2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积分层演练直击高考文

2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何第4讲空间几何体的结构

及其表面积和体积分层演练直击高考文

1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________． [解析] S 底＝6×34

×42

＝243，S 侧＝6×4×6＝144，所以S 全＝S 侧＋2S 底＝144＋483＝48(3＋3)．

[答案] 48(3＋3)

2．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________． [解析] 当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2

.故所求的表面积是32π2

＋8π或32π2

＋32π.

[答案] 32π2

＋8π或32π2＋32π

3．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． [解析] 由题意知，球的半径R ＝a

2.所以S 球＝4πR 2＝πa 2

.

[答案] πa 2 4．以下命题：

①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为________．

[解析] 命题①错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题②对．命题③错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．

[答案] 1

5．(xx·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于________．

[解析] 设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，则圆锥的母线长为2r ，高为3r .由题意可知πr ×2r ＝4πR 2

，

即r ＝2R .所以V 圆锥V 球＝13πr 2

×3r 43πR 3＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3＝34×(2)3

＝62

.

[答案]

62

6．(xx·苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝3，PA ＝4，点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E ­PAB 的体积为________．

[解析] 因为V E ­PAB ＝V P ­ABE ＝13S △ABE ×PA ＝13×12AB ×AD ×PA ＝13×1

2×2×3×4＝4.

[答案] 4

7．(xx·江苏省高考名校联考(四))如图，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，上、下底面为平行四边形，E 为棱CD 的中点，设四棱锥E ­ADD 1A 1的体积为V 1，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．

解析：由题意，将侧面ADD 1A 1作为四棱柱的底面，设顶点C 到平面ADD 1A 1的距离为2h ，因为E 为棱CD 的中点，所以E 到平面ADD 1A 1的距离为h ，所以V 1∶V 2＝VE ­ADD 1A 1∶VBCC 1B 1­ADD 1A 1＝1

3

S 四边形ADD 1A 1h ∶S 四边形ADD 1A 1(2h )＝1∶6. 答案：1∶6

8.如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个

边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．

[解析] 如图，

四棱锥的高h ＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫222

＝22，

所以V ＝13Sh ＝13×1×22＝2

6.

[答案]

26

9．在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1

＝3，则V 的最大值是________．

[解析] 易知AC ＝10.设底面△ABC 的内切圆的半径为r ，则12×6×8＝1

2×(6＋8＋10)·r ，

所以r ＝2，因为2r ＝4＞3，所以最大球的直径2R ＝3，即R ＝32.此时球的体积V ＝43πR 3＝9π

2

.

[答案] 9π

2

10．(xx·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八))中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10，EF 到平面

ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是________．

[解析] 如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，

Q ，N ，连结PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为1

2

×10×3＝

15.棱柱的高为8，体积V ＝15×8＝120.

[答案] 120

11．一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm 、18 cm ，侧棱长是13 cm ，求它的全面积． [解] 上底面周长为c ′＝3×8＝24 cm ， 下底面周长c ＝3×18＝54 cm ， 斜高h ′＝

132

－⎝ ⎛⎭

⎪

⎫18－822

＝12 cm ， 所以S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′＝12×(24＋54)×12＝468 cm 2，S 上底面＝34

×82＝16 3 cm 2

，

S 下底面＝

34

×182＝81 3 cm 2

，