4x−2g(x)=√x2=|x|，与f(x)=|x|的对应关系和定义域都相同，所以是相等函数．5.答案：B解析：【分析】本题考查了幂函数的定义和性质的应用问题，是基础题．利用幂函数的定义和待定系数法求出解析式即可．【解答】解：设幂函数f(x)=xα(α为常数)，∵幂函数f(x)的图象过点(3,√33)，，∴3α=√33，解得α=13，∴f(x)=x13.故选B.6.答案：D解析：【解答】解：对于A：函数y=√x−1的定义域为[1,+∞)，值域为[0,+∞)，定义域与值域不同；对于B：函数y=|x|的定义域为R，值域为[0,+∞)，定义域与值域不同；对于C：函数y=13x−1的定义域为{x|x≠0}，由3x>0，得3x−1>−1，∴13x−1∈(−∞,−1)∪(0,+∞)，即函数y=13x−1的值域为(−∞,−1)∪(0,+∞)，定义域与值域不同；对于D：函数y=x+1x−1的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，由y=x+1x−1=1+2x−1≠1，可知函数的值域为(−∞,1)∪(1,+∞)，定义域与值域相同．故选D．【分析】本题考查函数的定义域与值域，属于基础题．依次求出每个选项中函数的定义域与值域，对比即可．7.答案：C解析：【分析】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，属于基础题．由根式与分数指数幂的互化规则将所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项．【解答】解：由题意2√a⋅√a2=a2−12−13=a76故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了二次函数，指数函数以及对数函数的性质，考查数形结合，是基础题．求出二次函数的解析式，求出a，b的值，从而指数函数以及对数函数的图象即可得出．【解答】解：由图象设y=a(x−2)2−2，代入(0,0)解得：a=12，∴y=12x2−2x，故b=2，故y=a−x=2x，y=log b x=log2x，故选：B．9.答案：D解析：∵a=21.2>2,0<0.50.8<1,1<log23<2，∴a>c>b．10.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象，利用函数的性质的判断与应用，单调性表述了图象的变化趋势，属基础题．解析：解：当x<0时，f(x)=4x−3ln(−x)是增函数，故排除B，D；易知当x>0时，f(x)=4x−3lnx，f′(x)=4−3x ，在(0,34)递减，在(34,+∞)上递增，从而利用排除C;故选A．11.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属基础题．关键是利用函数的奇偶性与单调性分析函数的符号，把f(3−x)>0转化为|3−x|>2，从而得解．【解答】解：因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，所以f(x)在[0,+∞)上是增函数，因为f(3−x)=f(|3−x|)，f(2)=0，由已知得f(3−x)=f(|3−x|)>f(2)，所以|3−x|>2，解得x>5或x<1．故选：B．12.答案：A解析：解：∵f(x)=1+2x+sinxx2+1，设g(x)=2x+sinxx2+1，∴g(−x)=−2x−sinxx2+1=−2x+sinxx2+1=−g(x)，∴g(x)为奇函数，∴g(x)max+g(x)min=0∵M=1+g(x)max，N=1+g(x)min，∴M+N=1+1+0=2，故选：A．g(x)=2x+sinxx2+1，得到g(x)为奇函数，得到g(x)max+g(x)min=0，相加可得答案．本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题．13.答案：15个解析：【分析】本题考查新定义，解题关键是理解新定义运算，确定出新定义集合中的元素．【解答】解：∵A∗B={z|z=xy+1,x∈A,y∈B}，A={0,1}，B={1,2，3}，∴A ∗B ={1,2，3，4}，∴集合A ∗B 的真子集个数为24−1=15． 故答案为15个．14.答案：(−∞,−12],[12,+∞)解析： 【分析】本题考查分段函数的单调性与奇偶性，以及函数的图象，属于简单题，首先根据函数奇偶性的定义求出a 的值，然后写出分段函数f(x)的解析式，画出图象，从而得到单调区间． 【解答】解：由题意得：f(0)=(0−1)(0+a)=0， 所以a =0，所以f(x)={x(x −1)(x ≥0)−x(x +1)(x <0), 函数f(x)的图象如下图：所以函数f(x)的增区间为(−∞,−12],[12,+∞)．15.答案：[13,23)∪(43,53]解析： 【分析】本题主要考查函数的定义域，函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题． 利用函数f(x)是偶函数求出a ，再分类讨论求解不等式组即可． 【解答】解：∵函数f(x)是定义在[a −1,2a]上的偶函数，∴a −1+2a =0，求得a =13，故函数的定义域为[−23,23]. ∵当x >0时，f(x)单调递增，故函数f(x)在(−∞,0)上单调递减． 由关于x 的不等式f(x −1)>f(a)，可得{x −1<−a 或x −1>a −23≤x −1≤23，求得13≤x <23，或43<x ≤53，故不等式f(x −1)>f(a)的解集为[13,23)∪(43,53]， 故答案为[13,23)∪(43,53].16.答案：[4,8)解析：解：∵对于R 上的任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则函数f(x)单调递增，∵函数f(x)={a x (x >1)(4−a 2)x +2(x ≤1)， ∴{a >14−a 2>04−a2+2≤a，即{a >1a <8a ≥4， ∴4≤a <8， 故答案为：[4,8)． 由条件f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，可知函数f(x)单调递增，然后利用函数的单调性即可得到结论．本题主要考查函数单调性的应用，根据条件f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，判断函数f(x)的单调性是解决本题的关键．17.答案：解：(1)原式=0.09+53−53=0.09；(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2+lg2⋅lg5+(lg5)2+lg2⋅lg5+(lg2)2 =2+lg5⋅(lg2+lg5)+lg2⋅(lg5+lg2) =2+lg5+lg2 =2+1=3．解析：考查分数指数幂和对数的运算，为基础题． (1)进行分数指数幂的运算即可； (2)进行对数式的运算即可．18.答案：解：∵A ∩B ={2}，∴2∈A ，2∈B ，即4−10+m =0且4+2n +2=0，解得m =6，n =−3，即A ={x|x 2−5x +6=0}={2,3}，集合B ={x|x 2−3x +2=0}={1,2}，则A ∪B ={1,2，3}解析：根据集合的基本运算确定集合的元素即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出m ，n 是解决本题的关键．19.答案：解：B ={x|3<2x −1<19}={x|2<x <10}，(1)集合A ={x|3≤x ≤7}，B ={x|2<x <10}，∴A ∪B ={x|2<x <10}；(2)∁R A ={x|x <3或x >7}，B ={x|2<x <10}，∴(∁R A)∩B ={x|2<x <3或7<x <10}．解析：化简集合B ，根据交集、并集和补集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．20.答案：解：(1)根据题意，f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即a⋅2−x −12−x +1=−a⋅2x −12x +1， 变形可得：a−2x2x +1=−a⋅2x +12x +1，整理得(a −1)(2x +1)=0，则a −1=0，∴a =1．∵奇函数的定义域为[−a −2,b]关于原点对称，故b =a +2=3；∴a =1，b =3．(2)由(1)知f(x)=2x −12x +1，x ∈[−3,3]．证明如下：设−3≤x 1<x 2≤3，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1+1−2x 2−12x 2+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)，又由−3≤x 1<x 2≤3，则2x 1−2x 2<0，2x 1+1>0，2x 2+1>0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在[−3,3]上单调递增；又f(m −1)<f(1−2m)，则有{−3≤m −1≤3−3≤1−2m ≤3m −1<1−2m，解得：−1≤m <23，故实数m 的取值范围[−1,23)．解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用．(1)根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即a⋅2−x −12+1=−a⋅2x −12+1，变形解可得a 的值，又由奇函数的定义域关于原点对称，可得b 的值；(2)根据题意，由单调性的定义可得函数f(x)的单调性，据此分析f(m −1)<f(1−2m)可得{−3≤m −1≤3−3≤1−2m ≤3m −1<1−2m ，解可得m 的取值范围，即可得答案．21.答案：解：(1)根据题意，函数f(x)=x 3+e x −e −x ，则f(−x)=(−x)3+e −x −e x =−(x 3+e x −e −x )=−f(x)，则函数f(x)为奇函数；(2)f(x)=x 3+e x −e −x 在R 上为增函数；(3)由(1)(2)的结论，f(x)=x 3+e x −e −x 是奇函数且在R 上为增函数；f(2x −1)+f(−3)<0⇒f(2x −1)<−f(−3)⇒f(2x −1)<f(3)⇒2x −1<3，解可得x <2，即不等式的解集为(−∞,−2)．解析：(1)根据题意，由函数的解析式分析可得f(−x)=−f(x)，结合函数奇偶性的定义分析可得答案；(2)由函数的解析式结合常见函数的单调性，分析易得结论；(3)根据题意，由(1)(2)的结论，可以将原不等式转化为2x −1<3，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的证明与应用，(3)注意分析得到关于x 的不等式，属于基础题． 22.答案：解：由f(x)=(x −3a−12)2+a 2−(3a−12)2， 知f(x)的单调增区间是[3a−12,+∞),又因为f(x)在(1,+∞)上是增函数，所以3a−12⩽1，故a 的取值范围是(−∞,1]．,+∞)，由解析：本题考查了函数的单调性与单调区间和二次函数，先得出f(x)的单调增区间是[3a−12⩽1，解出即可．题意得3a−12。
2019-2020学年四川省成都市高一上学期期中数学试题及答案解析版
2019-2020学年四川省成都市高一上学期期中数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4M =，{}3,3N =-，则下列结论正确的是（ ） A ．N M ⊆ B ．M N M ⋃= C ．{}3M N ⋂= D ．MN N =【答案】C【解析】根据元素与集合的关系可确定N 不是M 子集，排除A ；由并集结果排除B ；由交集结果确定最终选项. 【详解】3N -∈，3M -∉N ∴不是M 的子集，A 错误；{}3,1,2,3,4MN M =-≠，B 错误；由交集定义知：{}3M N N =≠，C 正确，D 错误.故选：C 【点睛】本题考查集合中的交集、并集和包含关系的判定，属于基础题.2．函数1()ln(1)f x x =++A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【答案】B【解析】x满足2101140x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩，即1022x x x >-⎧⎪≠⎨⎪-≤≤⎩.解得－1<x <0或0<x ≤，选B3．已知幂函数()y f x =的图象经过点1,24⎛⎫⎪⎝⎭，则()8f =（ ）A ．2B ．2C ．2 D ．2【答案】C【解析】将点1,24⎛⎫⎪⎝⎭代入幂函数解析式，可求得()f x 解析式，代入8x =即可得到结果. 【详解】 设幂函数()f x x α=，则124α⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：12α=- ()12f x x -∴=()12288f -∴==故选：C 【点睛】本题考查幂函数解析式及函数值的求解问题，关键是能通过待定系数法的方式求得函数解析式.4．函数5x x e e y --=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性可排除,B D ；根据x →+∞时，函数值的极限可排除C ，从而得到结果. 【详解】55x x x xe e e e ----=-∴函数5x xe e y --=为奇函数，图象关于原点对称，排除,B D 当x →+∞时，xe →+∞，0x e -→ y ∴→+∞，排除C故选：A 【点睛】本题考查函数图象的辨析问题，解决此类问题通常采用排除法，排除顺序一般为：奇偶性、特殊值、单调性. 5．函数()()213log 23f x x x --=的单调增区间为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,3D ．()3,+∞【答案】A【解析】根据对数函数定义域要求可求得函数定义域；根据复合函数单调性“同增异减”原则，分别判断两个构成部分的单调性，进而得到所求单调区间. 【详解】由2230x x -->得：1x <-或3x >，即()f x 定义域为()(),13,-∞-+∞当(),1x ∈-∞-时，223x x μ=--单调递减；当()3,x ∈+∞时，223x x μ=--单调递增又13log y μ=为()0,∞+上的减函数 ()213log 23y x x ∴=--的单调递增区间为(),1-∞-故选：A 【点睛】本题考查复合函数单调区间的求解问题，关键是明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成区间求解错误. 6．已知函数()22,1,log ,1,x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若142f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a =（ ）A ．15B ．2C ．23D ．23-【答案】A 【解析】首先求得112f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，分别在11a +≤和11a +>两种情况下利用()14f a +=构造方程求得结果. 【详解】112122f a a ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭()14f a ∴+=当11a +≤，即0a ≤时，()()121324f a a a a +=++=+=，解得：23a =（舍）当11a +>，即0a >时，()()21log 14f a a +=+=，即116a +=，解得：15a =综上所述：15a = 故选：A 【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解参数值的问题，关键是能够通过对自变量不同取值范围的讨论得到对应的方程，进而求得结果.7．已知2log 0.2a =，0.5log 0.3b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】C【解析】根据对数函数单调性可确定0a <，1b >，根据指数函数单调性可确定01c <<，由此可得三者大小关系. 【详解】221log log 105a =<=，12221log 0.3log 0.3log 12b ==->-=，()0.20.50,1c =∈ a c b ∴<<故选：C 【点睛】本题考查比较指数、对数值的大小问题；关键是能够根据指数函数单调性、对数函数单调性确定各个值的临界值，通过临界值确定大小关系.8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()11f x f x -=+.若()12f =，则()()()345f f f ++=（ ） A ．2 B ．0 C ．2- D ．4【答案】D【解析】根据()()11f x f x -=+得到函数对称轴为1x =，又函数为奇函数，可得函数的周期；利用周期和对称性可知所求式子等于()()()101f f f ++，从而得到结果. 【详解】()()11f x f x -=+()f x ∴关于1x =对称 ()()312f f ∴==又()f x 为定义在R 上的奇函数 ()f x ∴是周期为4的周期函数且()00f =()()400f f ∴==，()()512f f == ()()()3452024f f f ∴++=++=故选：D 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题；关键是能够通过函数的对称轴和对称中心确定函数的周期.9．统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有0.73（约2.16）倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的（lg 20.3010≈，lg30.4771=，lg70.8451≈）（ ） A ．l 8倍 B ．21倍 C ．24倍 D ．27倍【答案】D【解析】根据已知条件可构造出函数关系式，进而得到0.710x =，根据对数运算法则可解方程求得近似值.【详解】由题意可知，看到图形面积大小y 与图形实际面积x 之间满足0.7y x =∴若看到全国面积约为某县面积的10倍，则0.710x =，解得：10lg 1.437x =≈lg 273lg3 1.43=≈ 27x ∴≈故选：D 【点睛】本题考查利用函数模型求解实际问题，关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合对数运算性质求得结果.10．设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则方程[]2210x x --=的根有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】将问题转化为21x y =-与[]2y x =的图象交点个数，在同一平面直角坐标系中作出两函数图象，从而得到结果. 【详解】 方程[]2210xx --=根的个数等价于21x y =-与[]2y x =的图象交点个数在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如下图所示：由图象可知，两个函数共有3个不同的交点 ∴方程[]2210x x --=有3个根故选：B 【点睛】本题考查方程根的个数的求解，涉及到新定义函数的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数求解的问题，在充分理解新定义的情况下得到函数图象，采用数形结合的方式得到结果.11．已知函数())20192019log 20193xx x f x -=+-+，则关于x的不等式()()32216f x f x +++>的解集为（ ） A ．()0,∞+ B ．(),0-∞C ．3,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．3,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】构造函数()()3g x f x =-，由奇偶性定义可知()g x 为奇函数；由()g x 在[)0,+∞上的单调性和奇偶性可确定()g x 在R 上单调递增；将所给不等式化为()()3221g x g x +>--，利用单调性可得3221x x +>--，进而求得结果. 【详解】令()())20192019lo 193g 20xx x x x g f -=+--=()())201932019log 2019x xg x f x x --=--=+-)()201920192019log 20192019log 2019x x x x x g x --=+-=--=-()g x ∴为定义在R 上的奇函数又20192019-=-x x y 与)2019log y x=均为[)0,+∞上的增函数()g x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()g x 为奇函数()g x ∴在(],0-∞上单调递增()g x ∴为R 上的增函数由()()32216f x f x +++>得：()()323213f x f x +->-++ 即()()()322121g x g x g x +>-+=-- 3221x x ∴+>--，解得：35x >-∴不等式()()32216f x f x +++>的解集为3,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，将所求不等式转化为已知单调性的函数的函数值之间的比较，进而根据函数单调性得到自变量之间的大小关系.12．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：（1）对任意()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =成立；（2）当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.给出如下结论：①对任意m Z ∈，有()20mf =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞；③若函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，则存在k Z ∈，使得()()1,2,2k k a b +⊆.其中所正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】D【解析】根据()()22f x f x =进行转化可求得()20mf =，知①正确；取(12,2mm x +⎤∈⎦，可得(]1,22mx∈，由此可推导得到()120m f x x +=-≥，知②正确；由②中所得函数的单调性可知③正确. 【详解】()2220f =-=()()()()122122222220m m m m f f f f ---∴===⋅⋅⋅==，①正确；取(12,2m m x +⎤∈⎦，则(]1,22mx∈ 222m m x xf ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()12482202482m m m x x x x f x f ff f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅⋅⋅==-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ∴的值域为[)0,+∞，②正确；由②知：(12,2k k x +⎤∈⎦时，()12k f x x +=-，此时()f x 单调递减 由此可知，存在()()1,2,2kk a b +⊆，使得()f x 在(),a b 上单调递减，③正确. 故选：D 【点睛】本题考查抽象函数性质的综合应用问题，涉及到值域的求解、单调性的判断等知识；关键是能够利用推导得到()f x 在(12,2mm +⎤⎦时的函数解析式，进而再来判断函数的性质和值域.二、填空题13．已知112,,,2,322α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为偶函数，且在()0,∞+上递减，则α=______. 【答案】2-【解析】根据幂函数在()0,∞+上的单调性可知0α<，由奇偶性可排除12α=-，进而得到结果. 【详解】()f x x α=在()0,∞+上递减0α∴< 2α∴=-或12-当2α=-时，()2f x x -=为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，满足题意当12α=-时，()12f x x -=定义域为()0,∞+，为非奇非偶函数，不合题意 综上所述：2α=- 故答案为：2- 【点睛】本题考查根据幂函数的单调性和奇偶性求解函数解析式的问题，关键是明确幂函数在第一象限内单调递减，则0α<.14．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.【答案】14【解析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x-=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果. 【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x =14x ∴=或2x =01x <<14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力. 15．已知()103x f x =-，则集合(){}260A x N f x *=∈-≥中所有元素之和为______. 【答案】7【解析】根据函数解析式首先确定函数定义域；由单调性的性质可得到()f x 在定义域内单调递减，结合()100f =可确定()260f x-≥的解集，从而得到集合A ，进而得到结果.【详解】由010x x ≠⎧⎨-≥⎩得：1x ≥，即()f x 定义域为[)1,+∞ 10y x =在[)1,+∞上单调递减，y =在[)1,+∞上单调递减 ()f x ∴在[)1,+∞上单调递减 ()10110f =-=21610x ∴≤-≤4x ≤≤又x N *∈ {}3,4A ∴= ∴集合A 中所有元素之和为347+= 故选：7 【点睛】本题考查根据函数单调性求解函数不等式的问题，关键是能够通过函数的单调性确定自变量的取值范围，从而构造出不等式；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.16．已知函数()2log 111a x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+（0a >且1a ≠），若定义域上的区间[],m n ，使得()f x 在[],m n 上的值域为[]log 2,log 2a a n m ，则实数a 的取值范围为______.【答案】30,2⎛- ⎝⎭【解析】根据对数函数定义域要求可求得()f x 定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定01a <<，从而确定,m n 是方程()log 2a f x x =的两根，由此将问题转化为方程()222110ax a x +-+=在()1,+∞有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果. 【详解】()1log 11ax f x x -=-+ ()f x ∴定义域为()(),11,-∞-+∞m n <且log 2log 2a a n m <01a ∴<<211y x =-+在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增 ()f x ∴在()(),1,1,-∞-+∞上单调递减()log 2a f m m ∴=，()log 2a f n n =1n m ∴>>且,m n 是方程()log 2a f x x =的两根1log 2log 11a ax x x -∴=-+ 即()211log 2log log 111a aa x x x x x x +--==-+-()211ax x x ∴+=-在()1,+∞上有两个不等实根即()222110ax a x +-+=在()1,+∞上有两个不等实根()()22180211422110a a a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪∴->⎨⎪+-+>⎪⎩，解得：302a -<< a ∴的取值范围为30,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：30,2⎛- ⎝⎭【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定,m n 是方程()log 2a f x x =的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解.三、解答题17．计算下列各式的值： （1()()411320.0010.25---⨯；（2）71log 227lg 5lg 20lg 2+⋅+.【答案】（1）10-（2）32【解析】（1）根据指数幂运算法则化简求解即可； （2）根据对数运算法则化简求解即可.【详解】 （1()()411322100.0.0010.255410---⨯=-⨯=（2）()()71log 22221137lg 5lg 20lg 2lg 52lg 2lg 5lg 2lg 2lg 5222+⋅+=+⋅++=++= 【点睛】本题考查利用指数幂、对数运算法则化简求值的问题，考查基础公式的应用. 18．已知集合{}2230A x xx =--<，{}315B x x =-<.（1）化简集合A ，B ；（2）已知集合{}21C x m x m =<<+，若集合()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()13A ,=-，4,23B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（1）根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法即可解不等式求得结果； （2）由交集定义求得AB ，根据()C A B ⊆⋂可分为C =∅和C ≠∅两种情况构造出不等式求得结果.【详解】（1）()(){}()3101,3A x x x =-+<=-，{}45315,23B x x ⎛⎫=-<-<=- ⎪⎝⎭（2）由（1）知：()1,2AB =-()C A B ⊆∴当C =∅时，21m m ≥+，解得：m 1≥；当C ≠∅时，212112m m m m <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，解得：112m -≤<综上所述：1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2112xf x x -=+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并用定义法证明.【答案】（1）()2211,020,011,02x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪⎪-+<⎩；（2）()f x 在()1,+∞上单调递增，证明见解析【解析】（1）当0x >，0x -<，代入函数解析式，利用奇偶性可求得0x >时函数的解析式，结合()00f =可得分段函数解析式；（2）设211x x >>，可得到()()()()122121211222x x x x f x f x x x x x +--=-⋅，可验证得到()()210f x f x ->，从而可知函数在()1,+∞上单调递增. 【详解】（1）当0x >时，0x -<()2112f x x x∴-=-- ()f x 为奇函数()()()21102f x f x x x x∴=--=+>又()00f = ()f x ∴的解析式为：()2211,020,011,02xx x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪⎪-+<⎩（2）()f x 在()1,+∞上单调递增，证明如下： 令211x x >> 则()()()()221221212121211211111222x x f x f x x x x x x x x x x x --=+--=+-+()()()122121212112122122x x x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫+=--=-⋅ ⎪⎝⎭ 211x x >>121x x ∴>，122x x +> ()122120x x x x ∴+->又210x x ->，120x x > ()()210f x f x ∴->()f x ∴在()1,+∞上单调递增【点睛】本题考查根据奇偶性求解函数解析式、定义法求解函数的单调性的问题；考查了学生对于函数单调性和奇偶性的应用；易错点是忽略函数定义域为R 的情况，造成解析式缺失.20．如图，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是3 km ，从点P 沿海岸正东12 km 处有一个渔村.（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为4km /h ，步行的速度是6km /h .y （单位：h ）表示他从小岛到渔村的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处A 与P 点的距离.请将y 表示为x 的函数，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，是否有一个停船的位置使得从小岛到渔村花费的时间最少?说明理由.2.236≈）【答案】（1）246xy =-+，[]0,12x ∈；（2）当停船位置距离P 点约2.68km 时，从小岛到渔村花费的时间最少；理由见解析【解析】（1）利用路程除以速度可得时间，从而构造出函数关系式；（2）利用定义法可证得函数在0,5⎡⎢⎣⎭上单调递减，在5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增；由此可得当 2.685x =≈时，所花费时间最少. 【详解】（1）由题意得：小岛距离A∴一个人从小岛到A 处所需时间为4，从A 处到渔村所需时间为12266x x-=-246xy ∴=-+，[]0,12x ∈（2）当120x x ≤<<时，211222666x x x x --++-=+()() 22212112326x x x xx x⎡⎤+---=+=()212133x x x x⎡⎤-+--=23230x-<-=，130x-<∴函数246xy=-+在⎡⎢⎣⎭上单调递减同理可得：函数26xy=-+在,125⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增∴当 2.685x=≈时，min2 2.564y=+≈（h）∴当停船位置距离P点约2.68km时，从小岛到渔村花费的时间最少【点睛】本题考查构造函数模型求解实际问题，涉及到最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够判断出函数的单调区间，进而根据单调性得到最值点.21．已知函数()2xf x=（x∈R）.（1）若函数()()()22F x f x m f x=-⋅+在区间[]1,2上的最小值为1，求实数m的值；（2）若函数()()()f xg xh x=+，其中()g x为奇函数，()h x为偶函数，不等式()()()2110h x a g x+-+≥对任意[]1,2x∈恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）52；（2）(],5-∞【解析】（1）令2x t =，将函数化为二次函数，通过讨论二次函数对称轴的不同位置得到函数的单调性，从而利用最小值构造方程求得m 的值；（2）由()f x 与()f x -，结合奇偶函数可构造方程组求得()g x 与()h x 解析式；采用分离变量的方式将不等式化为()412222x x x xa ---≤-+-，令22x x t -=-，根据对号函数的性质可求得()42222x xx x ---+-的最小值为4，从而得到14a -≤，进而得到a 的取值范围. 【详解】（1）由题意得：()2222x x F x m =-+ 令2x t =[]1,2x ∈[]2,4t ∴∈()22F t t mt ∴=-+在[]2,4上的最小值为1 ①当42m≥，即8m ≥时，()F t 在[]2,4上单调递减()()min 41841F t F m ∴==-=解得：174m =（舍） ②当22m≤，即4m ≤时，()F t 在[]2,4上单调递增()()min 2621F t F m ∴==-=解得：52m = ③当242m <<，即48m <<时，()F t 在2,2m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,42m ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增 ()2min2124m m F t F ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，解得：2m =-（舍）或2m =（舍） 综上所述：52m =（2）()()()()()()()()22xx f x g x h x f x g x h x g x h x -⎧=+=⎪⎨-=-+-=-+=⎪⎩()()222222x xx xg x h x --⎧-=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩当[]1,2x ∈时，220x x -->，即()0g x >()()()222222121222421222222222x xx x x x x x x x x xh x a g x ------+++++∴-≤===-+---令22xxt -=-，则315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 令()4m t t t =+，315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，则()m t 在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增()()min 24m t m ∴==14a ∴-≤，解得：5a ≤即实数a 的取值范围为(],5-∞ 【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值、恒成立问题的求解等问题，涉及到一元二次函数最值的讨论、构造方程组法求解函数解析式、函数奇偶性的应用和最值的求解等知识；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过构造方程组和奇偶性相结合求得函数解析式，进而利用分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系. 22．已知二次函数()1y f x =的图象是以原点为顶点且过点()1,1的抛物线，反比例函数()2y f x =的图象（双曲线）与直线y x =的两个交点间的距离为8，()()()12f x f x f x =+. （1）求函数()f x 的表达式；（2）当0m >时，讨论函数()()()16F x f x f m m =-+的零点个数. 【答案】（1）()28f x x x=+；（2）当0m <<()F x 有一个零点；当m =()F x 有两个零点；当m >()F x 有三个零点【解析】（1）采用待定系数法，分别假设两函数解析式，根据所过点和交点距离可构造方程求得参数，从而得到两函数解析式，进而求得结果；（2）令()0F x =，可化简为()80x m x m mx ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，从而确定x m =-是方程一个解；令80x m mx-+=，将问题转化为一元二次方程根的个数的讨论；分别在∆<0、0∆=和>0∆三种情况下求得根的个数，并验证根与x m =-是否相同，从而得到结果. 【详解】（1）设()21f x ax = ()111f a ∴== ()21f x x ∴=设()()20k f x k x =>，由k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩可得两交点坐标为和(∴两个交点之间距离为8=，解得：8k()28f x x∴=()28f x x x∴=+（2）由（1）知：()2288F x x m x m=+-+ 令22880x m x m +-+=，即()80x m x m mx ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭x m ∴=-是方程的一个解 令80x m mx-+=，即2280mx m x -+= ()433232m m m m ∴∆=-=-0m >∴当3320m -<，即0m <<2280mx m x -+=无实根当3320m -=，即m =2280mx m x -+=有两个相等实根解方程得：222m mx m m ==≠-当3320m ->，即m >2280mx m x -+=有两个不等实根解方程得：1x =2x =令22m m m =-，解得：0m =（舍），令22m m m =-，方程无解；1x m ∴≠-，2x m ≠-综上所述：当0m <<()F x 有一个零点；当m =()F x 有两个零点；当m >时，()F x 有三个零点【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式、函数零点个数的讨论问题；需明确当函数类型已知时，采用待定系数的方式可构造方程求得函数解析式；讨论函数零点个数的关键是能够将问题转化为方程根的个数的讨论；易错点是忽略对于方程的根是否相等的判定.。
高一年级第一学期期中考试数学试卷及其参考答案
高一年级第一学期期中考试数学试卷（基础模块第一章、第二章）一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列表示正确的是（）．A.{ 0 }＝∅B.｛全体实数｝＝ＲＣ.{ a }∈{ａ,ｂ,c } D.{ x∈R∣x2+1＝0 }＝∅2.已知全集U={ 0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，B={2,3,4}，则（U C A）B＝（）．A.{2}B.{0,2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,3,4,5}3.已知A={ (x,y) | 2x-y=0 }，B={ (x,y) | 3x+2y=7 }，则A B＝（）．A.{(2,1)}B.{1,2}C.{(1,2)}D.{x=1,y=2}4．设A={ x | 0< x < 1 }，B={ x | x < a } ，若A⊆B，则a的取值范围是（）．A.[1,＋∞) B.(－∞,0]C.[0,＋∞)D.(－∞,1]5.已知集合A={ x | x2＋14= 0 }，若A∩R =∅，则实数ｍ的取值范围是（）．A.m<1B.m≥1C.0<m<1D.0≤m<16.“A⊆B”是“A B＝A”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.不等式21-+xx≤0的解集为（）．A.{ x | x≥2}B.{ x | x≥2或x<－1 }C.{ x|－1<x≤2 }D.{x| x≥2或x≤－1 }8.已知a<b<0，c>0，那么（）．A.a2<b2B.a b<1C.ca<cb D.ca>cb9.绝对值不等式| 2x－3 |<5的解集是（）．A.{ x | x<－1或x>4 }B.{ x |－1<x<4 }C.{ x | x<－1 }D.{ x | x>4 }10.与不等式－x2－2x＋3>0同解的不等式(组)是（）．A. x2＋2x－3>0B. (x＋3)(x－1)<0C.x+3>0x-1D.x+3<0x-1>0⎧⎨⎩a 、b 、c 的大小顺序是（ ）． A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b12.若实数0<a <1，则)0>1(a-x)(x-a的解集为（ ）． A.{ x |1<x<a a } B.{ x | 1<<a x a} C.{ x | 1< >x a 或x a } D.{ x | 1<a >x 或x a}二、填空题（每小题4分，共16分）13.设全集U={ 1,2,3,4,5 },A={ 2,5 }，则U C A 的所有子集的个数为 _________． 14.符合条件｛ａ｝⊆Ｍ ｛ａ，ｃ，ｄ｝的集合Ｍ的个数是 _________．15.设ａ，ｂ为实数，则“ａ2＝ｂ2”是“ａ＝ｂ”的 _________条件．(填充分或必要)16.不等式2+2m x x+n>0的解集是(11,32-)，则不等式2-nx +2x-m >0的解集是 _________．三、解答题（共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 17.已知U={ x |－2<x<7 ,x ∈N }，A={ 1,2,4 }，B={ 2,3,5}．求: ⑴ A U B ；⑵ A B ；⑶ B C C U U A；⑷ B C C U U A ．(12分)18.若集合A={ x | mx 2＋2x －1 = 0 , m ∈R , x ∈R }中有且仅有一个元素，那么m 的值是多少？(12分)19.设集合A={ x | x 2－3x ＋2 = 0 }，B = { x | x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0 }，若A B = { 2 }，求实数ａ的值．(12分) 20.解不等式x+23-x≤1．(12分) 21.设全集为R ，A={ x | |x-1|<3 }，B={ x | x 2－x －2≥0 },求A B ，A U B ，A CB ．(12分)22.已知集合A={ x | x 2－x －12 ≤0 }，集合B={ x | m －1≤x ≤2m ＋3 }，若A U B=A ，求实数m 的取值范围．(14分)高一年级第一学期期中考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、 8 14、 3 15、 必要 16、 （－2,3）三、解答题：（22题14分，17~21题每题12分，共计74分）17.解：U={ 0,1,2,3,4,5,6 }. ⑴A U B={1,2,3,4,5}.⑵A B={2}.⑶B C C U U A ={ 0,3,5,6 }U { 0,1,4,6 }={ 0,1,3,4,5,6, }. ⑷ B C C U U A={ 0,3,5,6 } { 0,1,4,6 }={ 0,6 }.18. 解：当m=0时, A=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,符合题意.当m ≠0时,要使集合A 中有且仅有一个元素,必须 方程mx 2＋2x －1 = 0有两个相等实数根, ∴ 2∆=2+4m =0, 即m=－1,综上所述,m=0或m=－1. 19. 解：A={ 1,2 }∵ A B={ 2 }, ∴ 2 B, ∴ 2是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0的根,把x=2代入此方程得2a +4a+3=0, ∴ a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={ -2,2 }, A B={ 2 },符合题意. 当a=-3时,B={ 2 }, A B={ 2 },符合题意. 综上所述,a 的值为-1或3. 20. 解：原不等式⇔x+2-13-x ≤0⇔x+2-(3-x)3-x ≤0⇔2x-13-x≤0 ⇔2x-1x-3≥00≠⎧⇔⎨⎩x-3(2x-1)(x-3)≥012⇔x ≤或x>3, ∴ 解集为12{x |x ≤或x>3}. 21. 解：解|x-1|<3得-2<x<4, 故A=(-2,4).解x 2－x －2≥0得x ≤－1或x ≥2, 故B=(-∞,-1]∪[2,+∞).∴ A B=(-2,-1]∪[2,4),A U B=R,A C B=(-2,4) (-1,2)=(-1,2).22.解: 解x2－x－12 ≤0得－3≤x≤4, 故A=[-3,4],由A U B=A，知B A，∴⎧⎪⎨⎪⎩m-1≤2m+3,m-1≥-3,2m+3≤4,即12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m≥-4,m≥-2,m≤,∴ -2≤m≤12.。
四川省年高一数学上学期期中试题(含解析)
四川省2019-2020学年高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1.已知集合M ={x ∈N |x 2-1=0}，则有（ ） A. {}1M ∈ B. 1M -∈C. {}1,1M -⊆D. {1,-0，{}1}1M ⋂= 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合M ，由此能求出结果．【详解】解：由集合{}2M N |10{1}x x =∈-==，知： 在A 中，{1}M ⊆，故A 错误； 在B 中，1M -∉，故B 错误； 在C 中，{1,1}M -⊇，故C 错误； 在D 中，{1,0,1}M {1}-=I ，故D 正确． 故选：D ．2.已知函数f （x ）=2x 的反函数为y =g （x ），则g （12）的值为（ ） A. 1- B. 1C. 12D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知函数解析式求得x ，再把x 与y 互换可得原函数的反函数，取12x =得答案． 【详解】解：∵由()2xy f x ==，得2log x y =∴原函数的反函数为2()log g x x =，则211log 122g ⎛⎫==-⎪⎝⎭． 故选：A ．3.在用二次法求方程3x +3x -8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ） A. ()1,1.25 B. ()1.25,1.5 C. ()1.5,2D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的零点存在性定理，由f （1）与f （1.5）的值异号得到函数f （x ）在区间（1，1.5）内有零点，同理可得函数在区间（1.25，1.5）内有零点，从而得到方程0833=-+x x 的根所在的区间．【详解】解：∵f （1）＜0，f （1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数()338xf x x =+-存在一个零点 又∵f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，∴在区间（1.25，1.5）内函数()338x f x x =+-存在一个零点， 由此可得方程0833=-+x x 的根落在区间（1.25，1.5）内， 故选：B ．4.下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（ ） A. ()1f x x=-B. ()3f x x =C. ()f x x =D.()332x xf x -+=【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【详解】解：A ．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数 B ．函数是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数，满足条件． C ．)()(x f x f =-，函数是偶函数，不满足条件． D ．)()(x f x f =-，函数是偶函数，不满足条件． 故选：B ．5.设P 是平面内的动点，AB 是两个定点，则属于集合{P |PA =PB }的点组成的图形是（ ） A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 线段AB 的垂直平分线D. 直线AB【答案】C 【解析】 【分析】利用集合与线段的垂直平分线点性质即可得出结论．【详解】解：P 是平面内的动点，AB 是两个定点，则属于集合{P|PA=PB}的点组成的图形是线段AB 的垂直平分线． 故选：C ．6.已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D.a cb <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数单调性得到a ，b ，c 的取值范围，即得到它们的大小关系． 【详解】解：由对数和指数的性质可知，0.10 1.302log 0.3022100.20.21a b c a c b =<=>=<=<=∴<<Q ，，，故选：D ．7.若3a =5b=225，则1a +1b=（ ） A.12B. 14C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先化对数式，再由换底公式可得结果. 【详解】解： 35225a b Q ==35log 225,log 225a b ∴==则225225225111log 3log 5log 152a b +=+== 故选：A ．8.已知f （x ）=()202(0)xx log x x ≤⎧⎪>⎨⎪⎩，若f （a ）+f （1）=12，则a =（ ）A. 1B. 1-或11-【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分段函数以及函数值转化求解即可． 【详解】解：211(1)log 10,()(1)()22f f a f f a ==+=∴=Q 可得：0,122a a ≤⎧⎪⎨=⎪⎩或20,1log 2a a >⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1a =-或a =D ．9.如图中阴影部分的面积S 是h 的函数（其中0≤h ≤H ），则该函数的大致图象为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法求解．首先确定当h H =时，阴影部分面积为0，排除A 与B ，又由当2Hh =时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，排除C ，从而得到答案D ． 【详解】解：∵当h H =时，对应阴影部分的面积为0， ∴排除A 与B ； ∵当2Hh =时，对应阴影部分的面积小于整个区域面积的一半， 且随着h 的增大，S 随之减小，减少的幅度不断变小， ∴排除C ． 从而得到答案D ． 故选：D ．10.已知函数f （x ）331x -的定义域是R ，则实数a 的取值范围是A. a >13 B. –12<a ≤0C. –12<a <0D. a ≤13【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零列不等式，再根据不等式恒成立转化实数a 的满足条件，解得结果.【详解】2a 30x ax +-≠由题意得恒成立，因此a =0或()20430a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得a =0或–12<a <0，即–12<a ≤0，故选B ．11.已知函数f （x ）=x +2x，g （x ）=x +ln x ，f （x ）=x +12x 的零点分别为321,,x x x ，则321,,x x x 的大小关系为（ ） A. 321x x x >>B. 231x x x >>C. 321x x x >>D.231x x x >>【答案】B 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为对应函数图象交点横坐标的问题，利用数形结合思想求解． 【详解】解：在同一直角坐标系中，作出1234,2,ln ,x y x y y x y x =-===图象，如图观察图象可知，函数()()()122,ln ,xf x xg x x x f x x x =+=+=+的零点分别为123,,x x x ，满足231,x x x >> 故选：B ．12.设函数f （x ）1x +g （x ）=ln （ax 2-3x +1），若对任意的x 1∈[0，+∞），都存在x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的最大值为（ ） A. 2 B.94C. 4D.92【答案】B 【解析】 【分析】先求函数f （x ）值域，再根据题意得g （x ）值域所需满足的条件，最后根据二次函数图象确定实数a 满足的条件，即得结果．【详解】解：设()()2ln 31g x ax x =-+的值域为A ，∵()1f x =[0，+∞）上的值域为(],0-∞， ∴(],0-∞⊆A ，∴()231h x ax x =-+至少要取遍（0，1]中的每一个数，又()01h =∴实数a 需要满足a ≤0或0940a a >⎧⎨=-≥⎩V解得94a ≤. ∴故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13.若幂函数y =f （x ）的图象经过点（9，13），则f （25）的值是______． 【答案】15【解析】Q 幂函数()y f x =的图象经过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，设幂函数(),f x x αα=为常数，119,32αα∴=∴=-，故()()()11221,25255f x x f --===，故答案为15.14.函数213log (23)y x x =+-的单调增区间为 ． 【答案】()--3∞，【解析】 试题分析：，3x <-或1x >，在3x <-时递减，在1x >时递增，又13log y u =单调递减，所以原函数的单调减区间是(,3)-∞-．考点：函数的单调性．15.关于x 的方程2015x=235aa+-有实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】（-23，5） 【解析】 【分析】先求2015xy =的值域,再解不等式得结果.【详解】解：设2015xy =，则y 的值域为（0，+∞），即3220,(32)(5)0.,5.53a a a a a ∴+⎛⎫<∴+-<∈- ⎪-⎝⎭16.给出下列五个命题：①函数f （x ）=2a 2x -1-1的图象过定点（12，-1）； ②已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x （x +1），若f （a ）=-2则实数a =-1或2． ③若log a12＞1，则a 的取值范围是（12，1）； ④若对于任意x ∈R 都f （x ）=f （4-x ）成立，则f （x ）图象关于直线x =2对称； ⑤对于函数f （x ）=ln x ，其定义域内任意x 1≠x 2都满足f （122x x +）≥()()122f x f x + 其中所有正确命题的序号是______． 【答案】③④⑤【解析】 【分析】由指数函数的图象的特点解方程可判断①；由奇函数的定义，解方程可判断②；由对数不等式的解法可判断③；由函数的对称性可判断④；由对数函数的运算性质可判断⑤． 【详解】解：①函数21()21x f x a-=-，则1()12f =，故①错误；②因为当0≥x 时， ()(1)0f x x x =+≥，且(1)2f =，所以由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数得(1)2()1f f a a -=-=∴=-，故②错误； ③若1log 12a>，可得112a >>，故③正确； ④因为)4()(x f x f -=，则f （x ）图象关于直线x=2对称，故④正确；⑤对于函数()()12121212ln ln ()ln ,ln ln 2222f x f x x x x x x x f x x f ++++⎛⎫==≥==⎪⎝⎭当且仅当12x x =取得等号，其定义域内任意12x x ≠都满足()1212()22f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，故⑤正确．故答案为：③④⑤．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分） 17.已知集合A ={x |x 2-4x +3≤0}，B ={x |log 2x ＞1}， （I ）求A∩B，（∁R B ）∪A；（II ）若{x |1＜x ＜a }⊆A ，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）A ∩B ={x |2＜x ≤3}，（∁R B ）∪A ={x |x ≤3}．（Ⅱ）a ≤3． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先解不等式得集合A ，B ，再根据交集、补集、并集定义求结果，（II ）根据子集为空集与非空分类讨论，解得结果.【详解】解：（Ⅰ）{}{}22|430{|13},|log 1{|2}A x x x x x B x x x x =-+≤=≤≤=>=>则{|23},{|2}R A B x x C B x x =<≤=≤I ,(){|3}R C B A x x =≤U（Ⅱ）若{|1}x x a <<=∅,即1a ≤，满足条件, 若{|1}x x a <<≠∅，则需1313a a a >≤∴<≤， 综上3≤a ．18.某种树苗栽种时高度为A(A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足 f(n)＝9nA a bt +，其中232t -=，a ，b 为常数，n∈N，f(0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍； （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．【答案】（1）栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）第5年的增长高度最大． 【解析】试题分析：（1）由题中所给条件()()033f A f A ＝，＝，运用待定系数法不难求出18a b ＝，＝，进而确定出函数9f(n)+18nA t +⨯，其中2-3t 2=．由()8f n A ＝，运用解方程的方法即可求出9n ＝，问题得解; （2）由前面（1）中已求得9f(n)=18nAt +⨯，可表示出第n 年的增长高度为()(1)f n f n ∆＝－－＝1991818n n A A t t--+⨯+⨯，这是一个含有较多字母的式子，这也中本题的一个难点，运用代数化简和整体思想可得：n172(1)1+64t +8(t+1)n A t t --∆＝，观察此式特征能用基本不等式的方法进行求它的最值，即：n 172(1)1+64t +8(t+1)n A t t--≤，成立的条件为 当且仅当n1164t n t-=时取等号，即可求出5n ＝．试题解析： （1）由题意知()()033f A f A ＝，＝． 所以9=A {9=3A 1b 4Aa b A a ++解得18a b ＝，＝． 4分所以9f(n)+18n A t +⨯，其中2-3t 2=． 令()8f n A ＝，得9=8A 18n A t +⨯，解得n 1t 64=， 所以9n ＝．所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍． 6分（2）由（1）知9f(n)=18nA t +⨯． 第n 年的增长高度为()(1)f n f n V＝－－＝1991818n n A A t t --+⨯+⨯． 9分 所以11112172(1)72(1)(18)(18)18(1)64n n n n n n At t At t t t t t t -------∆+⨯+⨯+++＝＝ n 172(1) =1+64t +8(t+1)n A t t --12分2n 172(1)72(1)9(1)18(t +1)t +1264t +8(t+1)n A t A t A t t ----≤⨯＝＝． 当且仅当n 1164t n t -=，即2(21)-31264n -=时取等号，此时5n ＝． 所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． 14分考点：1.待定系数法求解;2.函数的最值;3.基本不等式的运用19.已知函数()f x 是二次函数，且满足()()()01,125f f x f x x =+-=+；函数()()01x g x a a a =>≠且.（1）求()f x 的解析式；（2）若()124g =，且()g f x k ⎡⎤≥⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2()41f x x x =++（2）【解析】 试题分析：（1）用待定系数法设()f x 的解析式，由已知条件可求得三个系数；(2)由()f x 的解析式可得当[]1,1x ∈-时()f x 的值域，由()124g =可得的解析式，由的单调性可得的最小值，由()g f x k ⎡⎤≥⎣⎦可得. 试题解析：（1）设()()20f x mx bx c m =++≠.()()20 1.1f c f x mx bx ==∴=++Q .()()()()2211111f x f x m x b x mx bx ∴+-=++++---22 5.mx m b x =++=+ 1,4m b ∴==.()241f x x x ∴=++.（2）()()24121112...422x x g a a g f x Q ++⎛⎫⎡⎤==∴=∴= ⎪⎣⎦⎝⎭()f x Q 开口向上，对称轴2x =-．()f x ∴在[]1,1-上单调递增，()()max 16f x f ∴==．()6min 12g f x ⎛⎫⎡⎤∴= ⎪⎣⎦⎝⎭，611264.k ⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭． 考点：二次函数的值域、指数函数的单调性.20.已知函数f （x ）=log m 33x x -+（m ＞0且m ≠1）， （I ）判断f （x ）的奇偶性并证明；（II ）若m=12，判断f （x ）在（3，+∞）的单调性（不用证明）； （III ）若0＜m ＜1，是否存在β＞α>0，使f （x ）在[α，β]的值域为[log m m （β-1），log m （α-1）]？若存在，求出此时m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）f （x ）是奇函数（Ⅱ）见解析（Ⅲ）2304⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．【解析】【分析】（Ⅰ）先求定义域，再判断()f x -与f （x ）关系，最后根据奇偶性定义作判断与证明，（Ⅱ）根据单调性定义进行判断，（Ⅲ）先根据单调性确定方程组，转化为一元二次方程有两正根，再根据二次方程实根分布列方程，最后解不等式组得结果.【详解】解：（Ⅰ）f （x ）是奇函数；证明如下： 由303x x -+＞解得x ＜-3或x ＞3，所以f （x ）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称． ∵()3333m m x x f x log log x x --+-==-+-=()13()3m x log f x x -+=--， 故f （x ）为奇函数/（Ⅱ）任取x 1，x 2∈（3，+∞）且x 1＜x 2，()()1212123333m m x x f x f x log log x x ---=-++=()()()()12123333m x x log x x -++-， ∵（x 1-3）（x 2+3）-（x 1+3）（x 2-3）＜0，∴（x 1-3）（x 2+3）＜（x 1+3）（x 2-3）， 即()()()()121233133x x x x -++-＜， 当m =12时，()()()()12112233033x x log x x -++-＜，即f （x 1）＜f （x 2）． 故f （x ）在（3，+∞）上单调递减．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当0＜m ＜1时，f （x ）在[α，β]上单调递减． 假设存在β＞α＞0，使f （x ）在[α，β]的值域为[log m m （β-1），log m （α-1）]．则有()()313313m m m m log log m log log m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，∴()()313313m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩． 所以α，β是方程()313x m x x -=-+的两正根， 整理得mx 2+（2m -1）x -3m +3=0在（0，+∞）有2个不等根α和β． 令h （x ）=mx 2+（2m -1）x -3m +3，则h （x ）在（0，+∞）有2个零点，()010*********m h m m m h m ⎧⎪⎪⎪--⎨⎪⎪-⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜．＞，＞，＜，解得230m -＜＜，故m 的取值范围为230⎛- ⎝⎭，．。
2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题(含解析)
一､2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题单选题1. 已知集合A ={1 ，2，3，4，5}，{},|15B x x =<<，则A ∩B 的元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合A ={1 ，2，3，4，5}，{}|15B x x =<<所以{}2,3,4A B =I ，即A ∩B 的元素个数为3个.故选：B2. 函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A. [2,)-+¥B. [2,+∞)C. (,2)-¥D. (,2]-¥【答案】A【解析】【分析】直接由抛物线对称轴和区间端点比较大小即可.【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m=-函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则2m -£，解得2m ³-.故选：A.3. 若函数的定义域为{}22M x x =-££，值域为{}02N y y =££，则函数的图像可能是（）A. B.的C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.【详解】对A，该函数的定义域为{}20x x-££，故A错误；对B，该函数的定义域为{}22M x x=-££，值域为{}02N y y=££，故B正确；对C，当()2,2xÎ-时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；对D，该函数的值域不是为{}02N y y=££，故D错误.故选：B.4. 已知函数()af x x=，则“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由幂函数的单调性结合充分必要条件的定义判断.【详解】当0a>时，函数()af x x=在()0,¥+上单调递增，则1a>时，一定有()f x在()0,¥+上单调递增；()f x在()0,¥+上单调递增，不一定满足1a>，故“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.5. 已知0,0x y>>，且121yx+=，则12xy+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由于0,0x y >>，故11112224448x y x xy y x y xy æöæö+=++=++³+=ç÷ç÷èøèø，当且仅当14,121,xy xy y xì=ïïíï+=ïî即2,14x y =ìïí=ïî时，等号成立，故12x y +的最小值为8.故选：D6. 已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则（ ）A. ()(),0x f x f x "Î-+¹R B. ()(),0x f x f x "Î--¹R C. ()()000,0x f x f x $Î-+¹R D. ()()000,0x f x f x $Î--¹R 【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的概念得()(),0x f x f x "Î--=R 是假命题，再写其否定形式即可得答案.【详解】定义域为R 的函数()f x 是偶函数()(),0x f x f x Û"Î--=R ，所以()f x 不是偶函数()()000,0x f x f x Û$Î--¹R ．故选：D ．7. 若函数()22f x ax bx c=++的部分图象如图所示，则()1f =（ ） A. 23- B. 112- C. 16- D. 13-【答案】D【解析】【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.【详解】根据函数图象可知2x =和4x =不在函数()f x的定义域内，因此2x =和4x =是方程20ax bx c ++=的两根，因此可得()()()224f x a x x =--，又易知()31f =，所以可得2a =-；即()()()124f x x x =---，所以()113f =-.故选：D8. 奇函数()f x 在(),0-¥上单调递增，若()10f -=，则不等式()0xf x <的解集是（ ）．A. ()()101,∪,-¥- B. ()()11,∪,-¥-+¥C. ()()1001,∪,- D. ()()101,∪,-+¥【答案】C【解析】【分析】由()f x 奇偶性，单调性结合题意可得答案.【详解】因奇函数()f x 在(),0¥-上单调递增，()10f -=则()f x 在()0,¥+上单调递增，f (1)=0.得()()()01,01,f x x È¥>ÞÎ-+；()()()0,10,1f x x ¥È<ÞÎ--.则()()000x xf x f x <ì<Þí>î或()()()01,00,10x x f x È>ìÞÎ-í<î.故选：C二､多选题9. 下列关于集合的说法不正确的有（ ）A. {0}=ÆB. 任何集合都是它自身的真子集C. 若{1,}{2,}a b =（其中,a b ÎR ），则3a b +=D. 集合{}2y y x =∣与{}2(,)x y y x =∣是同一个集合【答案】ABD【解析】【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项．【详解】{0}中含有一个元素，不是空集，A 错；任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B 错；由集合相等的定义得2,1a b ==，3a b +=，C 正确；集合{}2yy x =∣中元素是实数，集合{}2(,)x y y x =∣中元素是有序实数对，不是同一集合，D 错，故选：ABD ．10. 已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下面说法正确的是（ ）A. 该二次函数的图象一定过定点()1,5--；B. 若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<；C. 当2m >，且12x ££时，y 的最大值为45m -；D. 当2m >，且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<【答案】ABD【解析】【分析】代入1x =-，解得5y =-，即可求解A ，根据判别式即可求解B ，利用二次函数的单调性即可求解C ，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.【详解】由()2223y m x mx m =-++-可得()22123y m x x =+--，当1x =-时，5y =-，故二次函数的图象一定过定点()1,5--，A 正确，若该函数图象开口向下，且与x 轴有两个不同交点，则()()220Δ44230m m m m -<ìí=--->î，解得：625m <<，故B 正确，当2m >，函数开口向上，对称轴为02m x m =-<-，故函数在12x ££时，单调递增，当2x =时，911y m =-，故y 的最大值为911m -；C 错误，当2m >，则开口向上，又1232,10x x -<<--<<时，则3,4210x y m =-=->，且2,110x y m =-=-<，且1,50x y =-=-<，且0,30x y m ==->，解得21114m <<，m 的取值范围为：21114m <<，D 正确，故选：ABD 11. 已知幂函数()()293m f x m x =-的图象过点1,n m æö-ç÷èø，则（ ）A. 23m =-B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>-的解集为(),1-¥【答案】AB【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m æö-ç÷èø，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x m x =-为幂函数，所以2931m -=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n æö-ç÷èø，故23m ¹，当23m =-，幂函数()23f x x -=的图象过点3,2n æöç÷èø，则2332n -=，解得3232n -æö=±=ç÷èøA 正确，C 错误；()23f x x -=的定义域为{|0}x x ¹，且()2233()()f x x x f x ---=-==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x -=在(0,)+¥上单调递减，由()()13f a f a +>-，可得()()13f a f a +>-，所以1310a a a ì+<-ïí+¹ïî，解得1a <且1a ¹-，故D 错误.故选：AB.三､填空题12. 满足关系{2}{2,4,6}A ÍÍ的集合A 有____________个.【答案】4【解析】【分析】由题意可得集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，写出满足条件的集合，即可得答案.【详解】即集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，又因为{2,4,6}的含元素2的子集为：{}2,{}2,4,{}2,6,{2,4,6}共4个.故答案为：4.13. 已知()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，则()3f =______.【答案】4【解析】【分析】令1x y ==得()10f =，再令1x =，2y = 即可求解.【详解】令1x y ==得()()()21122f f f =++=，所以()10f =，令1x =，2y =得()()()31224f f f =++=.故答案为：4.14. 已知函数()()()22223124,,4f x x ax ag x x x a a =-+-=-+-ÎR ，若[]10,1x "Î，[]20,1x $Î，使得不等式()()12f x g x >成立，实数a 的取值范围是__________.【答案】(),6-¥【解析】【分析】由题意将问题转化为()(),min max f x g x >[]0,1x Î，成立，利用二次函数的性质求解即可.【详解】若对任意[]10,1x Î，存在[]20,1x Î，使得不等式()()12f x g x >成立，即只需满足[]min min ()(),0,1f x g x x >Î，()22314g x x x a =-+-，对称轴()1,2x g x =在10,2éö÷êëø递减，在,1,12æùçúèû递增，()2min 18,2g x g a æö==-ç÷èø()[]2224,0,1f x x ax a x =-+-Î，对称轴4a x =，①04a £即0a £时，()f x 在[0,1]递增，()22min min ()04()8f x f a g x a ==->=-恒成立；②014a <<即04a <<时，()f x 在0,4a éö÷êëø递减，在,14a æùçúèû递增，22min min 7()4,()848a f x f a g x a æö==-=-ç÷èø，所以227488a a ->-，故04a <<；③14a ³即4a ³时，()f x 在[0，1]递减，()22min min ()12,()8f x f a a g x a ==--=-，所以2228a a a -->-，解得46a £<，综上(),6a ¥Î-.故答案为：(),6¥-【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.四､解答题15. 设全集R U =，集合{|23}P x x =-<<，{|31}.Q x a x a =<£+（1）若1a =-，求集合()U P Q I ð；（2）若P Q =ÆI ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|03}x x <<（2）][132,,æö-¥-+¥ç÷èøU 【解析】【分析】（1）先求出U Q ð，再求()U P Q Çð即可；（2）分Q =Æ和Q ¹Æ两种情况求解即可【小问1详解】解：当1a =-时，{|31}{|30}Q x a x a x x =<£+=-<£；{|3U C Q x x =£-或0}x >，又因为{}23P x x =-<<，所以(){|03}.U P Q x x Ç=<<ð【小问2详解】解：由题意知，需分为Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论：当Q =Æ时，即31a a ³+，解得12a ³，此时符合P Q =ÆI ，所以12a ³；当Q ¹Æ时，因为P Q =ÆI ，所以1231a a a +£-ìí<+î或3331a a a ³ìí<+î，解之得3a £-.综上所述， a 的取值范围为][1,3,.2¥¥æö--È+ç÷èø16 已知二次函数()()20f x ax bx c a =++¹满足()()14f x f x x -+=，且()0 1.f =（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()2641f x t x t £-+-+.【答案】（1）()2221f x x x =-+（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式；（2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可.【小问1详解】因为()01f =，1c =，所以()21f x ax bx =++，又因为()()14f x f x x -+=，所以()(()22[1)1114a x b x ax bx x ù++++-++=û，所以24ax a b x ++=，所以240a a b =ìí+=î，所以22a b =ìí=-î，即()222 1.f x x x =-+.【小问2详解】由()()2641f x t x t £-+-+，可得不等式()222440x t x t +++£，即()2220x t x t +++£，所以()()20x x t ++£，当2-=-t ，即2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t -<-，即2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t ->-，即2t <时，不等式的解集为{|2}x x t -££-，综上所述，当2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t <时，不等式的解集为{|2}.x x t -££-17. 已知函数()221x f x x-=．（1）用单调性的定义证明函数()f x 在()0,¥+上为增函数；（2）是否存在实数l ，使得当()f x 的定义域为11,m n éùêúëû（0m >，0n >）时，函数()f x 的值域为[]2,2m n l l --．若存在．求出l 的取值范围；若不存在说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，()2,+¥.【解析】分析】（1）设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，然后作差、通分、因式分解即可判断()()12f x f x <，得证；（2）根据单调性列不等式组，将问题转化为210x x l -+=存在两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组求解可得.【小问1详解】()222111x f x x x-==-，设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，【则()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+æö--=---=-==ç÷èø，因为120x x <<，所以221212120,0,0x x x x x x <-+>>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(0,+∞)上为增函数.【小问2详解】由（1）可知，()f x 在11,m n éùêúëû上单调递增，若存在l 使得()f x 的值域为[]2,2m n l l --，则22112112f m m m f n n n l l ìæö=-=-ç÷ïïèøíæöï=-=-ç÷ïèøî，即221010m m n n l l ì-+=í-+=î，因为0m >，0n >，所以210x x l -+=存在两个不相等的正根，所以21212Δ40100x x x x l l ì=->ï=>íï+=>î，解得2l >，所以存在()2,l ¥Î+使得()f x 的定义域为11,m n éùêúëû时，值域为[]2,2m n l l --.18. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与肥料费10x （单位：元）满足如下关系：()252,02()48,251x x W x x x x ì+££ï=í<£ï+î其它成本投入（如培育管理等人工费）为20x （单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？的【答案】（1）25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î； （2）当投入肥料费用为30元时，获得的利润最大，最大利润是270元.【解析】【分析】（1）由单株产量W 乘以售价减去肥料费和其它成本投入可得出的函数关系式；（2）利用二次函数的单调性求出当02x ££时，()f x 的最大值，由基本不等式求出当25x <£时，()f x 的最大值，即可得出答案.【小问1详解】（1）由题意可得()()()1020101030f x W x x x W x x=--=-()22105230,025030100,024804830,251030,2511x x x x x x x x x x x x x x ì´+-££ì-+££ïï==íí-<£´-<£ïï+î+î.故()f x 的函数关系式为25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î.【小问2详解】（2）由（1）22319150,025030100,02102()48030,251651030(1),2511x x x x x f x x x x x x x x ììæö-+££ï-+££ïç÷ïïèø==íí-<£éùïï-++<£+êúïï+ëûîî,当02x ££时，()f x 在30,10éùêúëû上单调递减，在3,210æùçúèû上单调递增，且(0)100(2)240f f =<=，max ()(2)240f x f \==；当25x <£时，16()51030(1)1f x x x éù=-++êú+ëû，16181x x ++³=+Q 当且仅当1611x x=++时，即3x =时等号成立． max ()510308270f x \=-´=.的因为240270<，所以当3x =时，max ()270f x =.当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元.19. 已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A Î，若i j a a ¹，都有i j a a B Î；②对于任意,m k b b B Î，若m k b b <，都有k mb A b Î.（1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素.【答案】（1）{}2,48B =,（2）16t =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据①可得2,4,8都是B 中的元素，进而证明B 中除2,4,8外没有其他元素即可求解，（2）根据条件①②，即可求解，（3）根据题意可得41a a ，3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素，进而根据11a =和12a ³可得{}2341111,,,A a a a a =，进而{}3456711111,,,,a a a a a B Í，接下来假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，利用k 与31a 的关系得矛盾求解.【小问1详解】由①可得2,4,8都是B 中的元素.下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2k b 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素.综上，{}2,4,8B =.【小问2详解】由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素.显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t 是A 中的元素.因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t ===，解得16t =.【小问3详解】证明：设{}12341234,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素.显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素.同理可得3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素.若11a =，则34344122a a a a a a a a =>，所以3412a a a a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ³，则32311a a a a a <<，所以321211,a a a a a a ==，即23213121,a a a a a a ===.又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B Í.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a <，由（2）可得71a A k Î，而7411a a k>，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a >，因为31k A a Î，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i +==，即{}45671111,,,k a a a a Î，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素.【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.。
四川省成都市郫都区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
四川省成都市郫都区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下列关系正确的是（）A ．{}{}00,1∈B ．0∈∅C ．{}0∅⊆D Q2．命题“20,251x x x ∃≤<-”的否定是（）A ．20,251x x x ∀><-B ．20,251x x x ∃>≥-C ．20,251x x x ∀≤≥-D ．20,251x x x ∃≤>-3．已知函数()235,128,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦的值为（）A ．11B ．0C ．5D ．44．对于任意实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是（）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，0c ≠，则ac bc>D ．若a b >，则11a b<5．某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，共有24人参加比赛，其中有12人参加跳远比赛，有11人参加球类比赛，有16人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有4人，同时参加球类和跑步比赛的有5人，没有人同时参加三项比赛，则（）A ．同时参加跳远和跑步比赛的有4人B ．仅参加跳远比赛的有3人C ．仅参加跑步比赛的有5人D ．同时参加两项比赛的有16人6．已知集合M 满足{}1,2{}1,2,3,4,5M ⊆，则所有满足条件的集合M 的个数是（）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知关于x 的不等式0ax bx c-≥+的解集为()[),12,∞∞-⋃+，则错误．．的说法是（）A ．2a b =B ．1c =-C ．1ab+D ．20ax bx +>的解集为{|2x x <-或0}x >8．已知()f x 为R 上的减函数，设函数()()(),0,0f x x g x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足不等式()()4g m g m ->的m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()(),11,-∞+∞ D ．()(),22,-∞+∞ 二、多选题9．已知函数2()4f x x x =-+的值域为[0,4]，则()f x 的定义域可以为（）A ．[]1,3B ．[]0,3C ．(1,4]D ．[]0,410．下列说法正确的是（）A ．若()f x 的定义域为()2,4-，则()2f x 的定义域为()1,2-B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C ．函数2y x =-17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()213f x x =+11．函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．则函数()323f x x mx =-图象的对称中心可能是（）A ．()0,0B ．()1,2-C ．()1,2D ．()216,三、填空题12．已知集合{}212,4,10A a a a =++，5A ∈，则a =．13．已知奇函数()f x 是R 上的增函数，且()2,1N 是其图象上的一点，那么()11f x -<的解集是．14．已知函数2()(35)||1f x x m x =+++的定义域为R ，若函数有四个单调区间，则实数m 的取值范围为．四、解答题15．已知集合{}15A x x =-≤≤，{}221B x a x a =-≤≤+，(1)若4a =，求A B ⋂，A B ，()A A B ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．16．已知集合{M x y ==，命题p ：实数x M ∈，命题q ：实数x 满足22230x ax a --<（其中0a >）．(1)若2a =，且当命题p 和q 都是真命题时，求实数x 的取值范围；(2)若命题p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．17．已知函数()222x x af x x++=，[)2,x ∞∈+．(1)当12a =时，试判断()f x 的单调性，并加以证明；(2)若对任意[)2,x ∞∈+，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．18．某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格()x ϕ（单位：元）与时间第x 天的函数关系近似满足()10kx xϕ=+，（0k >），日销售量()g x （单位：件）与时间第x 天的部分数据如下表所示：x1015202530()g x 5055605550已知第10天的日销售收入为505元．(1)求k 的值；(2)给出以下三个函数模型：①()g x ax b =+；②()ag x b x=-；③()g x a x m b =-+．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量()g x 与时间第x 天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域；(3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），求()f x 的最小值．19．已知定义在R 上的一次函数=满足()92f f x x ⎡⎤=-⎣⎦，且对1x ∀，2R x ∈，12x x ≠时，都有()()()()12120x x f x f x --<，又函数=满足22111g x x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭．(1)求函数=和=的解析式；(2)若[]0,2x ∃∈使得()221f x t t ≥-+成立，求实数t 的取值范围；(3)设()()212143m h x g x mx -⎡⎤=-+-⎣⎦，（0m >），对1x ∀，[]21,3x ∈，都有()()1232h x h x -≤，求实数m 的取值范围．。
2019-2020学年四川省成都市高一上学期期中数学试题
2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．函数121()log 1f x x =+的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】根据函数定义域,可排除AB 选项,由复合函数单调性可排除C 选项,即可确定正确选项. 【详解】 函数121()log 1f x x =+ 则定义域为101x >+,解得1x >-,所以排除A 、B 选项 因为12()log f x x =为单调递减函数, 1()1f x x =+在1x >-时为单调递减函数由复合函数单调性可知121()log 1f x x =+为单调递增函数,所以排除C 选项 综上可知,D 为正确选项 故选:D本题考查了根据函数解析式判断函数图像,注意从定义域、单调性、奇偶性、特殊值等方面对比选项,即可得正确答案,属于基础题.3．函数1()ln23f x x x=+-的零点所在区间为（）A.(2,)eB.(3,4)C.(,3)e D.(1,2)【答案】C【解析】根据零点存在定理,即可判断零点所在的区间.【详解】函数1 ()ln23f x x x=+-则11()ln21033f e e e e=+-=-<1(3)ln332ln3103f=+⨯-=->根据零点存在定理可知,在(,3)e内必有零点.而函数1()ln23f x x x=+-单调递增且连续,仅有一个零点.所以零点只能在(,3)e内.故选:C【点睛】本题考查了函数零点的判断,零点存在定理的简单应用,属于基础题.4．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A.①B.①②C.①③D.①②③【解析】由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答． 【详解】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确． 【点睛】数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口． 5．已知123515,12,3x og y og z -===，则下列关系正确的是（ ）A.x y z >>B.y x z >>C.z y x >>D.x z y >>【答案】D【解析】根据对数函数及指数函数的单调性,选取中间值即可比较大小. 【详解】根据对数函数及指数函数的图像和性质可知:331513x og og =>,所以1x >50121y og og <=<所以102y << 11221131233z -⎛⎫<===< ⎪⎝⎭所以x z y >> 故选:D 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的性质,中间值法比较大小的应用,属于基础题. 6．函数23()()2xf x x =-的零点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】画出函数图像,根据两个函数图像的交点个数即可判断零点个数. 【详解】函数23()()2xf x x =-的零点即为23()()02x f x x =-=,所以232xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭= 画出两个函数图像如下图所示:根据图像及指数函数的增长趋势，可知两个函数有3个交点,所以函数23()()2xf x x =-有3个零点 故选:C 【点睛】本题考查了函数零点个数的判断,画出函数图像是常见的判断方法,属于基础题.7．方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，则m 的取值范围是（ ） A.5,53⎛⎫ ⎪⎝⎭B.7,53⎛⎫-⎪⎝⎭C.()5,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D.5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()()2f 425x x m x m =+-+-，又方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，∴()()()100020f f f ⎧->⎪<⎨⎪>⎩即()()425050162250m m m m m ⎧--+->⎪-<⎨⎪+-+->⎩解得：7m 53-<<故选：B8．若数()2)3f x x =+，且(log 2019)5a f =，则1(log )2019a f =（ ）A.5-B.4C.3D.1【答案】D【解析】将函数变形为())3ln 2f x x -=,可知右端为奇函数,根据奇函数性质即可求得1(log )2019a f 的值. 【详解】将函数变形为())3ln2f x x -=令())ln 2g x x = 则())ln 2g x x -=所以()()))ln 2ln 2g x g x x x +-=+()22ln 144ln10x x =+-==即()()g x g x -=- 所以())ln2g x x =为奇函数因为()log 20195a f =,()1log log 20192019a a f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以由())3ln2f x x -=代入可得()()log 20193log 2019a a f g -= ()()log 20193log 2019a a f g --=-两式相加可得()()()()log 20193log 20193log 2019log 20190a a a a f f g g -+--=-+=所以()()log 20196log 2019651a a f f -=-=-= 即()1log log 201912019aa f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭本题考查了奇函数的性质及简单应用,对数式的化简技巧,属于基础题. 9．已知函数2()|l g |,(2)f x o x x =≤,若a b ，且()()f a f b =，则+a b 的取值范围是（ ） A.5(1,]2B.5(2,]2C.(2,)+∞D.[1,2]【答案】B【解析】画出函数的图像,根据图像分析出a b 、的取值范围,即可求得+a b 的范围. 【详解】因为函数()()2log ,2f x x x =≤ 画出函数图像如下图所示:因为()()f a f b =且a b ,不妨设a b <当()2log 1f x x ==时,2x =或12x = 所以1122a b ≤<<≤ 因为()()f a f b =即22log log a b =,去绝对值可得22log log a b -= 所以22log log 0a b +=,根据对数运算得2log 0ab = 即1ab = 所以1a b a a+=+因为1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,由对勾函数的图像与性质可知则52,2a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦本题考查了对数函数的图像与性质,对数求值的简单应用,属于基础题.10．已知max{,}a b 表示,a b 两数中的最大值，若|||2|()max{,}x x f x e e +=，则()f x 的最小值为（ ） A.e B.1C.2eD.2【答案】A【解析】根据题意画出两个函数图像,取得最大值的最小值即可. 【详解】根据函数|||2|()max{,}x x f x e e+=,画出2(),()x x f x e f x e +==图像如下图所示:取最大值后函数图像为:由图像可知,当1x =-时取得最小值,即112()f x e e e --+===故选:A 【点睛】本题考查了函数图像的画法,取大、取小函数的求值,利用图像法分析是常用方法,属于中档题.11．给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ） ①函数()122log 23y x x =-+图象恒在x 轴的下方；②将2x y =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为12x y -=的图像；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-；④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln .y x =A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】对于①根据复合函数的单调性求得最值即可判断; 对于②根据函数图像的翻折、平移变化即可判断;对于③根据对数函数值域为R 时,判别式满足的条件,即可求得a 的取值范围; 对于④根据关于y x =对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断. 【详解】对于①函数()()112222log 23log 12y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦,由复合函数的单调性判断方法可知,函数在1x <时单调递增,在1x >时单调递减.即在1x =处取得最大值. 所以1max 2log 21y ==-,所以函数图像恒在x 轴的下方,所以①正确;对于②2x y =的图像经过先关于y 轴对称,可得2xy -=;再向右平移1个单位可得()111222x x x y ---+-===,所以②正确;对于③函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ,则满足()221g x x ax =-+能取到所有的正数.即满足()2240a ∆=--≥,解不等式可得1a ≥或1a ≤-,所以③错误.对于④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数为()xf x e =的反函数,根据指数函数与对数函数互为反函数可知,其反函数为()ln f x x =,所以④正确.综上可知,正确的有①②④ 故选:C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数图像的平移变换和反函数的概念,综合性强,属于中档题.12．若函数9()log (91)2xxf x =+-，则使不等式()0f x m -≤有解时，实数m 的最小值为（ ）A.0B.3log 2-C.3log 2D.3log 【答案】D【解析】根据对数运算,将函数解析式变形化简,结合打勾函数的图像与性质即可求得函数的最大值,进而求得实数m 的最小值. 【详解】函数()()9log 912xx f x =+-由对数运算化简可得()()299log 91log 9xxf x =+-()99log 91log 3x x =+-99911log log 333x x x x+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭由对勾函数的图像与性质可知9931log 3log 2log 3x x⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭因为不等式()0f x m -≤有解 所以()min f x m ≤即3log m ≤所以实数m 的最小值为3log 故选:D 【点睛】本题考查了对数的运算化简,对勾函数的图像与性质的应用,不等式有解的解法,属于中档题.二、填空题13．函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________. 【答案】()3,1-【解析】根据对数函数的图像与性质即可求得函数过定点的坐标. 【详解】函数log (25)1a y x =--当3x =时, log (235)11a y =⨯--=- 所以定点坐标为()3,1- 故答案为: ()3,1- 【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质,对数函数过定点的求法,属于基础题. 14．若5(21)2x f x x -=+，则(3)f -=________. 【答案】12-【解析】根据函数解析式求法,先求得()f x 的解析式,再代入求值即可. 【详解】因为函数()5212xf x x -=+令21x t -= 则12t x +=所以()512122t t f t ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 即()512122x x f x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()53123111321222f -+-+⎛⎫-=+=-+=- ⎪⎝⎭故答案为:12- 【点睛】本题考查了函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.15．若函数12()2xx m f x n +-=+是奇函数．则实数m n +=_______. 【答案】3±【解析】根据奇函数()()f x f x -=-,即可求得mn 、的值,进而得m n +的值. 【详解】函数()122xx m f x n +-=+是奇函数 所以满足()()f x f x -=-,即112222x xx x m m n n --++--=-++ 化简后可得()()()22222220xx n m mn n m -+-⋅+-=因为对于任意x 上式恒成立,所以满足2020n m mn -=⎧⎨-=⎩解方程可得12m n =⎧⎨=⎩或12m n =-⎧⎨=-⎩ 所以3m n +=± 故答案为: 3± 【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,注意方程恒成立的条件,不要漏解,属于中档题.16．已知函数3,()8log ,a x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩若存在实数12,,x x 且12x x ≠使得函数12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.【答案】()()0,12,⋃+∞【解析】讨论对数函数的底数a 的两种情况:01,1a a <<>.画出图像即可研究存在不相等实数12,,x x 使函数12()()f x f x =成立的情况. 【详解】当01a <<时,函数3,()8log ,a x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩的图像如下图所示:所以此时存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立, 当1a >时,函数图像如下图所示:若存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立, 则38log a a a >,解不等式可得2a >综上可知, 实数a 的取值范围为01a <<或2a > 故答案为: ()()0,12,⋃+∞ 【点睛】本题考查了分段函数图像的综合应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{|20}A x x a =+>，集合B 是()log ()f x x 12=2+1义域.（1）当2a =时，求集合A B ；（2）若()U BC A B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,02⎛⎤-⎥⎝⎦（2）(],0-∞ 【解析】（1）代入a 的值,可得集合A,根据对数的图像与性质求得集合B,进而求得集合A B .（2）根据集合关系可知U B C A ⊆,即B 为U C A 的子集,根据包含关系即可求得实数a 的取值范围. 【详解】 （1）因为2a = 则{|1}A x x =>-根据对数图像与性质可知()f x =1{|0}2B x x =-<≤所以{}1|1|01,022x A B x x x ⎧⎫>--<≤=⎨⎛⎤=- ⎥⎝⎩⎭⎦⎬（2）解不等式可得|2a A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭所以|2U a C A x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,1{|0}2B x x =-<≤ 因为()U BC A B =所以U B C A ⊆ 所以02a-≥,即0a≤ 实数a 的取值范围为(],0-∞【点睛】本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与补集运算,属于基础题. 18．求下列各式的值（1）2311log 222)22(21(2)3[(1]log 4-+-++；（2）已知11223a a-+=，求332222a a a a --++值.【答案】（1）53 （2）1847【解析】（1）由指数幂及对数的运算,化简即可求解. （2）根据完全平方公式及立方和公式,化简即可求值. 【详解】（1）根据指数幂与对数的运算,化简可得(()231122log 22221231log 4-+⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭)()233112229log 2222331log 2-⨯+⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦)(()31log 92222312log 33⨯=-+2323=--+ 53= （2）因为11223a a -+=两边同时平方可得129a a -++= 所以17a a -+=由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++ ()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+- ()()2371184772⨯-==- 【点睛】本题考查了指数幂及对数的化简求值,完全平方公式及立方和公式的应用,对计算要求较高,属于基础题.19．设函数()3,()9x x g x h x ==（1）解关于x 的方程()11()2(1)0h x g x h -+=；（2）令()F x =求1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++的值. 【答案】（1）2x =或3log 2x =（2）20192【解析】（1）根据题意,将()()3,9xxg x h x ==代入原方程化简可得关于x 的方程,利用换元法令3x t =,转化为关于t 的一元二次方程,解方程即可求得x 的值. （2）根据解析式,分析并计算可知()()1F x F x +-为定值,即可求值. 【详解】（1）因为函数()()3,9xxg x h x ==代入()()()11210h x g x h -+=可得9113290x x -⨯+⨯= 令3x t =则211180t t -+= 解得2t =或9t = 即32x =或39x = 解得2x =或3log 2x =（2）根据题意()xg xF x ==则()11x F x --==所以()()11x F x F x +-== 且1212131223F ⎛⎫==⎪⎝⎭+ 所以1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++ 12019220181009101110102020202020202020202020202020F F F F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112=+++++20192=【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题.20．已知函数222()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()log [()5](0,a g x f x ax a =-+>且1a ≠）,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.【答案】（1）2m =或0m =,()2f x x =（2）存在;()90,14,2a ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭【解析】（1）根据函数()f x 为偶函数,且(3)(2)f f >可知2220m m -++>且222m m -++为偶数,即可求得m 的值,进而确定()f x 的解析式.（2）将（1）所得函数()f x 的解析式代入即可得()g x 的解析式.根据复合函数单调性对底数a 分类讨论,即可求得()g x 在区间[1,2]上为减函数时实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为(3)(2)f f >则2220m m -++>,解不等式可得11m <<+ 因为m Z ∈则0m =或1m =或2m = 又因为函数()f x 为偶函数 所以222m m -++为偶数当0m =时, 2222m m -++=,符合题意 当1m =时, 2223m m -++=,不符合题意,舍去 当2m =时, 2222m m -++=,符合题意 综上可知, 0m =或2m = 此时()2f x x =（2）存在.理由如下:由（1）可得()2f x x =则()()2log 5a g x x ax =-+(0,a >且1)a ≠当01a <<时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为增函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立即()01121150a a h a <<⎧⎪-⎪-≤⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得01a << 当1a <时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为减函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立即()12224250a ah a <⎧⎪-⎪-≥⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得942a ≤<综上可知,当01a <<或942a ≤<时, ()g x 在[]1,2上为减函数 所以存在实数()90,14,2a ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭,满足()g x 在[]1,2上为减函数 【点睛】本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.21．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.（1）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（2）若函数()[24]1xxF x f a =⋅++有零点,求实数a 的取值范围.【答案】（1）增函数;证明见解析. （2）(],2-∞- 【解析】（1）在定义域内任取12,x x ,代入()f x 作差,结合()()0f a f b a b+>+即可证明单调性.（2）根据零点的定义, 结合奇函数性质即可转化为关于x 的方程,通过分离参数将方程转化为对勾函数,即可求得a 的取值范围.【详解】（1）函数()f x 在[]1,1-上单调递增. 证明:因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数 则()()f x f x -=-任取[]12,1,1x x ∈-,且21x x > 则()()()()()21212121=f x f x f x f x x x x x ----()()()()212121+=+f x f x x x x x ---因为0a b +≠时有()()0f a f b a b+>+恒成立.210x x ->所以()()210f x f x ->,即()()21f x f x > 所以()f x 在[]1,1-上单调递增（2）因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f = 所以()11f -=-若函数()()241xxF x f a =⋅++有零点即()241x xf a ⋅+=-有解所以241x x a ⋅+=-有解即可.则411222x x xx a +⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 因为1222xx所以2a ≤- 即(],2a ∈-∞- 【点睛】本题考查了用定义证明函数的单调性,函数零点的综合应用,对勾函数求参数取值范围的方法,属于中档题.22．已知函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠是奇函数． （1）求实数t 的值；（2）若(1)0f <，对任意[0,1]x ∈有21(2)f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 取值范围；（3）设22()log [()],(0,1)xx m g x aa mf x m m -=+->≠,若3(1)2f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）1t =- （2）3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（3）不存在,理由见解析. 【解析】（1）根据定义域为R 且为奇函数可知, (0)0f =代入即可求得实数t 的值. （2）由（1）可得函数()f x 的解析式,并判断出单调性.根据1(1)f a a-=-将不等式转化为关于x 的不等式,结合[0,1]x ∈时不等式恒成立,即可求得实数k 取值范围； （3）先用()f x 表示函数()g x .根据3(1)2f =求得()f x 的解析式,根据单调性利用换元法求得()f x 的值域.结合对数的定义域,即可求得m 的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在m 的取值范围内能否取到最大值0. 【详解】（1）函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠的定义域为R,且为奇函数 所以(0)0f =,即10t += 解得1t =-（2）由（1）可知当1t =-时, 21()x x xxa f x a a a--==- 因为(1)0f <,即10a a-<(0)a > 解不等式可得01a << 所以()xxf x a a-=-在R 上单调递减,且1(1)f a a-=-所以不等式21(2)f x kx k a a-->-可转化为()2(2)1f x kx k f -->- 根据函数()xxf x a a -=-在R 上单调递减所不等式可化为221x kx k --<-即不等式221x kx k --<-在[0,1]x ∈恒成立所以2211x k x +<+[0,1]x ∈恒成立化简可得()322121x k x ⎛⎫⎪++-< ⎪+⎪⎝⎭由打勾函数的图像可知,当1x =时,()max33221212x x ⎛⎫⎪++-= ⎪+⎪⎝⎭ 所以32k >（3）不存在实数m .理由如下:22()log ()x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦ 2log ()()2m f x mf x ⎡⎤=-+⎣⎦因为3(1)2f =(0)a > 代入可得132a a -=,解得2a =或12a =-(舍) 则()22xxf x -=-,令()22xxt f x -==-,易知()f x 在R 上为单调递增函数所以当[]21,log 3x ∈时, ()131222f -=-=,()22log 3log 328log 3223f -=-= 则38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦根据对数定义域的要求,所以()2()log 2m g t t mt =-+满足220t mt -+>在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立即2min2t m t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立 令()2h t t t =+,38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以min 33417()2236h x h ⎛⎫==+=⎪⎝⎭,即176m < 又因为0,1m m >≠所以()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭对于二次函数()22d t t mt =-+,开口向上,对称轴为2m t =因为()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭所以11170,,22212m ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧,即二次函数()22d t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增所以()min 3317224d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭,()max 8882339d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭假设存在满足条件的实数m ,则:当()0,1m ∈时, 由复合函数单调性的判断方法，可知()2()log 2m g t t mt =-+为减函数,所以根据max ()0g x =可知()()2min min 21d t t mt =-+=,即33171224d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭解得()130,16m =∉,所以舍去 当171,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 复合函数单调性的判断方法可知()2()log 2m g t t mt =-+为增函数,所以根据max ()0g x =可知()()2max max 21d t t mt =-+=,即88821339d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭解得73171,246m ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,所以舍去综上所述,不存在实数m满足条件成立.【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质及应用,不等式恒成立问题的解法,复合函数单调性的判断及最值求法,含参数的分类讨论思想的综合应用,综合性强,属于难题.。
四川省成都2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
成都2023-2024学年度上期半期考试高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题部分，共60分一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,6A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.3B.{}1,3 C.{}3 D.{}2,32.命题“3x ∃≥，2230x x -+<”的否定是（）A.3x ∀≥，2230x x -+<B.3x ∀≥，2230x x -+≥C.3x ∀<，2230x x -+≥D.3x ∃<，2230x x -+≥3.函数()2f x x =-的定义域为（）A.[)1,+∞ B.()1,+∞C.[)1,2 D.[)()1,22,⋃+∞4.“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.若,,R,0a b c c ∈>且0a b >>，下列不等式一定成立的是（）A .ac bc< B.11a b< C.a c b c-<- D.11b b a a +>+6.函数()2605y x x x =-+≤≤的值域是（）A.[]0,5 B.[]0,9 C.[]5,9 D.[)0,∞+7.函数()21x f x x-=的大致图象为（）A. B.C. D.8.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(],0-∞上是减函数，且()10f =，则不等式()10f x x+≥的解集为（）A.[)2,-+∞ B.[)()2,00,-⋃+∞ C.[)0,∞+ D.[)(]2,00,2-U 二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列数学符号使用正确的是（）A.1N -ÏB.{}1Z⊆C.0∈∅D.∅{}010.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A.()1f x x =+与()0g x x x =+B.()f x x =与()g x =C.()f x x =与()2x g x x=D.()f t t =与()g x x =11.设正实数m n ､满足2m n +=，则（）A.12m n+的最小值为B.的最小值为2C.的最大值为1D.22m n +的最小值为212.已知定义在R 的函数()f x 满足以下条件：（1）对任意实数,x y 恒有()()()()()f x y f x f y f x f y +=++；（2）当0x >时，()f x 的值域是()0,∞+（3）()11f =则下列说法正确的是（）A.()f x 值域为[)1,-+∞B.()f x 单调递增C.()8255f =D.()()()31f x f f x f x -⎡⎤≥⎣⎦+的解集为[)1,+∞第Ⅱ卷非选择题部分，共90分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}{}21,,A B a a==，且A B A = ，则a 的值为_________．14.设函数()4,0,2,0,3x x xf x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩则()()1f f -=__________.15.一元二次不等式23280x x -++≤的解集为________.16.设函数()f x 的定义域为D ，若存在实数()0T T >，使得对于任意x D ∈，都有()()f x f x T <+，则称()f x 为“T -严格增函数”，对于“T -严格增函数”，有以下四个结论：①“T -严格增函数”()f x 一定在D 上严格增；②“T -严格增函数”()f x 一定是“nT -严格增函数”（其中*N n ∈，且2n ≥）③函数()[]f x x =是“T -严格增函数”（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）④函数()[]f x x x =-不是“T -严格增函数”（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）其中，所有正确的结论序号是______.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合U =R ，集合{}23A x x =-≤≤，{1B x x =<-或}4x >（1）求A B ⋃;（2）求()U A B∩ð18.已知函数()bf x x x=+过点(1,2)．（1）判断()f x 在区间(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）求函数()f x 在[]2,7上的最大值和最小值．19.(1)已知函数()212f x x =+，则()f x 的值域；(2)已知1)f x +=+，求()f x 的解析式；(3)已知函数()f x 对于任意的x 都有()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式.20.已知关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为()1,2-．（1）当[]0,3x ∈时，求2x bx cx++的最小值；（2）当x ∈R 时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，求实数m 的取值范围．21.已知函数()21ax bf x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式()()()210f t f tf -+>．22.若函数()f x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知定义在[]22-,上的奇函数()g x ，当[]0,2x ∈时，()22g x x x =-+.（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（3）求函数()g x 在定义域内的所有“倒域区间”.成都2023-2024学年度上期半期考试高一数学试卷注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题部分，共60分一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,6A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.3 B.{}1,3 C.{}3 D.{}2,3【答案】C 【解析】【分析】利用交集的运算求解即可.【详解】由题知，{}3A B ⋂=.故选：C2.命题“3x ∃≥，2230x x -+<”的否定是（）A.3x ∀≥，2230x x -+<B.3x ∀≥，2230x x -+≥C.3x ∀<，2230x x -+≥D.3x ∃<，2230x x -+≥【答案】B 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.【详解】解：因为命题“3x ∃≥，2230x x -+<”为存在量词命题，所以其否定为“3x ∀≥，2230x x -+≥”．故选：B ．3.函数()2f x x =-的定义域为（）A.[)1,+∞ B.()1,+∞C.[)1,2 D.[)()1,22,⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.【详解】由()2f x x =-，得1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以函数()2f x x =-的定义域为[)()1,22,⋃+∞.故选：D.4.“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的性质与必要不充分条件的判定即可得到答案.【详解】当12k =-时，满足1k >-，但是函数3y kx =+在R 上为减函数，则正推无法推出；反之，若函数3y kx =+在R 上为增函数，则01k >>-，则反向可以推出，则“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的必要不充分条件，故选：B .5.若,,R,0a b c c ∈>且0a b >>，下列不等式一定成立的是（）A.ac bc <B.11a b< C.a c b c-<- D.11b b a a +>+【答案】B 【解析】【分析】ACD 举反例确定错误，B 作差法可判断.【详解】A ，2,1a c b ===时，2212⋅>⋅，A 错误；B ，11110,0,b a a b a b ab a b->>∴-=<∴< ，B 正确；C ，2,1a c b ===时，2212->-，C 错误；D ，2,1a c b ===时，111221+<+，D 错误.故选：B6.函数()2605y x x x =-+≤≤的值域是（）A.[]0,5 B.[]0,9 C.[]5,9 D.[)0,∞+【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求解.【详解】函数26y x x =-+的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为3x =，所以该函数在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，所以max 39x y y ===，又050,5x x y y ====，所以min 0y =，即函数的值域为[0,9].故选：B.7.函数()21x f x x-=的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】根据函数的奇偶性以及函数的解析式判断出正确答案.【分析】()21x f x x -=的定义域为{}|0x x ≠，()()()2211x x f x f x xx----==-=--，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以A 选项错误.当0x >时，()210x f x x-=≥，所以C 选项错误.当0x >时，令()210x f x x-==，解得1x =，所以B 选项错误.所以正确的是D.故选：D8.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(],0-∞上是减函数，且()10f =，则不等式()10f x x+≥的解集为（）A.[)2,-+∞ B.[)()2,00,-⋃+∞ C.[)0,∞+ D.[)(]2,00,2-U 【答案】B 【解析】【分析】确定函数的单调性，考虑0x >和0x <两种情况，将问题转化为(1)0f x +≥或(1)0f x +≤，再根据函数值结合函数单调性得到答案.【详解】函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，()f x 在区间(],0-∞上是严格减函数，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且(1)(1)0f f -==，当0x >时，由(1)0f x x +≥，即(1)0f x +≥，得到11x +≥或11x +≤-（舍弃），所以0x >，当0x <时，由(1)0f x x+≥，即(1)0f x +≤，得到111x -≤+≤，所以20x -≤<，综上所述，20x -≤<或0x >，故选：B.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列数学符号使用正确的是（）A.1N -ÏB.{}1Z⊆C.0∈∅ D.∅{}0【答案】ABD 【解析】【分析】根据集合与元素之间的关系符号和集合与集合之间的关系符号来判断即可.【详解】对于A ，N 表示自然数集，1-不是自然数，故1N -Ï成立，则A 选项正确;对于B ，Z 表示整数集，1Z ∈，故{}1Z ⊆成立，则B 选项正确;对于C ，∅表示空集，没有任何一个元素，即0∉∅，故C 选项不正确;对于D ，空集是任何一个非空集合的真子集，故∅{}0成立，则D 选项正确.故选：ABD.10.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A.()1f x x =+与()0g x x x =+B.()f x x =与()g x =C.()f x x =与()2x g x x=D.()f t t =与()g x x =【答案】BD 【解析】【分析】根据函数的“三要素”一一判断每个选项中的函数，看定义域和对应关系是否相同，即可得答案.【详解】对于A ，函数()1f x x =+的定义域为R ，()0g x x x =+的定义域为{|0}x x ≠，故二者不是相同函数，A 错误；对于B ，()f x x =的定义为域为R ，()||g x x ==的定义域为R ，二者对应关系也相同，值域都为[0,)+∞，故二者表示相同函数，B 正确；对于C ，()f x x =的定义域为R ，()2x g x x=的定义域为{|0}x x ≠，故二者不是相同函数，C 错误；对于D ，()f t t =与()g x x =的的定义域均为(,0]-∞，对应关系相同，值域均为(,0]-∞，故二者表示相同函数，D 正确；故选：BD11.设正实数m n ､满足2m n +=，则（）A.12m n+的最小值为B.的最小值为2C.的最大值为1D.22m n +的最小值为2【答案】CD 【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.【详解】对于选项A ，322121222m n n m m n m n m n ⎛⎫+=++⎛⎫=+ ⎪⎪⎭⎭+⎝⎝3322+≥=，当且仅当2=m nn m且2m n +=时，即2m =-，4n =-时取等号，则A 错误；对于选项B ，22m n =+++24m n ≤++=,当且仅当1m n ==2+≤+的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m n +≥212m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，则C 正确；对于选项D ，()222242m n m n mn mn +=+-=-24222m n +⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，则D 正确,故选:CD .12.已知定义在R 的函数()f x 满足以下条件：（1）对任意实数,x y 恒有()()()()()f x y f x f y f x f y +=++；（2）当0x >时，()f x 的值域是()0,∞+（3）()11f =则下列说法正确的是（）A.()f x 值域为[)1,-+∞B.()f x 单调递增C.()8255f =D.()()()31f x f f x f x -⎡⎤≥⎣⎦+的解集为[)1,+∞【答案】BCD【解析】【分析】计算()00f =得到()()1111f x f x =-+>--+，A 错误，根据单调性的定义得到B 正确，计算()23f =，()415f =，()8255f =得到C 正确，题目转化为()()2f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦得到()2x f x +≥，根据函数的单调性得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：令1,0x y ==可得()()()()()11001f f f f f =++，故()00f =，令y x =-可得()()()()()0f f x f x f x f x =-++-，()1f x -≠-，()()()()1111f x f x f x f x --==-+-+-+，当0x <时，()0f x ->，则()()1111f x f x =-+>--+，综上所述：()()1,f x ∈-+∞，错误；对选项B ：任取12,R x x ∈且12x x >，()120f x x ->，()21f x >-，则()()()()()()()12122212212f x f x f x x x f x f x x f x f x x -=-+-=-+-()()12210f x x f x ⎡⎤=-+>⎣⎦，所以函数()y f x =在R 上单调递增，正确；对选项C ：取1x y ==得到()()()()()211113f f f f f =++=；取2x y ==得到()()()()()4222215f f f f f =++=；取4x y ==得到()()()()()84444255f f f f f =++=，正确；对选项D ：()()()31f x f f x f x -⎡⎤≥⎣⎦+，()()()13f f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+≥-⎣⎦⎣⎦，即()()()()()()2f f x f x f x f f x f x f x f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=+≥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()2x f x +≥，函数()()g x x f x =+单调递增，且()1112g =+=，故1x ≥，正确；故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题目信息转化得到()()2f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦，再利用函数的单调性解不等式是解题的关键.第Ⅱ卷非选择题部分，共90分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}{}21,,A B a a==，且A B A = ，则a 的值为_________．【答案】1-【解析】【分析】由A B A = 得A B ⊆，列式求解，然后检验元素的互异性.【详解】∵A B A = ，∴A B ⊆，又{}{}21,,A B a a==，∴1a =或21a =，解得1a =或1a =-，当1a =不满足元素的互异性，舍去，所以1a =-.故答案为：1-.14.设函数()4,0,2,0,3x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩则()()1f f -=__________.【答案】1【解析】【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系.【详解】当=1x -时，()f -=--=-41131，则()()231(3)133f f f ⋅-===+.故答案为：115.一元二次不等式23280x x -++≤的解集为________.【答案】(][),47,-∞-+∞【解析】【分析】由一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】()()22328032804707x x x x x x x -++≤⇒--≥⇒+-≥⇒≥，或4x ≤-所以一元二次不等式23280x x -++≤的解集为(][),47,-∞-+∞ ，故答案为：(][),47,-∞-+∞ 16.设函数()f x 的定义域为D ，若存在实数()0T T >，使得对于任意x D ∈，都有()()f x f x T <+，则称()f x 为“T -严格增函数”，对于“T -严格增函数”，有以下四个结论：①“T -严格增函数”()f x 一定在D 上严格增；②“T -严格增函数”()f x 一定是“nT -严格增函数”（其中*N n ∈，且2n ≥）③函数()[]f x x =是“T -严格增函数”（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）④函数()[]f x x x =-不是“T -严格增函数”（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）其中，所有正确的结论序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】根据“T -严格增函数”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案.【详解】①，函数(),01,0x x f x x x <⎧=⎨-≥⎩，定义域为R ，存在2T =，对于任意x ∈R ，都有()()2f x f x <+，但()f x 在R 上不单调递增，所以①错误.②，()f x 是“T -严格增函数”，则存在0T >，使得对任意x D ∈，都有()()f x f x T <+，因为2,0n T ≥>，所以()()f x T f x nT +<+，故()()f x f x nT <+，即存在实数0nT >，使得对任意x D ∈，都有()()f x f x nT <+，所以()f x 是“nT -严格增函数”，②正确.③，()[]f x x =，定义域为R ，当1T =时，对任意的x ∈R ，都有[][]1x x <+，即()()1f x f x <+，所以函数()[]f x x =是“T -严格增函数”.④，对于函数()[]f x x x =-，()[][][]()11111f x x x x x x x f x +=+-+=+--=-=，所以()f x 是周期为1的周期函数，11112222f ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若1T =，则133********f f ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，不符合题意.当0T >且1T ≠时，若()()f x f x T <+，则[][]x x x T x T -<+-+，即[][]T x T x >+-（*），其中，若01T <<，则总存在,2n n ∈≥*N ，使得1nT >，当1T >时，若T 是正整数，则[][]x T x T +-=，（*）不成立，若T 不是正整数，[][]T x T x >+-不恒成立，所以函数()[]f x x x =-不是“T -严格增函数”.故答案为：②③④【点睛】本题主要考查新定义函数的理解，对于新定义函数的题，解题方法是通过转化法，将“新”转化为“旧”来解题，选择题中，可利用特殊值进行举反例来排除.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合U =R ，集合{}23A x x =-≤≤，{1B x x =<-或}4x >（1）求A B ⋃;（2）求()U A B ∩ð【答案】（1）{3x x ≤或}4x >（2）{}13x x -≤≤【解析】【分析】（1）根据并集概念进行计算；（2）先求出{}14U B x x =-≤≤ð，进而利用交集概念进行计算.【小问1详解】{}{|231A B x x x x ⋃=-≤≤⋃<-或}4x >{3x x =≤或}4x >；【小问2详解】{}14U B x x =-≤≤ð，(){}{}{}|231413U A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂-≤≤=-≤≤ð18.已知函数()b f x x x=+过点(1,2)．（1）判断()f x 在区间(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）求函数()f x 在[]2,7上的最大值和最小值．【答案】（1）()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，证明见解析（2）最大值为507，最小值为52【解析】【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；（2）根据单调性即可得出函数()f x 在[]2,7上的最大值和最小值.【小问1详解】单调递增，由题意证明如下，由函数()b f x x x =+过点(1,2)，有121b +=，解得1b =，所以()f x 的解析式为：1()f x x x =+．设12,(1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，有()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由1212,(1,),x x x x ∈+∞<，得121210,0x x x x ->-<．则()()12121210x x x x x x --<，即()()12f x f x <．∴()f x 在区间(1,)+∞上单调递增．【小问2详解】由()f x 在(1,)+∞上是增函数，所以()f x 在区间[2,7]上的最小值为5(2)2f =，最大值为50(7)7f =．19.(1)已知函数()212f x x =+，则()f x 的值域；(2)已知1)f x +=+，求()f x 的解析式；(3)已知函数()f x 对于任意的x 都有()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式.【答案】（1）1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）2()1f x x =-，其中1x ≥；（3）2()33f x x =--【解析】【分析】（1）根据函数的性质即可得函数的值域；（2）配凑法或换元法求函数的解析式（3）列方程组法求函数的解析式【详解】（1）由于220,22x x ≥+≥，故211022x <≤+，故函数的值域为1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）)221)1111f +=+-=-，，故所求函数的解析式为2()1f x x =-，其中1x ≥.（3）∵对于任意的x 都有()2()32f x f x x +-=-，∴将x 替换为-x ，得()2()32f x f x x -+=--，联立方程组：()2()32()2()32f x f x x f x f x x +-=-⎧⎨-+=--⎩消去()f x -，可得2()33f x x =--.20.已知关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为()1,2-．（1）当[]0,3x ∈时，求2x bx c x++的最小值；（2）当x ∈R 时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1（2）5,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）依题意可得，1-和2是方程230x bx c ++-=的两根，从而可求得b ，c 的值，再利用基本不等式即可求解；（2）依题意可得，已知条件等价于212x x x m -+>+在(),-∞+∞上恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解．【小问1详解】因为关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为()1,2-，所以1-和2是方程230x bx c ++-=的两根，所以12123b c -+=-⎧⎨-⨯=-⎩，解得11b c =-⎧⎨=⎩，由2x bx c x++可知，0x ≠，所以当(]0,3x ∈时，2211111x bx c x x x x x x ++-+==+-≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以2x bx c x++的最小值为1．【小问2详解】结合（1）可得221y x bx c x x =++=-+，对于R x ∀∈，函数2y x bx c =++的图象恒在函数2y x m =+的图象的上方，等价于212x x x m -+>+在(),x ∈-∞+∞上恒成立，即231m x x <-+在(),x ∈-∞+∞上恒成立，则()2min 31m x x <-+即可，因为2235531()244x x x -+=--≥-，所以54m <-，所以实数m 的取值范围为5,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．21.已知函数()21ax b f x x -=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式()()()210f t f tf -+>．【答案】21.()221x f x x -=+，[]1,1x ∈-22.减函数；证明见解析；23.10,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和()11f =求解即可.（2）利用函数单调性定义证明即可.（3）首先将题意转化为解不等式()()21f tf t >-，再结合()f x 的单调性求解即可.【小问1详解】函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，()()f x f x -=-；2211ax b ax b x x ---=-++，解得0b =，∴()21ax f x x =+，而()11f =-，解得2a =-，∴()221x f x x -=+，[]1,1x ∈-．【小问2详解】函数()221x f x x-=+在[]1,1-上为减函数；证明如下：任意[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++因为12x x <，所以120x x -<，又因为[]12,1,1x x ∈-，所以1210x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()()12f x f x >在[]1,1-上为减函数．【小问3详解】由题意，()()()210f t f tf -+>，又()00f =，所以()()210f t f t -+>，即解不等式()()21f t f t >--，所以()()21f t f t >-，所以22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<，所以该不等式的解集为510,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．22.若函数()f x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知定义在[]22-,上的奇函数()g x ，当[]0,2x ∈时，()22g x x x =-+.（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（3）求函数()g x 在定义域内的所有“倒域区间”.【答案】（1）()222,022,20x x x g x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩（2）11,2⎡+⎢⎣⎦（3）151,2⎡+⎢⎣⎦和1,12⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）设[)2,0x ∈-，利用奇函数的定义可求得函数()g x 在[)2,0-上的解析式，由此可得出函数()g x 在[]22-,上的解析式；（2）设12a b ≤<≤，分析函数()g x 在[]1,2上的单调性，可出关于a 、b 的方程组，解之即可；（3）分析可知0a b ab <⎧⎨>⎩，只需讨论02a b <<≤或20a b -≤<<，分析二次函数()g x 的单调性，根据题中定义可得出关于实数a 、b 的等式组，求出a 、b 的值，即可得出结果.【小问1详解】解：当[)2,0x ∈-时，则(]0,2x -∈，由奇函数的定义可得()()()()2222x g x g x x x x ⎡⎤=--=---=⎣⎦++-，所以，()222,022,20x x x g x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩.【小问2详解】解：设12a b ≤<≤，因为函数()g x 在[]1,2上递减，且()g x 在[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以，()()22121212g b b b b g a a a a a b ⎧=-+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪≤<≤⎪⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以，函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为11,2⎡⎢⎣⎦.【小问3详解】解：()g x 在[],a b 时，函数值()g x 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中a b ¹且0a ≠，0b ≠，所以，11a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩，则0a b ab <⎧⎨>⎩，只考虑02a b <<≤或20a b -≤<<，①当02a b <<≤时，因为函数()g x 在[]0,1上单调递增，在[]1,2上单调递减，故当[]0,2x ∈时，()()max 11g x g ==，则11a≤，所以，12a ≤<，所以，12a b ≤<≤，由（2）知()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为151,2⎡⎢⎥⎣⎦；②当20a b -≤<<时，()g x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,0-上单调递增，故当[]2,0x ∈-时，()()min 11g x g =-=-，所以，11b≥-，所以，21b -<≤-.21a b ∴-≤<≤-，因为()g x 在[]2,1--上单调递减，则()()22121221g a a a a g b b b b a b ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪-≤<≤-⎪⎪⎩，解得121a b ⎧+=-⎪⎨⎪=-⎩，所以，()g x 在[]2,1--内的“倒域区间”为112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.综上所述，函数()g x在定义域内的“倒域区间”为11,2⎡+⎢⎣⎦和1,12⎡⎤---⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，解题的关键在于分析函数的单调性，结合题意得出关于参数的方程，进行求解即可.。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套,新课标版)
高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
3．本卷命题范围：新人教版必修第一册第一章～第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{123}A =，，，{}223B x x x =->，则A B =A ．{12}，B ．∅C ．{23}，D ．{1}2．命题“R x ∃∈，||0x ”的否定是A ．R x ∀∈，||0x ≥B ．R x ∃∈，||0x <C ．R x ∀∈，||0x <D ．R x ∃∉，||0x <3．若a b >，则下列不等式中成立的是 A ．11<a bB ．33a b >C ．22a b >D ．a b >4．函数y =的定义域为 A ．(12)-，B ．(02)，C ．[12)-，D ．(12]-，5．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为2()410C x x x =++（万元）。
一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A ．139万元B ．149万元C ．159万元D ．169万元6．已知集合2{Z |Z}1A x x =∈∈-，则集合A 的真子集的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．167．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．若函数()f x 是奇函数，且在定义域R 上是减函数，(2)3f -=，则满足3(3)3f x -<-<的实数x 的取值范围是 A ．(15)，B ．(24)，C ．(36)，D ．(25)，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一(上学期)期中考试数学试卷
高一（上学期）期中考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{,}A x y =，集合{}22,2B x x =，且A B =，则x =_______ 2．已知函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 坐标是___________3．定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(0)f f π+=，则(1)f -=___________．4．方程42log 13x +=的解x =___________．5．若关于x 的方程53=+x a 有负实根，则实数a 的取值范围是___________6．若函数2245y x x =-+的图象按向量a 平移后得到函数22y x =的图象，则向量a 的坐标为________. 7．在如今这个5G 时代，6G 研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps ，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道宽带W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．若不改变宽带W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递率C 会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）8．设a 是实数，若1x =是x a >的一个充分条件，则a 的取值范围是__________.9．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且211a q =+，则该数列的各项和的最小值为__________． 10．已知0,0a b >>，且12223a b +=+，则2a b +的最小值为___________. 11．已知a 为奇数且0a >，则关于x 的不等式21a x x x ≤-的解集为___________． 12．设,x y ∈R ，若|||4||||1|5x x y y +-++-≤，则23x y xy -+的取值范围为___________．二、单选题13．设a 、b 、c 表示三条互不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，则使得“//a b ”成立的一个充分条件为（ ）A ．a c ⊥，b c ⊥B ．//a α，//b αC ．//a α，b αβ=，a β⊂D ．b α⊥，//c α，a c ⊥ 14．设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，那么下列四个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①①①①B ．①①①C ．①①D ．①15．设20202021202120222121,2121a b ++==++，则下列说法中正确的是（ ） A ．a b > B ．11a b > C ．222a b +≥ D ．2b a a b+= 16．设C ={复数}，R ={实数}，M ={纯虚数}，全集U C =，则下列结论中正确的是（ ）A ．⋃=R M CB ．⋂=∅C R M C ．C C R M ⋂=D ．⋃=C C M R C三、解答题17．设全集为R ，已知301x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}223B x a x a =-<<+． (1)若1a =，求A B ⋂；(2)若A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围．18．若不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立． （1）函数1()f x x=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数2()lg ,1a f x M x =∈+求a 的取值范围； （3）设函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a ，证明：函数2()2x f x x M =+∈，并求出对应的0x （结果用a 表示出来）．21．设非空集合{}2|(2)10,A x x b x b b R =++++=∈，求集合A 中所有元素的和．参考答案：1．12【分析】根据A ＝B ，得到两个集合的元素相同，然后根据集合元素的特点建立方程即可．【详解】解：因为集合A ：{x ，y }，B ：{2x ，2x 2}，且A ＝B ，当x ＝2x 时，x ＝0，此时A ＝{0，0}，B ＝{0，0}，不成立，舍去．所以x ＝2x 2，y ＝2x 解得x 12=或x ＝0（舍）． 当x 12=时，A ＝{12，1}，B ＝{1，12}满足条件． 所以A ＝{12，1}． 故答案为：12【点睛】本题主要考查集合相等的应用，集合相等，对应元素完全相同．注意进行检验．2．()1,5【分析】根据指数函数的指数为0，求出函数过定点坐标；【详解】解：因为1()4x f x a -=+，令10x -=，即1x =，所以11(1)45f a -=+=，即函数恒过点()1,5P ； 故答案为：()1,53．π-【分析】利用奇函数的性质有(1)(0)(1)0f f f +=--+，结合已知即可求值.【详解】由题意(0)0f =且()()f x f x -=-，则(1)(0)(1)0f f f π+=--+=，则(1)f π-=-.故答案为：π-.4．4【分析】根据对数的定义可得．【详解】由42log 13x +=得4log 1x =，所以4x =．故答案为：4．5．()3,2--【分析】设方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，得到0051x <<，进而得到031a <+<，即可求解.【详解】设关于x 的方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，可得0051x <<，所以031a <+<，可得32a -<<，即实数a 的取值范围是()3,2--.故答案为：()3,2--.6．(1,3)--【分析】把函数式2245y x x =-+配方后，根据图象变换知可得．【详解】2245y x x =-+22(1)3x =-+，因此把它向左平移1个单位，再下平移3个单位可得22y x =的图象．①(1,3)a =--．故答案为：(1,3)--．【点睛】本题考查函数图象平移，考查向量的概念．属于基础题．7．2.5##52【分析】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ， 再根据题意求21CC ，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.【详解】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ，则由题意可知，122log (111)log 12C W W =+=，222log (1499)log 500C W W =+=， 所以()()()()log log log log lo log g C W C W ⨯⨯===⨯⨯223222222122210525500232123 log log log ...log log log ..+++⨯====≈+++23222232222523523232896252232158358倍. 所以最大信息传递率C 会提升到原来的2.5倍.故答案为：2.58．(),1-∞【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为{}{}1|x x a ⊆>，由子集的定义求解即可.【详解】解：因为1x =是x a >的一个充分条件，则{}{}1|x x a ⊆>，所以1a <，则a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.9．)21 【分析】先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可.【详解】{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，∴{}n a 数列的各项和为()()22111lim lim =11n n n n q q q S q q →+∞→+∞+-+=--，其中()()1,00,1q ∈-， 又11q -<<且0q ≠，012q ∴<-<且10q -≠，()())2211112122=21111q q q q q q ⎡⎤--++⎣⎦∴==-+-≥---，当且仅当211q q-=-，即1q =∴数列{}n a 的各项和的最小值为)21.故答案为：)21 10．8 【分析】根据0,0a b >>，且12223a b +=+，将2a b +转化为()2224a b a b +=++-()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣，利用基本不等式求解. 【详解】因为0,0a b >>，且12223a b +=+， 所以()2224a b a b +=++-，()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣， ()2324244a b a b +⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭,24834⎛ ≥+-= ⎝， 当且仅当()422a b a b+=+,即1,6a b ==时，等号成立， 所以2a b +的最小值为8，故答案为：811．{|1x x ≥或10}2x ≤< 【分析】讨论0x <、102x ≤<、12x >分别求对应解集，最后取并即得结果. 【详解】由题设1(21)02121a a a x x x x x x x ----=≥--，又a 为奇数且0a >，则12,N a k k -=∈， 当0x <时，1210a a x x ---<，210x -<，则021a x x x -<-不满足题设； 当102x ≤<时，021a x x x ≤≤-成立； 当12x >时，不等式等价于1(21)1a x x --≥， 若112x <<时，10,211a x x -<-< ，即1(21)1a x x --<与题设矛盾；若1≥x 时，1,211a x x --≥，满足1(21)1a x x --≥；综上，不等式解集为{|1x x ≥或10}2x ≤<. 故答案为：{|1x x ≥或10}2x ≤< 12．[3,9]-【分析】利用绝对值三角不等式可得|||4||||1|5x x y y +-++-=，即04x ≤≤，01y ≤≤，利用23m x y xy=-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点，讨论3x =或2y =-、3x ≠研究m 的范围即可.【详解】|||4||||4||4|4x x x x x x +-=+-≥+-=，当04x ≤≤时等号成立，|||1||||1||1|1y y y y y y +-=+-≥+-=，当01y ≤≤时等号成立，所以|||4||||1|5x x y y +-++-≥，而|||4||||1|5x x y y +-++-≤，故|||4||||1|5x x y y +-++-=，此时04x ≤≤，01y ≤≤，令23m x y xy =-+中(,)x y ，与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤所表示的区域有公共点，当3x =或2y =-时6m =，而3[0,4]x =∈，故6m =满足；当3x ≠时，由62[0,1]3m y x -=-∈-得：6233m x -≤≤-，而04x ≤≤， 若34x <≤时60m ->，此时23(1)x m x ≤≤-，故69<≤m ；若03x ≤<时60m ->，此时233x m x ≥≥-，故36m -≤<；综上，3m -≤≤9.故答案为：[3,9]-【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式得|||4||||1|5x x y y +-++-=确定x 、y 的范围，再将问题转化为23m x y xy =-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点求m 的范围即可.13．C【分析】由线线垂直的性质可判断A ，由线面平行的性质可判断B ，由线面平行的性质可判断C ，由线面平行垂直的性质可判断D ．【详解】选项A ：当a c ⊥，b c ⊥时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①A 错误，选项B ：当//a α，//b α时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①B 错误，选项C ：由线面平行的性质定理，当//a α，a β⊂，b αβ=时，则//a b ，①C 正确，选项D ：当b α⊥，//c α时，①b c ⊥，①a c ⊥，则//a b 或a 与b 相交或异面，①D 错误故选：C14．C【分析】根据函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为{}02M x x =≤≤，对于①中，函数的定义域不是集合M ，所以不能构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系； 对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，根据函数的定义，集合M 中的元素在集合N 中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C15．A【分析】令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++，判断函数的单调性，即可判断A ，再根据不等式的性质即可判断BC ，再利用基本不等式即可判断D.【详解】解：令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++， 因为121x y +=+在R 上递增，且1210x ++>，所以函数()f x 在在R 上递减，所以()()202020210f f >>，即0a b >>，所以11a b<， 故A 正确，B 错误； 因为2020202120212022212101,012121a b ++<=<<=<++， 所以222a b +<，故C 错误；因为2b a a b +≥， 当且仅当b a a b=，即a b =时，取等号，又a b >， 所以2b a a b +>，故D 错误. 故选：A.16．D【分析】注意复数域的构成，对选项逐一分析，可得结果.【详解】因为对于任意复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，当0b =时z 为实数，当0b ≠时z 为虚数，当0,0a b =≠时z 为纯虚数，所以复数包括实数和虚数，纯虚数是特殊的虚数，所以对于A 项，并集中还少不是纯虚数的虚数，对于B 项，交集应该为R ，对于C 项，结果应该为虚数集，只有D 项是满足条件的，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数域的问题，涉及到的知识点有复数的分类，集合的运算，数域简单题目. 17．(1){|13}x x <≤；(2)3a >.【分析】(1)解分式不等式可得集合A ，并求出A ，由1a =得集合B ，再利用交集的定义直接计算作答.(2)由A B =R 可得A B ⊆，再借助集合的包含关系列式计算作答.(1) 解不等式：301x x ->+，即(3)(1)0x x -+>，解得：1x <-或3x >，则{|1A x x =<-或3}x >， 因全集为R ，于是得{|13}A x x =-≤≤，当1a =时，{|15}B x x =<<， 所以{|13}A B x x ⋂=<≤.(2)由(1)知，{|13}A x x =-≤≤，因A B =R ，因此有：A B ⊆，于是得21233a a -<-⎧⎨+>⎩，解得3a >， 所以实数a 的取值范围是：3a >.18．(]4,0-【分析】本题需要对0m =和0m ≠两种情况分别讨论. 当0m =时结论恒成立; 当0m ≠时，使用二次函数的性质分析求解; 最后综合两种情况的结论即可.【详解】由已知可得，当0m =时，10-<成立;当0m ≠时，要使不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立,则二次函数开口向下, 即0m <,且最大值要小于0, 即和x 轴没有交点, 所以240m m ∆=+<, 解得40m -<<; 综上, m 的取值范围为(]4,0m ∈-.19．（1）20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【解析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x ∈和(16,40]x ∈上的解析式，即可求解； （2）当(0,16]x ∈和(16,40]x ∈时，令()68f x <，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x ∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b =-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++，由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<， 即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟. 20．（1）1()f x M x=∉，答案见解析；（2）3a ⎡∈⎣；（3）证明见解析；01x a =+． 【分析】（1）集合M 中元素的性质，即有()()()0011f x f x f +=+成立，代入函数解析式列出方程，进行求解即可；（2）根据()()()0011f x f x f +=+和对数的运算，求出关于a 的方程，再根据方程有解的条件求出a 的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用()()()0011f x f x f +=+和()22x f x x M =+∈，整理出关于0x 的式子，利用2x y =图象与函数y x=-的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明.【详解】（1）若1(),f x M x=∈在定义域内存在0x ， 则20000111101x x x x =+⇒++=+方程无解，所以1(),f x M x=∉第 11 页 共 11 页 （2）由题意得2()lg 1a f x M x =∈+ 222lg lg +lg (2)22(1)0(+1)112a a a a x ax a x x ∴=⇒-++-=++ 当2a =时，12x =； 当2a ≠时，由0∆≥，得2640a a -+≤，解的)(32,35a ⎡∈+⎣综上，3a ⎡∈⎣； （3）函数2()2,x f x x M =+∈001220000(1)()(1)2(1)23x x f x f x f x x +∴+--=++---00100=22(1)22(1),x x x x -⎡⎤+-=+-⎣⎦又函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a则010202(1)0x a a x -+=⇒+-=，其中01x a =+00(1)()(1),f x f x f ∴+=+即2()2x f x x M =+∈．【点睛】此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.21．答案见解析【分析】分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论，当有相等实根时，直接求解，当有不相等实根时由根与系数关系求解.【详解】当0b =时，解得121x x ==-，{1}A =-，所以A 中所有元素之和为1-，当0b ≠时，22(2)4(1)0b b b ∆=+-+=>，方程2(2)10x b x b ++++=有两个不等的实根，由根与系数的关系知12(2)x x b +=-+，即A 中所有元素之和为2b --，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，分类讨论的思想，集合的描述法，属于中档题.。
四川省成都市2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)
成都2023-2024学年度上期高2026届半期考试数学试题（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.全称量词命题“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是（）A.x ∃∈R ，5lg 4x x +=B.x ∀∈R ，5lg 4x x +=C.x ∃∈R ，5lg 4x x +≠D.x ∀∉R ，5lg 4x x +≠【答案】A 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是“x ∃∈R ，5lg 4x x +=”.故选：A .2.下列命题为真命题的是（）A.若33a bc c<，则a b < B.若a b <，则33<ac bc C.若a b <，c d <，则a c b d -<- D.若a c b d -<-，c d <，则a c b d+<+【答案】D 【解析】【分析】举反例可判断选项A 、B 、C ，由不等式的性质可判断选项D.【详解】对于选项A ，当1c =-时，若33a bc c<，则a b >，与a b <矛盾，故选项A 错误；对于选项B ，当0c =时，若a b <，则330ac bc ==，与33<ac bc 矛盾，故选项B 错误；对于选项C ，当56a b ==，，10c d =-=，，满足a b <，c d <，但a c b d -=-，这与a c b d -<-矛盾，故选项C 错误；对于选项D ，因为a c b d -<-，c d <，所以由不等式性质可得：()()a c c b d d -+<-+，即a b <.因为a b <，c d <，由不等式性质可得：a c b d +<+，故选项D 正确.故选：D.3.设函数()ln 26f x x x x =+-，用二分法求方程ln 260x x x +-=在()2,3x ∈内的近似解的过程中，计算得(2)0,(2.5)0,(2.25)0f f f <>>，则下列必有方程的根的区间为（）A.()2.5,3 B.()2.25,2.5 C.()2,2.25 D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.【详解】显然函数()ln 26f x x x x =+-在[]2,3x ∈上是连续不断的曲线，由于(2)0,(2.25)0f f <>，所以()()2· 2.250f f <，由零点存在性定理可得：()ln 26f x x x x =+-的零点所在区间为()2,2.25，所以方程ln 260x x x +-=在区间()2,2.25内一定有根.故选：C.4.函数2||3()33x x f x =-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.【详解】由33011xx x -≠⇒≠⇒≠±，所以该函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，显然关于原点对称，因为()()()22||||333333x x x x f x f x ---===--，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC ，当1x >时，()33=3300xxf x --<⇒<，排除选项B ，故选：D5.若0a >，0b >，则“221a b +≤”是“a b +≤”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当0a >，0b >，且221a b +≤时，()()22222222a b a b ab a b +=++≤+≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以a b +≤，充分性成立；1a =，14b =，满足0a >，0b >且a b +≤，此时221a b +>，必要性不成立.则“221a b +≤”是“a b +≤”的充分不必要条件.故选：A6.已知当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 与死亡年数x 的关系为573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．不久前，考古学家在某遗址中提取了数百份不同类型的样品，包括木炭、骨头、陶器等，得到了一系列的碳14测年数据，发现生物组织内碳14的含量是死亡前的34．则可以推断，该遗址距离今天大约多少年（参考数据ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）（）A.2355B.2455C.2555D.2655【答案】B 【解析】【分析】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据对数的运算性质及换底公式计算即可.【详解】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，即057301324x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以01222234ln 3 1.1log log log 4log 322573043ln 20.7x ===-=-≈-，所以0115730224557x ⎛⎫≈⨯-= ⎪⎝⎭，即该遗址距离今天大约2455年.故选：B .7.已知函数2295,1()1,1a x ax x f x xx -⎧-+≤=⎨+>⎩，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[]2,4 D.(]9,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a aa a -⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-⨯+≥+⎪⎩，解得24a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C8.设358log 2,log 3,log 5a b c ===，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用中间值比较大小得到23<a ，2334b <<，34c >，从而得到答案.【详解】333log 22log 20o 33938l g a --=-=<，故23<a ，555log 27log 2522log 30333b --=-=>，555log 81log 12533log 30444b --=-=<，故2334b <<，888log 5log 33log 5054246124c --=-=>，34c >，故a b c <<故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合{},,,a b c d 共有16个子集C.集合{}{}42,Z 42,Zx x n n x x n n =+∈==-∈D.集合{}{}22|1,|22,x x a a x x a a a ++=+∈==-+∈N N 【答案】BC 【解析】【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可.【详解】A ：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确；B ：集合{},,,a b c d 中有四个元素，所以它的子集个数为42=16，所以本选项说法正确；C ：因为{}(){}42,Z 412,Z x x n n x x n n =-∈==-+∈，所以{}42,Z x x n n =+∈与{}42,Z x x n n =-∈均表示4的倍数与2的和所组成的集合，所以{}{}42,Z 42,Z x x n n x x n n =+∈==-∈，因此本选项说法正确；D ：对于{}2|22,x x a a a +=-+∈N ，当1a =时，2221x a a =-+=，即{}21|22,x x a a a +∈=-+∈N ，但{}21|1,x x a a +∉=+∈N ，所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确.故选：BC.10.已知正实数x ，y 满足1x y +=，则下列不等式成立的有（）A.22x y +≥ B.14≤xy C.124x x y+≥ D.1174xy xy +≥【答案】ABD【解析】【分析】选项A 用基本不等式性质判断即可；选项B 用基本不等式的推论即可；选项C 将1x y +=带入，再用基本不等式判断；D 利用对勾函数的单调性判断.【详解】对A ：因为x ，y为正实数22x y +≥==，当且仅当12x y ==时取等号，所以A 正确；对B ：因为2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，所以B 正确；对C：因为1222111x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+=+2y x x y =时取等号，所以C 错误；对D ：由B 选项可知14≤xy ，令xy t =，则104t <≤，11xy t xy t +=+()1104f t t t t ⎛⎫=+<≤ ⎪⎝⎭因为对勾函数在104t <≤上是减函数，所以()11744f t f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：ABD 11.已知()1121xa f x +=+-是奇函数，则（）A.1a = B.()f x 在()(),00,x ∈-∞⋃+∞上单调递减C.()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞ D.()()3log 2f x f >的解集为()0,9x ∈【答案】AC 【解析】【分析】由奇函数的定义可判定A 项，利用指数函数的性质可判定B 项，进而可求值域判定C 项，可结合对数函数的性质解不等式判定D 项.【详解】因为函数()1121xa f x +=+-是奇函数，易知2100x x -≠⇒≠，则有()()()()()11211112210212121x x x xa a a f x f x a -+-++-+=+++=+=-+=---，解之得1a =，故A 正确；则()2121xf x =+-，易知当0210x x y >⇒=->且有21xy =-单调递增，故此时()2121x f x =+-单调递减，又由奇函数的性质可知0x <时()f x 也是单调递减，故()f x 在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故B 错误；由上可知0x >时，222100112121xx x ->⇒>⇒+>--，即此时()1f x >，由奇函数的性质可知0x <时，()1f x <-，则函数()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞，故C 正确；由上可知()()()33log 20log 21,9f x f x x >⇒<<⇒∈，故D 错误.故选：AC12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 在区间()0,6上满足()()6f x f x -=，当(]0,3x ∈时，()13log f x x =；当[)6,x ∈+∞时，()21448f x x x =-+-．若直线y m =与函数()f x 的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为()1,2,3,4,5,6i x i =，且123456x x x x x x <<<<<，则下列结论正确的是（）A.122x x +>B.()5648,49x x ∈C.()()34661x x --> D.()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ 【答案】ABD 【解析】【分析】先利用函数的对称性和解析式作出函数图象，分别求出直线y m =与函数()f x 的图象的交点的横坐标的范围，运用基本不等式和二次函数的值域依次检验选项即得.【详解】如图，依题意可得13132log ,03()log (6),361448,6x x f x x x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+-≥⎪⎪⎩，作出函数()y f x =在(0,)+∞上的图象，设直线1y =与()y f x =的图象分别交于,,,A B C D 四点，显然有1(,1),(3,1),(7,1)3A B D ，由()()6f x f x -=知函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故可得：17(,1)3C .对于A 选项，由12()()f x f x =可得121133x x <<<<，111233log log x x =-，化简得121=x x ，由基本不等式得：122x x +>=，故A 项正确；对于B 选项，当[)6,x ∈+∞时，由()21448f x x x =-+-可知其对称轴为直线7x =，故562714,x x +=⨯=又因56678x x <<<<，故()25655551414x x x x x x =-=-+25(7)+49x =--在区间()6,7上为增函数，则有564849x x <<，故B 项正确；对于C 选项，由34()()f x f x =可得34356x x <<<<，131433log (6)log (6)x x -=--，化简得1343log [(6)(6)]0x x --=，故有()()34661x x --=，即C 项错误；对于D 选项，依题意，1236()()()(),f x f x f x f x m ===== 且01m <<，故()()()112266126()x f x x f x x f x x x x m +++=+++ ，又因函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故1423236,x x x x +=+=⨯=又由B 项分析知5614,x x +=于是126661426,x x x +++=++= 故得：()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ ，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数与直线y m =的交点横坐标的范围界定，关键在于充分利用绝对值函数与对称函数的图象特征进行作图，运用数形结合的思想进行结论检验.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若定义在[]4,4-上的奇函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调增区间为______．【答案】[]2,4和[]4,2--【解析】【分析】直接根据图象结合奇函数性质得到答案.【详解】根据图象，0x >时函数在[]2,4上单调递增，函数为奇函数，故函数在[]4,2--上也单调递增.故答案为：[]2,4和[]4,2--.14.若()()2log ,0215,0xx x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则(1)(7)f f --=______．【答案】32【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】()()2log ,0215,0x x x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则()()2221113(1)(7)147log 14log 7log 22222f f f f --=+-=+-=+=.故答案为：32.15.石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x 元）在1025x <≤时，本次活动售出的件数()42105P x =-，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为______元．【答案】15【解析】【分析】结合已知条件，求出利润()f x 的解析式，然后结合换元法和基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，利润4210(10)()(5)x f x x -=-，1025x <≤，不妨令10(0,15]t x =-∈，则利润44421010()50025(5)10t f x y t t t ===≤+++，当且仅当25t t=时，即5t =时，即15x =时，不等式取等号，故销售价格每件应定为15元.故答案为：15.16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．那么，函数()323f x x x x =--图象的对称中心是______．【答案】()1,3-【解析】【分析】计算出()()b f x a b f x a +-++--()232662622a x a a a b =-+---，得到3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，求出13a b =⎧⎨=-⎩，得到对称中心.【详解】()()bf x a b f x a +-++--()()()()()()3232332x a x a x a x a x a x a b =+-+-++-+--+--+-32232232233336333x ax a x a x ax a x a x ax a x a =+++------+-+223632x ax a x a b-+-+--()232662622a x a a a b =-+---，要想函数()y f x a b =+-为奇函数，只需()2326626220a x a a a b -+---=恒成立，即3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，故()323f x x x x =--图象的对称中心为()1,3-故答案为：()1,3-四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算2173ln 383log 210e 22lg 527log 10-⎛⎫-⨯--⎪⎝⎭；（2）已知11224x x-+=，求3322x x -+的值．【答案】（1）0（2）52【解析】【分析】（1）结合指数运算及对数运算性质，换底公式即可求解；（2）考察两式间的内在联系，结合立方和公式即可求解.【详解】（1）21723ln 3833log 2101727e22lg 52()(lg 5lg 2)27log 10864-⎛⎫-⨯--=--+ ⎪⎝⎭1791088--==；（2）由11224x x-+=，则112122()216x x x x --+=++=，则114x x -+=，则3322x x-+()11122141352x x x x --⎛⎫=+-+=⨯= ⎪⎝⎭.18.已知全集R U =，集合5|1,{|16}2A x B x x x ⎧⎫=>=<≤⎨⎬-⎩⎭，{1C x x a =≤-∣或21}x a ≥+．（1）求()U A B ∩ð；（2）若()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{31}xx -<≤∣（2）(],2[7,)-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）解出分式不等式，求出集合A ，再利用交集和补集的含义即可得到答案；（2）分R C =和R C ≠讨论即可.【小问1详解】{}5310(3)(2)0{32}22x A x x x x x x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=>=+->=-<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭∣∣∣∣{16}B x x =<≤∣，{1U B x x ∴=≤∣ð或6}x >，(){31}U A B x x ∴=-<≤ ∣ð.【小问2详解】{36}A B x x =-<≤ ∣，且()A B C ⊆ ，①R C =，1212a a a -≥+⇒≤-，此时满足()A B C ⊆ ，②R C ≠，2a >-，此时213a +>-，则167-≥⇒≥a a ，此时满足()A B C ⊆ ，综上所述，实数a 的取值范围为(],2[7,)-∞-+∞ .19.在“①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 是奇函数．”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-，且______．（1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 在()0,e 上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论．【答案】（1）选择①时，()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②时，()ln(e )ln(e )f x x x =+--（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义求解参数k ，即可得()f x 的解析式；（2）根据函数单调性的定义证明即可得结论.【小问1详解】选择①：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是偶函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=++-，则1k =所以()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是奇函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=-，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=-+--，则1k =-所以()ln(e )ln(e )f x x x =+--；【小问2详解】选择①：函数22()ln(e )ln(e )ln(e )f x x x x =++-=-在()0,e 上单调递减．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，有，有22222221121212(e )(e )()()x x x x x x x x ---=-=+-，由120e x x <<<，得120x x +>，120x x -<，所以1212()()0x x x x +-<，于是222212e e 0x x ->->，所以222221e 01e x x -<<-，所以22222222121221e ()()ln(e )ln(e )ln ln10e xf x f x x x x --=---=<=-，即12()()f x f x >，所以函数22()ln(e )f x x =-在()0,e 上单调递减．选择②：函数e ()ln(e )ln(e )ln e xf x x x x+=+--=-在()0,e 上单调递增．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，则21211221212121e e (e )(e )(e )(e )2()e e (e )(e )(e )(e )x x x x x x x x x x x x x x +++--+---==------由120e x x <<<，得210x x ->，2e 0x ->，1e 0x ->，所以21212()0(e )(e )x x x x ->--，即2121e e 0e e x x x x ++>>--，于是2211e e 1e e x x x x +->+-，所以2212211211e e e e ()()lnln ln ln10e e e e x x x x f x f x x x x x +++--=-=>=+---，即12()()f x f x <，所以函数e ()lne xf x x+=-在()0,e 上单调递增．20.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图"”如图，该函数近似模型如下：()20.43()49.18,02256.26e14.73,2x a x x f x x -⎧-+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩，又已知酒后1小时测得酒精含量值为46.18毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）当02x ≤<时，确定()f x 的表达式；（2）喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车？（时间以整分钟计算）（附参考数据：ln527 6.27,ln56268.63,ln14737.29===）【答案】（1）23()12()49.182f x x =--+（2）314分钟后【解析】【分析】（1）根据题中条件，建立方程(1)46.18f =，解出即可；（2）根据题意建立不等式，解出即可.【小问1详解】根据题意知，当02x ≤<时，23()()49.182f x a x =-+，所以23(1)(149.1846.182f a =-+=，解得12a =-，所以当02x ≤<，23()12()49.182f x x =--+.【小问2详解】由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精含量小于20mg /百毫升时可以驾车，当02x ≤<时，()20f x >，此时2x ≥，由0.456.26e 14.7320x -⋅+<，得0.4 5.27527e56.265626x-<=，两边取自然对数可得，0.4ln 527ln 5626 6.278.36 2.09x -<-=-=-，所以 2.095.2250.4x >=，又5.225小时=313.5分钟，故喝1瓶啤酒314分钟后才可以驾车.21.已知函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点A ，且点A 在函数()()ln 1f x x m =+-，(R)m ∈的图象上．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若定义在[]1,2上的函数()()ln 2y f x k x =+-恰有一个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()ln 1f x x =-（2）e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）把定点A 代入函数()f x 的解析式求出m 的值即可；（2）问题等价于()22e g x x kx =-+在[]1,2上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可；【小问1详解】函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点()1,1A -，函数()()ln 1f x x m =+-(R)m ∈的图象过点()1,1A -，即()ln 111m +-=-，解得0m =，函数()f x 的解析式为()ln 1f x x =-.【小问2详解】函数()()()ln 2ln 1ln 2y f x k x x k x +--==+-定义在[]1,2上，20k x ->在[]1,2上恒成立，可得4k >，令()()2ln 1ln 2ln 210y x k x kx x =-+--=-=，得22e 0xkx -+=，设()22e g x x kx =-+，函数()()ln 2y f x k x =+-在[]1,2上恰有一个零点，等价于()g x 在[]1,2上恰有一个零点，函数()22e g x x kx =-+图像抛物线开口向上，对称轴14kx =>，若()()12e 0282e 0g k g k ⎧=-+=⎪⎨=-+<⎪⎩，无解，不成立；若()()()()122e 82e 0g g k k ⋅=-+-+<，解得e2e 42k +<<+，满足题意；若()24282e 0k g k ⎧≥⎪⎨⎪=-+=⎩，无解，不成立；若()()12e 0124282e 0g k kg k ⎧=-+<⎪⎪<<⎨⎪=-+=⎪⎩，解得e 42k =+，满足题意.所以实数k 的取值范围为e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦.22.若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m=成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()22111f x x x =+++是否为区间[]0,4上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()32πx f x -=区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围．【答案】（1）不是，理由见解析（2）1b =（3）314a ≤≤【解析】【分析】（1）根据给定的定义，取12x =，判断2()1f x =在[]0,4是否有实数解即可；（2）根据给定的定义，当11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，用1x 表示2x 并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即可；（3）根据()g x 的单调性求解其在区间[0,2]上的值域，进而将问题转化为()f x 在区间[0，2]上的值域是[]4,1--的子集，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．【小问1详解】假定函数()22111f x x x =+++是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，则对任意的[]10,4x ∈，总存在唯一的[]20,4x ∈，使()()122f x f x =成立，取10x =，1()2f x =，由12()()2f x f x =，得2()1f x =，则()222221111f x x x =++=+，则()()222221110x x +-++=，进而可得()222131024x ⎡⎤+-+=⎢⎣⎦显然此方程无实数解，所以函数()22111f x x x =+++不是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，【小问2详解】函数()32πx f x -=为区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，则对任意11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()1f x f x =，即123232ππ1x x --=，进而1243x x +=，得2143x x =-，显然函数2143x x =-在11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，且当113x =时，21x =，当1x b =时，243x b =-，因此对1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的每一个1x ，在4[,1]3b -内有唯一2x 值与之对应，而21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以41[,1][,]33b b -⊆，所以14133b b ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得11b b ≥⎧⎨≤⎩，即1b =，所以b 的值是1．【小问3详解】由于41log 67,t x y t =-=分别为定义域内单调递增和单调递减函数，所以函数()4log (167)g x x =--在[0,2]上单调递增，且()()102,22g g =-=-得函数()g x 的值域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，由函数()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”可知，对任意的1[0x ∈,2]，总存在唯一的2[0x ∈,2]时，使得12()()2f x g x =成立，于是[]122()4,1()f xg x =∈--，则()2214f x x ax a =-+-在区间上[0,2]的值域是区间[]4,1--的子集，而函数()2214f x x ax a =-+-图象开口向上，对称轴为x a =，显然(0)14f a =-，()258f a =-，()241f a a a =--+，当0a ≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，则min max ()(0)4()(2)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即0144581a a a ≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，则min max ()(2)4()(0)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即2584141a a a ≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当02a <<时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[a ,2]上单调递增，则()()4(2)101f a f f ≥-⎧⎪≤-⎨⎪≤-⎩，即202581141144a a a a a <<⎧⎪-≤-⎪⎨-≤-⎪⎪-+-≥-⎩，解得314a ≤≤；综上，a 的取值范围是314a ≤≤．。