北京东城区中考数学二模试题及答案

北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（二）

数 学 试 卷

学校 姓名 考号

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1. 2

1

-

的绝对值是 A. 21 B. 2

1

- C. 2 D. -2

2. 下列运算中，正确的是

A ．2

3

5

a a a += B ．3

4

12

a a a ?= C ．2

36a a a =÷ D ．43a a a -= 3．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率是

A ．

18 B ． 13 C ． 38 D ． 35

4．下列图形中，既是．．轴对称图形又是．．

5． 若一个正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

6. 则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是

A ．30，35

B ．50，35

C ．50，50

D ．15，50 7．已知反比例函数2k y x -=

的图象如图所示，22

0根的情况是

A ．没有实根

B ． 有两个不等实根

C ．有两个相等实根

D ．无法确定

D C

B A

8.用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数}1,1m in{2

2x x y -+=，则y 的图象为

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 反比例函数k

y x

=

的图象经过点（－2，1），则k 的值为_______． 10. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 . 主视图

俯视图11. 如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处．使斜边

CD ∥AB ，则∠a 的余弦值为__________． 12. 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=o

，30CAB ∠=o

，2BC =，

O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋

转120o

到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过 部分的面积（即阴影部分面积）为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13. 先化简，再求值：2

(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中33

x =

． 14. 解分式方程：

1132

2x x x

-+

=--．

15．如图，点A 、B 、C 的坐标分别为（3，3）、（2，1）、（5，1），将△ABC 先向下平移4

个单位，得△A 1B 1C 1；再将△A 1B 1C 1沿y 轴翻折，得△A 2B 2C 2. （1）画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2； （2）求线段B 2C 长.

A

H B

O

C 1O

1H

1A

1C

y O A B C

x

y

A 1-1-1-1-1

111

1

111

x

y

0B

x

y

C x

y

D

16. 如图，点D 在AB 上，DF 交AC 于点E ，CF AB ∥，AE EC =． 求证：AD CF =．

17. 列方程或方程组解应用题

为了配合学校开展的“爱护地球母亲”主题活动，初三(1)班提出“我骑车我快乐”的

口号. “五一”之后小明不用父母开车送，坚持自己骑车上学. 五月底他对自己家的用车情况进行了统计，5月份所走的总路程比4月份的

5

4

还少100千米，且这两个月共消耗93号汽油260升. 若小明家的汽车平均油耗为0.1升/千米，求他家4、5两月各行驶了多少千米.

18．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，点Q 的坐标为(0，2)． （1）求直线QC 的解析式；

（2）点P (a ，0)在边AB 上运动，若过点P 、Q 的直

线将矩形ABCD 的周长分成3∶1两部分，求出此时a 的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 是∠ABC 的平分线. （1）求证：AB =AD ；

（2）若∠ABC ＝60°，BC =3AB ，求∠C 的度数 .

20. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的 ⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED =45?．

(1) 试判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O 的半径为3，sin ∠ADE =6

5

，求AE 的值．

21．某商店在四个月的试销期内，只销售A ，B 两个品牌的电视机，共售出400台．试销结

束后，将决定经销其中的一个品牌．为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图l 和图2．

(1)第四个月销量占总销量的百分比是_______；

A B C

D

E F

A

B

C

D

(2)在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线图；

(3)经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，

判断该商店应经销哪个品牌的电视机．

图1 图2

22. 如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现

将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究.

（1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；

（2）请在图2中，计算裁剪的角度（即∠ABM的度数）.

C

N

D

B

图2

图1

图4

F E D C B

A

图1

O

E

D

C B

A

R Q

P

图2

O

E

D

C B

A

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程2

2

20x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若a ∶b =231222x x -=，求a ，b 的值；

（3）在（2）的条件下，二次函数22

2y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A

在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.

24. 如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC =6. △ECD 是△ABC 沿CB 方向平移得到的，连

结AE ，AC 和BE 相交于点O .

（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，并证明你的结论； （2）如图2，P 是线段BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接PO 并延长交线段AE

于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为点R .

①四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积；

②当线段BP 的长为何值时，以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与△BOC 相似？

25. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC

在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形

BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．

北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（二）

数学试卷参考答案

三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）

解: 原式2

2

2

441444x x x x x =+++--- ………………3分

23x =- . ………………4分

当2

x =

，

原式2

2715

33244??=-=-= ? ???

. ………………5分 14．（本小题满分5分） 解：

32

1

21=-+--x x x ………………1分 去分母得 x-1+1=3（x-2）

解得 x=3. ………………4分 经检验：x=3是原方程的根.

所以原方程的根为x=3. ………………5分

15．（本小题满分5分） 解：（1）A 1 点的坐标为（3，－1），B 1点的坐标为（2，－3），C 1点的坐标为（5，－3）；

A 2 点的坐标为（－3，－1），

B 2点的坐标为（－2，－3），

C 2点的坐标为（－5，－3）.

图略，每正确画出一个三角形给2分.

（2）利用勾股定理可求B 2C

………………5分

16．（本小题满分5分） 证明：∵ CF AB ∥，

∴ ∠A =∠ACF , ∠ADE =∠CFE . -------2分

在△ADE 和△CFE 中， ∠A =∠ACF ， ∠ADE =∠CFE ，

AE EC =，

∴ △ADE ≌△CFE . --------4分 ∴ AD CF =. ------5分

17．（本小题满分5分）

解：设小刚家4、5两月各行驶了x 、y 千米. --------------------------1分

依题意，得 ?????

=+-=.

2601.01.0,

1005

4y x x y ----------------------------3分 解得 ??

?==.

1100,

1500y x -------------------------------4分

A

B

C

D E

答：小刚家4月份行驶1500千米，5月份行驶了1100千米. -----------5分

18．（本小题满分5分）

解：（1）由题意可知 点C 的坐标为（1，1）．

…………………………………1分

设直线QC 的解析式为y kx b =+． ∵ 点Q 的坐标为(0，2)，

∴ 可求直线QC 的解析式为2y x =-+．…………………………………2分 （2）如图，当点P 在OB 上时，设PQ 交CD 于点E ，可求点E 的坐标为（

2

a

，1）． 则522AP AD DE a ++=+

，3

32

CE BC BP a ++=-． 由题意可得 53

23(3)22

a a +=-．

∴ 1a =． …………………………………4分 由对称性可求当点P 在OA 上时，1a =-

∴ 满足题意的a 的值为1或－1． …………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）

解：（1）证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，

∴ ∠1=∠2.

∵ AD //BC ，∴∠2=∠3. ∴ ∠1=∠3.

∴AB=AD . ---------------------2分

（2）作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F .

∴ EF=AD=AB .

∵ ∠ABC ＝60°，BC =3AB ， ∴ ∠BAE =30°.

∴ BE =21

AB . ∴ BF =23AB=2

1

BC .

∴ BD=DC . ∴ ∠C =∠2.

A

B

C

D

1

2

3

E F

F E D B

A

∵ BD 是∠ABD 的平分线， ∴ ∠1=∠2=30°.

∴ ∠C =30°. -------------------------5分

20.（本小题满分5分）

解：（1）CD 与圆O 相切． …………………1分 证明：连接OD ，则∠AOD =2∠AED =2?45?=90?． …………………2分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB //DC ．

∴∠CDO =∠AOD =90?．

∴OD ⊥CD ． …………………3分 ∴CD 与圆O 相切．

（2）连接BE ，则∠ADE =∠ABE ．

∴sin ∠ADE =sin ∠ABE =

6

5

． …………………4分 ∵AB 是圆O 的直径，

∴∠AEB =90?，AB =2?3=6． 在Rt △ABE 中，sin ∠ABE =AB AE =6

5

． ∴AE =5 ．

21．（本小题满分5分）

解：(1)30％； ……………………2分 (2)如图所示. ……………………4分

(3)由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A 品牌的月销量呈下降趋势，而B 品牌

的月销量呈上升趋势．所以该商店应经销B 品牌电视机． …………………5分 22．（本小题满分5分）

解：（1）将图4中的△ABE 向左平移30cm ，△CDF 向右平移30cm ，拼成如图下中

的平行四边形，此平行四边形即为图2中的□ABCD ．…………………2分

A B D E

O

（2）由图2的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB =30．

∵ 纸带宽为15，

∴ sin ∠ABM =

151302

AM AB

==．

∴∠AMB =30°． …………………5分

五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．（本小题满分7分） 解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程22

20x ax b ++=有实数根,

∴ Δ=,04)2(2

2

≥-b a 有a 2-b 2≥0,（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,

∴ a+b ＞0,a-b ≥0.

∴ b a ≥. …………………………2分

（2） ∵ a ∶b =2

∴ 设2,a k b ==

.

解关于x 的一元二次方程2

2

430x kx k ++=，

得 -3x k k =-或.

当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =. 当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得2

5

k =-（不合题意，舍去）.

∴ 4,a b ==. …………………………5分

（3） 当4,a b ==时，二次函数2

812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐

标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.

设z ＝3x －y ，则3y x z =-.

画出函数2

812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分

24. （本小题满分7分）

解：（1）四边形ABCE 是菱形.

3

2

1

G

R

Q

P

O

E

D

C B

A

证明：∵ △ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，

∴ EC ∥AB ，EC ＝AB . ∴ 四边形ABCE 是平行四边形. 又∵ AB ＝BC ，

∴四边形ABCE 是菱形. ……………2分 （2）①四边形PQED 的面积不发生变化，理由如下： 由菱形的对称性知，△PBO ≌△QEO ， ∴ S △PBO ＝ S △QEO

∵ △ECD 是由△ABC 平移得到的， ∴ ED ∥AC ，ED ＝AC ＝6. 又∵ BE ⊥AC ， ∴BE ⊥ED

∴S 四边形PQED ＝S △QEO ＋S 四边形POED ＝S △PBO ＋S 四边形POED ＝S △BED

＝12×BE ×ED ＝12×8×6＝24. ……………4分

②如图，当点P 在BC 上运动，使以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与△COB 相似. ∵∠2是△OBP 的外角， ∴∠2＞∠3. ∴∠2不与∠3对应 . ∴∠2与∠1对应 .

即∠2＝∠1，∴OP =OC =3 .

过O 作OG ⊥BC 于G ，则G 为PC 的中点 . 可证 △OGC ∽△BOC . ∴ CG :CO ＝CO :BC . 即 CG :3＝3:5 .

∴ CG =9

5

.

∴ PB ＝BC －PC ＝BC －2CG ＝5－2×95＝7

5

.

B

C A x

y F O D E H

M

G ∴ BD ＝PB ＋PR ＋RF ＋DF ＝x ＋185＋x ＋18

5＝10.

∴ x ＝7

5

∴ BP ＝7

5

. ……………7分

25．（本小题满分8分） 解：（1）由题意得A （0，2）、B （2，2）、C （3，0）.

设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx +2.

则??

?=++=++0

2390

224b a b a

解得 ???

????=-=3432b a

H

∴ 224

233y x x =-

++．……………2分 （2）由224233y x x =-++＝228

(1)33

x --+．

∴ 顶点坐标为G （1，8

3

）．

过G 作GH ⊥AB ，垂足为H ．

则AH ＝BH ＝1，GH ＝83－2＝2

3

．

∵ EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，

∴ EA ∥GH ．

∴GH 是△BEA 的中位线 ． ∴EA ＝3GH ＝

43

． 过B 作BM ⊥OC ，垂足为M ． 则MB ＝OA ＝AB ．

∵ ∠EBF ＝∠ABM ＝90°， ∴ ∠EBA ＝∠FBM ＝90°－∠ABF ． ∴ R t △EBA ≌R t △FBM ． ∴ FM ＝EA ＝

43

． ∵ CM ＝OC －OM ＝3－2＝1， ∴ CF ＝FM ＋CM ＝

7

3

．……………5分 （3）要使四边形BCGH 的周长最小，可将点C 向上 平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C 1，

得点C1的坐标为（－1，1）．

可求出直线BC1的解析式为

14

33

y x

=+．

直线

14

33

y x

=+与对称轴x＝1的交点即为点H，坐标为（1，

5

3

）．

点G的坐标为（1，2

3

）．……………8分