专题训练(六) 与三角形有关的角度计算
八年级数学三角形求度数解答题15道题专题难点训练
八年级数学三角形求度数解答题15道题专题难点训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，在ABC ∆中，70,30,CD A ACD ∠=︒∠=︒平分ACB ∠．求（1）BDC ∠的度数．（2）B 的度数．2．如图，,AB CD CB ∥平分,40ABD C ∠∠=︒．求：（1）CBD ∠的度数；（2）D ∠的度数．3．如图，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B ＝30°，∠C ＝70°，分别求：（1）∠BAC 的度数；（2）∠AED 的度数；（3）∠EAD 的度数．4．已知，在△ABC ,三个内角的度数满足::5:6:7ABC C A ∠∠∠=,BD 是△ABC 的角平分线，DE 是△DBC 的高,D 是垂足点.⑴.求△ABC 各内角的度数;⑵.求图中1∠的度数.5．如图，在ABC ，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠．（1）若70C ∠=︒，40B ∠=︒，求DAE ∠的度数；（2）若20C B ∠-∠=︒，求DAE ∠的度数．6．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，72B ︒∠=，30C ︒∠=.（1）求BAE ∠的度数；（2）求DAE ∠的度数。
7．如图，已知CD 是ACB ∠的平分线，48,82,//ACB BDC DE BC ∠=∠=．（1）求EDC ∠的度数；（2）求B 的度数.8．如图，//CD EF ，AE 是CAB ∠的平分线，α∠和β∠的度数满足方程组2250(1)3100(2)αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，（1）求α∠和β∠的度数；（2）求证：//AB CD .（3）求C ∠的度数.9．如图，ABC ∆中，BE ，CD 为角平分线且交点为点O .(1)若60ABC ∠=，80ACB ∠=，求BOC ∠的度数；(2)若120BOC ∠=，求A ∠的度数；(3)若A α∠=时，求BOC ∠的度数.10．已知ABC ∆中，BE 平分ABC ∠，点P 在射线BE 上.（1）如图1，若40ABC ︒∠=，//CP AB ，求BPC ∠的度数；（2）如图2，若100BAC ︒∠=，PBC PCA ∠=∠，求BPC ∠的度数；（3）若40ABC ︒∠=，30ACB ︒∠=，直线CP 与ABC ∆的一条边垂直，求BPC ∠的度数.11．如图，点A ，O ，E 在同一直线上，42AOB ︒∠=，29COD ︒∠=，OD 平分COE ∠．（1）求AOD ∠的度数；（2）求COB ∠的度数.12．已知ABC ∆中，B C ∠=∠，D 为边BC 上一点（不与,B C 重合），点E 为边AC 上一点，ADE AED ∠=∠，44BAC ∠=︒．（1）求C ∠的度数；（2）若75ADE ∠=︒，求CDE ∠的度数．13．已知如图，∠BCD ＝92°；∠A ＝27°，∠BED ＝44°．求：(1)∠B 的度数．(2)∠BFD 的度数．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，（1）求∠A 的度数 （2）求∠DBC 的度数．15．在△ABC 中，如果∠A 、∠B 、∠C 的外角的度数之比是4：3：2，求∠A 的度数．参考答案1．（1）100°；（2）50°【解析】【分析】（1）根据外角的性质可得∠BDC=∠A+∠ACD ；（2）根据CD 平分∠ACB ，可以得到∠ACB ，根据三角形内角和定理就可以求出∠B ．【详解】解：（1）∵∠A=70°，∠ACD=30°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=70°+30°=100°；（2）∵CD 平分∠ACB ，∠ACD=30°，∴∠ACB=2∠ACD=60°，∴∠B=180°-∠A-∠ACB =180°-70°-60°=50°．【点睛】本题考查了外角的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是熟记三角形内角和定理.2．（1）40°；（2）100°．【解析】【分析】（1）根据平行的性质先求出∠ABC ，再根据角平分线的性质求出答案即可；（2）由三角形的内角和可直接求出答案．【详解】解：（1）∵,40AB CD C ∠=︒∥，∴40ABC C ∠=∠=︒．∵CB 平分ABD ∠，∴40CBD ABC ∠=∠=︒．（2）在BCD 中，180∠+∠+∠=︒CBD BCD D ，∴1804040100∠=︒-︒-︒=︒D ，故∠D=100°．【点睛】本题考查的主要是角平分线、平行、三角形的内角和，掌握几何部分的基础知识是解题的关键．3．（1）80°；（2）70°；（3）20°． 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论；（3）根据极品飞车的定义和三角形的内角和即可得到结论．【详解】（1）∵∠B ＝30°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°， （2）∵AD 为高，∴∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＝90°﹣∠C ＝90°﹣70°＝20°， 而AE 为角平分线，∴∠CAE ＝12∠BAC ＝40°， ∴∠AED ＝90°﹣（∠CAE ﹣∠CAD ）＝90°﹣（40°﹣20°）＝70°； （3）∵AE 是△ABC 的角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝40°， 又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝90°﹣∠B ＝60°， ∴∠EAD ＝∠BAD ﹣∠BAE ＝60°﹣40°＝20°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．关键是利用内角和定理求∠BAC ，根据角平分线的定义求∠BAE ，利用高得出互余关系求∠BAD ，利用角的和差关系求解． 4．⑴.50,60,70ABC C A ∠=∠=∠= ⑵.165∠=.【解析】【分析】第一问根据三角形内角和等于180度设未知数解方程，再求出△ABC 各内角的度数；第二问先根据题干中角平分线的条件求出∠DBE ，再求出其余角1∠.【详解】⑴设∠ABC=5x ，∠C=6x ，∠A=7x ，则有5x+6x+7x=180︒∴x=10︒，∴∠ABC=50︒,∠C=60︒,∠A=70︒.⑵∵BD 平分AC ，∴∠DBE=12∠ABC=25︒， ∵DE 是△DBC 的高,D 是垂足点∴∠DEB=90︒，∴1∠=9025︒-︒=65︒.【点睛】熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键.5．（1）15︒；（2）10︒【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE 的度数等于∠B 与∠C 差的一半解答即可．【详解】解：（1）70C ∠=︒，40B ∠=︒，180407070BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒，AE ∵平分BAC ∠，35EAC ∴∠=︒．AD BC ⊥，90ADC ∴∠=︒，907020CAD ∴∠=︒-︒=︒，352015DAE EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒;（2）∵∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°，∴∠BAC ＝180°−∠B−∠C ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12（180°−∠B−∠C ）＝90°−12（∠B ＋∠C ）， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADE ＝90°，而∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ，∴∠BAD ＝90°−∠B ，∴∠DAE ＝∠BAD−∠BAE ＝90°−∠B ）−[90°−12（∠B ＋∠C ）]＝12（∠C−∠B ）， ∵∠C−∠B ＝20°，∴∠DAE ＝12×20°＝10°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答． 6．（1）39BAE ︒∠=；（2）21DAE ︒∠=.【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78°，然后根据角平分线定义得到∠BAE=12∠BAC=39°；（2）根据垂直定义得到∠ADB=90°，则利用互余可计算出∠BAD=90°-∠B=18°，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD 进行计算即可；【详解】解：（1）180B C BAC ︒∠+∠+∠=，78BAC ︒∴∠=，AE ∵平分BAC ∠，1392BAE BAC ︒∴∠=∠=； （2）AD BC ⊥，90ADB ︒∴∠=，9018BAD B ︒∴∠=-∠=，21DAE BAE BAD ︒∴∠=∠-∠=.【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于掌握三角形内角和是180°．掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．7．（1）24EDC ︒∠=；（2）74B ︒∠=【解析】分析：（1）由CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB =48°，根据角平分线的性质，即可求得∠DCB 的度数，又由DE ∥BC ，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠EDC 的度数；（2）根据三角形的内角和定理即可求得∠B 的度数．详解：（1）∵CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB =48°，∴∠BCD =12∠ACB =24°． ∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠DCB =24°．（2）∵∠BDC =82°，∠EDC =24°，∴∠B =180°﹣∠EDC ﹣∠BDC =180°﹣24°﹣82°=74°．点睛：本题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解答此题的关键是掌握两直线平行，内错角相等与三角形内角和定理的应用．8．（1）α∠和β∠的度数分别为70︒和110︒；（2）见解析；（3）40C ∠=︒【解析】【分析】 根据2250(1)3100(2)αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，解二元一次方程组，求出α∠和β∠的度数；根据平行线判定定理，判定//AB CD ；由“AE 是CAB ∠的平分线”：2CAB α∴∠=∠，再根据平行线判定定理，求出C ∠的度数.【详解】解：（1）①+②，得5350α∠=︒，70α∴∠=︒，代入①得110β∠=︒α∴∠和β∠的度数分别为70︒和110︒.（2）180αβ∠+∠=︒//AB EF ∴//CD EF ，//AB CD ∴（3）AE ∵是CAB ∠的平分线2140CAB α∴∠=∠=︒//AB CD ，180C CAB ∴∠+∠=︒40C ∴∠=︒【点睛】本题运用二元一次方程组给出已知条件，熟练掌握二元一次方程组的解法以及平行线相关定理是解题的关键.9．(1)110°;(2)60°;(3)90°+12α .【解析】【分析】（1）在△ABC 中利用三角形内角和定理和角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC 中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；（2）方法同（1）；（3）方法同（1）．【详解】解：(1)∵BE，CD 为角平分线， ∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴12∠ABC+12∠ACB=12（180°-∠A）=90°-12∠A， ∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A， 又∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A，∵60ABC ∠=，80ACB ∠=,∴∠A=180°-60°-80°=40°,∴∠BOC=90°+20°=110°.（2）当∠BOC=120°时，∠A=2∠BOC -90°×2=60°；°（3）当∠A=α°时，∠BOC=90°+12α°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的定义，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 10．（1）20°；（2）100°；（3）BPC ∠的度数为70︒或40︒或110︒．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）根据三角形的外角性质得：∠PCD=∠PBC+∠BPC=100+x ，可得结论；（3）直线CP 与△ABC 的一条边垂直，分三种情况：分别和三边垂直，根据三角内角和列式可得结论．【详解】（1）∵BE 平分ABC ∠，40ABC ︒∠=， ∴11402022ABP ABC ︒︒∠=∠=⨯=， ∵CP AB ，∴20BPC ABP ︒∠=∠=；（2）设ABP x ∠=，则PBC ACP x ∠=∠=，ABC ∆中，ACD A ABC ∠=∠+∠，1002x PCD x ︒+∠=+，∴100PCD x ∠=+，BCP ∆中，PCD PBC BPC ∠=∠+∠，∴100x x BPC +=+∠，∴100BPC ︒∠=；（3）①当CP BC ⊥时，如图3，则90BCP ︒∠=，∵20PBC ︒∠=，∴70BPC ︒∠=；②当CP AC ⊥时，如图4，则90ACP ︒∠=，BCP ∆中，180********BPC ︒︒︒︒︒∠=---=；③当CP AB ⊥时，延长CP 交直线AB 于G ，如图5，则90BGC ︒∠=，∵40ABC ︒∠=，∴50BCG ︒∠=BPC ∆中，1805020110BPC ︒︒︒︒∠=--=；综上，BPC ∠的度数为70︒或40︒或110︒．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是关键，是一道综合运用三角形内角和与外角性质的好题．11．（1）151°；（2）80°.【解析】【分析】（1）先根据OD 平分∠COE 得出∠DOE=∠COD ，再根据∠AOD=180°-∠DOE 即可得出答案．（2）先根据OD 平分∠COE 得出∠DOE=∠COD ，再根据平角的性质即可得出∠COB 的度数；【详解】解：（1）∵OD 平分∠COE ，∴∠DOE=∠COD ，∵∠COD=29°，∴∠DOE=29°，∠AOD=180°-∠DOE ， =180°-29°，=151°；（2）由（1）可得∠DOE=∠COD=29°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE=180°，∴∠BOC=180°-（∠AOB+∠COD+∠DOE ），=180°-（42°+29°+29°），=80°.【点睛】本题考查的是角平分线的定义及补角的性质，解答此题的关键是熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．12．（1）68C ∠=︒；（2）7CDE ∠=︒．【解析】【分析】（1）根据已知及三角形的内角和定理进行计算即可得解；（2）根据三角形的内角和定理进行角度的计算即可得解.【详解】（1）∵44BAC ∠=︒，180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴18044136B C ∠+∠=︒-︒=︒，∵B C ∠=∠，∴2136C ∠=︒，∴68C ∠=︒；（2）∵ADE AED ∠=∠，75ADE ∠=︒，∴75AED ∠=︒，∵180AED CED ∠+∠=︒，∴18075105CED ∠=︒-︒=︒，∵180CDE CED C ∠+∠+∠=︒，∴180105687CDE ∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握角度的和差计算是解决本题的关键. 13．(1)∠B ＝65°；(2)∠BFD ＝109°．【解析】【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠BCD ＝∠A +∠B ，即可得出∠B 的度数．（2）依据三角形外角性质，即可得到∠BFD ＝∠B +∠BED ，即可得出∠BFD 的度数．【详解】(1)在△ABC 中，∵∠BCD ＝∠A +∠B ，∠BCD ＝92°，∠A ＝27°，∴∠B ＝∠BCD ﹣∠A ＝92°﹣27°＝65°．(2)在△BEF 中，∵∠BFD ＝∠B +∠BED ，∠BED ＝44°，∠B ＝65°，∴∠BFD ＝44°+65°＝109°．【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．(1)∠A=36°；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据∠ACB＝∠ABC=2∠A，∠ACB+∠ABC+∠A=180°求出∠A的度数即可.（2）根据∠A的度数求出∠ACB的度数，由BD是AC边上的高，可知△BDC是直角三角形，根据三角形内角和求出∠DBC的度数即可.【详解】在△ABC中得：∠ACB+∠ABC+∠A=180°∵∠ACB＝∠ABC=2∠A∴2∠A+2∠A+∠A=180°解得：∠A=36°∠ACB＝36° 2=72°∵BD是AC边上的高∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°-∠BDC-∠ACB=180°-90°-72°=18°【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形三个内角的和是180°，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键.15．∠A=20°．【解析】试题分析：三角形的外角和为360°，可先求出与∠A，∠B，∠C相邻的三个外角的度数，则可求出∠A的度数．试题解析：设∠A、∠B、∠C的外角分别为∠1=4x°、∠2=3x°、∠3=2x°∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，∴4x+3x+2x=360，解得x=40，∴∠1=160°、∠2=120°、∠3=80°，∵∠A+∠1=180°，∴∠A=20°．考点：多边形内角与外角．。
专题训练：直角三角形
课题：直角三角形1．了解直角三角形两个锐角的关系．2．掌握直角三角形的判定．重点：直角三角形两个锐角的关系及直角三角形的判定．一、情景导入，感受新知内角三兄弟之争在一个直角三角形里往着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．同学们，你们知道其中的道理吗？二、自学互研，生成新知【自主探究】(一)阅读教材P13，完成下面的内容：1．直角三角形的两个锐角有什么关系？2．直角三角形如何表示？如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.(二)阅读教材P14，完成下面的内容：1．在一个三角形中，若有两个角互余，则这两个角之和为90°，由三角形内角和定理，第三个角的度数为：180°－90°＝90°，所以该三角形为直角三角形．2．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？解：△ADE是直角三角形．证明：略．师生活动①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑．②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨．③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑．三、典例剖析，运用新知 【合作探究】例1：如图，将两个完全相同的直角三角形叠放，使一个三角形的锐角顶点与另一个三角形的直角顶点重合，另外B ，C ，D 三点在一条直线上．请问：重叠部分的三角形是直角三角形吗？为什么？解：是直角三角形． 理由如下：根据题意可知，∠A ＝∠EBD ，∠A ＋∠ACB ＝90°， ∴∠EBD ＋∠ACB ＝90°. ∴∠BFC ＝90°. ∴△BFC 是直角三角形．例2：根据下列条件，判断△ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？ (1)∠A ＝∠B ，∠C ＝40°； (2)∠B ＝∠C ＝30°； (3)∠A ＝75°，∠B ＝15°.解：(1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∠C ＝40°，∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠B ＝180°－∠C2＝180°－40°2＝70°，∴△ABC 中的最大角为70°.∴△ABC 是锐角三角形． (2)在△ABC 中，∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－30°－30°＝120°，∴△ABC 中最大角是120°，∴△ABC 是钝角三角形．(3)在△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－75°－15°＝90°，∴△ABC 中最大角为90°.∴△ABC 是直角三角形．师生活动①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑． ②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨． ③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑． 四、课堂小结，回顾新知1．直角三角形两锐角的关系：__互余__．2．直角三角形的判定方法：__证明有一个内角为90°__． 五、检测反馈，落实新知1．如图，直线a ⊥直线c ，若∠1＝70°，则∠2＝( C ) A ．70° B ．110° C ．20° D ．30°第1题图第2题图2．如图，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1＝40°，则∠2的度数是( B ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．140°3．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠C ＝30°. (1)求∠BAE 和∠DAE 的度数．(2)若∠C －∠B ＝α(∠C ＞∠B)，求∠DAE 的度数．(用含α的代数式表示)解：(1)如图，∵在△ABC 中，∠B ＝70°，∠C ＝30°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－70°－30°＝80°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°；∵AD ⊥BC ，∠B ＝70°，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°，∵∠BAE ＝40°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°.(2)∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12(180°－∠B －∠C)，∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝90°－∠B ，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝(90°－∠B)－12(180°－∠B －∠C)＝12(∠C －∠B)＝12α.六、课后作业：巩固新知 (见学生用书)。
经典初中数学三角形专题训练及例题解析
经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。
9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。
②多边形的外角和等于360°。
三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。
中考数学复习 专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法►方法一运用定义求锐角三角函数值1．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠O的正弦值是________．图ZT－6－12．如图ZT－6－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求AB的长；(2)求两个锐角的三角函数值．图ZT－6－2►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝513，则cos A的值是()A.512B.813C.23D.12134．2017·铜仁如图ZT －6－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A ＝α，且tan α＝13，则tan 2α＝________．图ZT －6－35．已知：如图ZT －6－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值、余弦值．图ZT －6－46．如图ZT －6－5，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．图ZT －6－5► 方法三 利用边角关系求锐角三角函数值7．如图ZT －6－6所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值是( )图ZT －6－6A.34B.43C.35D.458．如图ZT －6－7所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AD ＝2DC ，AB ＝4DE ，则sin B 的值是( )图ZT －6－7A.12B.73C.3 77D.349．已知锐角三角形ABC 中，点D 在BC 的延长线上，连结AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求出tan D 的值．►方法四利用等角求锐角三角函数值10．如图ZT－6－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的正弦值、余弦值、正切值．图ZT－6－811．如图ZT－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠后，点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．图ZT －6－9► 方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则sin B 的值为( )A.2 53B.53C.2 55D.5513．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．► 方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．14．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos (90°－∠A)等于( ) A ．cos A B ．sin (90°＋∠A) C ．sin A D ．sin (90°－∠A)15．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．16．在△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，cos A ＝1213，求sin B 的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cos A与sin B的大小，并说明理由．教师详解详析1．[答案]10 10[解析] 如图，过点C作CD⊥OB于点D，根据正方形的性质可知点D为小正方形对角线的中点，∴CD＝22，由勾股定理得OC＝22＋12＝5，∴在Rt△OCD中，sin O＝CDOC＝225＝1010.2．解：(1)AB＝AC2＋BC2＝13.(2)sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512；sin B＝ACAB＝1213，cos B＝BCAB＝513，tan B＝ACBC＝125.3．D4．[答案]34[解析] 连结BE.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，∴AE ＝10a ，AB ＝6a ，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5，∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5，∴tan2α＝BCCE ＝3 10a 54 10a5＝34. 5．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝12， ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝5x ，∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝55.6．解：设AB ＝BD ＝2x . ∵AB ＝BD ，∠DBC ＝30°， ∴∠A ＝12∠DBC ＝15°.∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°， ∴CD ＝x ，由勾股定理可求出BC ＝3x ， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2x ＋3x ， ∴tan15°＝CDAC ＝2－ 3.7．[解析] B 连结BD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，BD ＝4， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°， ∴tan C ＝BD CD ＝43.8．[解析] D 如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则有DE ∥AF . ∵AD ＝2DC ，∴DC ∶AC ＝1∶3＝DE ∶AF ， ∴AF ＝3DE . ∵AB ＝4DE ， ∴sin B ＝AF AB ＝3DE 4DE ＝34.9．解：示意图如图所示．∵∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ，∠ACB ＝2∠D ， ∴∠CAD ＝∠D ， ∴AC ＝DC .∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°.∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ，∴BD ＝2AC .∵AC ＝32， ∴BD ＝3.在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，BD ＝3，∴AB ＝5，∴tan D ＝AB AD ＝52. 10．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵∠C ＝∠DEB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△DEB ，∴∠A ＝∠BDE ，∴sin ∠BDE ＝sin A ＝35， cos ∠BDE ＝cos A ＝45， tan ∠BDE ＝tan A ＝34.11．解：根据图形得∠AFE ＋∠EFC ＋∠BFC ＝180°. 根据折叠的性质，得∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴∠AFE ＋∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，∠BCF ＋∠BFC ＝90°，∴∠AFE ＝∠BCF .又根据折叠的性质，得CF ＝CD ＝10.在Rt △BCF 中，BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理，得BF ＝CF 2－BC 2＝6，∴tan ∠BCF ＝34， ∴tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34. 12．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23， ∴sin B ＝1－（23）2＝53. 故选B.13．解：∵cos α＝13， ∴sin α＝1－（13）2＝2 23， tan α＝sin αcos α＝2 2313＝2 2， ∴tan α＋cos α1＋sin α＝2 2＋131＋2 23＝2 2＋3－2 2＝3.14．C15．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝sin A ＝32. 16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝1213. (2)cos A ＜sin B .理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°， ∴cos A ＜sin B .。
专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数(解析版)
专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数知识对接考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点补充：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、角1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.专项训练1一、单选题1．（2021·江苏九年级专题练习）等腰三角形的一个外角是130°，则它的底角的度数为（ ） A ．65° B ．80°或50° C ．50° D ．65°或50°【答案】D 【分析】分该外角是底角的外角还是顶角的外角两种情况解答即可． 【详解】解：①当该外角是底角的外角时，底角为：180°-130°=50°； ①当该外角是顶角的外角时，则底角为：130°×12=65°所以底角为65°或50°． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．2．（2021·湖北黄冈·九年级模拟预测）如图，有一块含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果120∠=︒，那么2∠的度数是（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．45︒【答案】B 【分析】依题意，由直尺边是相互平行、三角形为等腰直角三角形，可得+2=45DAC ∠∠︒，即可； 【详解】由题知，如图，ABC 为等腰直角三角形，① 45BAC BCA ∠=∠=︒； 直尺边相互平行，120∠=︒① ADCE ，①120DAC ∠=∠=︒；又+245DAC ∠∠=︒，① 225∠=︒； 故选：B ；【点睛】本题考查平行线、等腰直角三角形的性质，关键在熟练应用等腰直角三角形的角的关系； 3．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级模拟预测）如图，在①ABC 中，①B=40°，将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ，点D 恰好落在直线BC 上，则旋转角的度数为( )3A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°【答案】D 【分析】利用旋转的性质得到①ABC①①ADE ，根据全等三角形的性质可知AB=AD ，进而得到①ADB=①B=40°，再利用三角形内角和定理即可解答. 【详解】①将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ①①ABC①①ADE ①AB=AD ①①ADB=①B=40° ①①ADB+①B+①BAD=180° ①①BAD=180°-40°-40°=100° 故选D 【点睛】本题考点涉及旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.4．（2021·湖北黄石八中九年级三模）如图，在①ABC 中，①BAC ＝116°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE ，交BC 于点M ；分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交BC 于点N ；连接AM 、AN ．则①MAN 的度数为（ ）A ．52°B ．50°C ．58°D ．64°【答案】A 【分析】先根据作图可知DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，再利用线段的垂直平分线的性质得到①B ＝①BAM ，①C ＝①CAN ，即可得到①MAN 的度数． 【详解】解：由作图可知，DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，①MB ＝MA ，NA ＝NC ，①①B ＝①MAB ，①C ＝①NAC =116°， 在①ABC 中，BAC ∠=， ①①B ＋①C ＝180°−①BAC ＝64°， 即①MAB ＋①NAC ＝64°，则①MAN ＝①BAC −（①MAB ＋①NAC ）＝52°． 故选A ． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5．（2021·陕西西安·交大附中分校）如图，①ABC 是①O 的内接三角形，AB ＝AC ．BO 的延长线交AC 于点D ．若①ABD ＝23°．则①A 的度数为（ ）A ．23°B ．32°C ．46°D ．60°【答案】C 【分析】延长BD 交O 于点E ，连接AE ，由圆周角定理可得90BAE ∠=︒，继而解得67AEB ∠=︒，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解题即可． 【详解】解：延长BD 交O 于点E ，连接AE ，则90BAE ∠=︒23ABD ∠=︒9067AEB ABD ∴∠=︒-∠=︒67ACB AEB ∴∠=∠=︒AB AC =567ABC ACB ∴∠=∠=︒18046BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒ 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与圆心、圆周角定理、直径所对的圆周角是90°、等腰三角形、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·浙江）如图，直线////a b c ，等腰直角ABC 的三个顶点分别在直线a ，b ，c 上（A 为直角顶点），若120∠=︒，则①2的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C 【分析】利用平行线的性质可以得到1320∠=∠=︒，由ABC 是等腰直角三角形可得到45ABC ∠=︒，再利用角的等量关系列式计算即可． 【详解】解：如图所示建立3∠①////a b c ①1320∠=∠=︒①ABC 是等腰直角三角形 ①45ABC ∠=︒①23452025ABC =-=︒-︒=︒∠∠∠ 故答案选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，利用平行线的性质进行角度等量代换是解题的关键．7．（2021·湖北随州·九年级一模）如图，PA、PB分别是①O的切线，A、B为切点，AC是①O的直径，已知①BAC=35°，①P的度数为（）A．35°B．45°C．65°D．70°【答案】D【分析】由PA与PB都为圆的切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，可得出①OAP与①OBP都为直角，又OA=OB，根据等边对等角可得①ABO与①BAC相等，由①BAC 的度数求出①ABO的度数，进而利用三角形的内角和定理求出①AOB的度数，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出①P的度数；【详解】①PA，PB分别是圆的切线①OA①AP，OB①BP，①①OAP=①OBP=90°，① OA=OB，①BAC=35°，① ①ABO=①BAC=35°，①①AOB=180°-35°-35°=110°，在四边形APBO中，①OAP=①OBP=90°，①AOB=110°，则① P=360°-(①OAP+①OBP+①AOB)=70°，故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键；∠=︒，则①2 8．（2021·全国）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．40°【答案】C【分析】利用平行线的性质求得①3的度数，即可求得①2的度数．【详解】①AD①BC，①①3=①1=20︒，①①DEF是等腰直角三角形，①①EDF=45︒，①①2=45︒-①3=25︒，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）如图，已知AB①CD，AD＝CD，①1＝40°，则①2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C【分析】由等腰三角形的性质可求①ACD＝70°，由平行线的性质可求解．【详解】①AD＝CD，①1＝40°，①①ACD＝70°，①AB①CD，①①2＝①ACD＝70°，故选：C．7【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．10．（2021·河南九年级二模）如图，在①ABC中，AB＝AC，AE平分①BAC，DE垂直平分AB，连接CE，①B＝70°．则①BCE的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】B【分析】连接BE，根据等腰三角形性质求出EB＝EC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据等边对等角求出①BAE＝①EBA、①BCE＝①EBC，即可求出答案．【详解】解：如图，连接BE，①AB＝AC，AE平分①BAC，①EB＝EC，①①EBC＝①ECB，①①ABC＝70°，AC＝AB，①①ACB＝①ABC＝70°，①①BAC＝180°﹣①ABC﹣①ACB＝40°，①AE平分①BAC，①①BAE＝20°，①DE垂直平分AB，①AE＝EB，①①ABE＝①BAE＝20°，①①BCE＝①EBC＝①ABC﹣①ABE＝70°﹣20°＝50°，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出①BAE=①EBA和①BCE=①EBC是解此题的关键．二、填空题11．（2021·辽宁九年级）AD是等腰三角形ABC的高，BC=2AD，则①BAC的度数是_____．【答案】90°或75°或15°【分析】可以分别从若BC是底边，即AB＝AC，与若BC是腰，即BC＝BA，①点D在BC边上，①若点D在CB的延长线上去分析，根据等腰三角形的性质与直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】解：①AD是BC边上的高线，若BC是底边，即AB＝AC，如图（1）所示，①BD＝DC，AD①BC，①BAD＝①CAD①AD＝BD①①B＝①BAD＝45°①①BAC＝2①BAD＝90°若BC是腰BC＝BA，①若点D在BC边上，如图（2）所示，则在Rt①BAD中，①BA＝2AD，①①B＝30°，①①BAC＝75°；①若点D在CB的延长线上，如图（3）所示，类似地，得：①DBA＝30°，则：①ABC＝150°，①①BAC＝15°．综上：①BAC的度数为90°，75°，15°．912．（2021·华中科技大学附属中学）如图，将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒，使顶点A 的对应点D 落在边AB 上，点B 的对应点E 与点D 的连线交BC 于点F ，则CFE ∠的度数为_______︒．【答案】105． 【分析】将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆，可得旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒，由CA =CD ，可求65A CDA ∠=∠=︒，由旋转性质①EDC =①A=65°，可求①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，由外角性质=105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒． 【详解】解：将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆， ①旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒， ①CA =CD ， ①()1180652A CDA DCA ∠=∠=︒-∠=︒， ①①EDC =①A=65°，①①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，①=4065105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒+︒=︒， 故答案为：105．【点睛】本题考查旋转变换，旋转角，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性质，掌握旋转变换性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性11质，能从图中找到旋转角是解题关键．13．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．【答案】45 【分析】利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出． 【详解】①BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠， ①BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠． ①90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠， ①90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠． 根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，． ①45BDA AEC ∠-∠=︒， ①=45DAE ∠︒． 故答案为：45． 【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．14．（2021·辽宁九年级）如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________【答案】110°或80° 【分析】根据等腰三角形的性质，先求出①BAC 的度数，然后分3种情况：①AD ＝AE 时，①AD＝ED时，①当AE＝DE时，分别求解，即可．【详解】①在①ABC中，AB＝AC，①B＝40°，①①B＝①C=40°①①BAC＝100°，①AD＝AE时，①AED＝①ADE＝40°，①①DAE＝100°，此时，点D与点B重合，不符合题意舍去，①AD＝ED时，①DAE＝①DEA，①①DAE＝12（180°−40°）＝70°，①①BAD＝①BAC−①DAE＝100°−70°＝30°，①①BDA＝180°−①B−①BAD＝110°，①当AE＝DE时，①DAE＝①ADE＝40°，①①BAD＝100°−40°＝60°，①①BDA＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：①BDA的度数为110°或80°时，①ADE的形状是等腰三角形，故答案是：110°或80°【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．15．（2021·四川广安市·）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若2k3，则该等腰三角形的顶角为_____．【答案】45°．【分析】根据等腰三角形的性质得出①B=①C，根据三角形内角和定理和已知得出5①A=180°，求出即可．【详解】解：①①ABC中，AB=AC，①①B=①C，13①等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k=2k 3=， ①①A ：①B ：①C =2：3：3， 即①A=180°×22+3+3=45°， ①①A=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出①A=180°×22+3+3是解题关键． 三、解答题16．（2021·厦门市松柏中学九年级）如图，在Rt ABC △中，①BAC ＝90°，将Rt ABC △绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度后得到Rt ADE △，当点D 在边BC 上时，连接CE ． （1）若旋转角为60°，求①ACB 的度数； （2）若AB ＝3，AC ＝4，求sin①DAC 的值．【答案】（1）30°；（2）725【分析】（1）由旋转的性质得出AD AB =，60BAD ∠=︒，进而由等腰三角形的性质及三角形的内角和得出60B ADB ∠=∠=︒，最后再由直角三角形的两个锐角互余即可求得答案；（2）由勾股定理求出5BC =，过点A 作AF BC ⊥于点F ，由三角形的面积求出AF 的长，进而可求出CD ，DE 的长，则可得出答案． 【详解】解：（1）将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，旋转角为60°，AD AB ∴=，60BAD ∠=︒，60B ADB ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，9030ACB B ∴∠=︒-∠=︒，①①ACB 的度数为30°；（2）90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC ∴==，如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，∴1122ABCSAB AC BC AF =⋅=⋅， 341255AB AC AF BC ⋅⨯∴===，95BF ∴，=AD AB ，AF BC ⊥，95DF BF ∴==， 75CD BC BD ∴=-=， 设AC 与DE 相交于点K ，①将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，AD AB ∴=，AE AC =，90BAC DAE ∠=∠=︒，B ADB ∴∠=∠，ACE AEC ∠=∠，90BAC DAE ∠=∠=︒，①90BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，又1902B BAD ∠=︒-∠，1902ECA CAE ∠=︒-∠，ECA B ∴∠=∠，又①旋转，15①B ADE ∠=∠，5DE BC ==，ECA B ADE ∠=∠=∠，AKD EKC ∠=∠，DAC CED ∴∠=∠，90ACB B ∠+∠=︒，ECA B ∠=∠，90ACB ECA ∴∠+∠=︒，775sin sin 525CD DAC CED DE ∴∠=∠===．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17．（2021·湖北九年级）如图，ABC 中，点D 在BC 边上，且1902ADB CAD ∠=+∠°．（1）求证：AD AC =；（2）点E 在AB 边上，连接CE 交AD 于点F ，且CFD CAB ∠=∠，AE BD =， ①求ABC ∠的度数；①若8AB =，2DF AF =，直接写出EF 的长． 【答案】（1）见解析；（2）①60°；①23EF =． 【分析】（1）根据ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°可得C ADC ∠=∠，进而可得结论；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，根据“AAS”证出AEC ①DGA △，进而可得BDG 为等边三角形，可得答案；①过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，可得FAE ①ACE ，根据比例式可得答案． 【详解】解：（1）①ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°，①1902ACB ADB CAD CAD ∠=∠-∠=-∠°，①180ADB CDA ∠+∠=°，①11180180909022CDA ADB CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=-+∠=-∠ ⎪⎝⎭°°°°，①ACB ADC ∠=∠， ①AD AC =；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，①CFD CAB ∠=∠，CFD CAD ACE ∠=∠+∠，CAB CAD DAB ∠=∠+∠， ①ACE DAB ∠=∠，又①ACD ADC ∠=∠，ECB ACD ACE ∠=∠-∠，B ADC DAB ∠=∠-∠， ①ECB B ∠=∠， ①CE BE =， ①//DG CE ， ①ECB B ∠=∠， ①DG BG =，①AEC DGA ∠=∠，AC DA =，ACE DAG ∠=∠， ①AEC ①DGA △(AAS)， ①DG AE =， 又①AE BD =， ①DG BD BG ==， ①BDG 为等边三角形， ①60ABC ∠=︒； ①23EF =． 过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，由①知EBC 和HDC △均为等边三角形，17设AE BD x ==，则8BE BC x ==-， ①82DH CD x ==-， ①//DH AB ， ①AE AF DH FD =，即182x x =-， ①2x =，①ACE DAB ∠=∠， ①FAE ①ACE ， ①EF AFAE AC=， ①3AC AD AF ==， ①13EF AE =，1233EF AE ==.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，题目难度较大，综合性较强．18．（2021·江苏南通田家炳中学九年级）如图，已知点D 、E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90． 【分析】（1）作AF BC ⊥于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ⊥于F ．AB AC =，AD AE =，∴BF CF =，DF EF =， ∴BF DF CF EF -=-， ∴BD CE =．（2）AD DE AE ==，∴ADE 是等边三角形， ∴60DAE ADE ∠=∠=，AD BD =，∴DAB DBA ∠=∠， ∴1302DAB ADE ∠=∠=， ∴603090BAE DAB DAE ∠=∠+∠=+=．答：BAE ∠的度数为：90． 【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．19．（2021·福建九年级）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角108A ∠=︒．（1）在BC 上作一点D ，使AD CD =（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）直接写出BAD ∠的度数． 【答案】（1）见解析；（2）72° 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可在BC 上作一点D ，使AD=CD ； （2）结合（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质求出C ∠及DAC ∠，所以BAD BAC DAC ∠=∠-∠问题得解．【详解】19解：（1）如图，点D 即为所求；（2）连接AD ，①AB AC =，108A ∠=︒， ①36B C ∠==︒， 由（1）得：AD CD =， ①36DAC C ∠=∠=︒，1083672BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据图形正确找到角之间的关系是解题的关键．20．（2021·湖南湘西·）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，CB CD =，将边CA 绕点C 旋转到CE 的位置，使得ECA DCB ∠=∠，连接DE 与AC 交于点F ，且70B ∠=︒，10A ∠=︒． （1）求证：AB ED =； （2）求AFE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）50AFE ∠=︒ 【分析】（1）由题意易得ECD ACB ∠=∠，AC EC =，则有≌ACB ECD △△，然后问题可求证； （2）由（1）可得10E A ∠=∠=︒，然后可得40ECA DCB ∠=∠=︒，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：①ECA DCB ∠=∠，①ECA ACD DCB ACD ∠+∠=∠+∠，即ECD ACB ∠=∠，①AC EC =，CB CD =， ①()ACB ECD SAS ≌， ①AB ED =；（2）解：①CB CD =，70B ∠=︒， ①70CDB B ∠=∠=︒，①根据三角形内角和可得180240BCD B ∠=︒-∠=︒， ①40ECA DCB ∠=∠=︒，由（1）可得≌ACB ECD △△， ①10A ∠=︒， ①10E A ∠=∠=︒，①50AFE E ACE ∠=∠+∠=︒． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·江苏九年级）如图，在四边形ABCD 中，①B ＝90°，AC 平分①DAB ，DE ①AC ，垂足为E ，且AE ＝AB ． （1）求证：BC ＝DE ；（2）若①DAC ＝40°，求①CDE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）20° 【分析】（1）根据ASA 证明①ABC ①①AED ，由全等三角形的性质即可求证；（2）根据①ABC ①①AED 可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：①DE ①AC ，①B =90°， ①①B =①AED =90°， ①AC 平分①DAB ， ①①BAC =①EAD ，21 在①ABC 和①AED 中，BAC EADAB AE B AED∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，①①ABC ①①AED （ASA ），①BC =DE ；（2）①①ABC ①①AED ，①AC =AD ，①①ACD =①ADC ，①①DAC =40°，DE ①AC ，①①ACD =①ADC =70°，①ADE =50°，①①CDE =20°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．22．（2021·浙江九年级二模）已知：如图，在五边形ABCDE 中，AB AE =，B E ∠=∠，BC ED =．（1）求证：ABC AED ≌△△．（2）当//AC DE ，40ADE ∠=︒时，求ACD ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）70︒【分析】（1）利用SAS 即可证明结论；（2）结合（1）可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可求出①ACD 的度数．【详解】（1）证明：①AB AE =①B E ∠=∠①BC ED =①()ABC AED SAS ≌△△（2）①//AC DE ，40ADE ∠=︒①40CAD ADE ∠=∠=︒①ABC AED ≌△△①AC AD = ①()1180702ACD CAD ∠=︒-∠=︒ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用边角边证明①ABC ①①AED ． 23．（2021·温州市第十二中学九年级）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//FB EA 交EC 于H 点，EA FB =，AB CD =．（1）求证：ACE BDF ≌；（2）若CH BC =，50A ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）由//EA FB ，利用同位角相等可得EAC FBD ∠=∠．由AB CD =，利用等式性质可得AC BD =，可证()ACE BDF SAS ≌；（2）由//FB EA 可得=50EAC FBD ∠=∠︒，由CH BC =利用等角对等边，可求50HBC BHC ∠=∠=︒．利用三角形内角和可得80ECA ∠=︒．利用ACE BDF ≌性质，可得80ECA D ∠=∠=︒．【详解】（1）证明：①//EA FB ，①EAC FBD ∠=∠．①AB CD =，①AB BC CD BC +=+，即AC BD =，在ACE 和BDF 中，①AC BD EAC FBD EA FB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ACE BDF SAS ≌．23 （2）解：//FB EA ，①=50EAC FBD ∠=∠︒，①CH BC =，①50HBC BHC ∠=∠=︒．①180505080ECA ∠=︒-︒-︒=︒．①ACE BDF ≌，①80ECA D ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．。
2022年中考数学几何模型之全等三角形的五种模型(讲+练)(解析版)
专题06 全等三角形的五种模型全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不再重复。
模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF 上截取BM=DF ，易证△BMC△△DFC （SAS ），则MC=FC=FG ，△BCM=△DCF ， 可得△MCF 为等腰直角三角形，又可证△CFE=45°，△CFG=90°，△CFG=△MCF ，FG△CM ，可得四边形CGFM 为平行四边形，则CG=MF ，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC 至N ，使CN=DF ，易证△CDF△△BCN （SAS ）， 可得CF=FG=BN ，△DFC=△BNC=135°，又知△FGC=45°，可证BN△FG ，于是四边形BFGN 为平行四边形，得BF=NG ， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.例1.如图，△ABC 中，△B =2△A ，△ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】.B 【详解】解：如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN CD 平分,ACB ∠ ,BCD NCD ∴∠=∠,CD CD = (),CBD CND SAS ∴≌ ,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=9,16,BC AC == 9,7,CN AN AC CN ∴==-=,CND NDA A ∠=∠+∠ ,B NDA A ∴∠=∠+∠2,B A ∠=∠ ,A NDA ∴∠=∠,ND NA ∴= 7.BD AN ∴== 故选：.B【变式训练1】如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，线段AC 与AD 关于直线AP 对称，E 是线段BD 与直线AP 的交点．（1）若△DAE ＝15°，求证：△ABD 是等腰直角三角形；（2）连CE ，求证：BE ＝AE +CE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）△在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，△△ABC 是等边三角形， △AC ＝AB ＝BC ，△BAC ＝△ABC ＝△ACB ＝60°，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△CAE ＝△DAE ＝15°，AD ＝AC ，△△BAE ＝△BAC +△CAE ＝75°，△△BAD ＝90°，△AB ＝AC ＝AD ，△△ABD 是等腰直角三角形； （2）在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连接AF ，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△ACE ＝△ADE ，AD ＝AC ，△AD ＝AC ＝AB ，△△ADB ＝△ABD=∠ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABF △△ACE （SAS ），△AF ＝AE ，△AD ＝AB ，△△D ＝△ABD ，又△CAE ＝△DAE ， △()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-∠=︒， △在△AFE 中，AF ＝AE ，△AEF ＝60°，△△AFE 是等边三角形，△AF ＝FE ，△BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【变式训练2】如图，在△ABC 中，△ACB=△ABC=40o ，BD 是△ABC 的角平分线，延长BD 至点E ，使得DE=DA ，则△ECA=________．【答案】40°【详解】解：在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，△ACB=△ABC=40°，BD 是△ABC 的角平分线，∴△A=100°，△ABD=△DBC=20°，∴△ADB=60°，△BDC=120°，BD=BD ，∴△ABD△△FBD ，DE=DA ，∴ DF=AD=DE ，△BDF=△FDC=△EDC=60°，△A=△DFB=100°，DC=DC ，∴△DEC△△DFC ，∴1006040DCB DCE DFC FDC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为40°．【变式训练3】已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB ADABG ADN BG DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，△45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AMGAM NAM AN AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，△GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，△90GAN BAD ∠=∠=︒， 又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM BG GM -=，BG DN =，△BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，△MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，△90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，△6CN =，8MC =，△1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-，△DC BC =，△48x x +=-，解得：2x =，△6AB BC CD CN ====，△//AB CD ，△BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，132CP BP BC ∴===，△CP 的长为3．模型二、平移全等模型例.如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB // DE ，AB = DE ，△A = △D ．（1）求证：ABC DEF ≌；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）BE =3．【详解】（1）证明：△AB△DE ，△△ABC ＝△DEF ，在△ABC 和△DEF 中A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ABC△△DEF （ASA ）； （2）解：△△ABC△△DEF ，△BC ＝EF ，△BC －EC ＝EF －EC ，即BE ＝CF ，△BF ＝11，EC ＝5，△BF －EC ＝6．△BE ＋CF ＝6．△BE ＝3．【变式训练1】如图，AB//CD ，AB=CD 点E 、F 在BC 上，且BF=CE ．（1）求证：△ABE△△DCF （2）求证:AE//DF ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【详解】证明：（1）△AB △CD ，△B C ∠=∠，△BF =CE ，△CF EF BE EF +=+，△BE CF =，△AB =CD ，△ABE DCF △≌△（SAS ）；（2）由（1）可得：ABE DCF △≌△，△DFC AEB ∠=∠，△180,180DFC EFD AEF AEB ∠+∠=︒∠+∠=︒，△EFD AEF ∠=∠，△//AE DF ．【变式训练2】如图，已知点C 是AB 的中点，CD △BE ，且CD BE =．（1）求证：△ACD△△CBE ．（2）若87,32A D ∠=︒∠=︒，求△B 的度数．【答案】（1）见解析；（2）61【分析】（1）根据SAS 证明△ACD△△CBE ；（2）根据三角形内角和定理求得△ACD ，再根据三角形全等的性质得到△B=△ACD ．【详解】（1）△C 是AB 的中点，△AC ＝CB ，△CD//BE ，△ACD CBE ∠=∠，在△ACD 和△CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACD CBE ∆≅∆；（2）△8732A D ︒︒∠=∠=，，△180180873261ACD A D ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，又△ACD CBE ∆≅∆，△61B ACD ︒∠=∠=．模型三、对称全等模型例.如图，已知△C ＝△F ＝90°，AC ＝DF ，AE ＝DB ，BC 与EF 交于点O ，（1）求证：Rt△ABC△Rt△DEF ；（2）若△A ＝51°，求△BOF 的度数．【答案】（1）见解析；（2）78°【详解】（1）证明：△AE ＝DB ，△AE ＋EB ＝DB ＋EB ，即AB ＝DE ．又△△C＝△F＝90°，AC＝DF，△Rt△ABC△Rt△DEF．（2）△△C＝90°，△A＝51°，△△ABC＝△C－△A＝90°－51°＝39°．由（1）知Rt△ABC△Rt△DEF，△△ABC＝△DEF．△△DEF＝39°．△△BOF＝△ABC＋△BEF＝39°＋39°＝78°．【变式训练1】如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90º，∠B ＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】B【解析】∵∠E＝∠F＝90º，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，∵∠BAE＝∠CAF，∠BAE－∠BAC＝∠CAF－∠BAC，∴∠1＝∠2，∴△ABE≌△ACF，∴∠B＝∠C，AB＝AC，又∵∠BAC＝∠CAB，∴△ACN≌△ABM，④CD＝DN不能证明成立，∴共有3个结论正确．【变式训练2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【解答】D【解析】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACF（第一个正确），∴AE＝AF，∴BF＝CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（第二个正确），∴DF＝DE，连接AD，∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD ＝∠EAD ，即点D 在∠BAC 的平分线上（第三个正确）.模型四、旋转全等模型例.如图，△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，△BAC =△DAE ，且点B ，D ，E 在同一条直线上，若△CAE +△ACE +△ADE =130°，则△ADE 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B【详解】BAC DAE ∠=∠BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠BAD CAE ∴∠=∠,AB AC AD AE == ∴在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD ≌CAE （ SAS ） ABD ACE ∴∠=∠130CAE ACE ADE ∠+∠+∠=︒130ABD BAD ADE ∴∠+∠+∠=︒ADE ABD BAD ∠=∠+∠2130ADE ∴∠=︒65ADE ∴∠=︒故选：B ．【变式训练1】如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转60°得到正方形AB ′C ′D ′，线段CD ，B ′C ′交于点E ，若DE ＝1，则正方形的边长等于_____．【答案】2+【详解】解：连接AC 、AE ，延长C ′B ′交AC 于点F ，过点F 作GF △DC 于G ， 由题意得，AD =AB ′,△D =△AB ′E ，△B ′AB =60°,△CAB =△GCB ′=45°，△△DAB ′=30°，△CAB ′=15°在RT △ADE 与RT △AB ′E 中AD AB AE AE ='⎧⎨=⎩，△RT △ADE △RT △AB ′E （HL ）， △△DAE =△B′AE =12△DAB ′=15°，DE=EB ′=1，△△B′AE=△CAB ′在△AB′E 和△AB′F 中==B AE CAB AB AB EB A FB A ∠'=∠'⎧⎪''⎨⎪∠'∠'⎩ ，△△AB′E △△AB′F （ASA ），△EB′=BF=1 △△DEB ′=360°-△D -△EB A '-∠DAB′=150°，△△GEF =30°在RT △EGF 中，EG =EF ×cos △GEFDF =EF ×sin △GEF =2×12=1 在△CGF 中，△GCF =45°，△CG=GF =1，△DC =DE+EG+GC所以正方形的边长为【变式训练1】如图，,,,AC BC DC EC AC BC DC EC ⊥⊥==， 求证：（1）ACE BCD ∆≅∆；（2）AE BD ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：()1AC BC ⊥，DC EC ⊥，90ACB DCE ∴∠=∠=︒， ACB ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，∴∠=∠DCB ECA ，在DCB ∆和ECA ∆中，AC BC DCB ECA CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB ECA SAS ∴∆≅∆；()2如图，设AC 交BD 于N ，AE 交BD 于O ，∆≅∆DCB ECA ，A B ∴∠=∠，∠=∠AND BNC ，90∠+∠=︒B BNC ， 90∴∠+∠=︒A AND ，90∴∠=︒AON ，AE BD ∴⊥．【变式训练2】如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．（1）求证：AEC ADB ≅△△；（2）若90α=︒，试判断BD 与CE的数量及位置关系并证明；（3）若CAB EAD α∠=∠=，求CFA ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）BD=CE ，BD△CE ；（3）902α︒-【详解】（1）△△CAB=△EAD△△CAB+△BAE=△EAD+△BAE ，△ △CAE=△BAD ，△AB=AC ，AE=AD 在△AEC 和△ADB 中AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪⎨⎪⎩∠=∠=△ △AEC△△ADB （SAS ） （2）CE=BD 且CE△BD ，证明如下：将直线CE 与AB 的交点记为点O ，由（1）可知△AEC△△ADB ，△ CE=BD ， △ACE=△ABD ，△△BOF=△AOC ，△α=90°，△ △BFO=△CAB=△α=90°，△ CE△BD ．（3）过A 分别做AM△CE ，AN△BD 由（1）知△AEC△△ADB ，△两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD△AM=AN△AF 平分△DFC由（2）可知△BFC=△BAC=α△△DFC=180°-α△△CFA=12△DFC=902α︒- 【变式训练3】如图①，在△ABC 中，△A ＝90°，AB ＝AC1，BC ＝2D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ＝1，DE．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE 、BD 、CD ．（1）如图②，求证：CE ＝BD ；（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE 所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由； （3）在旋转的过程中，当△BCD 的面积最大时，α＝ °．（直接写出答案即可）【答案】（1）证明见解析；（2）能，α=90°；（3）135α=︒．【详解】（1）证明：如图2中，根据题意：AB AC =，AD AE =，90CAB EAD ∠=∠=︒， 90CAE BAE BAD BAE ∠+∠=∠+∠=︒，CAE BAD ∴∠=∠，在ACE ∆和ABD ∆中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE ABD SAS ∴∆≅∆，CE BD ∴=；（2）能，若CE 所在直线垂直平分BD ，则CD =BC ，△AB ＝AC＋1，BC ＝2，AD ＝AE ＝1，DE△1122AC AD CD BC +=+=== △AC +AD =CD ，即A 、C 、D 在同一条直线上，此时α=90°，如下图，CE 的延长线与BD 交于F ，与（1）同理可得()ACE ABD SAS ∆≅∆，ACE ABD ∴∠=∠，90ACE AEC ∠+∠=︒，且AEC FEB ∠=∠，90ABD FEB ∴∠+∠=︒，90EFB ∴∠=︒，CF BD ∴⊥，BC CD =，CF ∴是线段BD 的垂直平分线；（3）解：BCD ∆中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时BCD ∆的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD ∆的面积取得最大值，如图中：1AB AC ==，1AD AE ==，90CAB EAD ∠=∠=︒，DG BC ⊥于G ，12AG BC ∴==45GAB ∠=︒，1DG AG AD ∴=+==，18045135DAB ∠=︒-︒=︒， BCD ∴∆的面积的最大值为：1122BC DG ⋅==135α=︒． 模型五、手拉手全等模型例.如图，B ，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立C E ABC ∆DCE ∆BD AC M AE CDN AE BD =DCE ∆C吗？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析．【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD ，（2）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形， ，，，，即，在和中，，，．【变式训练1】如图，△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，△AOB ＝△COD ＝90°，AC 、BD 交于点M ．(1) 如图1，求证：AC=BD ，判断AC 与BD 的位置关系并说明理由；(2) 如图2，△AOB ＝△COD ＝60°时，△AMD 的度数为___________.【答案】(1)答案见解析；（2）120.ABC ∆DCE∆AC BC ∴=CD CE =60ACB DCE ∠=∠=︒180ACB ACD DCE ∠+∠+∠=60ACD ∴∠=︒ACB ACD ACD DCE ∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠BCD ∆ACE ∆BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCD ACE ∴∆≅∆BD AE ∴=AE BD =ABC ∆DCE ∆BC AC ∴=CD CE =60BCA DCE ∠=∠=︒BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠ACE ∆BCD ∆AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACE BCD SAS ∴∆≅∆AE BD ∴=【详解】()190AOB COD ∠∠＝＝，.AOB AOD COD AOD ∠+∠∠+∠＝ 即：.BOD AOC ∠∠＝,,OA OB OC OD ＝＝易证.BOD AOC ≌.OBD OAC ∴∠=∠ AC=BD△,AMD ABM BAM ∠=∠+∠.BAM BAO OAC ∠=∠+∠△.AMD ABM BAO OBD OBA BAO ∠=∠+∠+∠=∠+∠△90.AOB ∠= △90.OBA BAO ∠+∠=90.AMD ∴∠= △AC△BD（2）同理可得. .AMD OBA BAO ∠=∠+∠60.AOB ∠= 120.OBA BAO ∠+∠= 120.AMD ∴∠= 故答案为： 120.【变式训练2】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图①摆放，连结AC ，BD ．（1）如图①，猜想线段AC 与BD 存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD 绕点O 逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（2）存在，AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（3）AC=BD ，AC△BD【详解】（1）AC=BD ，AC△BD ， 证明：延长BD 交AC 于点E ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△COA=△BOD=90º，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△△OAC=△OBD ，△△ADE=△BDO ，△△AED=△BOD=90º，△AC△BD ；（2）存在，证明：延长BD 交AC 于点F ，交AO 于点G ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC －△DOA ，△BOD=△BOA －△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AGF=△BGO ，△△AFG=△BOG=90º，△AC△BD ；（3）AC=BD ，AC△BD ．证明：BD 交AC 于点H ，AO 于M ，△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC+△DOA ，△BOD=△BOA+△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AMH=△BMO ，△△AHM=△BOH=90º，△AC△BD ．【变式训练3】已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACE =62°；（3）△CBA =6°．【详解】解：（1）△△CAE =△DAB ，△△CAE +△CAD =△DAB +△CAD ，即△CAB =△EAD ，在△ABC 和△ADE 中，△△ABC△△ADE （AAS ），ABC ∆ADE ∆C E ∠=∠CAE DAB ∠=∠BC DE =ABC ADE ∆∆≌CE BD DE AD BC M N 56DMB ∠=︒ACE ∠CN EM =CBA∠C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）△△ABC△△ADE ，△△CBA=△EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，△△EDA +△MND+△DMB =，△CBA +△ANB +△DAB =，又△ △MND=△ANB ，△ △DAB=△DMB=，△△CAE =△DAB=，△AC=AE ，△△ACE =△AEC=，△△ACE =， （3）△CBA=，如图所示，连接AM ，,CN=EM,CA=EA,(SAS), AM=AN,,=即,由(2)可得：,=, △CAE =△DAB==-= .课后训练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ △ABC △△ADE （SAS ）△△BAC =△DAE 180︒180︒56︒56︒1(18056)622︒︒︒-=62︒6︒NCA MEA ∠=∠∴NCA MEA ≅∴EAM CAN ∠=∠∴EAM CAM ∠-∠CAN CAM ∠-∠EAC MAN ∠=∠=56EAC MAN ︒∠=∠∴ANM ∠1(18056)622︒︒︒-=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠62︒56︒6︒△△EAB =△BAC +△DAE +△CAD =120°△△BAC =△DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ △△BAF =△BAC +△CAD =65°△在△AFB 中，△AFB =180°-△B -△BAF =90°△△GFD =90°在△FGD 中，△EGF =△D +△GFD =115°故选：C2.如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF△AB 于F ，△B ＝△1+△2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．【详解】在FA 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ． △EB =ET ，△△B =△ETB ，△△ETB =△1+△AET ，△B =△1+△2，△△AET =△2，△AE =CD ，ET =CK ，△△AET △△DCK (SAS )，△DK =AT ，△ATE =△DKC ，△△ETB =△DKB ，△△B =△DKB ，△DB =DK ，△BD =AT ，△AD =BT ，△BT =2BF =83，△AD =83，故答案为：83．3.如图，2A C ，BD 平分ABC ∠，10BC =，6AB =，则AD =_____．【答案】4【详解】解：（1）在BC 上截取BE ＝BA ，如图，△BD 平分△ABC ，△△ABD ＝△EBD ，在△ABD 和△BED 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△EBD （SAS ），△DE ＝AD ，△BED ＝△A ，又△△A ＝2△C ，△△BED ＝△C +△EDC ＝2△C ，△△EDC ＝△C ，△ED ＝EC ，△EC ＝AD ，△BC ＝BE +EC ＝AB +AD ，△BC ＝10，AB ＝6，△AD ＝10﹣6＝4；故答案为：4．4.如图，正方形ABCD ，将边CD 绕点D 顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE ，连接AE ，CE ，过点A 作AF △CE 交线段CE 的延长线于点F ，连接BF ．（1）当AE ＝AB 时，求α的度数；（2）求证：△AEF ＝45°；（3）求证：AE △FB ．【答案】（1）α＝30°；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【详解】解：(1) 在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝DC ，由旋转可知，DC ＝DE ，△AE ＝AB △AE ＝AD ＝DE△△AED 是等边三角形，△∠ADE ＝60°，△△ADC ＝90°，△α＝△ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°．（2）证明：在△CDE 中，DC ＝DE ，△△DCE ＝△DEC ＝180=9022αα－－， 在△ADE 中，AD ＝ED ，△ADE ＝90°－α，△△DAE ＝△DEA ＝()18090=4522αα－－＋ △△AEC ＝△DEC ＋△DEA ＝90+45+22αα－＝135°．△△AEF ＝45°，（3）证明：过点B 作BG //CF 与AF 的延长线交于点G ，过点B 作BH //GF 与CF 交于点H ， 则四边形BGFH 是平行四边形，△AF △CE ，△平行四边形BGFH 是矩形，△△AFP ＝△ABC ＝90°，△APF ＝△BPC ，△△GAB ＝BCP ，在△ABG 和△CBH 中，GAB HCB BGA BHC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG △△CBH (AAS )，△BG ＝BH ，△矩形BGFH 是正方形，△△HFB ＝45°，由（2）可知：△AEF ＝45°，△△HFB ＝△AEF ＝45°，△AE△F B ．5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝65º，求∠BDC的度数．【答案】（1）见解析；（2）50º【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，即∠BAE ＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD；（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD＋∠BAC，∠BOC＝∠ACD ＋∠BDC，∴∠ABD＋∠BAC＝∠ACD＋∠BDC，∵∠ABD＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ACB＝65º，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65º ，∴∠BAC＝180º－∠ABC－∠ACB＝180º－65º－65º＝50º ，∴∠BDC＝∠BAC＝50º．6.如图①，在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC 的外部作△CED，使△CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：EF=AE；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF、AE的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）AF=，见解析．【详解】解：（1）如图，四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，AB=AC，∴AC=DF，DE=EC∴AE=EF；（2）AF=，证明：连接EF，设DF交BC于K，四边形ABFD是平行四边形，∴AB//DF∴△DKE=△ABC=45°，∴△EKF=180°-△DKE=135°△ADE=180°-△EDC=180°-45°=135°，∴△EKF=△ADE，△DKC=△C，∴DK=DC ，DF=AB=AC，∴KF=AD在△EKF和△EDA中，EK DKEKF ADEKF AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKF△△EDA（SAS）∴EF=EA, △KEF=△AED，∴△FEA=△BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，AF=．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB ＝CP＋CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA＋∠ACG＝∠CAG＋45°＝∠CBE＋45°，∠PGC＝∠GCB＋∠CBE＝∠CBE＋45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG＋PG，BG＝CF，∴PB＝CF＋CP；（3）如图，过E作EM⊥AG，交AG于M，＝AG•EM，∵S由（2）得△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x＋x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM，∴M是AG的中点，∴AE＝EG，∴BE＝BG＋EG＝6＋，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝，∴AC＝AE＋EC．8.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE ＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．【解答】（1（2）见解析；（3【解析】（1）如图，过点C作CG⊥AB于G，∵AC＝CD，∴AG＝DG，设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝DE，∴BG＝BD＋DG＋a，在Rt△BGC中，∠BCG＝90°－∠ABC＝30°，∴BC＝2BG，CG＝BG＝6＋a，在Rt△DGC中，CD＝AC＝3，根据勾股定理得，CG2＋DG2＝CD2，∴（6＋a）2＋a2＝90，∴（舍），∴BC＝EC＋BE＝EC＋BD，∴EC＋BD＝2（BD＋DG），∴EC＝BD＋2DG；（2）如图在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，∵△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，BE＝DE，∴∠DEC＝120°，BE＝PM，∵AE＝AM，∴∠AEM＝∠AME，∴∠AEB＝∠AMP，∴△ABE≌△APM（SAS），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，如图，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°－∠BDE－∠ADC＝180°－60°－∠DAC＝120°－∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠DAC＝120°－∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP＋CP＝2DE；（3）如图，在MC上取一点P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE＋PE＋CP＝DE＋PE＋DE＝2DE＋AD＝MC＋AD，过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，在Rt△ABH，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°－∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH，∵MC＋AD＝BC＝BH＋CH＝，∴MC＋AD＝AC．。
全等三角形复习专题
全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。
全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。
如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。
二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。
5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。
四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。
2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。
3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。
4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。
5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。
全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。
动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。
将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解►方法一运用定义求锐角三角函数值1．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠O的正弦值是________．图ZT－6－12．如图ZT－6－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求AB的长；(2)求两个锐角的三角函数值．图ZT－6－2►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝513，则cos A的值是()A.512B.813C.23D.12134．2017·铜仁如图ZT －6－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A ＝α，且tan α＝13，则tan 2α＝________．图ZT －6－35．已知：如图ZT －6－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值、余弦值．图ZT －6－46．如图ZT －6－5，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．图ZT －6－5► 方法三 利用边角关系求锐角三角函数值7．如图ZT －6－6所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值是( )图ZT －6－6A.34B.43C.35D.458．如图ZT －6－7所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AD ＝2DC ，AB ＝4DE ，则sin B 的值是( )图ZT －6－7A.12B.73C.3 77D.349．已知锐角三角形ABC 中，点D 在BC 的延长线上，连结AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求出tan D 的值．►方法四利用等角求锐角三角函数值10．如图ZT－6－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的正弦值、余弦值、正切值．图ZT－6－811．如图ZT－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠后，点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．图ZT －6－9► 方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则sin B 的值为( )A.2 53B.53C.2 55D.5513．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．► 方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．14．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos (90°－∠A)等于( ) A ．cos A B ．sin (90°＋∠A) C ．sin A D ．sin (90°－∠A)15．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．16．在△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，cos A ＝1213，求sin B 的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cos A与sin B的大小，并说明理由．教师详解详析1．[答案]10 10[解析] 如图，过点C作CD⊥OB于点D，根据正方形的性质可知点D为小正方形对角线的中点，∴CD＝22，由勾股定理得OC＝22＋12＝5，∴在Rt△OCD中，sin O＝CDOC＝225＝1010.2．解：(1)AB＝AC2＋BC2＝13.(2)sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512；sin B＝ACAB＝1213，cos B＝BCAB＝513，tan B＝ACBC＝125.3．D4．[答案]34[解析] 连结BE.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，∴AE ＝10a ，AB ＝6a ，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5，∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5，∴tan2α＝BCCE ＝3 10a 54 10a5＝34. 5．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝12， ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝5x ，∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝55.6．解：设AB ＝BD ＝2x . ∵AB ＝BD ，∠DBC ＝30°， ∴∠A ＝12∠DBC ＝15°.∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°， ∴CD ＝x ，由勾股定理可求出BC ＝3x ， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2x ＋3x ， ∴tan15°＝CDAC ＝2－ 3.7．[解析] B 连结BD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，BD ＝4， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°， ∴tan C ＝BD CD ＝43.8．[解析] D 如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则有DE ∥AF . ∵AD ＝2DC ，∴DC ∶AC ＝1∶3＝DE ∶AF ， ∴AF ＝3DE . ∵AB ＝4DE ， ∴sin B ＝AF AB ＝3DE 4DE ＝34.9．解：示意图如图所示．∵∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ，∠ACB ＝2∠D ， ∴∠CAD ＝∠D ， ∴AC ＝DC .∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°.∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ，∴BD ＝2AC .∵AC ＝32， ∴BD ＝3.在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，BD ＝3，∴AB ＝5，∴tan D ＝AB AD ＝52. 10．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵∠C ＝∠DEB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△DEB ，∴∠A ＝∠BDE ，∴sin ∠BDE ＝sin A ＝35， cos ∠BDE ＝cos A ＝45， tan ∠BDE ＝tan A ＝34.11．解：根据图形得∠AFE ＋∠EFC ＋∠BFC ＝180°. 根据折叠的性质，得∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴∠AFE ＋∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，∠BCF ＋∠BFC ＝90°，∴∠AFE ＝∠BCF .又根据折叠的性质，得CF ＝CD ＝10.在Rt △BCF 中，BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理，得BF ＝CF 2－BC 2＝6，∴tan ∠BCF ＝34， ∴tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34. 12．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23， ∴sin B ＝1－（23）2＝53. 故选B.13．解：∵cos α＝13， ∴sin α＝1－（13）2＝2 23， tan α＝sin αcos α＝2 2313＝2 2， ∴tan α＋cos α1＋sin α＝2 2＋131＋2 23＝2 2＋3－2 2＝3.14．C15．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝sin A ＝32. 16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝1213. (2)cos A ＜sin B .理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°， ∴cos A ＜sin B .。
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专题训练（六）
与三角形有关的角度计算
类型之一 利用三角形角的关系求角度 1．在△ABC 中，∠A＝2∠B＝2∠C，则∠A 的度数是( A．30° B．36° C．45° D．90° 2． 如图， 点 D 在△ABC 的边 BC 的延长线上， CE 平分∠ACD， ∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE 的大小是________度． )
6．如图所示，∠A＝50°，∠B＝30°，∠BDC＝110°，求∠C 的度数．
类型之二 与平行线结合求角度 7．如图，已知 AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A 的度数 为( ) A．30° B．35° C．40° D．45°
第 7 题图
第 8 题图
8．如图，AE⊥BC 于点 E，∠1＝∠2，则∠BCD＝________.
3． 如图， 在△ABC 中， ∠A＝70°， ∠ACD＝30°， CD 平分∠ACB. 求∠B 的度数．
4．如图，在△ABC 中，∠ABC＝46°，∠ACB＝80°，延长 BC 至点 D，使 CD＝CA，连接 AD，求∠BAD 的度数．
5． 如图， 在△ABC 中， ∠B＝40°， 三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，求∠AEC 的度数．
类型之四 与截取或折叠有关的角度计算 14．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α 的 度数是( A ) A．165° B．120° C．150° D．135°
15．如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 C，D 分别落 在点 C′，D′的位置上，EC′交 AD 于点 G，若∠EFG＝60°，试求 ∠BEG 的度数．
9．如图，直线 AB∥CD，BC 平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2 的 度数．
类型之三 与三角板或直尺有关的角度计算 10．将一副直角三角板如图摆放，点 C 在 EF 上，AC 经过点 D. 已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则 ∠CDF＝________.
11．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含 30°角的三角尺 的短直角边和 45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1 的度数是 ________．
12．如图，四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90° ，BE 平分∠ABC， DF 平分∠ADC，则 BE 与 DF 有何位置关系？试说明理由．
13．如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)猜想∠AOC 与∠BOD 的大小关系，并说明理由； (2)求∠AOD＋∠BOC 的度数； (3)若∠BOD 与∠AOD 的度数比为 2∶11，求∠BOC 的度数．