人教版高中数学必修二《空间几何体的外接球》
空间几何体的外接球问题PPT文档25页
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
空间几何体的外接球问题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
人教版高中数学必修二《简单几何体的外接球》
1 1 2
2 2
2
2R
O P C
A
例 2.已知棱长为
6 的正四面体（四个面都是正三角形的
9 三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，求此球的体积. 2
C
正方体边长 a 3
体对角线长度 2R 3a 3
A
B
D
1. 三 棱 锥 S-ABC 中 ， SA 平 面 ABC ， AB BC ， SA=1,AB=2,BC=3，求三棱锥 S-ABC 外接球的半径.
长方体的长宽高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，求球O
的半径.
2R 3 2 1
2 2
2
14 R 2
例 1. 已 知 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA,PB,PC 两 两 互 相 垂 直 ， 且
PA=PB=1，PC=2，求三棱锥P-ABC外接球的面积. 6
B
求长方体体对角线的长度
O'' S
O
C
O' A B
方法二 解题情景 解题步骤
几Байду номын сангаас法（直三棱柱） 侧棱垂直于底面 解 OO' 、 球的半径 OA 、 截面圆的半径 O' A 确定的
Rt OO' A ,
本节配套试卷
S
14 2
B A C
2.三棱锥 S-ABC 中， SB AC 5 , SC AB 13 , SA BC 10 ,求三棱锥 S-ABC 外接球的半径. 14
2
S
A
c B a b C
B
C
S
A
O P C
B A C
B D
A
方法一 解题情 景 解题步 骤
人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》
r1 R R r2
d1
R
O O2 d2
O2 O d2
R R r2
M P1
R O d r O1
R
底面多边形有外接圆的直棱柱 底面多边形有外接圆时， 棱台存在外接球 存在外接球
底面多边形有外接圆时， 棱锥存在外接球
r1=r2=r h h1=h2= 2 h 2 2 2 R =r +( ) 2
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
侧棱相等的三棱锥存在 外接球，球心在高 O1O2上
C A
O'
B
d2=h-R R2=r22+(h-R)2
直三棱柱都有外接球 斜三棱柱无外接球
设底面正方形的中心为 解： P ABCD为正四棱锥 PO' 面ABCD且球心O在线段PO' 上 r BD 2 d OO' 4 R R2 d 2 r 2 R 2 16 8R R 2 2 R 9 4
A D O' B A C D d O' P P
2
空间简单几何体的 外接球问题
空间简单几何体的外接球问题
两条主线：
空间简单几何体的 外接球 柱体的外接球
锥体的外接球 台体的外接球
旋转 体 圆柱
圆锥 圆台
新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计
简单空间几何体的外接球问题教学设计一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。
本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。
二、教学目标设置知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。
情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。
三、学生学情分析多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。
球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。
四、教学过程设计（一）、新课引入1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.2、学生活动：展示长方形外接圆的求法学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为60。
，则四面体ABCD的外接球的半径为( ).【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。
（根据球的定义确定球心）【注】：小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心设计意图：通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义，通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。
空间几何体的外接球
R
A
2
O
B1
O2
C1
A1
小结
直棱柱外接球球心在上下底面外心连线的 中点上，找到底面外接圆圆心，求出底面 外接圆半径，再利用勾股定理求外接球半 径.
R2 r2 (h)2 2
O1
O
R
h
2
r O2
棱锥外接球
棱锥外接球
例1
四棱锥P - ABCD的顶点都在球O 的球面上, 四边形ABCD是矩形, PA 平面ABCD, PA 8, AB 3, AD 3 3, 求球O的表面积.
课前导练
4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其
所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球表
面积为多少？
解 : AB a AO1
3 3
a, OO1
a 2
故AO2
R2
AO12
OO12
7 12
a2
S球
4 R2
7 a2
3
C A
O1 D B
R O
A1 a
C1 O2
若一个多面体的各顶点都在一个球的 球面上，则称这个多面体是这个球的 内接多面体，这个球是这个多面体的 外接球。
课前导练
圆柱的 外接球
正方体 外接球
O2
O a
R O1 a
2
R 5a 2
D1
C1
A1
R B1
O a
D
C
A
B
R 3a 2
长方体 外接球
C1
A1
D1 B1
5 O
C D B3 A4
R5 2 2
人教版高中数学必修二《简单多面体的外接球问题》
【练习案】高考链接 1、(课标全国Ⅰ，理 6) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当 球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
500 A、 cm 3 3
866 B、 cm 3 3
1372 C、 cm 3 3
M
A1
2 ,则此球的表 3
A
C
例 2、已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为 4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上。 若这两个正四棱锥的体积之比为 1 : 2 ，则该球的表面积为_____________。
D A B C
N
例 3、如图所示，平面四边形 ABCD 中， AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成 四 面 体 ABCD , 使 平 面 ABD 平 面 BCD , 若 四 面 体 ABCD 的 顶 点 在 同 一 球 面 上 ， 则 该 球 的 体 积 为 ________。
0
3 ，且圆 O 与圆 K 所在的平面 2
4、(课标卷，理 11) 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径， 且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（ ）
2 A、 6
3 B、 6
2 C、 3
2 D、 2
5、 （辽宁卷，理 16） 已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到 截面 ABC 的距离为____________。
4 3 R 3
② S球 4R 2
③若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的 外接球。 ④若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
《空间几何体的外接球》(获奖教案)
《空间几何体的外接球》教学设计一、课标要求三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的。
基本要求：1、认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征；2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.二、教学分析：纵观近几年高考题，几何体的外接球问题在高考中既是考查的热点又是考查的难点。
与球有关的几何体问题能很好地考查学生的空间想象能力以及化归转化能力.本节课我们将着重研究三、教学目标1、掌握确定球心、求解半径的方法。
2、通过同类问题的变式探究，培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力，深刻体会化归的数学思想；通过对问题难度的升级及总结，锻炼学生的几何直观和空间想象能力，培养学生的数学直观想象素养.四、教学重难点教学重点：会求正棱柱、正棱锥及一般三棱锥的外接球半径；教学难点：确定多面体外接球的球心并求出半径.五、教法分析本节课针对高三年级学生的认知特点，在遵循启发式教学原则的基础上，借助多媒体用讲授法、讨论法、练习法等教学方法，引导学生探索以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点，由浅入深的研究三棱锥与球相联系的桥梁。
本节课坚持以学生为主体，教学中让学生自主地“做数学”，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学。
从而，使传授知识与培养能力融为一体，在转变学习方式的同时学会数学地思考。
五、教学过程教学环节教学内容与问题设置设计意图复习回顾引入新课回顾下列知识：1.球的表面积公式：_________2.球的体积公式:______________3.长方体体对角线的求法:______________4.利用正弦定理求三角形外接圆的半径:____________5. 球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是________；用一个平面去截球面，截线是_____。
大圆截面过________，半径等于_________；小圆截面不过______性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于________．性质3: 球心到截面的距离 d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:____________知识准备。
空间几何体的外接球与内切球解题方法
空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。
2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
二'外接球的有关知识与方法1.性质:性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.2.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
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2）在长方体中画出与长方体共顶点的四面体： 四个面都是直角三角形的四面体
3）在长方体中画出与长方体共顶点的四面体： 对棱相等： 其中一条棱与一个面垂直的四面体
【例题】：在四面体中 ABCD ,共顶点的三条棱两两垂直， 其长度分别为 1， 6 , 3 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上， 求这个球的表面积。
练习：
例题：已知四面体 A1ABC的四个顶点都在球 O的表面上， A1A 平面ABC，ABC是边长为3的等边三角形，若 A1A 2，则球O的表面积为多少？
例题：正四面体的各个棱长为a， 求其外接球半径。
【举一反三】 若正四面体的中D-ABC中，二面角A-BC-D的 大小变为90度，求变化之后的四面体D-ABC 的外接球半径。
一、球心投影面是普通三角形
O
一、【知识复习】常见多面体的外接球
长方体 直棱柱 正棱锥
图
（在图中 画出外接 球心位置 ，并画出 相应需要 的辅助线 ） 外接球球 心位置 球半径 如果长方体的长宽高a,b,c， 外接球半径是多少？外接球 半径是多少？ 如果底面外接圆半径为r， 棱柱高为h，外接球半径 R。它们三个之间有什么 样的等量关系? 如果底面外接圆半径为r， 高为h，外接球半径R。 它们三个之间有什么样的 等量关系?
柱体外接球球心
例题：已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的6个顶点都在球 O的球面上，若 AB 3， AC 4，AB AC，侧棱AA1 12，则球O的表面积为多少？
二、补形法
(1)在长方体中画出与长方体共顶点的四面体： 从一个顶点出发的三条侧棱两两互相垂直 的四面体
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂 直，则可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是 长方体的体对角线的长即为外接球的直径