沪科版七年级下册数学：8.3 完全平方公式与平方差公式
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例1：利用乘法公式计算：
(1) 5 6x56x
(2) 2y xx 2y
(3)m nm n
(4) a bb a
Tips ✓ 利用平方差的关键是确定相同项和相反项。 ✓ 当分数、负数或是数与字母的乘积时，要用括
号把整个式子括起来。 最后的结果又要去掉括号。
完成课本P70 练习1
作业：
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课本P71页，习题8.3 2
《同步练习》8.3（二）
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解: 原式= x2 9x2 9
x4 81
练习：计算：a 3ba 3ba 3ba 3b
颗粒归仓
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(a+b)(a-b) = a2-b2
概念 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
方法
➢ 找 符号相同的部分；符号相反的部分。 ➢ 列 (相同项)2-(相反项)2 ➢ 算 结果要最简
合作学习
a-b
bb
任务1：将手中的卡纸沿直线剪一刀，
拼成一个你熟悉的四边形！你有几
a-b
a
种方案？
a
ห้องสมุดไป่ตู้
任务2：借助图中各边的长度，写出 原图形的面积与你所拼图形的面积 表达式？
成果展示
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a
b
a-b
a
b
bb
b
a
a-b
b
a
a-b
a
a
a-b
a
b
比较原图形和所拼得图形的面积，能得到怎样的等式？
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例：计算： 1999 2001
解: 原式= 2000 12000 1
20002 12 3999999 完成课本P70 练习2
上课之前提到的那个智力竞赛，你现在能解决吗？
练习：计算：2016 2018 20172
情景引入
例：计算： x 3 x 3 x2 9
平方差公式： a ba b a2 b2
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a ba b a2 b2
能否用语言描述这个公式？ 两个数和 与两个数差 的积 等于 这两个数的平方差
公式的内在特点 VWVW V2 W2
两个二项式相乘 一项完全相同 另一项互为相反数
两项的平方差 (相同项)2-(相反项)2
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在一次智力竞赛中，主持人提供了两道题：2119 10397 主持人话音刚落，马上有同学报出了结果，你知道他是 怎么计算的吗？
yóu
何猷君
8.3.2平方差公式
计算：3m 1 3m 1
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x2 yx2 y
解： 3m13m1
3mg3m 3m 3m 1 9m2 1
x2 yx2 y
x2 gx2 xy xy y2 x4 y2
比较等号两边的代数式，它们各有什么特点？你发 现了什么规律？
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根据你发现的规律，能不能快速写出与(a+b)(a-b)相 等的代数式？
(a+b)(a-b) = a2-b2
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完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式
1. 完全平方公式：
完全平方公式是一个用于计算平方数的公式，它的形式为：
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出一个由两个实数a和b相加的数的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相加。
接着，你需要计算2ab，这个2ab的意思是a和b的乘积的两倍。
最后，将这些结果相加就得到了(a + b)²的值。
2. 平方差公式：
平方差公式是一个用于计算两个实数之差的平方的公式，它的形式为：
(a - b)²= a²- 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出两个实数a和b之间的差的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相减。
接着，你需要计算-2ab，这个-2ab的意思是a和b的乘积的两倍的相反数。
最后，将这些结果相加就得到了(a - b)²的值。
这两个公式在数学中非常有用，它们可以帮助我们在计算中快速求出平方数和差的平方。
了解它们的含义和用法可以帮助我们更好地理解数学的基本概念。
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)
8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。
3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一： ；方法二： ；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。
完全平方公式与平方差公式-----完全平方公式课件数学沪科版七年级下册
=2002-2×200×3+32
=10000+400+4
=40 000-1 200+9
=10 404.
=38 809.
例5
计算：(x + y + z)2.
解：原式 = [x + (y + z)]2
= x2 + 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2
=16x²+20xy+20xy+25y²
=16x²+40xy+25y².
−
1
)(
2
− )
1
= ²
4
−
1
2
1
2
1
= ²
4
− + ².
−
²
+
例2.若x2+(m-3)x+16是完全平方式,则m的值为( C )
A.11或-7
B.13或-7
C.11或-5
D.13或-5
解析：x2+(m-3)x+16可以写成x2+(m-3)x+4²或x2+(m-3)x+(-4)²的情势.
(a - b)² = a² - 2 a b + b²
=9a²-12ab+4b².
例1 用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2;
解：(1)(2x-3)(2x-3)
=4x²-6x-6x+9
=4x²-12x+9.
(2)(4x+5y)2;
沪科版七年级数学下册课件8.完全平方公式
课堂小测
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ）
A.a2-4a+4
B.a2-2a+4
C.a2-4
D.a2-4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是 ( D )
A.(a－b)2
B.(－a－b)2
C.－(a＋b)2
D.－(a－b)2
课堂小测
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_; (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2_-_2_4_x_y_+_9_y_2 _; (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-4_m__+_1_____; (4) (-2m-1)2 =__4_m_2_+_4_m__+_1_____.
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新知探究
例1 运用完全平方公式计算. (1)(4m+n)2;
解: (4m+n)2= (4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a+b)2= a2 + 2ab + b2 =16m2 +8mn +n2.
新知探究
新知探究
知识要点
添括号法则
添括号时, 如果括号前面是正号, 括到括号里的各项都 不变号; 如果括号前面是负号, 括到括号里的各项都改变 符号（简记为 “负变正不变”）.
新知探究
例4 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
《8.3完全平方公式与平方差公式》作业设计方案-初中数学沪科版12七年级下册
《完全平方公式与平方差公式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在让学生巩固完全平方公式与平方差公式的概念、特点及应用。
通过完成本节课的作业，学生能够：1. 掌握完全平方公式的构成要素及其应用场景。
2. 熟练运用平方差公式进行相关计算和问题解决。
3. 提升学生逻辑思维能力和计算能力，培养数学学习的信心和兴趣。
二、作业内容作业内容将分为三个部分，以提高学生的理论理解及实际运用能力：1. 基础知识巩固完成教材上的例题，注重对完全平方公式与平方差公式的记忆和解析，特别是公式的适用条件和限制条件。
要求学生熟练掌握公式的表达形式及公式的应用场景。
2. 实践操作练习布置适量的习题，让学生通过实际计算加深对公式的理解。
包括填空题、选择题以及解答题等多种题型，覆盖各种难易程度的问题。
3. 实际问题解决设计一个或几个与日常生活相关的问题，如面积计算、速度与距离的关系等，要求学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决，旨在培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
三、作业要求1. 准时完成：学生需在规定时间内完成作业，不得拖延。
2. 独立自主：鼓励学生独立完成作业，不抄袭他人答案。
3. 细致认真：要求学生在解题过程中，注意细节，避免因粗心导致的错误。
4. 规范书写：答案需书写规范，步骤清晰，便于教师批改和了解学生的解题思路。
5. 反思总结：在完成作业后，学生需对解题过程进行反思总结，找出自己的不足和需要改进的地方。
四、作业评价教师将对每位学生的作业进行批改，评价标准包括：准确性、解题思路、书写规范程度等。
对于表现优秀的学生给予表扬和鼓励，对于存在问题的学生及时指出问题并给予指导。
同时，教师将对全班学生的作业情况进行统计和分析，以便更好地指导后续教学。
五、作业反馈1. 对于共性问题，教师将在课堂上进行集中讲解和纠正。
2. 对于个别学生的问题，教师将通过面谈或辅导的方式给予个别指导和帮助。
3. 将学生的优秀作业展示在教室或通过线上平台供其他学生学习借鉴。
完全平方公式与平方差公式(第2课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_2_8_－__1_． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1．
3.已知a=7202,b=721×719；则（ B ）
A.a=b
B.a>b
C.a<b
D.a≤b
4.97×103=(100－3)×( 100+3)=(1002－32). 5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是__x_=_4__.
6.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=a2－(3b)2 =a2－9b2 ；
用自己的 语言叙述 你的发现.
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1 =(2m)2－12
完全平方公式与平方差公式(第1课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的 符号，避免漏解．
二 完全平方公式的运用
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
完全平方公式：
(a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2
(a－b)2=a2－ 2ab + b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它 们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍.
公式的结构特征：
首平方，尾平方，首尾二倍在中央，符号 看前方.
【例2】用完全平方公式计算：
（1）(5＋3p)2；
（2） (2x－7y)2； （3） (－2a－5)2.
用语言叙述为：两项和的平方,等于这两个项的平 方和加上它们的积的2倍.
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
议一议
【例1】计算：(a－b)2．
解：(a－b)2 ＝ [a+(－b)]2
＝ a 2 + 2 a (－b) + (－b) 2 ＝a2－ 2ab＋ b2.
(a－b)2=a2－2ab＋b2
也称为完全平方公式.
公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
想一想: 你能根据图1和图2中的面积解释完全平方公式吗?ba ab 图1b ab a 图2
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
平方差公式与完全平方公式课件(1)
(a(a+b) (a-b)=a2-b2 你发现了什么? 你发现了什么?
பைடு நூலகம்
a a
a-b a-b
试一试
你能用多项式乘法法则 你能用多项式乘法法则 说明(a+b)(a-b)=a2-b2 说明(a+b)(a(a+b)(a 的正确性吗? 的正确性吗?
b b
解:(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2 =a2-b2 即(a+b)(a-b)=a2-b2 这个公式称为平方差公式 这个公式称为平方差公式 用语言叙述为： 用语言叙述为： 两个数的和与这两个数的差的 积等于这两个数的平方差． 积等于这两个数的平方差．
(−4a−1)(4a−1) 1)(4a (4a (4 =−−(4a+1) a−1) (4a (4a = −[ (4a)2 −1] 16a = 1−16a2。
你提出的“−”号、添括号； 你提出的“ 添括号； 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“ 和符号相反的“ 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式．
学一学 例题解析
例1 利用平方差公式计算： 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n). (5+ )(5− )(x )(−
第一数a 第一数a 第二数b 第二数b 平方 平方
解: (1) (5+6x)(5−6x)= 52 − ( 6x)2 (5+ )(5− 6x 5 5 36x =25 − 36x2 ; (2) (x +2y) (x−2y) 2y (x 2y = x2 − ( 2y )2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n)(−m−n ) )( − n −m n = ( −m )2 − n2 = n2 −n2 .
沪科版数学七年级下册完全平方公式与平方差公式课件(3)
(3)公式中的a和b可以代表数， 也可以是代数式。
平方差公式
计算下列各题:
(1) (x+3)(x−3) ；==xx22−−932; ; (2) (1+2a)(1−2a) ；==112−−(42aa2)2; ; (3) (x+4y)(x−4y) ；==xx22−−(41y6)y22;;
平方差公式
回顾 & 思☞考
多项式乘法 用一个多项式的每一项
法则是:
乘另一个多项式的每一项
再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab
:如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是以前学习的一种特殊多项
式的乘法—— 两个相同字母的
错 (x+y)2 =x2+2xy+y2 错 (x-y)2 =x2-2xy+y2
(3) (x-y)2 =x2+2xy+y2 错 (x-y)2 =x2-2xy+y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy+y2 错 (x+y)2 =x2+2xy+y2
例1 运用完全平方公式计算： (1)(2x+y)2
解 (2x + y)2=(2x)2+2•2x •y + y2 (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 =4x2 + 4xy +y2
(a-b)2 =