2019-2020山西省太原市高二上学期期末考试数学(文科)试卷及答案
2019-2020学年山西省高二上学期期中考试数学(文)试题—附答案
2019-2020学年山西省高二上学期期中考试数学（文）试题—附答案2019〜2020学年山西省高二上学期期中联合考试数学（文科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：人教A版必修2占70%,必修1,3,4,5占30%. 第I卷一、选择题:本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A= {} ,B={}，则A. (-2,+∞) a [-2,2] C (-2,2] D.[-5，+∞) 2. 在空间直角坐标系中，若A(0,1,6)，B(-1,2,8)，则3.某中学初一、初二、初三的学生人数分别为500,600,700,现用分层抽样的方法从这三个年级中选取18人参加学校的演讲比赛，则应选取的初二年级学生人数为A.5 B.6 C.7 D.84.若直线与平行，则的值为A. 2 B.1或3 C.3 D. 2或35.已知，，是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列判断正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.已知两个单位向量的夹角为，向量,则A. B. C. D.77.点到直线的距离的最小值为A.4 B. C. D.8.已知A(1,0)，B(0,2) ,C(2,6)，则△ABC的BC边上的高线所在的直线方程为A. B. C. D.9.光线自点(2,4)射入，经倾斜角为的直线反射后经过点(5,0),则反射光线还经过下列哪个点A.（14,2)B. (14,1)C.(13.2)D.(13,l) 10.已知P，Q分别为圆与圆上的动点,A 为轴上的动点，则的最小值为A. B. C. D. 11.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2):当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为A. B. C. D. 12.若直线与函数的图象恰有3个不同的交点,则A. B. C. D. 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设函数，则___ . 14.如图,某几何体由两个同底面的圆锥组合而成,若底面积为,小圆锥与大圆锥的高分别为4和6，则该几何体的表面积为___ . 15.若圆与圆内切，则___ . 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,ABLAD,AB//CD, AD-CD- PD=2,AB=1,E,F分别为棱PC,PB上一点.若BE与平面PCD所成角的正切值为2,则(AF+ EF)2的最小值为___ . 三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或卡演算步骤17. (10分) 已知直线经过点(3,-2).(1)若与直线平行,求的方程(结果用一般式表示)；(2)若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的方程(结果用一般式表示). 23:12:38 18. (12分) 已知四棱椎P-ABCD的直观图如图所示,其中AB,AP ,AD两两垂直,AB-AD-AP=2,且底面ABCD为平行四边形. (1)证明:PA⊥BD. (2)如图、网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四校锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图,并求四梭锥P-ABCD的表面积. 19. (12分) a,b,c分别为△ABC内角A,B.C的对边.已知. (1)若△ABC的面积为，求；(2)若,求△ABC的周长. 20. (12分) 如图，在直四棱柱ABCD- -A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形，O为A1C1 的中点,且AB=2. (1)证明:OD//平面AB1C. (2)若异面直线OD与AB1所成的正弦值为，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积. 21.(12分) 在数列{},{}中, .等差数列{}的前两项依次为,. (1)求{}的通项公式；(2)求数列{}的前项和. 22.(12分) 22.(12分) 已知直线与圆交于M,N两点. (1)求的斜率的取值范围. (2)若O为坐标原点,直线OM与ON的斜率分别为,试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.感谢您的阅读！。
2019-2020学年山西省高三(上)期末数学试卷(文科)(a卷)
2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（文科）（A 卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x =<，2{|0}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„2．（5分）已知复数z 满足21iz i-=+，则(z = ) A ．132i+ B ．132i- C ．32i+ D ．32i- 3．（5分）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是( )A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 4．（5分）已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos()(πθ-= )A ．45-B ．45 C ．35-D ．355．（5分）若椭圆221(0)2x y p p p+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则(p = )A ．2B ．3C ．4D ．86．（5分）已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）函数2sin()1x xf x x +=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则( )A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行9．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为( ) A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．2021202010．（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数．如果它是奇数．则对它乘3再加1，如果它是偶数．则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10．则输出i 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．811．（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DABπ∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 12．（5分）设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，[,]43ππϕ∈，已知()f x 在[0，2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是( ) A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若||3a =r，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为 ． 14．（5分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列1{2}n S a -也为等比数列，则43S S = 15．（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品）．如果将5袋产品以1~5编号，第i 袋取出i 个产品(1i =，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量y = g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y = g ．16．（5分）已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212()0||||PF PF QF PF PF +=u u u r u u u u r u u u u r u u ur u u u u r g ，②1212()0||||PF PF QP PF PF λ++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则点Q 的轨迹方程为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．18．（12分）“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12，16]内的人数为92．（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16，24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16，20]，(20，24]内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与C ，D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点P ，Q 在平面ABCD 的两侧． （1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点E ，F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题． ()i 证明：//EF 平面PAQ ； ()ii 求三棱锥A OEF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为4，且过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 于一点(Q Q 不与A ，B 重合）．设ABQ ∆的外心为G ，求证2||||AB GF 为定值． 21．（12分）已知函数()2(12)a f x x a lnx x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为212(2x ss y s ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-．（1）求不等式()6f x …的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(,)m n ，正数a ，b 满足6ma nb +=，求23a b+的取值范围．2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（文科）（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x =<，2{|0}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„【解答】解：由题意得2{|log 1}{|02}A x x x x =<=<<，2{|0}{|0B x x x x x =->=<或1}x >， {|12}A B x x ∴=<<I ．故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足21iz i-=+，则(z = ) A ．132i+ B ．132i - C ．32i+ D ．32i- 【解答】解：2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i ---===-++-， 故选：B ．3．（5分）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是( )A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位【解答】解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故D 项表达错误． 故选：D ．4．（5分）已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos()(πθ-= )A ．45-B ．45 C ．35-D ．35【解答】解：因为角θ的终边过点(3,4)P -，所以5r ， 所以3cos 5x r θ==-， 所以3cos()cos 5πθθ-=-=． 故选：D ．5．（5分）若椭圆221(0)2x y p p p+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则(p = )A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：由椭圆221(0)2x y p p p+=>，得c∴椭圆的焦点坐标为(0)，0)，抛物线的焦点坐标为(2p，0)，∴2p=，解得4p =， 故选：C ．6．（5分）已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：()x f x ae x b =++的导数为()1x f x ae '=+，所以(0)12f a '=+=，解得1a =， (0)13f a b b =+=+=，所以2b =，所以2ab =，故选：B ．7．（5分）函数2sin ()1x xf x x +=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：2sin ()1x x f x x +=+是奇函数，排除A ；2sin ()01f ππππ+=>+，排除B ，C ． 故选：D ．8．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则( )A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行【解答】解：取CF 的中点H ，连接DH ，GH ，在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以//GH BC ，且223GH BC ==， 又因为//AD BC 且2AD =，所以//GH AD ，且GH AD =， 所以四边形ADHG 为平行四边形，所以//AG DH ，且AG DH =． 在PDH ∆中，E 、F 分别为PD 和PH 的中点，所以//EF DH ，且12EF DH =， 所以//EF AG ，且12EF AG =，即2AG EF =． 故选：D ．9．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为( ) A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【解答】解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则112767282a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩． ∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，*n N ∈． ∴111(1)n n a a n n +=+． 设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则12231111n n n T a a a a a a +=++⋯+1111223(1)n n =++⋯+⨯⨯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 202020202021T ∴=． 故选：A ．10．（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数．如果它是奇数．则对它乘3再加1，如果它是偶数．则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10．则输出i 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：模拟程序的运行，可得0i =，10n =不满足条件1n =，满足条件n 是偶数，5n =，1i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，16n =，2i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，8n =，3i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，4n =，4i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，2n =，5i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，1n =，6i = 此时，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为6． 故选：B ．11．（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 【解答】解：根据已知得三棱锥A BCD -的外接球的半径1r =，90ADB ACB ∠=∠=︒Q ，AB ∴为外接球直径，则2AB =，且3AD =，1BD =，2AC BC ==．当点C 到平面ABD 距离最大时，三棱锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，∴1113311332A BCD C ABD ABD V V S d --∆===⨯⨯⨯⨯=g ． 故选：B ．12．（5分）设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，[,]43ππϕ∈，已知()f x 在[0，2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是( ) A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【解答】解：设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，所以sin y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点， 可知425ππωϕπ+<„，所以52222ϕϕωππ-<-„， 又[,]43ππϕ∈，所以5342222ππωππ-<-„，即15783ω<„，满足的只有A ，故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若||3a =r ，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为 3π．【解答】解：设a r 与b r 的夹角为θ，则[0θ∈，]π，Q ||3a =r，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，∴2244943cos 4437a a b b θ++=++=rrrr g g g g ，求得1cos 2θ=，3πθ∴=， 故答案为：3π． 14．（5分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列1{2}n S a -也为等比数列，则43S S =1514【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，对于等比数列1{2}n S a -，其前三项为：1a -，21a a -，321a a a +-，则有2132121()()()a a a a a a -+-=-， 变形可得：22(1)(1)q q q -+-=-， 解可得：12q =或0（舍)，则12q =， 则41443313(1)1151(1)1141a q S q q a q S q q---===---； 故答案为：1514． 15．（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品）．如果将5袋产品以1~5编号，第i 袋取出i 个产品(1i =，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量y = 1520g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y = g ．【解答】解：第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个．若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=； 若次品是第({1n n ∈，2，3，4，5})袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010y n n n =⨯-+⨯=+，{1n ∈，2，3，4，5}． 故答案为：1520；150010n +，{1n ∈，2，3，4，5}．16．（5分）已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212()0||||PF PF QF PF PF +=u u u r u u u u r u u u u r u u ur u u u u r g ，②1212()0||||PF PF QP PF PF λ++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则点Q 的轨迹方程为 2211()2x y x +=> ．【解答】解：设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上，结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在△2PF A 中，2AF PQ ⊥．又PQ 平分2APF ∠，所以△2PF A 为等腰三角形，即2||||PF PA =，2||||AQ QF =．因为点P 为双曲线上的点，所以12||||2PF PF -=，即12||||||2PA AF PF +-=，所以1||2AF =．又在△12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点，所以11||||12OQ AF ==，所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆，所以点Q 的轨迹方程为2211()2x y x +=>．故答案为：2211()2x y x +=>．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【解答】解：sin 2sin()0c B b A B -+=Q ，由正弦定理可得，sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简可得，2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=，sin sin 0B C ≠Q ，1cos 2B ∴=， (0,)B π∈Q ，∴13B π=，（2）由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，27b ∴=，由正弦定理可得，sin 321sin c B C b ==18．（12分）“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12，16]内的人数为92．（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16，24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16，20]，(20，24]内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率．【解答】解：（1）由已知可得14(0.02500.04750.05000.0125)0.1150a=÷-+++=，所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为(60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125)413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．（2）因为0.1150492n⨯⨯=，所以922000.11504n==⨯．故参与主题教育活动的时间在(16，20]的人数为0.0500420040⨯⨯=，参与主题教育活动的时间在(20，24]的人数为0.0125420010⨯⨯=．则利用分层抽样抽取的人数：在(16，20]内为4人，设为a，b，c，d，在(20，24]内为1人，设为A．从这5人中选取3人的事件空间为：{(a，b，)c，(a，b，)d，(a，b，)A，(a，c，)A，(a，d，)A，(b，c，)d，(b，c，)A，(b，d，)A，(c，d，)}A，共10种情况，其中全是二等奖的有4种情况，故3人均获二等奖的概率42105P==．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆弧CD上的一动点（不与C，D重合），点Q是圆弧AB的中点，且点P，Q在平面ABCD的两侧．（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点E ，F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题． ()i 证明：//EF 平面PAQ ； ()ii 求三棱锥A OEF -的体积．【解答】解：（1）证明：因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥， 又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与C ，D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又AD PD D =I ，PD 在平面PAD 内，AD 在平面PAD 内，所以PC ⊥平面PAD ， 又PC 在平面PBC ，故平面PAD ⊥平面PBC ．（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO ．()i 证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为E ，F 分别为三角形的重心，所以23PE PF PM PN ==，所以//EF MN ， 所以//EF AQ ，又AQ 在平面PAQ 内，EF 不在平面PAQ 内，所以//EF 平面PAQ ．()ii 因为PO ⊥平面ABO ，所以PO BO ⊥，又AO BO ⊥，AO PO O =I ，所以BO ⊥平面PAO ， 因为////EF AQ BO ，所以EF ⊥平面PAO ，即EF ⊥平面FAO ，即EF 是三棱锥E AOF -的高．又23EF BO ==11232AOF S ∆=⨯⨯ 所以14||327A OEF E AOF AOF V V S EF --∆===g ． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为4，且过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 于一点(Q Q 不与A ，B 重合）．设ABQ ∆的外心为G ，求证2||||AB GF 为定值． 【解答】解：（1）由题意知2a =，将P 点坐标代入椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，得291414b +=，解得b = 所以椭圆方程为22143x y +=；（2）证明：由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得22(34)690m y my ++-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 所以AB 的中点坐标为2243(,)3434mm m -++，所以2212(1)||34m AB m +==+． 因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为2234()3434m y m x m m +=--++，令0y =，得2134x m =+，即21(,0)34G m +，所以2222133|||1|3434m GF m m +=-=++， 所以2222212(1)||34433||34m AB m m GF m ++==++，所以2||||AB GF 为定值，定值为4． 21．（12分）已知函数()2(12)af x x a lnx x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>． 【解答】解：（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x-+---+'=+-==>， ①当0a „时，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增； ②当0a >时，(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减； (,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增．（2）由（1）知，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意； 当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则f '（a ）0=． 不妨设120x a x <<<， 要证12()02x x f +'>，即证122x x a +>，即证212x x +>，即证212x a x >-．因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证21()(2)f x f a x >-，因为21()()f x f x =，所以即证11()(2)f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-， 令()()()[2()(12)()][2()(12)()]a ag x f a x f a x a x a ln a x a x a ln a x a x a x=+--=++-++--+--++-4(12)()(12)()a ax a ln a x a ln a x a x a x=+-+---+-+-． 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- 222222222222(12)2()4()4()()()()a a a a x x x a a a x a x a x a x a x -+--=+-=-+-+-． 当(0,)x a ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈，时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-，又1(0,)x a ∈，所以11()(2)f x f a x >-，所以12()02x x f +>． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为212(x ss y ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解答】解：（1）直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为212(x s s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），消取参数可知：C 的直角坐标方程为：24y x =．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入l 的极坐标方程cos 2sin 90ρθρθ++=，可得l 的直角坐标方程为：290x y ++=．（2）设点2(2s P)，则点P 到直线l的距离221|9||(5|s s s d ++++==g ，当s =-d ==[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-． （1）求不等式()6f x „的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(,)m n ，正数a ，b 满足6ma nb +=，求23a b+的取值范围．【解答】解：（1）33,2()|1||24|5,1233,1x x f x x x x x x x -⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，∴由()6f x „，得2336x x ⎧⎨-⎩…„或1256x x -<<⎧⎨-+⎩„或1336x x -⎧⎨-+⎩„„，[2x ∴∈，3]或(1,2)x ∈-或1x =-．综上，[1x ∈-，3]．（2）Q 33,2()5,1233,1x x f x x x x x -⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，∴当2x =时，()3min f x =，最低点为(2,3)，即236a b +=，∴132a b+=． ∴232323()()3232a b b a a b a b a b +=++=+++ 1325266+=…，当且仅当65a b ==时等号成立， ∴2325[,)6a b +∈+∞．。
山西省太原市东大学校2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析
山西省太原市东大学校2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列满足，若，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 已知直线经过，则的斜率为（）A． B． C． D．参考答案：A3. 长方体三个面的面对角线的长度分别为3,3，那么它的外接球的表面积为( )．(A) 8 (B)16(C) 32 (D)64参考答案：B4. 已知函数，若存在实数，当任意时，恒成立，则实数的最大值为（）.A. 5B. 4C. 3D. 2参考答案：B5. 设，则（）．A．B．C． D．参考答案：B6. 已知函数的最小正周期为，则函数的图像的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．参考答案：C略7. 若圆上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是A. B. C.D.参考答案：C8. 已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段,则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）参考答案：A略9. 定义域为的函数满足当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C10. 若函数在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1）上不是单调函数，在实数k的取值范围是（）（A）[1,+∞）（B）（C.）（1,2）（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是________．参考答案：12. 若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是 .参考答案：13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．参考答案：2＋14. 在等比数列中，＝1，，则＝.参考答案：4略15. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是；优秀率为参考答案：800，20%16. 设圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为．参考答案：y=2x﹣1或y=﹣2x+11【考点】直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．【分析】由题意可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3），P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，然后由方程的根与系数关系可得，x1+x2，x1x2，由A为PB的中点可得x2=2x1，联立可求x1，x2，进而可求k，即可求解直线方程【解答】解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3）令x=0可得y=5﹣3k即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=①∵A为PB的中点∴即x2=2x1②把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8∴k=±2∴直线l的方程为y﹣5=±2（x﹣3）即y=2x﹣1或y=﹣2x+11故答案为：y=2x﹣1或y=﹣2x+1117. 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年1月山西省高2020届高2017级高二第一学期期末测评考试文科数学试题及参考答案解析
2018-2019学年度山西省高中二年级第一学期期末测评考试文科数学试题一、单选题1.设命题p ：22≥,命题q ：{1}{0,1,2}⊆,则下列命题中为真命题的是( ) A.p q ∧ B.p q ⌝∧ C.p q ∧⌝D.p q ⌝∨⌝【试题参考答案】A【试题解析】判断命题,p q 的真假,然后根据“且”命题、“或”命题的真假判断原则,对四个选项逐一判断,选出正确的答案.∵命题p 为真,命题q 也为真,∴p q ∧为真,故本题选A.2.与直线1l ：10x --=垂直且过点(-的直线2l 的方程为( )A.20x --= 0y +=C.40x --= 0y +-= 【试题参考答案】B【试题解析】求出直线1l 的斜率,然后求出与其垂直的直线2l 的斜率,利用点斜式可得直线2l 的方程,化为一般式,最后选出正确答案.∵直线1l ：10x --=∴与其垂直的直线2l 的斜率为,根据点斜式可得直线2l 的方程为1)y x =+,0y +=.本题考查了两直线互相垂直时,它们的斜率之间的关系,考查了直线的点斜式方程的应用.3.命题“x R ∀∈,22x x ≠”的否定是( ) A.x R ∀∈,22x x =B.0x R ∃∉,2002x x = C.0x R ∃∈,2002x x ≠D.0x R ∃∈,2002x x =【试题参考答案】D【试题解析】全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词,第二步是将结论加以否定.根据全称命题的否定的原则,命题“x R ∀∈,22x x ≠”的否定是0x R ∃∈,2002x x =,故本题选D.本题考查了全称命题的否定,改量词,否定结论是关键. 4.下列导数运算正确的是( ) A.211'x x⎛⎫=⎪⎝⎭ B.(sin )cos x 'x =-C.(3)'3x x =D.1(ln )x '=x【试题参考答案】D【试题解析】根据导数的运算法则和特殊函数的导数,逐一判断.∵根据函数的求导公式可得,∵'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∴A 错；∵'(sin )cos x x =,∴B 错；∵'(3)3ln 3x x =,C 错；D 正确.本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数. 5.下列命题中,假命题．．．的是( ) A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交. B.平行于同一平面的两条直线一定平行.C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.D.若直线l 不平行于平面α,且l 不在平面α内,则在平面α内不存在与l 平行的直线. 【试题参考答案】B【试题解析】利用线面平行的定义、性质定理,面面垂直性质定理,四个选项逐一判断.选项A: 由直线与平面相交的性质,知一条直线与两个平行平面中的一个相交, 则必与另一个平面相交,所以l 与β相交；选项B:平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面；选项C:由面面垂直的判定定理可知：本命题是真命题；选项D:根据线面平行的判定定理可知：本命题是真命题,故本题选B.本题依托线面的平行的判定与性质、面面垂直的判定,考查了判断命题真假的问题,考查了反证法.6.曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的( )A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【试题参考答案】C【试题解析】可以判断出两个曲线的类型,然后求出它们的焦距,这样可以选出正确的答案.曲线221169x y +=表示椭圆,焦距为2c ==,当916k <<时,曲线221169x y k k+=--表示双曲线,焦距为2c ===,故两条曲线的焦距相等,故本题选C.本题考查了通过曲线方程识别曲线的能力,考查了椭圆与双曲线方程中,,,a b c 之间的关系.7.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ,B 两点,若OAB ∆为正三角形,则实数m 的值为( )A.2 B.2D.22- 【试题参考答案】D【试题解析】 由题意得,圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0),半径1r =.因为OAB ∆为正三角形,则圆心O 到直线0x y m -+==,即2d==,解得=mm=,故选D.8.若双曲线221yxm-=的一个顶点在抛物线212y x=的准线上,则该双曲线的离心率为( )C.D.【试题参考答案】B【试题解析】求出抛物线212y x=的准线,这样可以求出m的值,进而可以求出双曲线的离心率.∵抛物线212y x=的准线方程为12y=-,∴14m=,则离心率2e==,故本题选B.本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.9.设不同直线1l：210x my--=,2l：(1)10m x y--+=,则“2m=”是“12l l//”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题参考答案】C【试题解析】当m＝2时,代入两直线方程中,易知两直线平行,即充分性成立.当l1∥l2时,显然m≠0,从而有2m＝m－1,解得m＝2或m＝－1,但当m＝－1时,两直线重合,不合要求,故必要性成立,故选C.：充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p⇒q”为真,则p是q的充分条件.2.等价法：利用p⇒q与非q⇒非p,q⇒p与非p⇒非q,p⇔q与非q⇔非p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.3.集合法：若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B,则A是B的充要条件. 10.设函数321()(2)3f x x a x ax =+-+,若函数()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( )A.2y x =-B.y x =-C.2y x =D.y x =【试题参考答案】C【试题解析】由函数()f x 为奇函数,可以求出a 的值,求出函数的导数,可以求出曲线的切线的斜率,最后求出切线方程.∵函数()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-⇒2a =,即31()23f x x x =+.又∵'(0)2f =,∴切线的方程为2y x =.本题考查了奇函数的性质,考查了求曲线的切线方程.11.矩形ABCD 中,AB =2BC =,沿AC 将三角形ADC 折起,得到四面体A BCD -,当四面体A BCD -的体积取最大值时,四面体A BCD -的表面积为( )A.B.C.D.【试题参考答案】D【试题解析】在矩形ABCD 中,沿AC 将三角形ADC 折起,当平面ADC ⊥平面ABC 时,得到的四面体A BCD -的体积取到最大值,作DE AC ⊥,可以求出DE 的大小,这样通过计算可以求出四面体A BCD -的表面积.在矩形ABCD 中,沿AC 将三角形ADC 折起,当平面ADC ⊥平面ABC 时,得到的四面体A BCD -的体积取到最大值,作DE AC ⊥,此时点D 到平面ABC的距离为AD DC DE AC ⨯===∵4AC =,∴21AD AE AC ==,∴3CE =,作EF AB ⊥,EG BC ⊥,由AEF ACB ∆∆:,可得12EF =,∴132DF =,∴1133923222ADB S ∆=⨯⨯=.同理可得,22133392(3)22DBCS ∆⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭,∴四面体A BCD -的表面积为ACD ABC ABD BDC S S S S S ∆∆∆∆=+++4339=+.本题考查了三棱锥的表面积,考查了数学运算能力.12.已知函数()xe f x ax x=-,(0,)x ∈+∞,当21x x >时,不等式()()12210f x f x x x -<恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(,]e -∞D.(,)e -∞【试题参考答案】A【试题解析】由已知(0,)x ∈+∞,21x x >,()()12210f x f x x x -<,可以变形为()()1122x f x x f x <,可以构造函数2()()x g x xf x e ax ==-,可知函数2()()x g x xf x e ax ==-是增函数,故'()20xg x e ax =-≥,常变量分离,2x e a x ≤,设()2xh x xe =,求导,最后求出()h x 的最小值,最后求出实数a 的取值范围. ∵()()12210f x f x x x -<且(0,)x ∈+∞,∴当21x x >时,()()1122x f x x f x <,即函数()xf x在(0,)+∞上是一个增函数.设2()()x g x xf x e ax ==-,则有'()20x g x e ax =-≥,即2x e a x ≤,设()2x h x x e =,则有2(1)'()2xx e h x x-=,当(0,1)x ∈时,'()0h x <,()h x 在(0,1)上单调递减,当(1,)x ∈+∞时,'()0h x >,()h x 在(1,)+∞上单调递增,()h x 在1x =处取得最小值,(1)2eh =,∴2e a ≤.本题考查了利用导数,根据函数的单调性求参数问题,通过已知的不等式形式,构造函数,利用新函数单调性,求出最值,是解题的关键.二、填空题13.命题“若2320x x -+=,则1x =或2x =”的逆否命题为__________. 【试题参考答案】“若1x ≠且2x ≠,则2320x x -+≠”.【试题解析】若原命题为“若p ,则q ”,那么它的逆否命题为“若q ⌝,则p ⌝.”因为若原命题为“若p ,则q ”,那么它的逆否命题为“若q ⌝,则p ⌝.”所以命题“若2320x x -+=,则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠,则2320x x -+≠”.本题考查了写出原命题的逆否命题,关键是要知道原命题与逆否命题的关系. 14.曲线2ln 1y x =+在点(1,1)处切线的斜率为__________. 【试题参考答案】2.【试题解析】求导,把1x =代入导函数中,直接求出在点(1,1)处切线的斜率.∵112'2x x y x====,∴2k =切.本题考查了导数的几何意义,求曲线的切线斜率.15.直三棱柱111ABC A B C -中,若90BAC ∠=︒,AB AC ==12AA =,则点A 到平面11A BC的距离为__________.【试题参考答案】23 3.【试题解析】法一：由已知可以证明出平面11C A B⊥平面11AA B B,通过面面垂直的性质定理,可以过A作1AG A B⊥,则AG的长为A到平面11A BC的距离,利用几何知识求出AG;法二:利用等积法进行求解.法一：∵1111C A A B⊥,111C A AA⊥,∴11C A⊥平面11AA B B,又∵11C A⊂平面11C A B,平面11C A B⊥平面11AA B B.又∵1A B=平面11C A B I平面11AA B B,∴过A作1AG A B⊥,则AG的长为A到平面11A BC的距离,在1Rt AA B∆中,1122236AB AAAGA B⨯⨯===.法二：由等体积法可知1111A A BCB AA CV V--=,解得点A到平面11A BC的距离为.本题考查了点到面的距离,一般方法是通过几何作图,直接求出点到面的距离,另一种方法是利用等积法进行求解,通过二种方法的比较,后一种方法更方便些.16.已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为1F,2F,A为椭圆上一点,2AF 垂直于x轴,且12AF F∆为等腰三角形,则椭圆的离心率为__________.21.【试题解析】通过2AF 垂直于x 轴,可以求出22bAF a=,由已知12AF F ∆为等腰三角形,可以得到212AF F F =,结合,,a b c 的关系,可以得到一个关于离心率e 的一元二次方程,解方程求出离心率e .∵2AF 垂直于x ,∴可得22bAF a=,又∵12AF F ∆为等腰三角形,∴212AF F F =,即22b c a =,整理得2210e e +-=,解得1e =.本题考查了求椭圆离心率问题,关键是通过已知条件构造出关于离心率的方程.三、解答题17.已知p ：对任意的实数k ,函数2()log ()f k k a =-(a 为常数)有意义,q ：存在实数k ,使方程22113x y k k+=+-表示双曲线.若q ⌝是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【试题参考答案】1a <-.【试题解析】求出函数2()log ()f k k a =-的定义域；方程22113x y k k+=+-表示双曲线,可以求出k 的取值范围,进而可以求出q ⌝是成立时,k 的取值范围,根据已知q ⌝是p 的充分不必要条件,可以求出实数a 的取值范围.由p 可得k a >,由q 知22113x yk k+=+-表示双曲线,则(1)(3)0k k +-<,即1k <-或3k >,∴q ⌝：[1,3]k ∈-.又∵q ⌝是p 的充分不必要条件, ∴1a <-.本题考查了已知充分不必要性,求参问题,关键是对充分不必要条件的理解. 18.已知圆C ：22240x y x y +-+=.(1)若直线l ：20x y t -+=与圆C 相切,求t 的值；(2)若圆M ：222(2)(4)x y r ++-=与圆C 相外切,求r 的值. 【试题参考答案】(1) 0t =或10t =-.(2) 25r =.【试题解析】(1)根据圆的一般方程,化为标准方程形式,求出圆心坐标和半径,利用点到圆切线的距离等于半径,求出t 的值；(2)根据两圆相外切时,两圆半径和等于两圆的圆心距,求出r 的值.(1)由圆C 的方程为22240x y x y +-+=,即22(1)(2)5x y -++=,∴圆心(1,2)C -,半径为5.又∵直线l ：20x y t -+=与圆C 相切,∴圆心C 到直线l 的距离55d ==,即55t +=, 解得0t =或10t =-.(2)由题得,圆心)4,2(-M ,因为圆M 与圆C 相外切, 所以5CM r =+,又∵35CM =,∴解得25r =.本题考查了圆的切线性质、圆与圆相外切的性质,考查了运算能力. 19.已知抛物线C ：22(0)y px p =>.(1)若直线20x y --=经过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的准线方程；(2)若斜率为-1的直线经过抛物线C 的焦点F ,且与抛物线C 交于A ,B 两点,当2AB =时,求抛物线C 的方程.【试题参考答案】(1) 2x =-.(2) 2y x =.【试题解析】(1)由抛物线的焦点的位置,可以判断出直线20x y --=与横轴的交点坐标就是抛物线C 的焦点,这样可能直接写出抛物线的准线方程；(2)写出斜率为-1经过抛物线C 的焦点F 的直线的方程,与抛物线方程联立,根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出AB ,结合已知2AB =,求出的值,写出抛物线的方程.(1)∵直线20x y --=经过抛物线C 的焦点, ∴抛物线C 的焦点坐标为(2,0), ∴抛物线C 的准线方程为2x =-.(2)设过抛物线C 的焦点且斜率为-1的直线方程为2py x =-+,且直线与C 交于,,由222p y x y px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩化简得22304p x px -+=,∴.∵1242AB x x p p =++==,解得12p =, ∴抛物线C 的方程为2y x =.本题考查了已知抛物线过定点,求抛物线的标准方程,以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.20.已知函数2()2ln f x x ax =-. (1)若1a =,证明：()10f x +≤； (2)当1a e=时,判断函数()f x 有几个零点. 【试题参考答案】(1)见解析.(2)见解析.【试题解析】(1)1a =时,对函数2()2ln f x x ax =-求导,求出函数的最大值,这样就可以证明出()10f x +≤； (2)当1a e=时,对函数2()2ln f x x ax =-求导,列表求出函数的单调性与极值,根据单调性和极值情况,可以判断出函数()f x 的个数.(1)当1a =时,2()2ln f x x x =-,(0,)x ∈+∞.()22122(1)(1)'()2x x x f x x x xx--+=-==.∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-,即当(0,)x ∈+∞,()1f x ≤-, ∴(0,)x ∈+∞时,()10f x +≤. (2)当1a e =时,21()2ln f x x x e=-,(0,)x ∈+∞.∴()2222'()e xf e x x x ex-=-==∵210ef ==,∴函数()f x 在(0,)+∞上只有一个零点.∴当1a e=时,函数()f x 在(0,)+∞上只有一个零点.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>,该椭圆经过点(0,2)B ,.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设M 是圆2212x y +=上任意一点,由M 引椭圆C 的两条切线MA ,MB ,当两条切线的斜率都存在时,证明：两条切线斜率的积为定值.【试题参考答案】(1) 22184x y +=.(2)见解析.【试题解析】(1)由椭圆经过点(0,2)B ,可以求出b 的值,由离心率为2,可知,a c 的关系,结合,,b a c 之间的,可以求出,,b a c 的值,这样就求出椭圆的标准方程；(2)设00(,)M x y ,且220012x y +=.点M 引椭圆C 的切线方程可设为()00y y k x x -=-,与椭圆方程联立,让根的判断式为零,得到一个关于k 的一元二次方程,利用根与系数的关系,可以证明出两条切线斜率的积为定值.(1)由题意得22222c a a b c b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩,解得28a =,24b =.∴椭圆C 的标准方程为22184x y +=.(2)设00(,)M x y ,且220012x y +=.由题意知,过点M 引椭圆C 的切线方程可设为()00y y k x x -=-,联立()0022184y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩化简得()()()2220000124280k xk y kx x y kx ++-+--=.∵直线与椭圆相切, ∴()()()22200004412280k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦,化简得()22200008240x k x y k y --+-=.∴2200122200448128y y k k x y --⋅==---202414y y -==--. ∴两条切线斜率的积为定值.本题考查了求椭圆的标准方程,椭圆的切线方程,以及利用方程的根与系数关系证明两条切线斜率乘积为定值问题.22.已知函数()2()1xf x x ax e =--. (1)若1a =,求函数()f x 的单调区间；(2)当0a ≥时,若函数()()2x g x f x e =+在1x =处取得极小值,求函数()g x 的极大值.【试题参考答案】(1) 函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(1,)+∞,单调递减区间为(2,1)-.(2)4e. 【试题解析】(1)求导,让导函数等于零,求出零点,列表判断出函数的单调性； (2)求导,根据a 的取值不同,进行分类讨论,列表,根据函数的单调性,求出极大值.(1)当1a =时,()2()1xf x x x e =--.()2'()2(2)(1)x x f x x x e x x e =+-=+-.∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(1,)+∞,单调递减区间为(2,1)-. (2)由题意得()2()1e xg x x ax =-+,则2'()(2)(1)xg x x a x a e ⎡⎤=----⎣⎦(1)[(1)]xx x a e =+--. ∵0a ≥,∴当0a =时,11a -=-,即()g x 在R 上单调递增,无极值,∴不符合题意,舍去； 当0a >时,11a ->-,则有∴令11a -=,解得2a =,∴函数()g x 在1x =-处取得极大值,且极大值为14(1)(1)2g f ee--=-+=.。
2019-2020学年山西省太原市第五十五中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2019-2020学年山西省太原市第五十五中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A．B．C．5 D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为2、3和，即可得出．【解答】解：由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为2、3和，其面积为．故选：B．【点评】本题考查了三视图的应用及其性质、梯形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 若曲线在点（0，b）处的切线方程是x+y－1=0，则A. a=1，b=1B. a=－l，b=lC. a=l，b=－1D. a=－1，b=－16参考答案：B求得函数的导数求得，由切线的方程为，求得，把点代入切线方程，求得的值，即可求解．【详解】由题意，函数，则，所以，又由切线的方程为，所以，把点代入切线方程，即，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理利用切线的方程和切点的坐标适合切线，列出方程是解答的关键，着重考查了推基础题理与运算能力，属于．3. 已知椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．+=1 B．+=1C．+y2=1 D．+y2=1参考答案：A【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，利用离心率求出a，然后求出b，即可得到椭圆方程．【解答】解：椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点（﹣2，0）重合，可得c=2，则a=4，b=2，则此椭圆方程为：+=1．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．4. 设是等差数列，且则这个数列的前5项和S5=( )A．10 B．15 C．20 D．25参考答案：D5. 棱长为1的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，，，，则（）．A．B．C．D．1参考答案：B从与各顶点相连，构成个小棱锥，如图所示：因为正四面体的边长为，其高为，则，∴，∴，故选．6. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）A．1B．2C．3D．4参考答案：A设抛物线的焦点为，则，准线方程为，过点向准线作垂线，垂足为，则，由抛物线的定义可得，则，当三点共线时，最小，最小值为，故选A.7. 在复平面内复数（是虚数单位，是实数）表示的点在第四象限，则b的取值范围是（）A.<B.C.< <2 D.< 2参考答案：A略8. 设是等差数列，是的前项和，且，下列四个结论：① ；② ；③ ；④ 均为的最大值.其中正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4C略9. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C．①用系统抽样法；②用分层抽样法D．①用分层抽样法；②用系统抽样法参考答案：B10. 在极坐标系中，点到直线的距离为（）A． B．1 C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点处切线的倾斜角为略12. 若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________．参考答案：13. 一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则该四棱锥的体积为▲，侧视图的面积为▲．参考答案：略14. 已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式的解集是.参考答案：略15. 在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共种（用数字作答）．参考答案：4186【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据题意，至少有3件次品可分为有3件次品与有4件次品两种情况，有4件次品抽法C44C461，有3件次品的抽法C43C462，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：根据题意，“至少有3件次品”可分为“有3件次品”与“有4件次品”两种情况，有4件次品抽法C44C461有3件次品的抽法C43C462共有C44C461+C43C462=4186种不同抽法故答案为：418616. 设随机变量Y的分布列为，则等于______.参考答案：略17. 若双曲线上一点P到右焦点的距离为1，则点P到原点的距离是．参考答案：3【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的方程，求出实轴长，焦距的长，利用已知条件求解即可．【解答】解：双曲线的实轴长为：6，焦距为：8，双曲线上一点P到右焦点的距离为1，满足c﹣a=1，所以P为双曲线右顶点，可得点P到原点的距离是：3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山西省2019-2020学年高二上学期期末调研测试数学(文科)试题
'!#&$&"$
+!#"&&$$
,!#"&$$
)!«HI(#"$)!"&&&,"!#)" ¬?N=&E , 4®N¯°7
*!#& $ &&!$) #!&# $ $
'!#& $ &&!-) ,!&# $ $
#! ! $
+!#&!&!$
,!,&!&!-
/!± -$&E *-)#+7 *: ; -"#'#-##-" ² : ; "#-'#-)" ³ ´ +4
+
#
!"! #* # $'$##/9"#$+ # $' ] ^ _ 6 5 $#!$$$$$$$$$$$$$$$!$! + = > ? @ A # $ "&$ P ` Y a b c $ d c 6 " $"!$$$$$$$$$$$$$$$$$$ !$ +
*:5)
%&"'()
!"!"!#"#$%&'!()*+,-.
#$
#! " # $ " % & #!" ' ( &) ' #%" ' $
*+,-'
""
#!* + , &$ - . / 0 1 2 3 4 5 (6 7 (8 9 (: $ ; < = > ? * + @ A B C 3 D E )
2019-2020年高二上学期期末联考数学(文)试题 含答案
xx 学年度高xx 级上期过程性调研抽测数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．2019-2020年高二上学期期末联考数学（文）试题 含答案注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
参考公式：球的表面积公式： 柱体的体积公式：球的体积公式： 锥体的体积公式 ：棱台的体积公式一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知圆，则圆心坐标是（ ）2.抛物线的准线方程是( )3. 曲线在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是A. -9B. -3C.15D. 94．已知直线l:则过点且与直线l 平行的直线方程是（ ）5．“直线l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面垂直”的（ ）条件. 充要 充分非必要 必要非充分 既非充分又非必要6．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）7．若直线与圆相离，则点与圆的位置关系是（ ）在圆上 在圆外 在圆内 以上都有可能8． 已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )A ．在上为减函数B ．在处取极小值C ．在上为减函数D．在处取极大值9．设是空间不同的直线，是空间不同的平面①则// ; ②//，则//;③则//; ④则//.以上结论正确的是（）①②①④③④②③10．一个圆形纸片，圆心为为圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使点与点重合，然后抹平纸片，折痕为,设与交与点，则点的轨迹是（）双曲线椭圆抛物线圆第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知双曲线，则它的渐近线方程是.12．已知椭圆，则它的离心率为 .13．已知则 .14．如右图是一个几何体的三视图，俯视图是顶角为120度的等腰三角形，则这个几何体的表面积为.15．已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数等于 .三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应位置上．16（本大题满分13分）已知直线过两直线和的交点．求解下列问题.(1)直线经过点，求直线的方程；(2)直线与直线垂直，求直线的方程．17．（本大题满分13分）已知命题命题若命题“且”是真命题，求实数的取值范围.第19题图C 1B 1A 1C BA 18．（本大题满分13分）已知函数.（1）求的单调递减区间.（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值.19．（本大题满分12分）直三棱柱中，．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积．20．（本大题满分12分）已知22x f (x)(x ax 2a 3a)e (x R,a R)=+-+∈∈.时，求曲线在处的切线的斜率.当时，求函数的极值.21．（本大题满分12分）若分别是椭圆的左、右焦点.（1）设点是第一象限内椭圆上的点，且求点的坐标.（2）设过定点的直线l 与椭圆交于不同的点且，（其中为原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.数学参考答案及评分意见一、选择题：1—5 A B D D C ： 6—10 B C C A B二、填空题：11．； 12．； 13．； 14． ； 15．三、解答题：16．解：（1）由···········3分所求直线方程为：···············7分（2）设所求直线方程为：············8分又过P(0,2) ······················10分直线方程为：················13分17．解：由命题可知： ···········5分由命题可知：····9分···································11分又是真命题··································13分18．解：（1）'22f (x)3x 6x 93(x 2x 3)3(x 3)(x 1)=-++=---=--+······3分 ························5分减区间为························7分（2）由（1）知，在上单调递减 上单调递增·········10分···············12分····································13分19．解：（Ⅰ）直三棱柱中，，又可知，………………………2分由于，则由可知，，…………………… 4分则所以有平面 ……………………………………………6分（Ⅱ）直三棱柱中，，…………………….8分因为，所以ABC 面积为................10分.............12分20．解：（1）时，2x '2x 'f (x)x e ,f (x)(x 2x)e ,f (1)3e ==+=在处的切线斜率为3e ················3分(2)令得················4分①当时，得：f(x)在为增函数在为减函数··········6分极大值f(x)极小值············8分②当时，得在上为增函数，在上为减函数········10分极大值极小值··············12分21．解：(1)易知12a 2,b 1,c F (==∴设则22125PF PF (x,x,y)x y 34=---=+-=-，又········3分 联立得 解得，·················5分（2）显然不满足题设条件，可设l 的方程为设联立得 ··················7分 ··················8分由△222(16k)412(14k )04k 30,=-⋅⋅+>⇒->得··············9分 又·················10分 212121212y y (kx 2)(kx 2)k x x 2k(x x )4=++=+++2222121211222212(1k )2k 16k 4(4k )x x y y (1k )x x 2k(x x )440,14k 14k 14k +-∴+=++++=-+=>+++综上可得的取值范围是·····12分。
山西省太原市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
山西省太原市2019-2020学年度高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题）1.双曲线的实轴长为（）A. 2B. 4C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可得答案．【详解】根据题意，双曲线，其中，，其焦点在x轴上，则该双曲线与x轴的交点为与，则实轴长；故选：D．【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题．2.命题：“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】因为的否定是所以命题：“”的否定是,选C3.曲线在处的切线的斜率等于（）A. eB.C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可．【详解】函数的导数为，则在处的导数，即切线斜率，故选：D．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键．4.设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以“l＜x＜2”是“l＜x＜3”的充分而不必要条件，选A．考点：充要关系5.抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：抛物线x2＝4y中，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为2考点：抛物线方程及性质6.对任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C【解析】思路分析：用Ax2+By2=c所表示的圆锥曲线，对于k=0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2+ky2=1不可能表示抛物线7.函数的单调递减区间是（）A. B.C. ，D.【答案】D【解析】【分析】求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数的单调递减区间．【详解】令解得，函数的单调递减区间是．故选：D．【点睛】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性．8.已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】命题“，”为真命题等价于在上有解，构造函数求最大值代入即可．【详解】命题“，”为真命题等价于在上有解，令，，则等价于，，故选：D．【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．9.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可．【详解】函数的定义域为，函数的导数，由得得或舍，此时函数为增函数，由得得，此时，函数为减函数，即当时，函数取得极小值，且极小值为，则对应的图象为A，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函数的单调性是解决本题的关键．10.若函数在区间单调递增，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数在区间单调递增可得：在区间恒成立，，故11.已知双曲线C与椭圆E：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线C的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆，得，，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是．故选：C．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．12.函数的定义域为R，对任意，，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【详解】设，则，对任意，，对任意，，即函数单调递增，，，函数单调递增，即为：由得，即的解集为，故选：B．【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题）13.椭圆的焦距是______【答案】6【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析a、b的值，结合椭圆的几何性质求出c的值，由椭圆焦距的定义分析可得答案．【详解】根据题意，椭圆中，，，则，则该椭圆的焦距；故答案为：6．【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c的值，属于基础题．14.命题“如果，那么且”的逆否命题是______．【答案】如果或，则【解析】【分析】由四种命题之间的关系，即可写出结果.【详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果或，则”.故答案为：如果或，则【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.15.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.详解：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.16.已知双曲线E：的右顶点为A，抛物线C：的焦点为若在E 的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．【详解】双曲线E：的右顶点为，抛物线C：的焦点为，双曲线的渐近线方程为，可设，即有，，可得，即为，化为，由题意可得，即有，即，则．由，可得．故答案为：【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).三、解答题（本大题共7小题）17.已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上．判断命题p的否定的真假；若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）为假；（2）.【解析】【分析】（1）根据判别式显然成立，即可判断出结果；（2）先求出为真时，实数m的取值范围，再由“且”是假命题，“或“是真命题，判断出、的真假，进而可得出结果.【详解】（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；（2）由已知得，为真时，，所以为假时，或因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假，所以【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型.18.已知抛物线C：经过点．求抛物线C的方程；若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为，求直线AB的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将点代入，即可求出结果；先设点坐标分别为，结合抛物线方程，作差求出直线AB的斜率，进而可求出结果.【详解】（1）由题知抛物线经过点代入，解得，故抛物线方程为；（2）设点坐标分别为，由为抛物线上的不同两点，故有，由得，整理得，又的中点坐标为，则，代入得，直线过点，直线的方程为，即.【点睛】本题主要考查抛物线方程，以及中点弦的问题，求中点弦所在直线方程，常用点差法结合中点坐标求出斜率，进而可得出结果.19.若是函数的极值点．求a的值；若时，成立，求的最大值．【答案】(1)(2)4【解析】【分析】求解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可；由题意首先讨论函数的单调性，然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即可．【详解】，由已知，得，经检验当时，满足题意，故．由可知，，当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增；因此，极大值为，极小值为，又由得或，由得或，故的最大值为4．【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。
山西省2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)
山西省2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题“()01,x ∃∈+∞，002x x +≥ ） A. ()01,x ∃∈+∞，002x x +≤B. ()01,x ∃∈+∞，002x x +<C. ()01,x ∀∈+∞，002x x +<D. ()01,x ∀∈+∞，002x x +≤【答案】C 【解析】 【分析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词． 【详解】命题“()01,x ∃∈+∞，002x x +≥”的否定是“()01,x ∀∈+∞，002x x +< 故选：C ．【点睛】本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换． 2.已知直线l 过点()2,1-，且在y 轴上的截距为3，则直线l 的方程为（ ） A. 230x y ++= B. 230x y +-= C. 240x y --= D. 260x y -+=【答案】B【分析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式． 【详解】由题意，直线l 过点(0,3)，∴其斜率为13220k --==--，直线方程为y =-2x +3，即2x +y -3=0， 故选：B.【点睛】本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式． 3.函数321()13f x x x =-+在区间[]0,3的最小值是（ ） A. 0 B. 2 C. 13- D. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得函数()f x 的极值点，求得()f x 在区间[]0,3上的最小值. 【详解】依题意()()'222fx x x x x =-=-，所以()f x 在[]0,2上递减，在[]2,3上递增，所以()f x 在2x =处取得极小值也即是最小值为()8124133f =-+=-. 故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数在闭区间上的最小值，属于基础题.4.刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（ ）侧视图俯视图 A. 60 B. 63 C. 84 D. 126【答案】C 【解析】 【分析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积． 【详解】由三视图，棱台体积为222214(3366)843V =⨯⨯⨯=． 故选：C.【点睛】本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．5.抛物线2:2C y px =的准线经过双曲线221124x y -=的左焦点，则抛物线C 的焦点坐标为（ ） A. ()4,0 B. ()4,-0 C. ()0,4- D. ()0,4【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p ，得抛物线焦点坐标．【详解】双曲线221124x y -=中，1244c =+=，∴双曲线的左焦点为(4,0)-，右焦点(4,0)就是抛物线的焦点． 故选：A ．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题． 6.若函数()32236f x x mx x =-+存在极值点，则m 的取值范围是（ ）A. (,2)(2,)-∞-+∞B. (,2][2,)-∞-+∞C. (2,2)-D. [2,2]-【答案】A 【解析】 【分析】通过研究()f x 的导函数()'fx 零点，结合判别式，求得m 的取值范围.【详解】依题意函数()32236f x x mx x =-+存在极值点，其导函数()'2666fx x mx =-+的2361440m ∆=->，解得2m <-或2m >.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数的判别式的运用，属于基础题.7.设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线平行时的a 值，然后再根据充分必要条件的概念判断．【详解】直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行，则210a -=，1a =±， 1a =时，两直线方程分别为20,10x y x y ++=++=，平行，1a =-时，两直线方程分别为0,10x y x y -+=--=，平行，∴直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行充要条件是1a =±，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的充分不必要条件． 故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．8.设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（ ）A. 若αβ⊥，βγ⊥，则//αγB. 若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥C. 若//m α，n ⊂α，则//m nD. 若//αβ，m γα=，n γβ=，则//m n【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质判断A ，B ，由线面平行的性质判断C ，由面面平行的性质判断D ． 【详解】若αβ⊥，βγ⊥，α与γ也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A 错； 若αβ⊥，m α⊂，但m 不与αβ，的交线垂直时，m 不与β垂直，还可以平行，B 错； 若//m α，n ⊂α， m 与n 可能异面，可能平行，C 错； 若//αβ，m γα=，n γβ=，则//m n ，这是面面平行的性质定理，D 正确．故选：D.【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．9.若圆：(22:1C x y +=关于直线:0l x y m -+=对称，1:0l x y -+=，则l 与1l 间的距离是（ ） A. 1 B. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】由圆心在直线l 上求得m ，然后由平行间距离公式求得距离． 【详解】由题意(2,0)C -，圆()22:21C x y ++=关于直线:0l x y m -+=对称，则200m --+=，2m =，即l 方程为20x y -+=，所求距离为2224231(1)d -==+-．故选：D.【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m ，再则平行间距离公式计算．10.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ）A. 16πB. 20πC. 24πD. 64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得22AC =4PA =，则81626PC =+=6OP =，所以球表面积为224()424S OP πππ==⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上． 11.设函数fx 是奇函数()()f x x ∈R 是导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A. (,1)(0,1)-∞-B. (1,0)(1,)C. (,1)(1,0)-∞--D. (0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()F x xf x =，根据题意求得()'F x 的符号，结合函数的奇偶性，求得使()0f x >成立的x 的取值范围.【详解】构造函数()()F x xf x =，当0x >时，()'()()0xf x F x f x '+=>，即()F x 在()0,∞+上递增.由于()f x 是奇函数，所以()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0-∞上递减.而()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0F x xf x =>；当10x -<<或01x <<时，()()0F x xf x =<.所以当10x -<<或1x >时()0f x >. 故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于基础题.12.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 左焦点1F 引渐近线的垂线，垂足为P ，12PF F ∆的面积是2，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22128x y -=B. 2214y x -=C. 221416x y -=D. 2214x y -=【答案】B 【解析】 【分析】离心率为5可得225c a =，1F P 与渐近线垂直，则有1F P b =，从而OP a =，由12PF F ∆的面积是2，可得2ab =，这样可求得,a b ，得双曲线方程．【详解】如图，渐近线OP 方程是by x a=-，即0bx ay +=，由于1F P OP ⊥且1(,0)F c -， 所以122bc F P b b a -==+，所以22OP c b a =-=，11211121222F PO F PF S ab S ∆∆===⨯=，2ab =，又5ce a ==225c a =，∴22224b c a a =-=，2b a =， ∴222ab a ==，1,2a b ==，双曲线方程为：2214y x -=．故选：B.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于,,a b c 的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为b . 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知()sin 2f x x x =+，则()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为_.【答案】20x y -+= 【解析】 【分析】利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程. 【详解】依题意()'sin cos fx x x x =+，'π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，切点坐标为ππ,222⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由点斜式得ππ222y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即20x y -+=.故答案为：20x y -+=【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，属于基础题. 14.以1,2为圆心，且与圆()()22:319C x y -++=外切的圆的标准方程是__________.【答案】()()22124x y ++-= 【解析】 【分析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．【详解】设所求圆半径为r 3r =+，2r ，所以所求圆方程为：()()22124x y ++-=． 故答案为：()()22124x y ++-=．【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径．15.倾斜角是45，且过点()1,4的直线l 交圆22:230C x y y +--=于A ，B 两点，则直线l 的一般式方程__________，=AB __________.【答案】 (1). 30x y -+= (2). 【解析】 【分析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长． 【详解】由题意直线l 的方程为：41y x -=-，即30x y -+=，圆标准方程为：22(1)4x y +-=，圆心为(0,1)C ，半径为2r ，圆心到直线l 的距离为d ==∴AB ==．故答案为：30x y -+=；【点睛】本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算． 16.给出下列命题： （1）若函数21()ln 22f x x m x =-++在(1,)+∞上是减函数，则1m <； （2）直线()2y k x =-与线段AB 相交，其中()1,1A ，()4,2B ，则k 的取值范围是[]1,1-； （3）点1,0P 关于直线210x y -+=的对称点为0P ，则0P 的坐标为76,55⎛⎫-⎪⎝⎭； （4）直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆恰好与直线1x =-相切.其中正确的命题有__________.（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】（3）（4） 【解析】 【分析】对四个命题逐一分析，由此确定命题正确的选项.【详解】对于（1），依题意()2'0m x m f x x x x-+=-+=≤在区间()1,+∞上恒成立，所以()2minm x ≤，所以1m ，故（1）错误.对于（2），直线()2y k x =-过()2,0C ，而点,A B 在直线2x =的两侧，所以k 的取值范围是(][),,AC BC k k -∞⋃+∞，即(][),11,-∞-+∞，故（2）错误.对于（3）直线210x y -+=的斜率为2，060157215PP k -==---，1212⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭；0PP 的中点为13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，点13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭满足直线210x y -+=.所以（3）正确.对于（4），抛物线24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，直线1y x =-过焦点()1,0.直线1y x =-与抛物线相交与,A B 两点，根据抛物线的定义可知，AB 中点到抛物线准线距离等于AB 一半，所以AB 为直径的圆恰好与抛物线的准线1x =-相切，故（4）正确. 故答案为：（3）（4）【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查直线的斜率，考查点关于直线对称轴问题，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.命题p ：直线:340l x y m --=与圆()22:11C x y -+=相交，命题:q 方程22182x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）若命题p 为真，求m 的取值范围； （2）若命题p q ∧⌝为真，求m 的取值范围. 【答案】（1）()2,8-（2）(][)2,25,8-【解析】 【分析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得p 为真时m 的范围．（2）由方程表示焦点在x 轴上椭圆求出m 的范围，由p 真且q ⌝为真得结论． 【详解】解：（1）因为直线:340l x y m --=与圆()22:11C x y -+=相交，1<，解得28m -<<，即m 的取值范围为()2,8-.（2）椭圆焦点在x 轴上，所以80,20,82,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩25m ∴<<p q ∧⌝为真，p ∴真q 假. 2528,m m m ≤≥⎧∴⎨-<<⎩或22m ∴-<≤或58m ≤<所以m 的取值范围为(][)2,25,8-.【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，掌握复合命题的真值表是解题关键．18.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 作斜率为1的直线l交抛物线C 于A ，B 两点. （1）求抛物线C 的方程； （2）求OAB ∆面积.【答案】（1）24y x =（2）【解析】 【分析】（1）根据焦点到准线的距离求得p ，由此求得抛物线的方程.（2）求得直线l 的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得弦长AB ，结合点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，求得OAB ∆的面积.【详解】（1）由题意可知2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. （2）直线l 的方程为y =x -1.设直线k 与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y .联立方程21,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得2610x x -+=.126x x ∴+=.1228AB x x =++=.点O 到直线l 的距离2211d ==+， 所以1282222OAB S ∆=⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）若2PA PD AB ===，60APD ∠=，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】 【分析】（1）由AB CD ∥及90BAP CDP ∠=∠=得CD DP ⊥，CD AP ∴⊥，从而有CD ⊥平面PAD ，于是可得面面垂直．（2）取AD 的中点O ，连接PO ，证明PO ⊥平面ABCD ，同时说明底面是正方形，即可求体积． 【详解】（1）四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥.又90BAP CDP ∠=∠=，即AB AP ⊥，CD DP ⊥，CD AP ∴⊥，DP ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，从而CD ⊥平面PAD . 又CD ⊂平面PCD ， 所以平面PDC ⊥平面PAD .（2）如图，取AD 的中点O ，连接PO .2PA PD ==，60APD ∠=，PO AD ∴⊥，3PO =.又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，CD PO ∴⊥，CD AD ⊥， ∴四边形ABCD 为正方形，又PO AD ⊥，PO ∴⊥平面ABCD ，114322333P ABCD ABCDV PO S-∴=⋅⋅=⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积．证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定定理中还有其他条件也应满足才能得出结论．20.已知直线:310l ax y a --+=恒过定点P ，过点P 引圆()22:14C x y -+=的两条切线，设切点分别为A ，B .（1）求直线AB 的一般式方程；（2）求四边形PACB 的外接圆的标准方程.【答案】（1）260x y +-=（2）()2215224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）直线方程整理成a 的多项式，关于a 恒成立，由恒等式知识可得定点坐标， 过圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P (3,1)，直线x =3是一条切线，可知一切点为A (3,0)，由PC AB ⊥可求得AB 的斜率，从而得直线AB 的方程．不需求另一切点坐标．（2）由切线性质知PC 是四边形PACB 的外接圆的直径，外接圆方程易求． 【详解】（1）直线():13l y a x -=-，∴直线l 恒过定点()3,1P .由题意可知直线3x =是其中一条切线，且切点为()3,0.101==312PC k --，2AB k ∴=-， 所以直线AB 的方程为()23y x =--，即260x y +-=.（2）PCPA AC ⊥，PB BC ⊥所以四边形PACB 的外接圆时以PC 为直径的圆，PC 的中点坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以四边形PACB 的外接圆为()2215224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程．求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，本题直线AB 方程可以由四边形PACB 的外接圆方程与已知圆方程相减可得．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短半轴长为1，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若1OA OB ⋅=-，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）直线l 的方程为10x -=或10x -=【解析】 【分析】（1）由短半长求得b ，结合离心率和222a b c =+求得a ，由此求得椭圆C 的方程. （2）当直线l 与x 轴垂直时，直接求得,A B 两点的坐标，得到12OA OB ⋅=，不符合题意.当当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线l 的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，利用1OA OB ⋅=-列方程，解方程求得l 的斜率，进而求得直线l 的方程. 【详解】（1）由题意得1b =.又因为c a =，222a b c =+，所以a = 所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 与x 轴垂直时，直线:1l x =，得A ⎛ ⎝⎭，1,2B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. 12OA OB ⋅=，不符合题意. 当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线l 的方程代入2212x y +=，得()2222214220k x k x k +-+-=，则2122421k x x k ，21222221k x x k -=+，()()12121212OA OB x x y y x x kx k kx k ⋅=+=+--()()22212121k x x k x x k =+-++ ()222222222412121k k k k k k k -=+-+++ 222121k k -==-+，所以k =.故直线l 的方程为10x -=或10x +-=.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题. 22.已知函数211()ln (1)22f x x ax a x =++++. （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为0,1，单调递减区间为(1,)+∞（2）[1,)-+∞ 【解析】 【分析】（1）当1a =-时，利用导数求得()f x 的单调区间. （2）求得()f x 的定义域为导函数()'fx ，对a 分成0,0,0a a a =><三种情况，结合()f x 的单调性、零点存在性定理，分类讨论求得a 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0)+∞.当1a =-时，21()ln 22x f x x =-+，所以211()x f x x x x-'=-=，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞. （2）()f x 的定义域为(0,)+∞.21(1)1(1)(1)()1ax a x x ax f x ax a x x x+++++'=+++==. （i ）若0a =时，1()ln 2f x x x =++. 10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0f >， ()f x ∴在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点.（ii ）若0a >时，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在(0,)+∞上单调递增，33(1)022a f =+>. 取2(1)0e1a x -+=<，()2000111112(1)(1)2(1)1(1)022222f x a ax a x a a a a =-+++++-+++++=-+<，所以()f x 在()0,1x 有零点. （iii ）若0a <时，当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>. 当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 故()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.此时2111()ln ln 222f x x x ax ax x x =++++<++. 取01e x =，则()01110e 2f x <-++<，只需满足10f a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可， 1111ln 22f a a a ⎛⎫⎛⎫∴-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令1()ln 22xg x x， 11()02g x x '∴=+>，即()g x 在(0,)+∞单调递增，且(1)0g =. 所以要保证()0g x ≥，只需满足1x ≥. 故只需满足11a-≥，即10a -≤<. 综上所述a 的取值范围是[1,)-+∞.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2019-2020年高二上学期期末数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高二上学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．如果命题“非p”是真命题，同时命题“p或q”是真命题，那么下列命题中，一定是真命题的是（）A．q B．p C．非q D．p且q2．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．3．双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）4．给出下列五个导数式：①（x4）′=4x3；②（cosx）′=sinx；③（2x）′=2x ln2；④；⑤．其中正确的导数式共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．341 B．1364 C．1365 D．13666．设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．127．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=18．过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（）A．无数多条 B．3条C．2条D．1条9．x2＜1是﹣1＜x＜1的什么条件（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分与不必要10．曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．e D．11．过抛物线y2=x（a＞0）的焦点F的一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（）A．2a B．C．4a D．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为．14．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其它7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为分．15．命题：“方程x2=2的解是”中使用了逻辑联结词．（填写“或、且、非”）16．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点在圆x2+y2+2x﹣1=0上，则这条抛物线的准线方程为．17．对于函数f（x）=ax3，（a≠0）有以下说法：①x=0是f（x）的极值点．②当a＜0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．④若a＞0且x≠0则f（x）+f（）有最小值是2a．其中说法正确的序号是．三、解答题（本大题共4小题，共44分）18．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=log a x在（0，+∞）上单调递减，q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．若“p且q”为假，“﹁q”为假，求a的取值范围．19．曲线C的方程：（1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？（2）当m为何值时，曲线C表示双曲线？20．求函数f（x）=x5+5x4+5x3+1在区间[﹣1，4]上的最大值与最小值．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B．（Ⅰ）若l与直线x=a交于点P，求•的值；（Ⅱ）若|AB|=，求直线l的倾斜角．2015-2016学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．如果命题“非p”是真命题，同时命题“p或q”是真命题，那么下列命题中，一定是真命题的是（）A．q B．p C．非q D．p且q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由命题“非p”是真命题，知命题p是假命题，再由命题“p或q”是真命题，知命题q 一定是真命题．【解答】解：∵命题“非p”是真命题，∴命题p是假命题，∵命题“p或q”是真命题，∴命题q一定是真命题．故选A．2．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．3．双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程得出a、b的值，从而得到c==，因此可得该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵双曲线的方程为，∴a2=4，b2=1，可得c==由此可得双曲线的焦点坐标为（±，0）故选：C4．给出下列五个导数式：①（x4）′=4x3；②（cosx）′=sinx；③（2x）′=2x ln2；④；⑤．其中正确的导数式共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】导数的运算．【分析】根据导数的基本公式求导，再判断即可．【解答】解：①（x4）′=4x3；②（cosx）′=﹣sinx；③（2x）′=2x ln2；④（lnx）′=；⑤（）′=﹣，故①②正确，故选：A．5．如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．341 B．1364 C．1365 D．1366【考点】循环结构．【分析】写出前几次循环，直到不满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：由框图知，经过第一次循环得到a=5经过第二次循环得到a=21经过第三次循环得到a=85经过第四次循环得到a=341经过第五次循环得到a=1365不满足判断框的条件，执行输出1365故选C6．设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】抛物线的定义．【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B7．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x2+ax+b的导数，由切点得到切线的斜率，由切线方程得到a，再由切点在曲线上求出b．【解答】解：y=x2+ax+b的导数是y′=2x+a，则在点（0，1）处的切线斜率为a，由切线方程得a=1，再由切点（0，1）在曲线上，则b=1．故选D．8．过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（）A．无数多条 B．3条C．2条D．1条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0；当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2；当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，把y=kx+2，代入抛物线方程，由判别式等于0，求得k的值，从而得到结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，即直线为y轴时，与抛物线y2=8x只有一个公共点．当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2，与抛物线y2=8x只有一个公共点．当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，那么直线方程为：y﹣2=kx，即：y=kx+2，代入抛物线方程可得k2x2+（4k﹣8）x+4=0，由判别式等于0 可得：64﹣64k=0，∴k=1，此时，直线的方程为y=kx+2．综上，满足条件的直线共有3条，故选B．9．x2＜1是﹣1＜x＜1的什么条件（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分与不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2＜1⇔﹣1＜x＜1，即可得出．【解答】解：x2＜1⇔﹣1＜x＜1，因此x2＜1是﹣1＜x＜1的充要条件．故选：A．10．曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．e D．【考点】直线的斜率；导数的几何意义．【分析】由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率．【解答】解：由y=e x，得到y′=e x，把x=0代入得：y′（0）=e0=1，则曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．11．过抛物线y2=x（a＞0）的焦点F的一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（）A．2a B．C．4a D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】取斜率不存在情形，焦点为（，0），此时p=q=，即可求出+．【解答】解：取斜率不存在情形，焦点为（，0），此时p=q=，∴+=2a+2a=4a，故选：C．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1=＜1，e2﹣2e﹣1＜0，解不等式求出e 的范围．【解答】解：在双曲线中，令x=﹣c 得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan=1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又e＞1，∴1＜e＜1+，故选D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1．【考点】命题的否定．【分析】根据命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的”改为“存在”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故答案为：∃x∈R，sinx＞1．14．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其它7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为79分．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】由题意设这一位选手除去最高分和最低分后7个分数的和是x，写出没有去分时，平均数的表示式，使它等于76，得到一个关于x的方程，解出x，用x除以7得到选手的成绩．【解答】解：设这一位选手除去最高分和最低分后，7个分数的和是x，∵一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，∴=76，∴x+131=684，∴x=553，∴这位参赛者的比赛成绩为=79，故答案为：7915．命题：“方程x2=2的解是”中使用了逻辑联结词或．（填写“或、且、非”）【考点】复合命题．【分析】即x=或x=﹣，即可得出．【解答】解：即x=或x=﹣，因此使用了逻辑联结词“或”．故答案为：或．16．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点在圆x2+y2+2x﹣1=0上，则这条抛物线的准线方程为y=﹣1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出圆x2+y2+2x﹣1=0与y轴正半轴的交点坐标，可得抛物线的焦点坐标，则答案可求．【解答】解：由x2+y2+2x﹣1=0，取x=0，得y2=1，即y=±1，∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点在圆x2+y2+2x﹣1=0上，∴可得抛物线x2=2py（p＞0）的焦点坐标为（0，1），则，∴抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣1．17．对于函数f（x）=ax3，（a≠0）有以下说法：①x=0是f（x）的极值点．②当a＜0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．④若a＞0且x≠0则f（x）+f（）有最小值是2a．其中说法正确的序号是②③．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】对于①②，求出原函数的导函数，由导函数的符号分析原函数的单调性，从而判断原函数极值的情况；对于③，求出f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程，和原函数联立后求解x的值，由解得的x的值判断命题③的真假；对于④，由基本不等式求出函数最值，从而判断④的真假．【解答】解：由f（x）=ax3，（a≠0），得f′（x）=3ax2．①当a＞0时，f′（x）≥0，当a＜0时，f′（x）≤0，∴函数f（x）是定义域内的单调函数，f（x）无极值点．命题①错误；②当a＜0时，f′（x）≤0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，命题②正确；③f′（1）=3a，f（1）=a，∴f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣a=3a（x﹣1），即y=3ax﹣2a．代入f（x）=ax3，得ax3﹣3ax+2a=0，即x3﹣3x+2=0，解得：x=﹣2或x=1．∴f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点（﹣2，﹣8a），∴命题③正确．④a＞0且x＜0时，f（x）+f（）=a（x3+）=﹣a[]≤﹣2a，∴命题④错误；故答案为：②③．三、解答题（本大题共4小题，共44分）18．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=log a x在（0，+∞）上单调递减，q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．若“p且q”为假，“﹁q”为假，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】求出命题p，q成立的等价条件，然后利用若“p且q”为假，“﹁q”为假，求a的取值范围．【解答】解：∵函数y=log a x在（0，+∞）上单调递减，∴0＜a＜1，即p：0＜a＜1，∵曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点∴△=（2a﹣3）2﹣4＞0，解得a＞或a＜．即q：a＞或a＜．∵“p且q”为假，“﹁q”为假，∴p假q真，即，∴a＞．即a的取值范围是a＞．19．曲线C的方程：（1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？（2）当m为何值时，曲线C表示双曲线？【考点】曲线与方程．【分析】（1）曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，可得5﹣m＞m﹣2＞0，即可得出结论；（2）曲线C表示双曲线，可得（5﹣m）（m﹣2）＜0，即可得出结论．【解答】解：（1）5﹣m＞m﹣2＞0，得：2＜m＜，所以：当2＜m＜时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆．（2）（5﹣m）（m﹣2）＜0得m＜2或m＞5，所以：当m＜2或m＞5时，曲线C表示双曲线．20．求函数f（x）=x5+5x4+5x3+1在区间[﹣1，4]上的最大值与最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．【解答】解：f′（x）=5x4+20x3+15x2=5x2（x+3）（x+1），当f′（x）=0得x=0，或x=﹣1，或x=﹣3，∵0∈[﹣1，4]，﹣1∈[﹣1，4]，﹣3∉[﹣1，4]列表：又f（0）=0，f（﹣1）=0；右端点处f（4）=2625；∴函数y=x5+5x4+5x3+1在区间[﹣1，4]上的最大值为2625，最小值为0．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B．（Ⅰ）若l与直线x=a交于点P，求•的值；（Ⅱ）若|AB|=，求直线l的倾斜角．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；直线的倾斜角．【分析】（Ⅰ）根据椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），可求椭圆的方程．设直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点B的坐标，即可求得•的值；（Ⅱ）计算弦AB的长，利用|AB|=，可求直线的斜率，从而可求直线l的倾斜角．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），∴，b=1，∴a=∴椭圆的方程为∵直线l过椭圆左顶点A（﹣，0），设直线l的方程为y=k（x+）∵直线x=a，即为，∴点P（），由，消元可得（1+2k2）x2+4k2x+4k2﹣2=0可知为此方程的一个根，设B（x2，y2）∴，∴∴B∴•=+=2；（Ⅱ）|AB|===，∴8k4﹣k2﹣7=0∴k2=1∴k=±1∴直线l的倾斜角为或．2016年4月13日。