概率论与数理统计各章节
第五章 大数定理和中心极限定理
1.[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现在随机的抽取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
解:设第i 只寿命为X i ,(1≤i ≤16),故E (X i )=100,D (X i )=1002
(l=1,2,…,16).依本章定理1知
??????
?
?
?≤-=???????
?
?
?-≤?-=≤∑
∑
∑
===8.0400
1600
1001616001920100161600
)1920(
16
16
16
1
i i i i i i X P X P X P
.7881.0)8.0(=Φ=
从而.2119.07881.01)1920(
1)1920(
16
1
16
1
=-=≤-=>∑∑==i i
i i
X
P X
P
3.[三] 计算机在进行加法时,对每个加数取整(取为最接近它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-,)上服从均匀分布,
(1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 (2)几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于 解:
(1)设取整误差为X i ( ,2,1=i ,1500),它们都在(-, )上服从均匀分布。 于是: 02
5
.05.0)(=+-=
=p X E i 12
1
12)]5.0(5.0[)(2=
--=i X D 18.1112512
1
1500)(,
0)(==?
==i i X nD X nE ?
?
????≤≤--=??????????≤-=???????
???>∑
∑
∑===15151151151500
11500115000i i i i i i X P X P X P ???
????
???????≤≤--=∑=18.111518.1118.111511500
1
i i X P
1802
.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]
34.1()34.1([1=-?=Φ-=-Φ-Φ-=
8.某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为,医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是,问接受这一断言的概率是多少(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是,问接受这一断言的概率是多少
解:设X 为100人中治愈的人数,则X ~B (n, p )其中n=100
(1))75(
1751)75(1)75(npq np npq np npq np X P X P X P -Φ-=??
?
???????-≤--=≤-=> 8944.0)4
5
()45(
1=+Φ=-Φ-= (2)p=由中心极限定理知
)75(
1751)75(1)75(npq np npq np npq np X P X P X P -Φ-=??
?
???????-≤--=≤-=> .1379.08621.01)09.1(1)21
5
(
1=-=Φ-=Φ-= 7.[七] 一复杂的系统,由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。
(2)一个复杂的系统,由n 个互相独立起作用的部件所组成,每个部件的可靠性(即部件工作的概率)为。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作,问n 至少为多少才能使系统的可靠性不低于。
解:(1)设每个部件为X i (i=1,2,……100)
??
?=部件损坏不工作
部件工作0
1
i X
设X 是100个相互独立,服从(0-1)分布的随机变量X i 之和
X=X 1+ X 2+……+ X 100
由题设知 n=100 P {X i =1}=p =, P {X i =0}= E (X i ) =p =
D (X i ) =p (1-p )=×=
n ·E (X i ) =100×=90, n D (X i ) =100×=9
??
?
???????-≥-=??????≥∑
=)()(85)()(851001i i i i i i X nD X nE X nD X nE X P X P
=??
????-≥-=?
?????-≥-3539099085990X P X P
=?
?????-<--35
3901X P
由中心极限定理知
?
-
∞
---
≈3
522
21
1dt e π
t )3
5(1-
Φ-= 查标准正态分布表
=φ
=
解:(2)设每个部件为X i (i=1,2,……n )
??
?=部件损坏不工作
部件工作0
1
i X
P {X i =1}=p =, P {X i =0}=1-p = E (X i ) =p =,
D (X i ) =×=
由问题知
95.0100801=?
?????>∑
=n i i n X P 求n=
而
?
??
???>∑
=n X P n i i 100801
??
???
??
???????
->-=∑
=)(10080)(1
i i n
i i X nD np n X nD np X P
=??
?
??
??
???
????->-∑
=n n n n
n X P n
i i 3.09.010080
3.09.01
=1-???
???????????-≤-∑=n n n n
n X P n i i 3.09.0100803.09.01由中心极限定理知
=95.03.01.03.01.01≥???
?
??Φ=????
??-Φ-n
n n
n 查标准正态分布表得645.13.01.0≥n
n
解得n ≥
取n=25,即n 至少为25才能使系统可靠性为.
[八] 随机地取两组学生,每组80人,分别在两个实验室里测量某种化合物的PH 值,各人测量的结果是随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为5,方差为,以Y X ,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均:
(1)求P {<1.5 3.0805 8080 1 ??-= ∑=i i X U ~N (0,1) 3 .0805 8080 1 ??-= ∑=j j Y V ~N (0,1) (1)?? ? ?? ?? ????? ????-??-< ??-?=<<∑ =3.080580801.53 .0805803.0805 80809.4}1.59.4{80 1 i i X P X P 8968.019484.021)63.1(263.124 58063.180 1 =-?=-Φ=???? ? ???????? ? ????-< -∑ =i i X P (2)由X i , Y j 的相互独立性知 ∑∑==80 1 801 j j i i Y X 与独立。从而U ,V 独立。 于是U -V ~N (0, 2) 而24 80 1 801∑∑==-= -?j j i i Y X V U Z ?? ? ?? ????? ?? ?? ??- < ??-=<-<-∑ ∑ ==3.080801.03 .0803.08080 1.0}1.01.0{80 1 80 1 j j i i Y X P Y X P 1)15.1(2263.1263.1}63.163.1{-Φ=???? ? ?-Φ-???? ??Φ=<<-=Z P =2×-1= [九] 某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知),方差σ2 =400 为了估计μ,随机地取几只这种器件,在时刻t=0投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得 其寿命X 1,…,X n ,以∑ == n i i X n X 11 作为μ的估计,为使,95.0|}{|≥-μX P 问n 至少为多 少 解:由中心极限定理知,当n 很大时 )1,0(~2 2 1 N σ n μn X n σ n μ n X n i i -= -∑= ??? ? ? ? -Φ-???? ??Φ≈??? ???????< -<-=<-2 22 22}1|{|σn n σ n n σn n σn μ n X n σ n n P μX P =95.01202≥-???? ??Φn 所以975.020≥??? ? ??Φn 查标准正态分布表知 64 .153696.120 ≥≥n n 即n 至少取1537。